第二篇积分变换1拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 (1)
傅里叶变换的概念
1．傅里叶级数 定理8.1 设 fT (t ) 是以 T 为周期的实函数,且在
T T 2 , 2 T T 2 , 2
上满足狄氏条件，即在一个周期
上满足：
（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点.
则在连续点处有
a0 f T (t ) (an cos nw0 t bn sin nw0 t ) 2 n1
3.微分性质
(1)导函数的像函数
设 L( f (t )) F ( s), 则有 L( f (t )) sF ( s) f (0)
'
对于高阶导数有
L( f (t )) s F ( s) s
( n) n
n1
f (0) s
n 2
f (0)
( n1)
'
f
(0)
此性质可用来求解微分方程组的初值问题
2 2
4.积分性质 (1)积分的像函数
设L( f (t )) F ( s)，则有
L(
t 0
1 f ( t )dt) F ( s ) s
一般地, 有
L( dt dt
0 0 t t t 0
1 f ( t )dt) n F ( s ) s
(2)像函数的积分
设L( f (t )) F ( s)，则有
sint st 0 t e dt arc cot s sint 如果令 s 0，则有 0 dt t 2
例题启示：
在拉 普拉斯 变换 及其一 些性 质中取 为某 些 特定 值，可以 用来求 些函 一 数的广 义积 分.
0
第二篇积分变换1拉普拉斯变换
j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1
rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|
rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
tf (t ) e d t
st 0
这就表明, F(s)在Re(s) > c内是可微的. 根据复变函数的解析函数理论可知, F(s)在Re(s) > c内是解析的.
14
G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经 常应用的G-函数定义为 利用分部积分公式可证明
Γ (m) e t
u
e
rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1
t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C
O
1
s
m 1
D
1
v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1
BC
u e du
m
u
s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
F ( s)
0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.
积分变换 ppt课件
16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数
复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt
对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换， 对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例 求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
目录 上页 下页 返回 结束
2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作 的.
目录 上页 下页 返回 结束
* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
复变函数与积分变换：第二节拉普拉斯变换的性质
即得 [ f (t)] sF (s) f (0) .
三、微分性质
1. 导数的象函数 性质 [ f (t)] sF (s) f (0);
一般地，有 [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
其中， f (k) (0) 应理解为 lim f (k)(t ). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。
三、微分性质
2. 象函数的导数
性质 F(s) [ t f (t ) ];
一般地，有 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
证明 由 F (s) f (t )estd t 有 0
F (s) d f (t )estd t [ f (t )est ]d t
20
1 (t cos t sin t) . 2
三微分性质象函数的导数性质3224已知再由象函数的导数性质有性质证明积分的象函数性质一般地有再由积分性质得根据微分性质有性质证明启示在laplace变换及其性质中如果取s为某些特定的值就可以用来求一些函数的广义积分
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F(s) [ f (t)], G(s) [ g(t)].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
一、线性性质与相似性质
1. 线性性质 性质
F2 (s) ,
左边
第二章拉氏变换的数学方法
第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。
它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。
拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。
拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。
拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。
这是为了保证积分的绝对收敛性。
拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。
利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。
在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。
假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换, 能够把微分方程变成一个代数方程. 我是例子！
y − y = e−t, t > 0 y(0) = 1, y (0) = 0. 对上式做拉普拉斯变换, 令 Y = L[y(t)], 则
p2Y − py(0) − y (0) − Y =
1 .
p+1
利用初值条件，整理得到
p2 + p + 1
可以写成 ∞
a(n)xn = A(x).
(1.5)
n=0
这样, 上式实际上给出了一个对应关系, 或者叫变换
a(n) A(x).
(1.6)
看两个简单的例子:
a(n) = 1 1
a(n) = n!
1
A(x) =
,
1−x
A(x) = ex.
|x| < 1,
如果我们不是考虑一个整标函数 a(n), 而是一个连续的函数 f (t), 那么对应
∞
L[f (t)] = f (t)e−ptdt.
0
注意到，由分部积分方法可得到
∞
∞
f (t)e−ptdt = p f (t)e−ptdt − f (0) = pL[f (t)] − f (0),
0
0
2
即 那么
L[f (t)] = pL[f (t)] − f (0).
L[f (t)] = pL[(f (t)) ] = pL[f (t)]−f (0) = p(pL[f (t)]−f (0))−f (0) = p2L[f (t)]−pf (0)−f (0).
