无穷级数一章中 幂级数的和函数的求法
幂级数的求和方法
幂级数的求和方法作者：杜道渊来源：《价值工程》2010年第26期摘要: 本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。
Abstract: By means of the relevant knowledge from the advanced mathematics, some general summation method and techniques of power series are introduced in this paper.关键词: 幂级数;收敛区间;求和Key words: power series; convergence interval; summation中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)26-0202-010引言幂级数ax的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧性。
下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。
1计算部分和的极限根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。
对于幂级数ax,设前项和为s(x),则s(x)=s(x)例1求幂级数nx(x解:记部分和s(x)=kx,则xs(x)=kx,s(x)-xs(x)=-nx,s(x)=-x,因为x2逐项微分幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式s′(x)=ax′=ax′=nax通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,再积分即可。
例2在区间(-1,1)内求幂级数x的和函数,并由此计算级数的和解:设和函数为s(x),则s(x)=x=x+xx=,设s(x)=x,逐项求导得s(x)=x=两边积分s(x)dx=dx=-ln(1-x)=s1(x)所以s(x)=-ln(1-x)令得x=得=s=-ln1-=1+ln23逐项积分幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式s(x)dx=axdx=axdx=x通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,再求导即可。
幂级数的求和
幂级数的求和幂级数的求和（Sum of Geometric Series）幂级数是数学中一个非常重要且有趣的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入研究幂级数的求和，并探讨一些有趣的性质和应用。
首先，我们来定义什么是幂级数。
幂级数是由一系列幂次递增的项构成的无穷级数。
一般来说，幂级数的形式可以表示为：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ/___i=0在上式中，aᵢ是常数系数，x 是自变量，i 是项的指数，S 是幂级数的和。
我们可以看到，幂级数的项之间存在乘法关系，而指数 i 呈递增的幂次分布。
对于幂级数的求和，我们需要根据其收敛性质进行讨论。
幂级数的收敛性与 x 的取值相关，存在三种情况：1. 当 x = 0 时，幂级数的和为 a₀，即 S = a₀。
此时，幂级数只有一项，因此求和结果是确定的。
2. 当x ≠ 0 且 aₙ ⋅ xⁿ 逐项相加的和存在有限值时，我们称幂级数在 x 处收敛。
这时，我们可以用一种特殊的方式计算幂级数的和。
对于收敛的幂级数而言，可以使用以下公式计算其和：∞___\S = \ aᵢ * xⁱ = a₀ + a₁ * x + a₂ * x² + .../___i=0这个公式是通过将幂级数写成等比数列的形式来推导出来的。
通过计算每一项的值，并将它们相加，我们可以得到幂级数的和。
例如，考虑以下幂级数：S = 3 + 6x + 12x² + 24x³ + ...我们首先需要判断该幂级数在何处收敛。
为了判断这一点，我们可以使用比值判别法或根值判别法。
假设我们使用比值判别法，计算得到：lim n→∞ │aₙ₊₁⋅ xₙ₊₁│___________ = │6x│ = |6x|n→∞ │aₙ ⋅ xₙ│当 |6x| < 1 时，该幂级数在 x 处收敛。
也就是说，幂级数的收敛区间为 (-1/6, 1/6)。
接下来，我们可以使用求和公式计算该幂级数的和。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全无穷级数是数学中的一个重要概念，它由一系列无穷多个数相加而成。
在许多实际问题中，我们需要计算无穷级数的和。
本文将介绍一些常见的无穷级数求和公式，帮助读者更好地理解和计算无穷级数。
1.等差数列求和公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当n趋近于无穷大时，等差数列的和可以通过以下公式计算：Sn = lim(n→∞) (n/2) [2a1 + (n-1)d]其中Sn是前n项和。
2.等比数列求和公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当，r，<1时，等比数列的和可以通过以下公式计算：Sn=a1/(1-r)当，r，>1时，等比数列的和不存在。
3.幂级数求和公式幂级数是形如∑(n=0)∞a^n的无穷级数，其中a为常数。
幂级数的和可以通过以下公式计算：S=1/(1-a)该公式要求幂级数的绝对值，a，<14.调和级数求和公式调和级数是形如∑(n=1)∞1/n的无穷级数。
调和级数的和发散，即不存在有限的和。
然而，其部分和可以逼近自然对数的常数项：S = ∑(n=1)∞ 1/n ≈ ln(n) + γ5.奇数级数求和公式奇数级数是形如∑(n=1)∞(2n-1)的无穷级数。
奇数级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(2n-1)=n^26.平方和级数求和公式平方和级数是形如∑(n=1)∞n^2的无穷级数。
