拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
无穷限广义积分的几种计算方法
中国分类号：０ ． Ｉ２ ７２
文献标识码：ｅ
文章编号 ：１ １ ３ ｌ ０２０． ０ ２ ３ － ５（ ０） ０ ９ ７ １ ２ ２０ ０
方法 一 ：利用广 义积 分 的定义求广 义积 分
ｅ
１ｘ３ ｇ ）＝ ｄ
ｄ ｙ
划 义 分ｒ ，ｘ 广 积 （ｄ ） ｒ
若 ｖ ＞ （） ０ｉ ｒｒｘ Ａ Ｉ ｍ ｒ ｄ
ｆ 一Ｉ
：Ｉ ２ ｎ
先将 广 义积 分 、Ｂ实分 析 中的积分 转化 为 复变函 数 ¨ 的积 分 ，再 用残数理 论 计算 出复变 函数 的积 分 ，从 而得 到 实分析 中广 义积 分 的值 。
方法＿ ：利 用 一重积 分理 论 计算广 义积分
利用＿ 重积 分计算 广 义积 分 时 ．麻分 两步
ｊ而
ｅ
ｄ ・ ｅ ｄ ＝ －’ ｘ ｒ 珏ｅ （
函数（） Ｉ式有两 个 一级极 点 ｚ ｌ ３ ＝ ＋ ｉ及： ３ ＝ 一ｉ
其却Ｄ： ｏ ｆ ．＋一 ） ｘｆ ．＋一） Ｏ
骶 ＝ 毛丽ｌｌ ） ＝ ｚ ￣ ｌ ＋ ３
维普资讯
Ａ…
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￣Ｉ ） Ｐ９ ８
称 积分上 ｆｘｄ 收 称上上极限 广义 （） 敛且 ｒ ￡ 值
：： ｄ 孚 ， ｒ ：
！ ＝￣ ｓ 型 ； ｏｘ ｃ ｙ
ｌ
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为 义 分 值ｌｒ， ） ＝ ｆ （ｄ 广 积 的 日 （ｄ ， ） ｊ ｒ ｒ
＝ 击 ÷ 出
去・ ・ ＝
同理可 利用 正志分 布 密度 函数及 指数 分郝 密度 函数 ，求 出一些广 义积分 的值 。川 （ ５ ） Ｐ８ 方法 六 ：利 出 时
故在 汁算广 义积 分时看 所给 广 义积 分 ？Ｓ Ｐ、 Ｉ、 ＇ ｌ
两无穷区间上广义积分交换次序定理
两无穷区间上广义积分交换次序定理高建全;邢家省;杨义川【摘要】考虑两无穷区间上的广义积分交换次序定理的充分条件的问题,指出了经典定理的充分条件过于严格.运用函数列积分极限理论结果,对经典严格的充分条件在表述上给予了改进,从而得到在广泛条件下的广义积分交换次序定理,通过实例说明应用.%While the sufficient conditions for improper integrals exchange theorem on infinite interval are usually considered in their practical application,some strict requirements of them are pointed out in this paper.The description of these requirements is improved by the results of the limit theory of function column integrals.The improper integrals exchange theorem with a wide range of conditions is given,and its validity and feasibility is proved by an application example.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2017(035)006【总页数】7页(P845-851)【关键词】无穷区间上的积分交换次序定理;含参变量广义积分;内闭一致收敛性;函数列积分的极限理论;菲涅尔积分【作者】高建全;邢家省;杨义川【作者单位】平顶山教育学院,河南平顶山467000;北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O177.2两无穷区间上的广义积分交换次序定理［1-7］是数学分析中的重要结果，在文献［1-7］中，给出了两无穷区间上的广义积分可交换积分次序的充分条件和证明过程.我们发现数学分析中的广义积分交换次序定理的经典的充分条件过于严格狭窄［1-7］，对许多不满足此充分条件的函数就不能直接利用［2，6，8］，对有些函数验证满足经典的充分条件也是麻烦的［2，4，6，8-12］.经典的积分交换次序定理中充分条件在表述上的局限性问题，在文献［6-8］中已经认识到，但没有从理论上给予完善解决.我们发现，应该将经典的严格充分条件给予改进，达到在广泛的充分条件下给出积分交换次序定理的结果，得到好的理论表现形式，达到理论上应有的高度.利用新的积分交换次序定理可以更方便于解决一批广义积分的计算问题，理论上得到发展和完善.