拉普拉斯积分变换
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Le
at
k sin kt 2 2 ( s a) k
27
5. 延迟性质 若 L f (t ) F (s)，又 t 0 时 f (t ) 0
则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) e sτ F (s),
或 证
L1 e sτ F (s) f (t τ )
0
e f (t )e dt
at st
f (t )e ( s a )t dt
上式右方只是在 F (s ) 中把s换成 s a ，所以
L e at f (t ) F (s a)
(Re(s a) c)
这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数 eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。
由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：
F (s) L tf (t ), Re(s) c
一般地，有
F ( n) (s) L (t ) n f (t ), Re(Байду номын сангаас) c
18
例 求函数 f (t ) t sin kt 的拉氏变换。 解 因为
k Lsin kt ) 2 s k2
F Re( s) c 的半平面内， (s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t ) sin kt（k为实数）的拉 氏变换。 解
Lsin kt
st
0
sin kte dt
st
e k 2 ( s sin kt k cos kt) 0 2 2 s k s k2
在实际工作中，求函数的拉氏变换可通 过拉氏变换表查得。
11
3．拉氏变换的性质
为了叙述方便起见，假定要求拉氏变 换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条 件，并且把这些函数的增长指数都统一地 取为c。以下均设
L f1 (t ) F1 ( s), L[ f (t )] F ( s)
L f 2 (t ) F2 ( s),
实数）。 解
L f (t )
0
e kt e st dt
0
e ( s k )t dt
积分在 Re( s) k 时收敛，且有
0
e
( s k )t
1 dt sk
(Re(s) k )
5
所以 L e
kt
1 sk
2. 拉氏变换的存在定理
一般地，有
f (t ) L n ds ds F ( s)ds s s t s n次
21
sinh t 例 求函数 f (t ) 的拉氏变换。 t 解 因为 1 L sinh t 2 s 1
据象函数的积分性质可知
f (t )e
s L f (t ) f (0)
s
0
f (t )est dt
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
14
推论:
L f ( n) (t ) s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0)
f ( m) (t ) m!
所以 L m! L f ( m) (t ) s m L f (t ) s m1 f (0) s m2 f (0)
f ( m1) (0)
17
即
而 所以
L m! s m L t m
m! L m! m! L 1 s m! m (Re(s) 0) L t m 1 s
k 2 L cos kt s 2 L cos kt s
s L cos kt s k2
(Re(s) 0)
16
移项化简得
例 求函数 f (t ) t m 的拉氏变换，其中m是正整数 解 由于 而
f (0) f (0) f ( m1) (0) 0
0
(t ) e st dt
t 0
(t ) e st dt e st
1
10
例7 求函数 f (t ) e t (t ) e t u(t )( 0) 的拉氏变换。 解
L f (t )
0
0
1 sinh t L s L sinh t ds s s 2 1 ds t
1 s 1 ln 2 s 1
s
1 s 1 ln 2 s 1
22
如果积分
0
f (t ) dt t
存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有
12
a. 线性性质 若 , 是常数，则有
L f1 (t ) f 2 (t ) L f1 (t ) L f 2 (t ) ;
-1 1 1 L F1 ( s) F2 (t ) L F1 ( s) L F2 ( s).