平方和级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞n^2=n(n+1)(2n+1)/67.指数级数求和公式指数级数是形如∑(n=0)∞(x^n/n!)的无穷级数，其中x为常数。
S=∑(n=0)∞(x^n/n!)=e^x8.费马级数求和公式费马级数是形如∑(n=1)∞(1/n^2)的无穷级数。
费马级数的和可以通过以下公式计算：S=∑(n=1)∞(1/n^2)=π^2/6上述是一些常见的无穷级数求和公式，希望能够帮助读者更好地理解和计算无穷级数的和。
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
常见幂级数展开式求和公式
常见幂级数展开式求和公式幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以将各种函数表示为无穷级数的形式。
常见的幂级数展开式求和公式有泰勒级数、麦克劳林级数和幂级数的逐项积分求和公式。
下面将逐一介绍这些公式。
1.泰勒级数求和公式：泰勒级数是将一个函数在其中一点展开成无穷级数的形式，用于近似表示函数在该点的值。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=a 处的泰勒级数展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f^n(a)表示f(x)在x=a点的n阶导数，n!表示n的阶乘。
当n 足够大时，泰勒级数可以提供较准确的函数近似。
2.麦克劳林级数求和公式：麦克劳林级数是泰勒级数在x=0处展开的特殊形式。
对于具有充分多次可导性的函数f(x)，其在x=0处的麦克劳林级数展开式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...麦克劳林级数将函数近似表示为多项式的形式，方便计算。
3.幂级数逐项积分求和公式：对于幂级数∑a_n(x-a)^n，可以对其逐项积分得到：∫[∑a_n(x-a)^n]dx = ∑[a_n/(n+1)(x-a)^(n+1)] + C其中，C为积分常数。
这个公式可以用于计算幂级数的积分。
除了上述三种常见幂级数展开式求和公式，还有一些其他的展开式求和公式，如：4.欧拉恒等式：欧拉恒等式表示以自然对数e为底的指数函数和三角函数的关系：e^ix = cos(x) + i·sin(x)其中，i表示虚数单位。
这个等式广泛应用于复数分析、信号处理等领域。
5.贝塞尔函数展开式：贝塞尔函数是一类特殊的函数，可以用无穷级数表示。
对于整数阶的贝塞尔函数J_n(x)，其展开式为：J_n(x)=(∑[(-1)^k/(k!(n+k)!)(x/2)^(2k+n)])/(x/2)^n贝塞尔函数在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
无穷级数求和的方法及应用
无穷级数求和的方法及应用在数学领域中，无穷级数是一个十分重要而又有趣的概念。
无穷级数就是指一连串无穷多个数字的和。
比如1+2+3+4+5+……便是一个无穷级数。
然而，对于无穷级数的求和问题，一般而言是没有简单的方法可以直接求得。
因此，学者们为了求解无穷级数的和而不断尝试提出了各种不同的方法和技巧。
下面我们就来探讨一些无穷级数求和的方法及其实际应用。
1. 等比级数求和法等比级数的定义是一个级数的每一项都是前一项的某一常数倍数。
比如1+3+9+27+……就是一个等比级数，因为它的每一项都是前一项的3倍。
等比数列求和的通用公式便是：S = a1/(1-r)其中，S为等比数列的和，a1为初始项，r为公比。
例如1+3+9+27+……这个等比级数的公比为3，初始项为1，那么它的和值为：S = 1/(1-3) = -1/2从这个推论我们可以得出，对于任何一个公比值小于1的等比级数而言，它的和值均为有限值，而对于公比值大于等于1的等比级数来说，其和值会趋向于无限大或者无限小。
2. 泰勒级数求和法泰勒级数是一个函式在某一点的邻域内的幂级数展开式，通常来讲泰勒级数能够将一个函数近似地展开成一个无穷级数的和。
从这个角度出发，泰勒级数便成为了一种常用的工具。
例如，我们可以将sin(x)展开成下面的无穷级数：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个式子就是sin(x)的泰勒级数。
我们可以将其中的项数截断，在有限的项之下求出sin(x)的近似值，这便是泰勒级数的主要用途之一。
3. 二次收敛法二次收敛法又称为牛顿-黎曼收敛法，它同样是一种求解无穷级数和的有效方法。
通常来讲，对于大部分的收敛级数，利用这种方法能够得出较好的求和结果。
例如，我们可以使用二次收敛法求解1+1/4+1/9+1/16+……的和。
这个级数可以被写成：1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...接着我们可以采取牛顿格式将其求和，先做差分运算得到：S1 = 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + ...然后构造另外一个收敛级数：S2 = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...用二次收敛法将这个级数求和，得到：S2 = π^2 / 6接着利用上下式子相减的方法，我们可以得到：S1 + S2 = π^2 / 6进一步将S1、S2两个式子相加减，消去其中的奇数项、偶数项即可得到1+1/4+1/9+1/16+……的和值，即π^2/6。
无穷级数求和7个公式展开
无穷级数求和7个公式展开一、等差数列求和公式等差数列是最基本的数列之一，其求和公式为：\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]其中，\(S_n\)表示前n个数的和，\(a_1\)表示首项，\(a_n\)表示末项。
这个公式的推导非常直观，可以通过对等差数列的各项进行求和求得。
二、几何数列求和公式几何数列也是常见的数列类型之一，其求和公式为：\[S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}\]其中，\(S_n\)表示前n个数的和，\(a_1\)表示首项，r表示公比。
这个公式的推导可以通过对几何数列的各项进行求和求得。