定理1［1-7］（无穷区间的积分交换次序）设函数f() x,u在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，如果满足下列条件：①对任何D＞c，积分关于u在区间[c,D]上一致收敛；对任何B＞a，积分关于x 在[a,B]上一致收敛；②积分中至少有一个存在，则有定理1是数学分析教材中的经典结果［1-7］，文献［1-7］中对定理1的叙述和证明过程都是此条件.我们发现，定理1中充分条件①是包含端点的半内闭一致收敛性条件，这是不必要的，完全可以改进为不含端点的真正内闭一致收敛性条件；定理1的条件②是二元函数在无界区域上的绝对可积条件，此条件相当苛刻，对许多函数不能直接套用此定理.在内部变动区间上间接的使用定理［2，8］，然后采用再取极限的办法，这是相当繁琐的.我们发现完全可以将定理1中的条件①和条件②改进为一般形式，得到好的一般结果形式，新的结果更方便于使用.定理2［1-8］成立证明证法1［1，4，6，7］记，作变换x=ut,(u＞0)，得令f(t,u)=ue-u2(1+t2)，则有f(t,u)在[0,+∞)×[0,+∞)上是连续且非负的.易知积分关于t在[0,+∞)上一致收敛；对任意δ＞0，积分关于u在[δ,+∞)上一致收敛，且f(t,u)在[0,+∞)×[δ,+∞)上满足定理1的条件，交换积分次序是允许的，于是在（1）式两端，令δ→0+，则得于是所以证法2［5-7］在（3）式两端，令x→+∞，取极限，则得，故得注意在(0,+∞)上连续，φ(u)在u=0处不连续，积分关于u在(0,δ)上不一致收敛. 函数f(t,u)=ue-u2(1+t2)在[0,+∞)×[0,+∞)上不满足定理1的条件［8-12］.定理3［1-7］设{fn(x)}是[a,b]上的黎曼可积函数列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).则有①f(x)在[a,b]上黎曼可积；②定理4［1-4］设{fn(x)}是[a,b]上的黎曼可积函数列，且满足如下条件：；②存在常数M＞0，使得|fn(x)|≤M，对x∈[a,b],n=1,2,…；③对任意a＜A＜B＜b，函数列{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于函数f(x).那么函数f(x)也在[a,b]上黎曼可积，而且定理5［1-4］设{fn(x)}是(a,+∞)上的函数列，积分收敛，{fn(x)}在(a,+∞)上收敛于f(x).如果满足条件：①对任意B＞A＞a，{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上内闭一致收敛于f(x)；②积分对n一致收敛，则积分收敛，而且注意这里的积分下限a可能是积分的瑕点，a也可以是-∞.定理6［1-4］设{fn(x)}是[a,+∞]上的函数列，积分收敛，{fn(x)}在(a,+∞)上收敛于f(x).如果满足条件：①对任意B＞A＞a，{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上内闭一致收敛于f(x)；②对任意B＞A＞a，有，且关于B＞A＞a是一致的，则有积分收敛，而且.其中定理5常被使用的情形，是如下的控制收敛定理.定理7［1-7］控制收敛定理）设{fn(x)}是(a,+∞)上的函数列，存在，{fn(x)}在(a,+∞)上收敛于f(x).如果满足：①对任意B＞A＞a，{fn(x)}在[A,B]上一致收敛于f(x)；②如果存在(a,+∞)上的非负函数F(x)，使得收敛，而且对x∈(a,+∞)及所有的n，都有|fn(x)|≤F(x)，则有①积分收敛；②定理5至定理7虽然是以函数列的极限形式叙述的，完全可以写出其他极限形式的相应结论［1-4］.定理8［1-7］设函数f(x,u)在[a,b]×(c,+∞)上连续，如果满足条件：积分关于x在[a,b]上一致收敛，则有关于x在[a,b]上连续，且证明任取D＞C＞c，由于函数f(x,u)在[a,b]×[C,D]上连续，所以成立由条件，可知，且在x∈[a,b]上一致收敛，于是关于x在[a,b]上连续，且有结论得证.定理9［9-10］（无穷区间上的积分交换次序）设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：①对任何D＞C＞c，积分关于u在区间[C,D]上一致收敛；对任何B＞A＞a，积分关于x在[A,B]上一致收敛；②积分中至少有一个存在，则成立证明为了确定起见，不妨假定存在，因而存在.要证明的便是由于关于u在区间[C,D]上一致收敛，利用定理8的结果，可知成立记，显然，且收敛，由条件知且在(a,+∞)的任何内闭子区间[A,B]上是一致收敛的，利用广义积分控制收敛定理得，成立，这就证明了结论.