25
例 求
L e at t m
Γ (m 1) L t s m 1
m
解 因为
利用位移性质，可得
Γ (m 1) L e t ( s a) m 1
at m
26
例 求
Le
at
sin kt
解 因为
k Lsin kt 2 2 s k 由位移性质得
解 由拉氏变换的定义
L u (t )
0
e st dt
此积分在 Re( s) 0时收敛，且
所以
0
1 st e dt e s
-st
0
1 s
1 Lu (t ) （Re( s) 0） s
4
f (t ) e kt 的拉氏变换（k为 例2 求指数函数
0
sin t 1 dt ds arctan s 0 s2 1 t
0
2
24
d．位移性质 若 L f (t ) F (s) ，则有
L e at f (t ) F (s a)
证
(Re(s a) c)
0
L e f (t )
at
19
t f (t )dt 1 F ( s ) c．积分性质 L 0 s
证 设 h(t )
t 0
f (t )dt ，则有
h(t ) f (t ) ，且 h(0) 0
由微分性质，有
L h(t ) s L h(t ) h(0) s L h(t )
§ 拉普拉斯(Laplace) 积分变换
1
一、拉氏变换
1． 拉氏变换的概念 定义 设函数 f (t )当 t 0 时有定义，而且积分 f (t )e st dt （s是一个复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
0
F ( s)
0
f (t )e st dt
称为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式） 记为 F (s) L f (t ) F(s)称为 f (t ) 的拉氏变换（或称为象函数）。
根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各 函数拉氏变换的线性组合。
13
b． 微分性质
L f (t ) sF (s) f (0)
f (t )est dt
st 0
证 由定义并利用分部积分法得
L f (t )
0
其中
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
F (s) L f (t )
这一公式，常用来计算某些积分。
23
例 求积分
0
sin t dt t
1 L sin t 2 s 1
解 因为
且
所以
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
根据象函数的微分性质
d k 2ks Lt sin kt) s 2 k 2 (s 2 k 2 )2 ds
同理可得，
d s s2 k 2 Lt cos kt) s 2 k 2 (s 2 k 2 )2 ds
可以看出，拉氏变换存在的条件要比 傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函 数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定 存在呢？
6
拉氏变换的存在定理 若函数 f (t ) 满足下列条件：
1 在 t 0的任一有限区间上分段连续；
2 当 t 时，f (t ) 的增长速度不超过某一指数函
数，亦即存在常数M>0及c 0，使得
L f (t τ )
0
0
f (t τ ) e st dt
τ
f (t τ ) e dt
st
f (t τ ) e dt
st
28
由于 t τ 时，f (t τ ) 0 ，所以上式右端第一 个积分为零。对于第二个积分，令 t τ u，则
e
0 t
f (t ) e dt
t
0
st
(t ) e
( s ) t
u(t ) e dt
e ( s ) t dt
st
e
(t )e
t 0
dt
0
( s )t
e
(s ) t
s
s 1 s s
即
t f (t )dt 1 L f (t ) 1 F ( s ) L 0 s s
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。 20
重复应用积分性质可得： t t t 1 L dt dt f (t )dt n F ( s) 0 0 0 s n次 此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质： f (t ) F ( s )d s L F ( s)ds 或 f (t ) tL 1 s s t
f (t ) Mect ,0 t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级 的，c为它的增长指数）。
7
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( s)
0
f (t ) e st dt
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
s Lcos kt 2 s k 2 (Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换。
解 利用性质：
0
f (t ) (t )dt f (0) ，有
L (t )
(t ) e st dt
(Re(s) c)
特别，当初值 f (0) f (0) f ( n1) (0) 0 时，有