三、调和级数求和公式调和级数是由倒数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n} =\ln(n)+O(1)\]其中，\(S_n\)表示前n项的和。
这个公式的推导较为复杂，可以通过级数的收敛性以及极限的定义来推导得到。
四、指数级数求和公式指数级数是由指数函数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!} = e^x-1\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，x表示指数。
这个公式的推导可以通过级数展开以及指数函数的特性来得到。
五、幂级数求和公式幂级数是由幂函数构成的无穷级数，其求和公式为：\[S_n = 1+a+2a^2+3a^3+...+na^n = \frac{1}{(1-a)^2}(1-(n+1)a^n+na^{n+1})\]其中，\(S_n\)表示前n项的和，a表示幂级数的底数。
这个公式的推导可以通过级数展开以及幂函数的性质来得到。
六、Bernoulli数的幂级数展开Bernoulli数是数论中的一类特殊数列，其幂级数展开公式为：\[\frac{1}{e^x-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n x^n}{n!}\]其中，\(B_n\)表示Bernoulli数，\(x\)表示自变量。
无穷级数的收敛域与求和公式
无穷级数的收敛域与求和公式无穷级数是数学中重要的概念之一，它可以被定义为无限多个数的和。
对于无穷级数而言，我们关注的两个重要问题是它的收敛域以及如何求和。
本文将探讨无穷级数的收敛域及求和公式。
一、无穷级数的收敛域无穷级数的收敛域是指该级数在何种条件下会收敛。
当无穷级数的和存在有限的极限值时，我们认为该级数是收敛的，极限值即为该级数的和。
而当无穷级数的和不存在有限的极限值时，我们认为该级数是发散的。
对于无穷级数的收敛域，有几个常见的判定法则。
1. 比值判别法比值判别法是判定无穷级数收敛与发散的常用方法之一。
对于给定的无穷级数∑(an)，计算相邻两项的比值an/an+1的极限值L。
若L小于1，则级数绝对收敛；若L大于1或不存在极限，则级数发散；若L 等于1，则判定不确定。
2. 根值判别法根值判别法与比值判别法类似，也是判定无穷级数收敛与发散的常用方法之一。
对于给定的无穷级数∑(an)，计算相邻两项的根值√an的极限值L。
若L小于1，则级数绝对收敛；若L大于1或不存在极限，则级数发散；若L等于1，则判定不确定。
3. 正项级数的判别法若无穷级数的各项an都是正数，并且an+1 ≤ an，则称该级数为正项级数。
对于正项级数，若其部分和数列有上界，则该级数收敛；若其部分和数列无上界，则该级数发散。
以上是几个常见的无穷级数的收敛域判定方法，它们在实际应用中非常有用。
二、无穷级数的求和公式求和公式是指通过某种方法得到无穷级数的和的表达式。
在数学中，有一些特殊的级数具有特定的求和公式，这些公式在计算和的过程中可以简化计算，提高运算效率。
下面列举一些常见的无穷级数求和公式：1. 等比级数求和公式等比级数是一种特殊的级数形式，各项之间的比值是相等的常数。
对于等比级数∑(ar^n)，若-1<r<1，则该级数的和为S=a/(1-r)。
2. 幂级数求和公式幂级数是一类重要的无穷级数形式，以自变量x为变量，表达式为∑(an*x^n)。
无穷级数求和公式大全
无穷级数求和公式大全1. 等差数列求和公式：对于等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, ...，求和公式为 Sn= (n/2)(2a + (n-1)d)，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2. 等比数列求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ...，求和公式为 Sn = a(1 r^n) / (1 r)，其中n为项数，a为首项，r为公比。
3. 幂级数求和公式：幂级数是一种形如 a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... 的级数，其中ai为系数，x为变量。
它的求和公式可以通过对收敛域内的函数进行展开得到。
4. 几何级数求和公式：几何级数是一种形如 a + ar + ar^2 + ar^3 + ... 的级数，其中a为首项，r为公比。
当|r| < 1时，几何级数收敛，其和为 S = a / (1 r)。
5. 特殊级数求和公式：调和级数，调和级数是指形如 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的级数。
调和级数发散，但其部分和的增长速度可以用对数函数来描述。
斯特灵公式，斯特灵公式是指对于阶乘的近似公式n! ≈√(2πn)(n/e)^n，其中e为自然对数的底数。
6. 特殊函数求和公式：欧拉函数，欧拉函数是指对于正整数n，小于等于n且与n互质的正整数个数。
欧拉函数有一些求和公式，如Σφ(d) = n，其中d是n的正因子。
狄利克雷级数，狄利克雷级数是指形如Σ(a/n^s) 的级数，其中a和s为常数。
狄利克雷级数的求和结果与s的取值相关。
这些只是无穷级数求和公式的一小部分，还有许多其他公式和技巧，用于处理特定类型的级数。
希望以上信息能对你有所帮助。
求幂级数的和函数