例1设f(t,u)=ue-u2(1+t2)，则成立解显然f(t,u)在[0,+∞)×[0,+∞)上是连续且非负的.易知积分关于t在[0,+∞)上一致收敛；对任意D＞C＞0，积分关于u在[C,D]上一致收敛，且得到f(t,u)在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理9的条件.故由定理9，交换积分次序是允许的，于是成立例2［1-7，9］计算Laplace积分解设f(x,t)=e-t(α2+x2)cos βx，显然f(x,t)在[0,+∞)×[0,+∞)上连续，因为收敛，所以积分关于x在[0,+∞)上一致收敛；任取δ＞0，则当t≥δ时，有收敛，从而积分关于t在[δ,+∞)上一致收敛；显然是x的连续函数，且，又收敛，于是存在；所以f(x,t)在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理9的条件.故由定理9，交换积分次序是允许的，于是成立利用已有结果［1-7］，可知再利用欧拉积分的性质［2，4，6，7］，可得由（4）～（6）式，得到记利用含参变量广义积分的微分性质［1-7］，则有，于是对函数，易知f(x,t)在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理9的条件［9］；对任意δ＞0，显然关于t在(0,δ]上不一致收敛，f(x,t)在[0,+∞)×[0,+∞)上不满足定理1的条件.f(x,t)在[0,+∞)×[δ,+∞)上满足定理1的条件［2，6］.定理10［9-12］无穷区间上的积分交换次序）设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：①对任何D＞C＞c，积分关于u在区间[C,D]上一致收敛；对任何B＞A＞a，积分关于x在[A,B]上一致收敛；②积分关于B＞A＞a一致收敛，或者关于D＞C＞c一致收敛；则成立.其中：证明不妨设积分关于B＞A＞a一致收敛.由于对任何B＞A＞a，积分关于x在[A,B]上一致收敛；所以成立记，由条件知，且在(c,+∞)的任何内闭子区间[C,D]上是一致收敛的，又积分关于B＞A＞a一致收敛，于是有存在，且从而故得成立定理11［9-12］无穷区间上的积分交换次序）设函数f(x,u)在(a,+∞)×(c,+∞)上连续，如果满足下列条件：①对任何D＞C＞c，积分关于u在区间[C,D]上一致收敛；对任何B＞A＞a，积分关于x在[A,B]上一致收敛；②存在(c,+∞)上的非负函数G(u)，对任何B＞A＞a，u∈(c,+∞)，有，且积分收敛；或者存在(a,+∞)上的非负函数F(x)，对任何D＞C＞c，x∈(a,+∞)，有|FC,D(x)|≤F(x)，且积分收敛；则成立其中：定理12［1，2，4，6-7，9］菲涅尔积分证明命x2=t，那么将代入，得到如果记，已知积分，对任意β＞0，积分关于u在[β,+∞)上一致收敛；对任意δ＞0，积分关于t在[δ,+∞)上一致收敛，由存在；在[0,+∞)×[β,+∞)上满足定理9的条件.故由定理9，交换积分次序是允许的，于是记显然积分关于β＞0一致收敛，对任意B＞A＞0，关于t∈[A,B]是一致的，从而有，在（10）式中，令β→0+，取极限，则得所以，有故有注意函数在[0,+∞)×[0,+∞)上不满足定理1的条件［8-9］.设k＞0，对引入收敛因子的情形，在[0,+∞)×[0,+∞)上不满足定理1的条件［8-9］，在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理9的条件［8-9］.类似的，可以给出定理13［1，2，4，6-7，9］菲涅尔积分注意函数在[0,+∞)×[0,+∞)上不满足定理1的条件，对任意β＞0，函数在[0,+∞)×[β,+∞)上满足定理9的条件.设k＞0，对引入收敛因子的情形，函数在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理1的条件，但验证起来比较复杂［2，4，6］.验证函数在[0,+∞)×[0,+∞)上满足定理9的条件就非常容易.函数列广义积分的极限问题和两广义积分交换积分次序问题，在文献［13-26］中都有所研究，并有大量应用的例题方法技巧.【相关文献】［1］华罗庚.高等数学引论（第二册）［M］.北京：科学出版社，2009：96-109.［2］黄玉民，李成章.数学分析（下册）［M］.2版.北京：科学出版社，2007：518-556. ［3］张筑生.数学分析新讲（第三册）［M］.北京：北京大学出版社，1991：393-415.［4］常庚哲，史济怀.