拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
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［关键词］拉普拉斯变换 象函数
1. 引言
在高等数学中，求解无穷限的广义积分使用常规方法只能处理一
些较简单的被积函数的积分，一但被积函数较复杂时，若仍运用常规方
法难度很大，本文针对高等数学中无穷限的广义积分的一种特殊形式
乙+∞ f(t)e- stdt，来运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函
f(t)[
∞
e- stds]dt=
+∞ f(t)
s
s
0
0
s
0t
e-stdt= L[ f(t) ]。现我们反复的运用上式的推导过程，就可以得到一般情 t
况。
3. 实用举例
乙+∞
例 1 求解积分 e-3tcos2tdt 0
分析：该题目如果使用高等数学的方法求解很困难，要使用分部积
分法，现在如果我们使用拉普拉斯变换的定义，把问题变得非常简单，
我们只要求出 cos2t 的拉普拉斯变换后，令 s=3 即可。
乙 解：L[cos2t]=
+∞ 0
e-
stcos2tdt=
s s2+4
，（该结果是常规要记住的）
乙 对照要求积分，令
s=3，即：
+∞ 0
e-
3tcos2tdt=
s s2+4
s=3
=
3 13
。
乙 例 2 求解积分 +∞ 1- cost e-tdt
提供了一种新的的解决方法。
参考文献 ［1］华中理工大学数学系.复变函数与积分变换（第一版）.北京：高 等教育出版社，1999 年 7 月. ［2］全国高等教育自学考试指导委员会.复变函数与积分变换（第二 版）.沈阳：辽宁大学出版社，1998 年 9 月.
（上接第 427 页） 输出端子接线图； （5）根据系统设计的要求编写软件规格说明书，然后再用相应的编
0
t
分析：该题目要比例 1 复杂些，因为被积函数复杂，使用拉普拉斯
变换的定义，求出 1- cost t
的拉普拉斯变换后，令
s=1
即可，但是
1-
cost t
的拉普拉斯变换求解较困难，我们要借助拉普拉斯变换的性质—— —象
函数的积分。
乙 乙 解：由象函数的积分有：L[ 1- cost ]= t
∞来自百度文库
L[1- cost]ds=
s
∞ s
1 s(s2+1)
ds
=1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
即：
0
1- cost t
e-stdt= 1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
现令 s=1 得： 0
1- cost t
e-tdt= 1 2
ln
s2+1 s2
s=1
=
1 2
ln2。
由此方法我们可以看出，利用复变函数中的拉普拉斯变换来求解
实变函数中该模型类型的广义积分，为我们计算无穷限型的广义积分
的组成、必要的保护和联锁等。对较复杂的控制系统，还可将控制任务 分成几个独立部分，这种可化繁为简，有利于编程和调试。
（2）确定 I/O 设备 根据被控对象对 PLC 控制系统的功能要求，确定系统所需的用户 输入、输出设备。常用的输入设备有按钮、选择开关、行程开关、传感器 等，常用的输出设备有继电器、接触器、指示灯、电磁阀等。 （3）选择合适的 PLC 类型 根据已确定的用户 I/O 设备，统计所需的输入信号和输出信号的点 数，选择合适的 PLC 类型，包括机型的选择、容量的选择、I/O 模块的选 择、电源模块的选择等。 （4）分配 I/O 点，分配 PLC 的输入输出点，编制出输入 / 输出分配表 或者画出输入 / 输出端子的接线图。接着就可以进行 PLC 程序设计，同 时可进行控制柜或操作台的设计和现场施工。 （5）设计应用系统梯形图程序 根据工作功能图表或状态流程图等设计出梯形图即编程。这一步 是整个应用系统设计的最核心工作，也是比较困难的一步，要设计好梯 形图，首先要十分熟悉控制要求，同时还要有一定的电气设计的实践经
参考文献 ［1］张旺玺,王艳芝.聚丙烯腈基碳纤维综述.合成技术及应用，2002， (2)：24- 27． ［2］罗益锋. 新型碳材料.化工技术经济，2005，(4)：12- 15. ［3］贺福.碳纤维及其复合材料.科学出版社, 1997. ［4］贺福.碳纤维及其应用［M］.北京：化学工业出版社，2004. ［5］杜巍，肖军，文立伟等.新型纤维张力控制系统研究.玻璃钢、复 合材料，2006，(4)：35- 37.