在高等数学中,求幂级数的和函数的一般步骤是什么?_ ：通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和.当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数.同理,如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和.只是将来对这个级数的和再求积分.总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样.因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原.【幂级数和函数求法的和函数怎么求?】：答案是1/[(1-x)^2] 采用先逐项求积分,再求导数即可解决. 具体过程见我刚做的图片:【什么叫函数展开成幂级数以及计算方法】：当x=0 时,S(0)=0.当x≠0 时,S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,得S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0 的情况.求幂级数和函数具体步骤!_ ：解:设S=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/[(n+1)2^(n+1)],两边对x求导,有S'=∑[(-1)^n][x^n]/2^(n+1)=(1/2)∑[(-1)^n][(x/2)^n,而在丨x/2丨<1时,∑[(-1)^n][(x/2)^n=1/(1+x/2)=2/(x+2),即S'=1/(x+2),∴S=∫dx/(2+x)=ln(x+2)+C.又,x=0时,S=0,∴C=-ln2,∴S=ln(1+x/2).供参考.求幂级数的和函数,求详细步骤! ：写的表达式有误, n 应该从1 开始(x^n)/[n(n+1)] = (x^n)/n - (x^n)/(n + 1) = (x^n)/n - (1/x)[x^(n+1)]/(n + 1)前一项的无穷级数和为ln|1-x|后一项的无穷级数和为(1/x)ln|1-x| - x所以原式= ln|1-x| - (1/x)[ln|1-x| - x] = ( 1- 1/x)ln|1-x| + 1幂级数的和函数怎么求_ ：如果只是一般的1,x,x^2…baix^n当然直接使用公式得到[x^(n+1)-1]/(x-1)如果有系数du1,zhi2x,3x^2,…,dao(n+1)x^n就先专进行积分得到x,x^2…x^(n+1)相加之后再求导,得到和函数同理x,1/2 x^2,…,1/n x^n之类的就先进行求导,相加之后再积属分...。
幂级数和函数的几种常见解法
ｎ＝Ｏ
．
由例ｌ可知，薹等＝一ｌｎ（１一 ），接着把 ＝孚代入可 ＝ （１＋２ｚ ）
得 原 幂级 数 的和 函数 （ｚ）… ｌｎＯ ＿ｚ－＿５）
。
ｊ
例５：求幂级数∑（２ｎ＋３）ｚ 的和函数 （ｚ）。
解题 思 路 ：先利 用幂 级数 的 四则运算 法 则 ．如加 减法 ：
参 考 文献 ：
２０１８年第 ２期 （总第 １３４期 ）
８７
幂级 数 和 函数 的几种 常见解 法
解 ：
以上例 题 的解 法求 出和 函数 。
解 ：
ｚ）＝薹 甩∑＝Ｏ ｎ（ｎ＋１）ｚ ＝ｚ ｎ∑＝Ｏ 肿 ） ＝ｚ Ｉｎ∑＝Ｏ ｚ斛 Ｊｌ＝ｚ （ ＿＝） ＝ 砑Ｉ—２ｚ ∑（２ｎ＋３）ｚ ＝２∑（ 十１）ｚ ＋∑ｚ ＝２∑（ｚ ） ＋
解 ．· ．
喜 ｃｏ ｃ ｎ ＝圭
＝＝＞ （ ＝ 专 —ｌＩｌ（１ Ｉ 一ｌｎ（１
∑ ｚ一 ＝ｃｏ＋ｃ１（ｚ一口）＋…＋ （ｚ—ａ） ＋…
为幂级数。从定义可以看 出，幂级数 的和是关于 ｚ的函数 ， 表示为 （ｚ），若 Ｚ落在幂级数收敛域 Ｄ 内，则称 （ｚ）为该幂
· ． ．
（ｚ）＝ （０）＋
［１］王传荣，朱玉灿 ，徐荣聪．大学数学 （三 ）［Ｍ］．北京 ：科学 出版社 ，２００７
２４—５２
∑（ ± ）（ｚ一口） ＝∑ （ｚ ａ）ｎ± （ｚ—ｎ） ，然 后再 利用
ｎ＝Ｏ
ｎ＝Ｏ
ｎ＝Ｏ
（上 接 第 ７５页 ） 参 考文 献 ：
［１］杨 东 占．重构 知识 产 保 护制 度 破 解 科技 成果 转化 难题 —— 从 新修 改 的 《中华人民共和国促进科技成果转化法 》谈起【Ｊ】．中国高校科技，２０１ ５（１ １）
幂级数求和函数的方法
如何使用幂级数求和函数求解问题幂级数求和函数是数学学科中的一个重要分支，可以用来求解许多复杂问题。
以下将介绍如何使用幂级数求和函数求解问题。
首先，让我们介绍什么是幂级数：幂级数是一种无穷级数，其中每一项都是一个自变量的幂次函数。
幂级数的形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... ，其中a0,a1,a2,a3,...为常数。
现在，我们来介绍如何使用幂级数求和函数求解问题。
假设我们要求解一个函数在某个点x0处的值，但是这个函数的具体形式不可知。
我们可以使用幂级数将这个函数近似地表达出来，然后再计算x0处的值。
给定一个函数f(x)，我们可以将它展开成一个幂级数f(x) = a0+ a1x + a2x^2 + a3x^3 + ... 。
然后，我们可以使用幂级数求和函数将幂级数求和，并计算出f(x0)的近似值。
幂级数求和函数的形式如下：S(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，x是自变量，而S(x)则是幂级数的和。
使用幂级数求和函数求解问题的步骤如下：1.确定自变量x，以及该函数在x点处的近似值。
2.将该函数展开成幂级数的形式。
3.使用幂级数求和函数将幂级数求和，得到该函数在x点处的近似值。
4.汇总计算结果，得出最终答案。
使用幂级数求和函数求解问题有很多优点。
首先，幂级数是一种非常灵活的数学工具，可以用来近似表达各种函数。
其次，幂级数求和函数具有较高的精度。
最后，幂级数求和函数可以用来求解多种不同类型的问题，如微积分、物理学和工程学中的问题等。
总结起来，幂级数求和函数是数学学科中的一个重要工具，可以用来求解各种复杂问题。
使用幂级数求和函数求解问题的关键在于将该函数展开成幂级数的形式，并使用幂级数求和函数将幂级数求和。
这种方法不仅具有较高的精度，而且可以应用于多种不同类型的问题。
无穷级数复习
x 2 x3 x n+1 n + ⋯ (−1 < x < 1) 4、 ln(1 + x) = x − + − ⋯ + (−1) 2 3 n +1
5、等比级数： 等比级数：
1 = 1 + x + x 2 + ⋯⋯ + x n + ⋯ (−1 < x < 1) 1− x
1 2 4 6 2n = 1 + x + x + x + ⋯ + x + ⋯ (−1 < x < 1) 2 1− x
∑a
n= n =0
∞
n
x
n
逐项求导或求积分
∑a
n =0
∞
∗ n
x
n
难
求和 对和式积分或求导
S ( x)
S ( x)
∗
直接求和: 直接变换, 直接求和 直接变换 求部分和等 数项级数求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 间接求和 转化成幂级数求和 再代值