数学分析教程（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2003：344-359. ［5］陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册）［M］.2版.北京：高等教育出版社，2003：379-405.［6］菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第二卷）［M］.8版.北京：高等教育出版社，2006：578-617.［7］卓里奇.数学分析（第二卷）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006：373-380.［8］白玉兰，陈述涛.一个二次广义积分的顺序交换问题［J］.哈尔滨师范大学学报（自然科学版），1987，3（3）：13-18.［9］邢家省，杨小远，白璐.两无穷区间上积分交换次序充分条件的改进及其应用［J］.四川理工学院学报（自然科学版），2016，29（1）：87-92.［10］邢家省，杨小远.广义菲涅尔积分的积分交换次序计算方法［J］.四川理工学院学报（自然科学版），2016，29（3）：85-92.［11］邢家省，杨小远，白璐.菲涅尔积分计算中的一致收敛性的证明方法［J］.吉首大学学报（自然科学版），2016，37（5）：1-9.［12］邢家省，杨义川，王拥军.菲涅尔积分的几种计算方法［J］.四川理工学院学报（自然科学版），2016，29（5）：88-96.［13］邢家省，杨义川，王拥军.函数列的广义积分的极限定理及其应用［J］.吉首大学学报（自然科学版），2016，37（6）：1-9.［14］苏子安.函数列广义积分的收敛定理［J］.烟台师范学院学报（自然科学版），1993，9（1）：72-74.［15］孔芳弟.无穷区间上可积函数列逐项积分的条件［J］.西北师范大学学报（自然科学版），2003，39（3）：31-32.［16］叶天竹.无穷区间上可积函数列逐项积分的条件［J］.泉州师范学院学报（自然科学版），2005，23（4）：16-18.［17］叶天竹.有限区间上广义可积函数列逐项积分的条件［J］.江西科技师范学院学报，2006（4）：103-105.［18］姜赞臣.含参变量无穷积分在积分号下可积分定理的推广［J］.淄博师专学报，1995（2）：15-17.［19］江秉华，程铭东.含参变量反常积分交换定理的一个补充证明［J］.黄石理工学院学报，2005，21（3）：77-78.［20］钱学明.利用拉普拉斯变换求解几个重要的广义积分［J］.河北北方学院学报（自然科学版），2008，24（3）：4-7.［21］李少斌.关于Euler-Poisson积分和Fresnel积分的计算［J］.武汉教育学院学报，2000，19（3）：28-31.［22］杨梦龙，孙建设，雒秋明.一类无穷积分的计算公式［J］.数学的实践与认识，2005，35（10）：207-212.［23］吴崇试.计算含三角函数无穷积分的新方法［J］.大学物理，2011，30（2）：53-57. ［24］赵纬经，王贵君.欧拉积分在定积分计算中的应用［J］.青海师范大学学报（自然科学版），2008（1）：5-8.［25］许宁.级数求和的复分析方法［J］.南京师大学报（自然科学版），2014，37（4）：20-27. ［26］匡继昌.Dirichlet积分九种解法的思路分析［J］.高等数学研究，2012，15（4）：61-64.。
《复变函数》(西安交大 第四版)第7章 拉普拉斯变换
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内 的表达式 为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。
拉普拉斯变换的应用
毕业设计（论文）题目：拉普拉斯变换的应用院（系）数学科学学院专业信息与计算科学届别学号姓名指导老师摘要拉普拉斯变换是重要的定理.本文首先叙述拉普拉斯变换的相关定理及其推广，然后通过了举例子的方法来列举了拉普拉斯变换在广义积分、微分方程求解中应用, 以及拉普拉斯变换的延迟性质的应用关键词：拉普拉斯变换; 拉普拉斯变换应用；拉普拉斯变换的推广.ABSTRACTThe theorem of Laplace transform is important.This paper described the related theorem and its extension of the Laplace transformation, then an example through the way of enumerating the Laplace transformation applied in the generalized integral, differential equation, and delay the nature of the application of Laplace transformKeywords:Laplace transform; Laplace transform application; A generalization of Laplace transform.