最后考虑 tn 的拉普拉斯变换
L[tn] =
∞
tne−ptdt
=
1 −
0
p
积分变换--拉普拉斯变换
st 0
1 s
例2. 求函数 f ( t ) e （k为常数）的Laplace变换。
kt
解： L [e ]
kt
kt e 0
e
st
dt
( s k ) t e dt 0
1, t 0 例1. 求单位阶跃函数 u(t ) 的Laplace变换. 0 , t 0
解： L[u( t )] e st dt
0
由于
0
e
st
dt e Re( s )t dt
0
( e a bi e a )
st
当Re(s) 0时, 上式收敛,于是 0 e dt收敛, 而且
1
F1 ( s ) F2 ( s ) f 1 (t ) f 2 (t )
0
证明： L f 1 ( t ) f 2 ( t )
f 1 (t ) f 2 (t )e st d t
f 2 (t ) e st d t
f 1 ( t ) e d t
拉氏变换的性质
一.拉氏变换的性质 二.拉氏逆变换 三.卷积
一.拉氏变换的性质
1. 线性性质 2. 微分性质 3. 积分性质 4. 位移性质 5. 延迟性质 6. 相似性质
1. 线性性质
设 L f 1 ( t ) F1 ( s ) , L f 2 ( t ) F2 ( s ) , , 是常数, 则 L f 1 ( t ) f 2 ( t ) F1 ( s ) F2 ( s ) L
拉普拉斯变换
三、一些常用函数的拉普拉斯变换
公式
1 1. L[u (t )] = (Re p > 0) p 1 − pb L[u (t − b)] = e (Re p > 0) p 1 at 2. L[e ] = (Re p > Re a ) p−a a 3. L[sin at ] = (Re p > Im a ) 2 2 p +a p L[cos at ] = 2 (Re p > Im a ) 2 p +a
(2) L[t sin t ]
5. 积分性
F ( p) L[ f (t )] = F ( p ) ⇒ L[ ∫0 f (u )du ] = , p ∞ f (t ) ∞ −1 若 ∫p F ( ρ )d ρ 存在 ⇒ = L [ ∫p F ( ρ )d ρ ] t f (t ) ∞ ⇔ L[ ] = ∫p F ( ρ )d ρ t
p →∞
f (0) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →0 p →∞
终值定理 若 L[ f (t )] = F ( p ), L[ f ′(t )]与 lim f (t )
t →+∞
存在，则
f (+∞) = lim f (t )= lim pF ( p).
t →+∞ p →0
基本公式
+∞
1 α + i∞ pt ==== ∫α −i∞ F ( p)e dp = f (t )(t > 0) dp = idw 2π i
p =α + iw
二、求拉氏逆变换的方法
1、公式+性质法： 2、留数法：（p181定理）
f (t ) = L [ F ( p )] = ∑ Re s[ F ( p)e , pk ]
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s 是一个复数，称为变换参数。
实际上，s 的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0 时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t 趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0)sF(s)=lim_(t→∞)f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯积分变换
实数）。
解
L f (t)
ektest dt
e (sk )t dt
0
0
积分在 Re(s) k 时收敛，且有
e(sk )t dt
1
0
sk
所以 L ekt 1
(Re(s) k)
sk
5
2. 拉氏变换的存在定理
可以看出，拉氏变换存在的条件要比 傅氏变换存在的条件弱得多。对于一个函 数，满足什么条件时，它的拉氏变换一定 存在呢？
3
例1
求单位阶跃函数 u(t)
0,
t
0
的拉氏变换。
1,t 0
解 由拉氏变换的定义
Lu(t)
est dt
0
此积分在 Re(s) 0时收敛，且