熟悉常用函数的幂级展开式： 熟悉常用函数的幂级展开式：
∞
例如
1 1 ∑ 2n 收敛 (q = 2 < 1); n =0
∞
(−1) n 1 ∑ 3n 收敛 ( q = 3 < 1); n =0
∞
∑1 发散(q = 1)；
n =0
∞
3 n 3 （ ∑ (− 2 ) 发散 q = 2 > 1). n =0
∞
是两个正项级数， 极限形式的比较审敛法 设 ∑ an 与∑ bn 是两个正项级数，且
∞ n
因
un +1 = un
n+2 1 1 = ( ⋅ ) n→∞ n + 1 (1 + 1 )n (1 + 1 ) n n
无穷级数求和函数
无穷级数求和函数1.无穷级数求和函数在收敛域内，可以如图两次应用求积求导法及等比级数求和公式求出这个和函数。
2.高等数学，无穷级数，幂级数，求和函数根据几何级数的求和公式：所以这和划线部分是一样的。
3.无穷级数，求和函数这个是利用逐项求导后求级数和，再求积分。
把原来的级数每一项都求导，这个级数很好求和，就是等比数列求和了:Σx^(4n)=Σ(x^4)^n=lim(n->正无穷) x^4(1-(x^4)^n)/(1-x^4)因为上面求了一次导数。
4.常用的全面的幂级数展开公式可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，＝x /(1-x)²/n＝- ln(1-x);5.高数无穷级数，求和函数可以写开分别求，利用1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，得∑nxⁿ＝x / (1-x)²，∑xⁿ/n＝- ln(1-x)，所以和函数为x/(1-x)²- ln(1-x) 。
6.无穷级数求和∑1/n21＋1/22＋1/32＋…＋1/n2→π2/6这个首先是由欧拉推出来的，将sinx按泰勒级数展开：sinx＝x－x^3/3!＋…于是sinx/x＝1－x^2/3!＋…令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋…而方程sinx＝0的根为0,…故方程sin√y/√y＝0的根为π2,＋…＝0的根为π2,根的倒数和＝一次项系数的相反数即1/π2＋1/(2π)2＋…＝1/3!无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。
只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。
用解析的形式来逼近函数，一般就是利用比较简单的函数形式。
幂级数的和函数的求法
幂级数的和函数的求法随着数学的发展，幂级数的和函数被广泛应用于科学和工程中，因为它可以帮助我们研究和解决各种问题。
在本文中，我们将讨论幂级数的和函数的求法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
首先，我们来定义一下幂级数和函数。
幂级数是指形如∑anxn的无穷级数，其中an 为系数，x为变量，n为自然数。
幂级数和函数是指幂级数所代表的函数，也就是我们将幂级数求和后得到的函数。
幂级数和函数在数学中起着非常重要的作用，因为它们可以表示许多其他函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
幂级数和函数的求和有两种方法，一种是逐项求和，另一种则是使用和函数公式。
逐项求和法逐项求和法是指先对每一项求和，然后再将结果相加。
这种方法适用于绝大多数的幂级数。
具体方法如下：假设幂级数为∑anxn，我们首先可以计算出其中的前n项和，即∑anxn（n=0,1,2,3,……，N）。
随着n的不断增加，前n项和会趋近于幂级数的和函数。
由于幂级数具有收敛性，也就是说，无穷级数的和可以有一个有限的极限值，因此如果我们取足够多的项相加，幂级数的前n项和就可以趋近于它的和函数。
需要注意的是，如果幂级数无法收敛，那么这种方法就不可行。
例如，当n趋向于正无穷时，幂级数∑anxn可能会发散（也就是说，无限增长）。
和函数公式法和函数公式法使用一个特定的公式来求幂级数的和函数。
这种方法只适用于一小部分幂级数，但它具有一定的便利性和效率。
我们来看一个例子：幂级数∑x^n。
这个级数可以使用以下公式求和：S (x) =1/(1-x)这个公式的意义是，当x的绝对值小于1时，幂级数的和函数S(x)等于1/(1-x)。
需要注意的是，这个公式只适用于x的绝对值小于1的情况。
如果x的绝对值大于1，幂级数可能会发散（也就是说，无限增长）。
总结在本文中，我们讨论了幂级数的和函数的求法。
无论是逐项求和法还是和函数公式法，都是计算幂级数和函数的有效方法。
需要注意的是，幂级数的收敛性是判断这两种方法是否可行的关键因素。
微积分中常见的无穷级数求和
微积分中常见的无穷级数求和无穷级数是一个非常重要的数学概念，它由无限多个数相加而成。
在微积分中，无穷级数求和是一个很常见的问题，因为很多函数的展开式就是一个无穷级数。
1. 无穷级数的定义对于一个数列{an}，我们可以将其相邻两项之差写成一个新的数列{bn}，即bn=an+1-an。
如果这个数列收敛到0，即lim(n→∞)bn=0，那么我们称原序列{an}为一个收敛的级数，记作∑an。
如果级数收敛，那么它的和为S=lim(n→∞)Sn，其中Sn为前n项的和。
2. 无穷级数的求和方法对于一些特殊的级数，我们可以使用一些技巧来求和。
以下是一些比较常见的方法。
2.1 等比数列求和法等比数列指的是一个数列的相邻两项之比为一个常数q，即an=aq^(n-1)。
对于这种数列，我们可以使用以下公式来求和：∑aq^(n-1) = a/(1-q)，其中|q|<1比如，如果我们要求1/2+1/4+1/8+...的和，那么这个数列就是一个等比数列，q=1/2，a=1。
根据公式，它的和为：1/(1-1/2) = 22.2 幂级数求和法幂级数是一种形如∑anx^n的无穷级数，其中n可以是任意自然数或0。
同样的，我们也可以使用一些技巧来求幂级数的和。
对于一个形如∑anx^n的幂级数，如果|q|<1，那么它的和可以用以下公式计算：∑anx^n = 1/(1-x)，其中|x|<1比如，如果我们要求1+x+x^2+x^3+...的和，那么这个幂级数的收敛半径为1，因此当|x|<1时它是收敛的。
根据公式，它的和为：1/(1-x) = 1/(1-(-1)) = 1/22.3 泰勒级数求和法泰勒级数是一种将一个函数展开成无穷级数的方法。