目录第一章拉普拉斯变换的概念及存在定理 (4)引言 (4)1.拉普拉斯变换的定义 (4)2.拉普拉斯变换的存在定理 (4)3.拉普拉斯变换的基本性质 (6)第二章拉普拉斯变换的推广及其逆变换 (7)1.拉普拉斯变换的推广 (7)2.拉普拉斯逆变换 (7)第三章拉普拉斯变换的应用 (9)1.利用拉普拉斯变换解微分方程（组） (9)2.用拉普拉斯变换解积分方程 (12)第四章利用拉普拉斯变换求解广义积分 (13)1.主要方法及证明 (13)2.计算⎰∞0)(dtttf型积分 (15)3.计算⎰∞>)0(),(tdxxtf型积分 (16)第五章延迟性质在拉普拉斯变换中的应用 (18)结语 (20)参考文献 (21)后记 (22)第一章 拉普拉斯变换的概念及存在定理引 言复变函数论产生于18世纪，它是数论、代数、方程等理论研究中的重要方法之一，以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.在数学中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,常常采取一种变换手法,如数量乘积或商通过对数变换变成和或者差然后再作指数变换即得原来数量的乘积和商.所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数变成另一个函数的变换,一般是化为含参数的积分.积分变换理论和方法不仅在数学许多分支中,而且在其他自然科学和各种工程技术领域中有广泛应用,已经成为不可缺少的运算工具 ,本论文主要总结归纳了拉普拉斯的变换几个重要方面的应用.通过本论文，不仅能使你对拉普拉斯的变换有更加深入的了解，而且能掌握其运用，增强自身的实际运用能力，使得自己对于拉普拉斯的变换有了真正意义上的掌握，而不是仅仅是停留在课本上的认识.1.拉普拉斯变换的定义：设函数ƒ(t)在[0，∞]上有定义，如果对于复参变量jw s +=β,积分dt e t f s F st -+∞⎰=0)()(在复平面s 的某一个区域内收敛，则称)(s F 为函数)(t f 的拉普拉斯变换，记为)]([￡)(s f s F =;对应地，称函数)(s f 为)(s F 的拉普拉斯逆变换，记为)]([￡)(-1s F t f =.同时，)(s F 和)(s f 分别被称为像函数和原函数.2.拉普拉斯变换的存在定理：若函数)(t f ）满足下列条件：(1)在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续；(2)当∞→t 时，)(t f 具有有限的增长性，即存在常数0>M 及0≥c ，使得 ct Me t f ≤)( )0(∞<≤x （1） 成立（其中c 称为)(t f 的增长指数，或者称)(t f 的增长是不超过指数级的）.则)(t f 的拉普拉斯变换F(s)在半平面c s >)Re(上一定存在，拉普拉斯积分在c c >≥1Re 上绝对收敛而且一致收敛，并且)(s F 在c s >)Re(的半平面内解析.证 设jw s +=β,则t st e e β--=，由不等式（1），可得dt e M dt e t f s F t c st ⎰⎰+∞--+∞-≤=0)(0)()(β 又由c s >=β)Re(，即0>-c β，可知上式右端积分收敛，因此)(s F 在半平面c s >)Re(上存在.注1 上述拉普拉斯变换存在定理证明表明，一个函数即使它的绝对值随着t 的增大而增大，但只要不比某个指数函数增长得快，则它的拉普拉斯变换就存在，这一点可以从拉普拉斯的变换与傅里叶变换的关系中得到一种直观的解释.大多数物理和工程技术中常见的函数都满足存在定理的条件，因而拉普拉斯变换的应用范围较傅里叶更广泛.注2 存在定理中的条件是充分而非必要条件.例如，对于函数m t t f =)(来说，当1->m 时，拉普拉斯变换是存在的；但当21=m 时，t t f 1)(=却不满足存在定理中的条件(1)，因为这时)(t f 在0=t 时为无穷大，不满足在0≥t 的任一有限区间上连续或者分段连续的要求.同理，单位脉冲函数)(t δ也不满足定理中的条件，但)(t δ的拉普拉斯变换是存在的.注3 当满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数)(t f 在0=t 处有界时，积分dt e t f t f st ⎰+∞-=0)()]([ψ中的下限取+0或者-0不会影响其结果。