性质 拉普拉斯变换的积分性质（象函数的积分）：设 L[f(t)]=F(s)，则
乙 乙 乙 乙 有： ∞ F(s)ds=L[ f(t) ]，一般地，有
s
t
∞
ds
s
∞
ds…
s
∞ s
F(s)ds=L[
f(t) tn
]。
乙 乙 乙 乙 乙 乙 ∞
证明： F(s)ds=
∞
[
+∞
f(t)e- stdt]ds=
+∞
科技信息
高校理科研究
拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
重庆科创职业学院 刘召明
［摘 要］本文基于高等数学计算无穷限广义积分的困难，引用一种使用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函数的积
乙+∞
分）来计算一种特殊形式的无穷限广义积分 f(t)e- std（t 我们取 s 为非零实数），为我们无穷限的广义积分计算提供一种新的解决手段。 0
— 428 —
验。 （6）将程序输入 PLC 当使用简易编程器将程序输入 PLC 时，需要先将梯形图转换成指
令助记符，以便输入。当使用可编程序控制器的辅助编程软件在计算机 上编程时，可通过上下位机的连接电缆将程序下载到 PLC 中去。
（7）进行软件测试 程序输入 PLC 后，应先进行测试工作。因为在程序设计过程中，难 免会有疏漏的地方。因此，在将 PLC 连接到现场设备上去之前，必需进 行软件测试，以排除程序中的错误，同时也为整体调试打好基础，缩短 整体调试的周期。 （8）应用系统整体调试 在 PLC 软硬件设计和控制柜及现场施工完成后，就可以进行整个 系统的联机调试，如果控制系统是由几个部分组成，则应先作局部调 试，然后再进行整体调试；如果控制程序的步序较多，则可先进行分段 调试，然后再连接起来总调。调试中发现的问题，要逐一排除，直至调试 成功。 （9）编制技术文件 系统技术文件包括说明书、电气原理图、电器布置图、电气元件明 细表、PLC 梯形图。
程语言（常用梯形图）进行程序设计； （6）了解并遵循用户认知心理学，重视人机界面的设计，增强人与
机器之间的友善关系； （7）设计操作台、电气柜及非标准电器元部件； （8）编写设计说明书和使用说明书。 2.系统设计的基本步骤 （1）深入了解和分析被控对象的工艺条件和控制要求 a . 被控对象就是受控的机械、电气设备、生产线或生产过程。 b . 控制要求主要指控制的基本方式、应完成的动作、自动工作循环
0
数的积分）进行求解。
2. 所运用的知识内容
定义 拉普拉斯变换的定义：设 f(t)是定义在[0,+∞]上的实值函数，如
乙∞
果对于复参数 s=β+iω，积分 F(s)= f(t)e-stdt 在复平面 s 的某一域内收 0
敛，则称 F(s)为 f(t)的拉普拉斯变换，并且我们称 F(s)为 f(t)的象函数。
1. 引言
在高等数学中，求解无穷限的广义积分使用常规方法只能处理一
些较简单的被积函数的积分，一但被积函数较复杂时，若仍运用常规方
法难度很大，本文针对高等数学中无穷限的广义积分的一种特殊形式
乙+∞ f(t)e- stdt，来运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函
f(t)[
∞
e- stds]dt=
+∞ f(t)
s
s
0
0
s
0t
e-stdt= L[ f(t) ]。现我们反复的运用上式的推导过程，就可以得到一般情 t
况。
3. 实用举例
乙+∞
例 1 求解积分 e-3tcos2tdt 0
分析：该题目如果使用高等数学的方法求解很困难，要使用分部积
分法，现在如果我们使用拉普拉斯变换的定义，把问题变得非常简单，
我们只要求出 cos2t 的拉普拉斯变换后，令 s=3 即可。
乙 解：L[cos2t]=
+∞ 0
e-
stcos2tdt=
s s2+4
，（该结果是常规要记住的）
乙 对照要求积分，令
s=3，即：
+∞ 0
e-
3tcos2tdt=
s s2+4
s=3
=
3 13
。
乙 例 2 求解积分 +∞ 1- cost e-tdt
提供了一种新的的解决方法。
参考文献 ［1］华中理工大学数学系.复变函数与积分变换（第一版）.北京：高 等教育出版社，1999 年 7 月. ［2］全国高等教育自学考试指导委员会.复变函数与积分变换（第二 版）.沈阳：辽宁大学出版社，1998 年 9 月.