e -st dt 0
1 est s
0
1 s
所以 Lu(t) 1 （Re(s) 0）
s
4
例2 求指数函数 f (t) ekt 的拉氏变换（k为
L f (t) sF (s), L f (t) s2F (s),, L f (n) (t) sn F(s)
此性质使我们有可能将 f (t)的微分方程转化为F(s)的 代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用。
15
例 求函数 f (t) coskt 的拉氏变换。
解 由于
f (0) 1, f (0) 0, f (t) k 2 cos kt
(Re(s) c)
这个性质表明：一个函数求导后取拉氏变换 等于这个函数的拉氏变换乘以参变数s，再减 去函数的初值。
14
推论:
L f (n) (t) snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
拉普拉斯变换积分定理
拉普拉斯变换积分定理拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的一个重要定理，它在求解常微分方程和偏微分方程等数学问题中发挥着重要作用。
该定理将一个函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对该函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。
本文将对拉普拉斯变换积分定理进行详细介绍和解释。
拉普拉斯变换积分定理是以法国数学家拉普拉斯的名字命名的，他在研究变分法和微分方程时首次引入了这一变换。
拉普拉斯变换的定义是一个积分变换，它将一个函数f(t)映射为另一个函数F(s)，其中s是一个复数变量。
通过对f(t)进行拉普拉斯变换，我们可以将一个在时间域上的函数转换为在频率域上的函数，从而更方便地进行分析和计算。
拉普拉斯变换积分定理的表述是：如果一个函数f(t)在区间[0,∞)上是绝对可积的，即其积分收敛，那么该函数的拉普拉斯变换F(s)在复平面的Re(s)>a的区域内是解析的。
这意味着我们可以通过对f(t)进行拉普拉斯变换，将其转化为一个在复平面上解析的函数，从而可以利用复变函数论的工具来研究该函数的性质。
拉普拉斯变换积分定理的证明涉及到复变函数论和积分学的知识，需要对复数的性质和积分的收敛性有深入的理解。
通过对f(t)在区间[0,∞)上的绝对可积性进行分析，我们可以得出F(s)在Re(s)>a的区域内是解析的结论。
这为我们在复平面上对F(s)的性质和行为进行研究提供了理论基础。
拉普拉斯变换积分定理在控制理论、信号处理、电路分析等领域有着广泛的应用。
通过将微分方程转化为代数方程，我们可以更容易地求解复杂的动态系统，并分析系统的稳定性和性能。
在信号处理中，拉普拉斯变换可以将时域信号转化为频域信号，从而方便地对信号进行滤波和分析。
在电路分析中，我们可以利用拉普拉斯变换简化电路的分析过程，从而更好地理解电路的行为和性能。
拉普拉斯变换积分定理是微积分学中的重要定理，它将函数在实数轴上的积分转化为在复数平面上对函数的拉普拉斯变换的积分，从而简化了复杂函数的计算过程。
复变函数与积分变换讲稿 第二章 拉普l拉斯变换
第二章拉普拉斯变换(2)拉普拉斯（Laplace ）变换（简称拉氏变换）在电学、力学、控制论等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。
对某些问题，它比傅氏变换的适用面要广，这是因为它对像原函数)(t f 要求的条件比起傅氏变换来要弱的缘故。
§1 拉普拉斯变换的概念 一、从傅氏变换到拉氏变换傅氏变换要求函数满足狄氏条件，且在),(+∞-∞内绝对可积，但在工程技术中，变量是时间，定义在[]∞,0内，而且，许多常用的函数（例如单位阶跃函数，正弦、余弦，线性函数等），都不满足绝对可积的条件，所以我们对傅氏变换中的被积函数)()(t u t ⨯φ，使其积分定义在[]+∞,0，0)()(,0=⨯<t u t t φ，另外，再乘以指数衰减函数)0(>-σσt e ，使其衰减速度加快，当+∞→t 时，只要σ足够大，则t e t u t t σφ-⨯⨯<)()(,0就能满足绝对可积，因此傅氏变换就转换为拉氏变换。