L f (t ) sF (s), L f (t ) s 2 F (s),, L f ( n) (t ) s n F (s)
此性质使我们有可能将 f (t ) 的微分方程转化为F(s)的
2
若F(s)是 f (t ) 的拉氏变换，则称 f (t ) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t ) L 1 F (s)
f 可以看出， (t ) (t 0)的拉氏变换，实际上就是
f (t )u(t )e t 的傅氏变换。
3
0, t 0 例1 求单位阶跃函数 u (t ) 的拉氏变换。 1, t 0
代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t ) cos kt 的拉氏变换。 解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) k 2 cos kt
由微分性质有 即
L k 2 cos kt L f (t ) s 2 L f (t ) sf (0) f (0)
at
k sin kt 2 2 ( s a) k
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5. 延迟性质 若 L f (t ) F (s)，又 t 0 时 f (t ) 0
则对于任一非负实数 τ 有
L f (t τ ) e sτ F (s),
或 证
L1 e sτ F (s) f (t τ )
0
e f (t )e dt
at st
f (t )e ( s a )t dt
上式右方只是在 F (s ) 中把s换成 s a ，所以
L e at f (t ) F (s a)
(Re(s a) c)
这个性质表明：一个象原函数乘以指数函数 eat的拉氏变换等于其象函数作位移a。
由拉氏变换存在定理，可得到象函数的微分性质：
F (s) L tf (t ), Re(s) c
一般地，有
F ( n) (s) L (t ) n f (t ), Re(Байду номын сангаас) c
18
例 求函数 f (t ) t sin kt 的拉氏变换。 解 因为
k Lsin kt ) 2 s k2
F Re( s) c 的半平面内， (s)为解析函数。
8
例3 求正弦函数 f (t ) sin kt（k为实数）的拉 氏变换。 解
Lsin kt
st
0
sin kte dt
st
e k 2 ( s sin kt k cos kt) 0 2 2 s k s k2
在实际工作中，求函数的拉氏变换可通 过拉氏变换表查得。
11
3．拉氏变换的性质
为了叙述方便起见，假定要求拉氏变 换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条 件，并且把这些函数的增长指数都统一地 取为c。以下均设
L f1 (t ) F1 ( s), L[ f (t )] F ( s)
L f 2 (t ) F2 ( s),
实数）。 解
L f (t )
0
e kt e st dt
0
e ( s k )t dt
积分在 Re( s) k 时收敛，且有
0
e
( s k )t
1 dt sk
(Re(s) k )
5
所以 L e
kt
1 sk
2. 拉氏变换的存在定理
一般地，有
f (t ) L n ds ds F ( s)ds s s t s n次
21
sinh t 例 求函数 f (t ) 的拉氏变换。 t 解 因为 1 L sinh t 2 s 1
据象函数的积分性质可知
f (t )e
s L f (t ) f (0)
s
0
f (t )est dt
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
14
推论:
L f ( n) (t ) s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f ( n1) (0)
f ( m) (t ) m!
所以 L m! L f ( m) (t ) s m L f (t ) s m1 f (0) s m2 f (0)
f ( m1) (0)
17
即
而 所以
L m! s m L t m
m! L m! m! L 1 s m! m (Re(s) 0) L t m 1 s
k 2 L cos kt s 2 L cos kt s
s L cos kt s k2
(Re(s) 0)
16
移项化简得
例 求函数 f (t ) t m 的拉氏变换，其中m是正整数 解 由于 而
f (0) f (0) f ( m1) (0) 0
0
(t ) e st dt
t 0
(t ) e st dt e st
1
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例7 求函数 f (t ) e t (t ) e t u(t )( 0) 的拉氏变换。 解
L f (t )
0
0
1 sinh t L s L sinh t ds s s 2 1 ds t
1 s 1 ln 2 s 1
s
1 s 1 ln 2 s 1
22
如果积分
0
f (t ) dt t
存在，在象函数的积分性质公式中取s = 0，则有
12
a. 线性性质 若 , 是常数，则有
L f1 (t ) f 2 (t ) L f1 (t ) L f 2 (t ) ;
-1 1 1 L F1 ( s) F2 (t ) L F1 ( s) L F2 ( s).