利用Laplace变换计算含参变量无穷积分∫0^+∞x^me^-ax^n cosbx^ndx与∫0^
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利用Ｌａｐｌａｃｅ变换计算含参变量无穷积分 ｆ Ｐ一”ｃ０ｓ ｂｘｎｄｘ与
Ｉ ＸｍＰ一 ｓｉｎｂｘ ｄｘ（ ＞０，ｂ≥０，ｍ＞一１， ＞０）的一种方法
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拉普拉斯变换计算积分
拉普拉斯变换计算积分
拉普拉斯变换（Laplace Transform）是一种常用的数学变换，它可以将函数在时间域上的表示转换成它在频率域上的表示，以便更好地解决一些数学问题。
它可以用来解决微分方程，求解积分，甚至可以解决某些不可积分的函数的积分。
拉普拉斯变换的几种应用，包括用于求解积分。
拉普拉斯变换可以用来计算积分，它的原理是：将函数在时间域上的表示转换为它在频率域上的表示，然后在频率域上计算积分。
由于拉普拉斯变换可以将函数从时间域转换到频率域，所以它可以用来计算在时间域上不可解的积分，如某些不可分的函数的积分。
拉普拉斯变换可以应用于积分计算，在积分计算中，拉普拉斯变换可以用来求解一些不可积分的函数，从而使积分计算更加容易。
举个例子，如果要求解函数f(t)的积分，可以先将
f(t)变换为拉普拉斯变换F(s)，然后再计算F(s)的积分，最后将结果转换回原函数f(t)的积分。
拉普拉斯变换的应用非常广泛，不仅可以用来计算积分，还可以用来求解微分方程，用来分析系统的动态行为，用来解决某些不可积分的函数，甚至可以用来分析控制系统。
拉普拉斯变换是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们快速解决许多复杂的数学问题，特别是在积分计算方面，它
可以解决一些不可积分的函数的积分。
因此，拉普拉斯变换在数学计算中具有重要的意义，可以为我们解决许多难题。
拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
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验。 （6）将程序输入 PLC 当使用简易编程器将程序输入 PLC 时，需要先将梯形图转换成指
令助记符，以便输入。当使用可编程序控制器的辅助编程软件在计算机 上编程时，可通过上下位机的连接电缆将程序下载到 PLC 中去。
（7）进行软件测试 程序输入 PLC 后，应先进行测试工作。因为在程序设计过程中，难 免会有疏漏的地方。因此，在将 PLC 连接到现场设备上去之前，必需进 行软件测试，以排除程序中的错误，同时也为整体调试打好基础，缩短 整体调试的周期。 （8）应用系统整体调试 在 PLC 软硬件设计和控制柜及现场施工完成后，就可以进行整个 系统的联机调试，如果控制系统是由几个部分组成，则应先作局部调 试，然后再进行整体调试；如果控制程序的步序较多，则可先进行分段 调试，然后再连接起来总调。调试中发现的问题，要逐一排除，直至调试 成功。 （9）编制技术文件 系统技术文件包括说明书、电气原理图、电器布置图、电气元件明 细表、PLC 梯形图。
我们只要求出 cos2t 的拉普拉斯变换后，令 s=3 即可。
乙 解：L[cos2t]=
+∞ 0
e-
stcos2tdt=
s s2+4
，（该结果是常规要记住的）
乙 对照要求积分，令
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！
8种常见的拉普拉斯变换，想搞不懂都难！拉普拉斯变换（拉⽒变换）是⼀种解线性微分⽅程的简便运算⽅法，是分析研究线性动态系统的有⼒数学⼯具。
简单点说，我们可以使⽤它去解线性微分⽅程，⽽控制⼯程中的⼤多数动态系统可由线性微分⽅程去描述，因此拉⽒变换是控制⼯程领域必不可少的基础。
什么是拉⽒变换呢？⾸先，我们来看⼀下拉⽒变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中，f(t)称为原函数，F(s)称为象函数。
⼀个函数可以进⾏拉⽒变换的充要条件为：(1)在t<0时，f(t)=0;(2)在t≥0的任⼀有限区间内,f(t)是分段连续的；(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某⼀指数函数，即：接下来为⼤家介绍⼏种常见的时间常数拉⽒变换，⼤家在看下⾯⼏种时间常数拉⽒变换的时候可将⼏个时间常数与这三个条件⼀⼀对应，有助于理解记忆。