即 ⎰⎰⎰+∞-+∞+-+∞∞---===00)()()()()()(dt e t f dt e t f dt e e t u t F pt t i t i t ωσωσσφω， 其中 ωσφi p t u t t f +=⨯=,)()()(，令)()(p F ip F =-σσ，则可得 ⎰+∞-=0)()(dt e t f p F pt 称该积分变换为拉普拉斯变换。
二、拉氏变换的概念定义1 设)(t f 为实变量t 的实值（或复值）函数，当0≥t 时有定义，如果积分⎰+∞-0)(dt e t f pt （其中ωσi p +=,为复参数）在p 的某一区域内收敛，则由此积分就确定了一个复变数p 的复函数)(p F ，即⎰+∞-=0)()(dt t f p F pt ，称该积分变换为拉普拉斯变换 （1）记为 [])()(t f L p F =，即 []⎰+∞-=0)()(dt e t f t f L pt ，并称)(p F 为)(t f 的拉氏变换的像函数。
复变函数课件-积分变换2-Laplace变换
Laplace变换可以处理具有初始值的 问题，能够更好地揭示函数的整体性 质；傅里叶变换可以分析信号的频率 成分，便于频域分析和滤波器设计。
05 Laplace变换的进一步研 究
Laplace变换的扩展和推广
广义Laplace变换
在更广泛的函数空间中定义Laplace变换，包括允许有间断点的函 数。
边值问题
Laplace变换在求解某些微分方程的 边值问题时也很有用，可以将复杂的 微分方程简化为更易处理的代数方程 。
在控制系统中的应用
01
02
03
系统稳定性分析
通过Laplace变换，可以 分析控制系统的稳定性， 确定系统是否能够保持稳 定状态。
系统响应分析
利用Laplace变换，可以 计算系统在输入信号下的 响应，从而了解系统的动 态行为。
02
其中，F(s)是f(t)的Laplace变换， f'(t)表示f(t)的导数。
02 Laplace变换的逆变换
定义和性质
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace 变换后的函数进行反演，得到原 函数的过程。
性质
Laplace逆变换具有线性性、时移 性、微分性等性质，这些性质在 求解逆变换时具有重要作用。
系统设计
在控制系统设计中， Laplace变换可以帮助设 计者分析系统的性能指标 ，优化系统设计。
在信号处理中的应用
信号的频域分析
通过Laplace变换，可以将 信号从时域转换到频域， 从而分析信号的频率成分 。
信号滤波和降噪
利用Laplace变换，可以对 信号进行滤波和降噪处理 ，提高信号的纯净度。
离散Laplace变换
将Laplace变换的概念扩展到离散时间序列，用于分析离散数据。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以 d M st et 0 d s f (t ) e d t 0 Mt e d t e 2
由此可见, 上式右端的积分在半平面 Re(s) c1> c内也是绝对收敛且一致收 敛, 从而微分与积分可以交换
13
因此得 d d st F ( s) f ( t ) e d t ds ds 0 d st [ f (t ) e ] d t 0 ds
t 0
t 0
m 1
d t , 0 m
m t 0
G(m 1) e t d t t de
m
t e
m
t 0
e d t e mt
t m t 0 0 t t 0
m 1
dt
mG(m) 而且G(1) e d t e
1 st sin k t e dt sin k t de 0 s 0 1 st st e sin k t k e cos k tdt 0 0 s k s t e cos k tdt 0 s k st st 2 e cos k t k e sin k tdt 0 0 s
26
1 当 m 2
时
1 2
令x = u2，我们有
1 x u 2 G x e dx 2 e du , 0 2 0
这就得
1 u 2 v 2 G 2 e du 2 e dv 2 0 0 2
0
1
15
因此如m为正整数G(m 1) m!
例2.4 求幂函数f(t)=tm (常数m>1)的拉氏积 分 m st
0
t e dt
为求此积分, 若令st =u, s为右半平面内任一复 数, 则得到复数的积分变量u（u为复数）. 因 此, 可先考虑积分
R
0
t e dt
F ( s)
0
f (t ) e st d t
在半平面Re(s )>c上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, f(s)为解析函数.