对于一个具有无限阶导数的函数f(x)，它的泰勒级数可以表示为：f(x) = ∑(n=0)∞f^(n)(a)/(n!) * (x-a)^n其中f^(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
无穷级数求和问题的几种方法
目录摘要 (2)1无穷级数求和问题的几种方法 (2)1.1利用级数和的定义求和 (2)1.2利用函数的幂级数展开式求和 (3)1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 (4)1.4逐项求极限 (5)1.5利用Flourier级数求和 (7)1.6构建微分方程 (9)1.7拆项法 (9)1.8将一般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考文献 (12)无穷级数求和问题的几种方法摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要内容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和无穷级数是数学分析中的一个重要内容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧. 1利用级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利用函数的幂级数展开式求和利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!nn x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-⨯+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=⎡⎤=--⎢⎥+⎣⎦∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nnx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意一点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰⎰10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞∞-==⎡⎤-=-=⎣⎦∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算无穷级数()() +-++⋅-⋅+⋅-⋅-14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. 两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 111,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++⎰∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x n n nn n 2112111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∑-∞=的和函数()x S . 解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从而收敛区间为(1,1)-，而知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ϕϕ∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ϕϕ∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x ϕ∞∞---===-⋅=-⋅=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0()()()2arctan x x x d x x ϕϕ==⎰,'()()()2arctan xxx x d x xdx ϕϕ==⎰⎰=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++⎰因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处无定义，那么可用求极限的方法讨论在端点处的和函数. 例5[]4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下面用逐项求导的方法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1(1)nnn x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-又有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑于是对上式两边进行积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++⎰ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进行积分，又得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++⎰221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，而幂级数在1x =处收敛，所以等式1221221(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成立.