积分变换第1讲

sin nwt cos m wt d t 0 sin nwt sin m wt d t 0
T 2 T 2

T 2 T 2

cos nwt cos m wt d t 0 ( n, m 1,2,3, , n m ),
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...的函数的长度计 算如下:
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内 的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变
化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里
叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
念. 两个函数f和g的内积定义为:
[ f , g ] T f (t ) g (t ) d t
2
T 2
一个函数f(t)的长度为
|| f || [ f , f ]

T 2 T 2

f 2 (t ) d t
而许瓦兹不等式成立 : [ f , g] f g 即 T f ( t ) g( t ) d t
f (t 8n),

2 2
1
T=8
7
t
则
1 T2 jw n t cn T fT ( t )e dt T 2 1 4 1 1 jw n t jw n t f 8 ( t )e dt e dt 8 4 8 1 1 1 1 jw n t jw n jw n e e e 8 jw n 8 jw n 1 1 sin w n 1 sinc(w n ) ( n 0,1,2, ) 4 wn 4
1
2 1 T d t T
2 T 2 T 2
1 cos 2nwt T cos nwt T cos nwt d t T dt 2 2 2 2
2
T 2
1 cos 2nwt T sin nwt T sin nwt d t T dt 2 2 2 2
T 2
2
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即 T T 2 2 a0 T2 fT ( t ) sin nwt d t T2 2 sin nwt d t
a m T cos m wt sin nwt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin m wt sin nwt d t
最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=A sin(wt+j) 其中w=2π/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列 的三角函数的线性组合来逼近.
n 1

jw n t
c n e
jw n t
c e
n n
jw n t
给定fT(t), cn的计算如下:
a0 1 c0 2 T

T 2
T 2
fT ( t ) d t
a n jbn 1 T2 当n 1时cn T fT ( t ) cos nwt d t 2 T 2 T 1 2 j T fT ( t ) sin nwt d t T 2 1 T2 T fT ( t )[cos nwt j sin nwt ] d t T 2 1 T2 T fT ( t )e jnwt d t T 2
a0 a n j bn j nwt a n j bn j nwt e e 2 2 2 n 1
如令wn=nw (n=0,1,2,...)
a0 且令c0 , 2 a n jbn cn , n 1,2,3, 2 a n jbn c n , n 1,2,3, 2 f T ( t ) c0 c n e
sinc(x)
x
前面计算出
1 cn sinc(w n ) ( n 0,1,2,) 2 2 n w n nw n , 可将cn以竖线标在频率图上 T 2
w
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周期 为8 的周期函数f8(t)
f 8 (t )
n
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也 构成一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算 上也构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线
性空间的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也
可以在此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元
素(即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概
f 4 (t )
n
f (t 4n),

2 2 n w , w n nw T 4 2 2
f4(t)
1
T=4
1
3
t
则
1 jw n t cn T fT ( t )e dt T 2 1 2 1 1 jw n t jw n t f 4 ( t )e dt e dt 4 2 4 1 1 1 1 jw n t e e j w n e jw n 4 jw n 4 jw n 1 1 sin w n 1 sinc(w n ) ( n 0,1,2, ) 2 wn 2
2 T 2 T 2 T 2 T 2


f 2 (t ) d t
2 g T (t ) d t
2
这样可令 [ f , g] cos 是f , g间的夹角余弦 , f g 则如果 [ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系 1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ..., cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w =2π/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt的线 性组合. 当nm 时,
积分变换
第 1讲
傅里叶(Fourier)级 数展开
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而 变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T 代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).

T 2
T 2
f T ( t ) cos nwt d t

T 2

T 2 T 2

a0 cos nwt d t 2
a m T cos m wt cos nwt d t
m 1 n
2
bm T sin m wt cos nwt d t
m 1
2
T 2
T a n T cos nwt d t a n 2 2 2 T 即 a n 2T f T ( t ) cos nwt d t T 2
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
e jj e jj e jj e jj 由cos j , sin j j 得: 2 2 a0 fT ( t ) 2 e j nw t e j nw t e j nw t e j nw t a n j bn 2 2 n 1
而 an j bn 1 j nw t c n cn T fT ( t )e dt 2 T 2 因此可以合写成一个式 子 T 1 2 jw n t cn T fT ( t )e dt ( n 0,1,2,) T 2
T 2
fT ( t )
n
c e
T j( n m ) d 0 T2 e e d t 2 e 2t 2 d t T 其中 wt , 则d ,d t d T T 2
T 2
j nw t j m w t
这是因为
e


j( n m )
1 j( n m ) d e j( n m ) 1 j( n m ) j( n m ) [e e ] j( n m ) 1 j( n m ) j 2 ( n m ) e [e 1] 0 j( n m )

由此不难验证

T 2 T 2

cos nwt d t 0 sin nwt d t 0
( n 1,2,3, ), ( n 1,2,3, ), ( n, m 1,2,3, ), ( n, m 1,2,3, , n m ),
T 2 T 2

T 2 T 2
T 2


sinc函数介绍
sinc 函数定义为 sin x sinc( x ) x 严格讲函数在 x 0处是无定义的 , 但是因为 sin x lim 1 x 0 x 所以定义sinc( 0) 1, 用不严格的形式就写作 sin x 1, 则函数在整个实轴连续 x x0
sinc函数的图形:
T 2
2
T 2
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示为三 角级数的形式如下:
a0 fT ( t ) (a n cos nwt bn sin nwt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算 [ f T ,1], 即

T 2 T 2

fT ( t ) d t