10
Mect f(t) M
O
t
11
证 由条件2可知, 对于任何t 值(0 t < ), 有 |f (t) est|=|f (t)|ebt Me(bc)t, Re(s)=b, 若令bc e>0 (即b c +e =c1>c), 则 |f(t)est|Meet. 所以
m st
sR
0
u u d u e s s u e du
m u
m
1 s
j
m 1 0
sR
再设s re ,
2
2
16
积分路线是OB直线段, B对应着 sR=rRcos+jrRsin, A对应着rRcos, 取一 很小正数e, 则C对应se=recos+jresin, D对应recos. 考察R, e的情况. 虚轴
u
e
rR cos
u
r cos m
R
e 0
s
m 1
t e dt
t
G (m 1)
s
m 1
19
虚轴
B
C
O
1
s
m 1
D
1
v A
u e du
m
u
t (实轴)
1
m 1
BC
u e du
m
u
s s s 1 m u G (m 1) R m1 u e d u m 1 0 s s e 0
第二篇
第 2章
内容要点
积分变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的概念
拉普拉斯逆变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的应用
1
教学要求
正确理解拉普拉斯变换的概念，知道拉氏变换的 存在定理，会求一些常用函数的拉普拉斯变换， 正确理解拉氏变换的线性、微分、积分、位移及 延迟性质，了解初值定理与终值定理以及它们在 计算拉氏变换中的应用。会用部分分式的方法及 查表的方法求拉氏逆变换。掌握拉氏变换的卷积 性质，会利用这一性质求一些函数的拉氏逆变换。 会用拉普拉斯变换方法求解线性微分方程及微分 方程组。 重点：拉普拉斯变换的概念、性质、应用。 难点拉普拉斯变换存在定理的证明。
B
C
O
D
v
A
t (实轴)
17
虚轴
B
C
O
1
s
m 1
D
u
v A
t (实轴)
根据柯西积分定理, 有
1 u e d u sm DABCD
m
DA
AB BC
CD
0
18
虚轴
B C
O
1 s
m 1
D
m
1 s 1
m 1
A
v
t (实轴)
u e du
m
DA
u e du
m 1
j
rR cos j rR sin
rR cos
u e du ( rR cos j v ) m d v
m
u
s
m 1
rR sin
0
e
( rR cos j v )
1 m 1 |s|
rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v
（其中α为任意复数） 解 根据定义，
0
e e dt e
t
st 0
s t
dt ,
当 s 时，该积分收敛，且
0
e
s t
1 dt , s
7
例2.3 求正弦函数 f (t ) sin k t 解
st
(k R) 的复频函数
0
f (t ) e
st
dt M e dt
e t 0
M
e
根据含参量广义积分的性质可知, 在 Re(s) c1 > c上拉氏变换的积分不仅绝 对收敛而且一致收敛.
12
在下式的积分号内对s求导, 则
d st st 0 d s f (t ) e d t 0 tf (t ) e d t st ( b c )t et 而 | tf (t ) e | Mt e Mt e
4
2.1.1 拉普拉斯积分
1. 拉普拉斯积分的概念
若时间函数 f(t) 在 t > 0 有定义，则 f(t) 的 拉普拉斯积分的含复参变量s的广义积分为
F ( s) f (t )e st dt
0
复频函数
复频率
可以预见，上述积分是收敛的。
5
例2.1 求单位阶跃函数的拉普拉斯积分
e e 0 0 即 0 0
CD
25
故 1 m t 1 m u t e d t m 1 u e d u 0 m 1 0 0 s s 1 m u 1 m t 即 m 1 u e d u m 1 t e d t 0 0 s s G(m 1) s m 1 G(m 1) m st 0 t e d t s m1 (Re( s) 0) m! m st 当m为正整数时, t e d t m 1 (Re( s ) 0) 0 s
2
2.1 拉普拉斯变换的概念
由上章可知，需进行傅氏变换的函数应满足傅氏积分 存在定理的两个条件，即(1)在任一有限区间上满足狄利克 雷条件；(2)在无限区间 (, )上绝对可积．而傅氏变换 存在两个缺点． 缺点 1 ：条件 (2) 过强．在实际应用中，许多函数不能 满足条件(2)． [案例]单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等，虽满足狄 利克雷条件，但非绝对可积．因此，对这些函数就不能进行 古典意义下的傅氏变换．尽管在上一节里，通过引入δ 函数， 在广义下对非绝对可积函数进行了傅氏变换，但δ 函数使用 很不方便.
22
1 m 1 |s|
rR |sin |
0
|e
rR cos
m ( rR cos j v) | d v m 2
1 m 1 |s|
rR |sin |
0
e
rR cos
2 ( r R cos v ) dv 2 2 2
23
2 令 v rR cos tan , d v rR cos sec d | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d 上式 m 1 0 e |s| | | 1 rR cos m 1 m2 ( rR cos ) sec d m 1 e 0 |s|
st
1 1 1 s 2 2 2 s jk s jk s k
(Re( s) Re( s) .对实的k这表示 Re( s) 0 ）9
2. 拉普拉斯积分存在定理
定理2.1 若函数f(t)满足: 1, 在t 0的任一有限区间上分段连续 2, 当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数 函数, 即存在常数M >0及c0, 使得 |f(t)| M ect, 0t< 则f(t)的拉普拉斯积分