但因()f x 在1x =-处无定义，故要改用逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-⎡⎤⎢⎥-+=⋅+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ⎧-+-+∈-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩.5利用Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅里叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取一个偶函数()f x ，满足21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=⎰对于上式左端利用分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---⎡⎤=-⎣⎦⎰⎰='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---⎡⎤-+⎣⎦⎰ 注意到cos cos()(1)nn n ππ=-=-有''(3)2311(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---⎡⎤=--+⎣⎦⎰⎰取21()4f x x =， 则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=⎰同时211()6f x dx n πππ-=⎰，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412nn x nx nπ∞=-==+∑ 令0x =，得221(1)112n n n π∞=-=∑ 例7[4]证明: 441190k kπ∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅里叶级数222001()26xa dx ππππ-==⎰222011()cos 2k xa kxdx kπππ-==⎰， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞瓦尔等式（函数2()()2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑⎰,有2422444011111()()2621640k xdx t dt kππππππππ∞-=-+===∑⎰⎰即441190k kπ∞==∑. 6构建微分方程如果某些级数的一般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利用经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分方程，然后解微分方程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+⋅⋅⋅-24681()2242462468x x x x x ⎡⎤=--+-+⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦(1())x S x =-于是所得一阶微分方程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N x S x Ce n ∞--==-=-∑ 从而121111(1)12242462468S e --+-+==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅.7拆项法无穷级数求和时，有时根据一般项的特点，将一般项进行拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21n n ∞=∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'11((1)())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x =-++++ 23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈- 因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-. 8将一般项写成某数列相邻项之差用这一方法求无穷级数的和，首先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v ？当111n n n n m u b b b ++-=⋅，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-⋅（m 为待定因子）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将一般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-++-=-∑，所以1limn n S v v∞→∞=-.例10 求级数1n ∞=∑之和.解：一般项n u=-令n v =则1,n n n u v v +=-1v =lim n n v u ∞→∞=n =0n ==∴11n v v ∞∞==-∑10v =-=.例11 求11(1)(3)(5)(7)n n n n n ∞=++++∑的和. 解: 1(1)(3)(5)(7)n u n n n n =++++ 1118(3)(5)(7)n v n n n +=-+++ 118(1)(3)(5)n v n n n =-+++ 则1n n n u v v +=-111lim()2468n n n n u v v ∞→∞=∴=-=⋅⋅⋅∑. 总之，穷级数求和没有一个固定的方法可循，其实无穷级数求和方法很多，我们要善于发现和总结.这里只介绍了一些常用的方法和技巧，希望对大家计算求和问题有一定的帮助.参考文献 ：[1]陈传璋.数学分析[]M .北京：高等教育出版社.1983.M.北京：科学出版社.2004.[2]裘兆泰.王承国.数学分析学习指导[][3]李素峰.关于无穷级数求和问题的探讨.邢台学院学报,2008,23(4):100-101.M.北京：高等教育出版.2004.[4]吴良森.毛羽辉.数学分析学习指导书[]M.北京：高等教育出版社.1987. [5]刘玉琏.杨奎元.数学分析讲义学习辅导书[]Several Methods of Problem of Infinite Series SummationLiuYanhong 20071115051Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematicsAdvisor Liu GuantingAbstract: The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce several common methods and skills for infinite series in this paper . Keywords: Item series; Power series; Summation of Series。