1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为：其对应的图像为：我们来看⼀个脉冲信号:从图中可看出，脉冲函数就像脉冲信号⼀样，在时间的⼀个微段dt内，信号强度快速增长，可达到⽆穷⼤，⽽单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的⾼度的乘积为1，即h(dt)=1。
其拉⽒变换为:该函数有⼀个重要性质：f(t)为任意连续函数，当f(t)=e^(-st)时，该性质即可看为单位脉冲函数的拉⽒变换。
2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为：函数图像为：其拉⽒变换为：其被积函数为幂函数与指数函数乘积，使⽤分部积分法求解（反对幂三指），这只是推到过程，我们使⽤的时候只需记住t的拉⽒变换为1/s^2即可。
4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程与单位斜坡函数的拉⽒变换求解过程相同，这⾥只需记住1/2T^2的拉⽒变换为1/s^3。
5、指数函数指数函数的数学表达式为：其函数图像为：其拉⽒变换为：求解过程为凑微分法。
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（2）确定 I/O 设备 根据被控对象对 PLC 控制系统的功能要求，确定系统所需的用户 输入、输出设备。常用的输入设备有按钮、选择开关、行程开关、传感器 等，常用的输出设备有继电器、接触器、指示灯、电磁阀等。 （3）选择合适的 PLC 类型 根据已确定的用户 I/O 设备，统计所需的输入信号和输出信号的点 数，选择合适的 PLC 类型，包括机型的选择、容量的选择、I/O 模块的选 择、电源模块的选择等。 （4）分配 I/O 点，分配 PLC 的输入输出点，编制出输入 / 输出分配表 或者画出输入 / 输出端子的接线图。接着就可以进行 PLC 程序设计，同 时可进行控制柜或操作台的设计和现场施工。 （5）设计应用系统梯形图程序 根据工作功能图表或状态流程图等设计出梯形图即编程。这一步 是整个应用系统设计的最核心工作，也是比较困难的一步，要设计好梯 形图，首先要十分熟悉控制要求，同时还要有一定的电气设计的实践经
提供了一种新的的解决方法。
参考文献 ［1］华中理工大学数学系.复变函数与积分变换（第一版）.北京：高 等教育出版社，1999 年 7 月. ［2］全国高等教育自学考试指导委员会.复变函数与积分变换（第二 版）.沈阳：辽宁大学出版社，1998 年 9 月.
（上接第 427 页） 输出端子接线图； （5）根据系统设计的要求编写软件规格说明书，然后再用相应的编
0
t
分析：该题目要比例 1 复杂些，因为被积函数复杂，使用拉普拉斯
变换的定义，求出 1- cost t
的拉普拉斯变换后，令
s=1
即可，但是
1-
cost t
的拉普拉斯变换求解较困难，我们要借助拉普拉斯变换的性质—— —象
函数的积分。
乙 乙 解：由象函数的积分有：L[ 1- cost ]= t
∞
L[1- cost]ds=
f(t)[
∞
e- stds]dt=
+∞ f(t)
s
s
0
0
s
0t
e-stdt= L[ f(t) ]。现我们反复的运用上式的推导过程，就可以得到一般情 t
况。
3. 实用举例
乙+∞
例 1 求解积分 e-3tcos2tdt 0
分析：该题目如果使用高等数学的方法求解很困难，要使用分部积
分法，现在如果我们使用拉普拉斯变换的定义，把问题变得非常简单，
我们只要求出 cos2t 的拉普拉斯变换后，令 s=3 即可。
乙 解：L[cos2t]=
+∞ 0
e-
stcos2tdt=
s s2+4
，（该结果是常规要记住的）
乙 对照要求积分，令
s=3，即：
+∞ 0
e-
3tcos2tdt=
s s2+4
s=3
=
3 13
。
乙 例 2 求解积分 +∞ 1- cost e-tdt
科技信息
高校理科研究
拉普拉斯变换求解无穷限的广义积分
重庆科创职业学院 刘召明
［摘 要］本文基于高等数学计算无穷限广义积分的困难，引用一种使用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函数的积
乙+∞
分）来计算一种特殊形式的无穷限广义积分 f(t)e- std（t 我们取 s 为非零实数），为我们无穷限的广义积分计算提供一种新的解决手段。 0
参考文献 ［1］张旺玺,王艳芝.聚丙烯腈基碳纤维综述.合成技术及应用，2002， (2)：24- 27． ［2］罗益锋. 新型碳材料.化工技术经济，2005，(4)：12- 15. ［3］贺福.碳纤维及其复合材料.科学出版社, 1997. ［4］贺福.碳纤维及其应用［M］.北京：化学工业出版社，2004. ［5］杜巍，肖军，文立伟等.新型纤维张力控制系统研究.玻璃钢、复 合材料，2006，(4)：35- 37.