25
例 求
L e at t m
Γ (m 1) L t s m 1
m
解 因为
利用位移性质，可得
Γ (m 1) L e t ( s a) m 1
at m
26
例 求
Le
at
sin kt
解 因为
k Lsin kt 2 2 s k 由位移性质得
解 由拉氏变换的定义
L u (t )
0
e st dt
此积分在 Re( s) 0时收敛，且
所以
0
1 st e dt e s
-st
0
1 s
1 Lu (t ) （Re( s) 0） s
4
f (t ) e kt 的拉氏变换（k为 例2 求指数函数
0
sin t 1 dt ds arctan s 0 s2 1 t
0
2
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d．位移性质 若 L f (t ) F (s) ，则有
L e at f (t ) F (s a)
证
(Re(s a) c)
0
L e f (t )
at
19
t f (t )dt 1 F ( s ) c．积分性质 L 0 s
证 设 h(t )
t 0
f (t )dt ，则有
h(t ) f (t ) ，且 h(0) 0
由微分性质，有
L h(t ) s L h(t ) h(0) s L h(t )
§ 拉普拉斯(Laplace) 积分变换
1
一、拉氏变换
1． 拉氏变换的概念 定义 设函数 f (t )当 t 0 时有定义，而且积分 f (t )e st dt （s是一个复参量）
在s的某一域内收敛，则由此积分所确定的函数
0
F ( s)
0
f (t )e st dt
称为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换式（简称拉氏变换式） 记为 F (s) L f (t ) F(s)称为 f (t ) 的拉氏变换（或称为象函数）。
根据定义，利用积分性质就可推出这个性质。 此性质表明：函数线性组合的拉氏变换等于各 函数拉氏变换的线性组合。
13
b． 微分性质
L f (t ) sF (s) f (0)
f (t )est dt
st 0
证 由定义并利用分部积分法得
L f (t )
0
其中
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
F (s) L f (t )
这一公式，常用来计算某些积分。
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例 求积分
0
sin t dt t
1 L sin t 2 s 1
解 因为
且
所以
0
f (t ) dt F ( s )d s 0 t
根据象函数的微分性质
d k 2ks Lt sin kt) s 2 k 2 (s 2 k 2 )2 ds
同理可得，
d s s2 k 2 Lt cos kt) s 2 k 2 (s 2 k 2 )2 ds
可以看出，拉氏变换存在的条件要比 傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函 数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定 存在呢？
6
拉氏变换的存在定理 若函数 f (t ) 满足下列条件：
1 在 t 0的任一有限区间上分段连续；
2 当 t 时，f (t ) 的增长速度不超过某一指数函
数，亦即存在常数M>0及c 0，使得
L f (t τ )
0
0
f (t τ ) e st dt
τ
f (t τ ) e dt
st
f (t τ ) e dt
st
28
由于 t τ 时，f (t τ ) 0 ，所以上式右端第一 个积分为零。对于第二个积分，令 t τ u，则
e
0 t
f (t ) e dt
t
0
st
(t ) e
( s ) t
u(t ) e dt
e ( s ) t dt
st
e
(t )e
t 0
dt
0
( s )t
e
(s ) t
s
s 1 s s
即
t f (t )dt 1 L f (t ) 1 F ( s ) L 0 s s
这个性质表明：一个函数积分后再取拉氏 变换等于这个函数的拉氏变换除以复参数s。 20
重复应用积分性质可得： t t t 1 L dt dt f (t )dt n F ( s) 0 0 0 s n次 此外，由拉氏变换存在定理，还可以得到象函数 的积分性质： f (t ) F ( s )d s L F ( s)ds 或 f (t ) tL 1 s s t
f (t ) Mect ,0 t
成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级 的，c为它的增长指数）。
7
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( s)
0
f (t ) e st dt
在半平面 Re(s) c上一定存在，右端的积分在 Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛，并且在
(Re(s) 0)
同样可得余弦函数的拉氏变换：
s Lcos kt 2 s k 2 (Re(s) 0)
9
例6 求单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换。
解 利用性质：
0
f (t ) (t )dt f (0) ，有
L (t )
(t ) e st dt
(Re(s) c)
特别，当初值 f (0) f (0) f ( n1) (0) 0 时，有
L f (t ) sF (s), L f (t ) s 2 F (s),, L f ( n) (t ) s n F (s)
此性质使我们有可能将 f (t ) 的微分方程转化为F(s)的
2
若F(s)是 f (t ) 的拉氏变换，则称 f (t ) 为F(s)的拉 氏逆变换（或称为象原函数），记为
f (t ) L 1 F (s)
f 可以看出， (t ) (t 0)的拉氏变换，实际上就是
f (t )u(t )e t 的傅氏变换。
3
0, t 0 例1 求单位阶跃函数 u (t ) 的拉氏变换。 1, t 0
代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t ) cos kt 的拉氏变换。 解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t ) k 2 cos kt
由微分性质有 即
L k 2 cos kt L f (t ) s 2 L f (t ) sf (0) f (0)