幂级数与函数
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
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sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
求导或者积分后你要展开观察是什么数列，只要是等号右边的东西，你就直接得到他的和是等号左边了，再记得变回去！
什么逐项求导和逐项积分，太恶心了！以后等你搞傅里级数的时候还有一些书上写的多深邃，其实简单的初中生都能搞的明白的东西。。。。书上写的巨恶心，其实就是三角变换一次，一次不行就两次。。。。。
看着啊，我现在就按照同济教材的立体为例子：给你玩一下：∑（1~无穷) n(x^n-1)
解：S（x)=∑（1~无穷) n(x^n-1) 的和函数
仔细观察：(x^n-1)积分是不是分母出现了n ,正好和分子的n越掉。直接对)∑（1~无穷) n(x^n-1) 积分哈~~~不要考虑什么逐项积分，从此你就当没有听过逐项积分这种说法。积分后就变成 ∑（x^n），原式是没有办法处理的，但是有了这个式子之后，展开把N=（1、2、3、4。。。。）带入就发现是个很标准的q=x的等比数列了。这个等比数列求和为：x/(1-x)。 x/(1-x)是积分后的和哈，那要求原来的和简单嘛，求一次导就对了：1/[1-x)^2]
不要去想什么逐项求导和逐项积分乱七八糟的，其实就是对通项求导或者积分。
先说求导：目的就是把我们不论用初等数学怎么变化都不能变成等比数列的式子变成等比数列！
注意观察：例如：S（X）=∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1}
这个式子你用高中的方法去分成几项等比数列嘛，你一定会很悲剧的。通过观察：求一次导x^(n-1)的导数不就是（n-1）[x^(n-2)],分子的n-1不是可以和分母的n-1约掉啊！（ 注意了哈：逐项求导说的十分猥琐，其实就是对∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-1)]/n-1} 求导 ） 求导你要这样想n是常数，X是变量，对X求导（其实N就是常数，我怕你搞错了，我现在没有办法知道你的基础，所以当高中生在教）。求导以后的数列变成∑（2~无穷）{[（-1）^n][x^(n-2)]， 求了导之后你展开：把N=2带进去等于1 把N等于3带进去等于（-X） 把N等于4带进去等于（X^2） 把5带进去等于（-x^3）.......发现没有，求导之后的通项居然是个 q=(-x) a1=1 的等比数列！那我们的目的达到了！这个等比数列的求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 得：1/(1+x) |x|<1才收敛哈！不然考试不写|x|<1要扣粉的哈！求导之后的通项的和我们求到了 1/(1+x) |x|<1 那是不是我们要积分一次才是原来的题目啊！求导和积分是逆运算的嘛！S（X）=S（0）+ 1/(1+T)求积分（从0到X）=ln(1+x) |x|<1
首先先肯定的说我们在中学遇到的数列就两种1、等差数列 2、等比数列 这个你是知道的。。。当时解决N项数列和的公式你一定是记得的！
1、等差数列
Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d
转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2
总结：原式我不能处理怎么办，求导或者积分后变成等比数列，我求和，求完了积分或者求导回去就对了！
注意：不光是处理成等比数列！那是在高中！现在给你增加几个数列！说白了，你只要通过求导或者积分后变成这些数列都是可以求和的，记得再变回去！
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
听好了，以前初等数学就是用一些初等变换去对式子变形——比如把原式变成两个等比或者等差数列，然后用等比等差数列求和公式求出原式的N项和。
现在高等数学就不好搞了，就不能用一些初等变换（比如分母有理化，比如分子加一减一等等）的方式去分成几项有规律的数列了，那么，我们现在怎么办？要回到高中我们就只有求神了。但是，当我们现在学了高等数学后，我们就可以通过求导或者积分的方式把他变成我们所了解的等比和等差数列了，那多爽，是吧！通过求导就回到高中！
2、等比数列
Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(n为比值，a为项数）
你知道这两个就证明幂级数你学是一点问题都没有了（高数上你高懂的情况下）
那现在问题是你不知道为什么要逐项求导和逐项积分了！
lim(n->无穷) [a1(1-q^n)/(1-q) =lim(n->无穷) {[a1/(1-q)]-a1(q^n)/(1-q)} 因为当|q|<1时 lim(n->无穷)(q^n)=0 所以lim(n->无穷) [a1(1-q^n)/(1-q)=a1/(1-q)
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ..可以处理的等比数列，再求和，最后把和积分回来就对了，说的这样深邃！
再说为什么要积分：目的还是把式子变成我们可以处理的等比数列！什么逐项积分！说的太猥琐了，其实就是对通项积分，把式子能展开成等比数列就对了！NND不说猥琐点难道就体现不出编教材的人的水平吗？
sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞<x<∞)
arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)