（上接第 427 页） 输出端子接线图； （5）根据系统设计的要求编写软件规格说明书，然后再用相应的编
0
t
分析：该题目要比例 1 复杂些，因为被积函数复杂，使用拉普拉斯
变换的定义，求出 1- cost t
的拉普拉斯变换后，令
s=1
即可，但是
1-
cost t
的拉普拉斯变换求解较困难，我们要借助拉普拉斯变换的性质—— —象
函数的积分。
乙 乙 解：由象函数的积分有：L[ 1- cost ]= t
∞来自百度文库
L[1- cost]ds=
s
∞ s
1 s(s2+1)
ds
=1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
即：
0
1- cost t
e-stdt= 1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
现令 s=1 得： 0
1- cost t
e-tdt= 1 2
ln
s2+1 s2
s=1
=
1 2
ln2。
由此方法我们可以看出，利用复变函数中的拉普拉斯变换来求解
实变函数中该模型类型的广义积分，为我们计算无穷限型的广义积分
的组成、必要的保护和联锁等。对较复杂的控制系统，还可将控制任务 分成几个独立部分，这种可化繁为简，有利于编程和调试。
（2）确定 I/O 设备 根据被控对象对 PLC 控制系统的功能要求，确定系统所需的用户 输入、输出设备。常用的输入设备有按钮、选择开关、行程开关、传感器 等，常用的输出设备有继电器、接触器、指示灯、电磁阀等。 （3）选择合适的 PLC 类型 根据已确定的用户 I/O 设备，统计所需的输入信号和输出信号的点 数，选择合适的 PLC 类型，包括机型的选择、容量的选择、I/O 模块的选 择、电源模块的选择等。 （4）分配 I/O 点，分配 PLC 的输入输出点，编制出输入 / 输出分配表 或者画出输入 / 输出端子的接线图。接着就可以进行 PLC 程序设计，同 时可进行控制柜或操作台的设计和现场施工。 （5）设计应用系统梯形图程序 根据工作功能图表或状态流程图等设计出梯形图即编程。这一步 是整个应用系统设计的最核心工作，也是比较困难的一步，要设计好梯 形图，首先要十分熟悉控制要求，同时还要有一定的电气设计的实践经
参考文献 ［1］张旺玺,王艳芝.聚丙烯腈基碳纤维综述.合成技术及应用，2002， (2)：24- 27． ［2］罗益锋. 新型碳材料.化工技术经济，2005，(4)：12- 15. ［3］贺福.碳纤维及其复合材料.科学出版社, 1997. ［4］贺福.碳纤维及其应用［M］.北京：化学工业出版社，2004. ［5］杜巍，肖军，文立伟等.新型纤维张力控制系统研究.玻璃钢、复 合材料，2006，(4)：35- 37.
性质 拉普拉斯变换的积分性质（象函数的积分）：设 L[f(t)]=F(s)，则
乙 乙 乙 乙 有： ∞ F(s)ds=L[ f(t) ]，一般地，有
s
t
∞
ds
s
∞
ds…
s
∞ s
F(s)ds=L[
f(t) tn
]。
乙 乙 乙 乙 乙 乙 ∞
证明： F(s)ds=
∞
[
+∞
f(t)e- stdt]ds=
+∞
科技信息
高校理科研究
拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
重庆科创职业学院 刘召明
［摘 要］本文基于高等数学计算无穷限广义积分的困难，引用一种使用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函数的积
乙+∞
分）来计算一种特殊形式的无穷限广义积分 f(t)e- std（t 我们取 s 为非零实数），为我们无穷限的广义积分计算提供一种新的解决手段。 0
— 428 —
验。 （6）将程序输入 PLC 当使用简易编程器将程序输入 PLC 时，需要先将梯形图转换成指
令助记符，以便输入。当使用可编程序控制器的辅助编程软件在计算机 上编程时，可通过上下位机的连接电缆将程序下载到 PLC 中去。
（7）进行软件测试 程序输入 PLC 后，应先进行测试工作。因为在程序设计过程中，难 免会有疏漏的地方。因此，在将 PLC 连接到现场设备上去之前，必需进 行软件测试，以排除程序中的错误，同时也为整体调试打好基础，缩短 整体调试的周期。 （8）应用系统整体调试 在 PLC 软硬件设计和控制柜及现场施工完成后，就可以进行整个 系统的联机调试，如果控制系统是由几个部分组成，则应先作局部调 试，然后再进行整体调试；如果控制程序的步序较多，则可先进行分段 调试，然后再连接起来总调。调试中发现的问题，要逐一排除，直至调试 成功。 （9）编制技术文件 系统技术文件包括说明书、电气原理图、电器布置图、电气元件明 细表、PLC 梯形图。
程语言（常用梯形图）进行程序设计； （6）了解并遵循用户认知心理学，重视人机界面的设计，增强人与
机器之间的友善关系； （7）设计操作台、电气柜及非标准电器元部件； （8）编写设计说明书和使用说明书。 2.系统设计的基本步骤 （1）深入了解和分析被控对象的工艺条件和控制要求 a . 被控对象就是受控的机械、电气设备、生产线或生产过程。 b . 控制要求主要指控制的基本方式、应完成的动作、自动工作循环
0
数的积分）进行求解。
2. 所运用的知识内容
定义 拉普拉斯变换的定义：设 f(t)是定义在[0,+∞]上的实值函数，如
乙∞
果对于复参数 s=β+iω，积分 F(s)= f(t)e-stdt 在复平面 s 的某一域内收 0
敛，则称 F(s)为 f(t)的拉普拉斯变换，并且我们称 F(s)为 f(t)的象函数。