s
∞ s
1 s(s2+1)
ds
=1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
即：
0
1- cost t
e-stdt= 1 2
ln
s2+1 s2
。
乙+∞
现令 s=1 得： 0
1- cost te-tdt= 1 2 Nhomakorabealn
s2+1 s2
s=1
=
1 2
ln2。
由此方法我们可以看出，利用复变函数中的拉普拉斯变换来求解
实变函数中该模型类型的广义积分，为我们计算无穷限型的广义积分
性质 拉普拉斯变换的积分性质（象函数的积分）：设 L[f(t)]=F(s)，则
乙 乙 乙 乙 有： ∞ F(s)ds=L[ f(t) ]，一般地，有
s
t
∞
ds
s
∞
ds…
s
∞ s
F(s)ds=L[
f(t) tn
]。
乙 乙 乙 乙 乙 乙 ∞
证明： F(s)ds=
∞
[
+∞
f(t)e- stdt]ds=
+∞
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验。 （6）将程序输入 PLC 当使用简易编程器将程序输入 PLC 时，需要先将梯形图转换成指
令助记符，以便输入。当使用可编程序控制器的辅助编程软件在计算机 上编程时，可通过上下位机的连接电缆将程序下载到 PLC 中去。
（7）进行软件测试 程序输入 PLC 后，应先进行测试工作。因为在程序设计过程中，难 免会有疏漏的地方。因此，在将 PLC 连接到现场设备上去之前，必需进 行软件测试，以排除程序中的错误，同时也为整体调试打好基础，缩短 整体调试的周期。 （8）应用系统整体调试 在 PLC 软硬件设计和控制柜及现场施工完成后，就可以进行整个 系统的联机调试，如果控制系统是由几个部分组成，则应先作局部调 试，然后再进行整体调试；如果控制程序的步序较多，则可先进行分段 调试，然后再连接起来总调。调试中发现的问题，要逐一排除，直至调试 成功。 （9）编制技术文件 系统技术文件包括说明书、电气原理图、电器布置图、电气元件明 细表、PLC 梯形图。
程语言（常用梯形图）进行程序设计； （6）了解并遵循用户认知心理学，重视人机界面的设计，增强人与
机器之间的友善关系； （7）设计操作台、电气柜及非标准电器元部件； （8）编写设计说明书和使用说明书。 2.系统设计的基本步骤 （1）深入了解和分析被控对象的工艺条件和控制要求 a . 被控对象就是受控的机械、电气设备、生产线或生产过程。 b . 控制要求主要指控制的基本方式、应完成的动作、自动工作循环
［关键词］拉普拉斯变换 象函数
1. 引言
在高等数学中，求解无穷限的广义积分使用常规方法只能处理一
些较简单的被积函数的积分，一但被积函数较复杂时，若仍运用常规方
法难度很大，本文针对高等数学中无穷限的广义积分的一种特殊形式
乙+∞ f(t)e- stdt，来运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯变换的性质（象函
0
数的积分）进行求解。
2. 所运用的知识内容
定义 拉普拉斯变换的定义：设 f(t)是定义在[0,+∞]上的实值函数，如
乙∞
果对于复参数 s=β+iω，积分 F(s)= f(t)e-stdt 在复平面 s 的某一域内收 0
敛，则称 F(s)为 f(t)的拉普拉斯变换，并且我们称 F(s)为 f(t)的象函数。