积分变换第1讲

方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
5
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函
数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可 以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷
(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
积分变换
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
a0 2
(an cos nwt bn sin nwt)
n =1
(1.1)
为求出 a0 , 计算[ fT ,1], 即
T
2 -T
fT (t) d t =
2
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n =1
T
2 -T
cos
nwt
d
t
bn
2
T
2 sin nwt d t) =
-T 2
a0 T 2
即
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t =
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
-T
-T
2
2
cos = [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦
,
f g
则如果 [ f , g ] = 0 称为 f 与 g 正交 .
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
数.
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f (t) = tgt
存在第二类间断点
f (t) =sin(1t)
在靠近 0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变
化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
cosnwt =
T
2 cos2 nwtdt =
T 2
1cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt =
T
2 sin2 nwtdt =
THale Waihona Puke Baidu2
1-cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示
为三角级数的形式如下:
fT
(t )
=
11
这是因为
p e j(n-m ) d =
1
p
e j(n-m )
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m )p - e - j(n-m )p ]
j(n - m)
=
1
e - j( n - m )p [e j2 ( n - m )p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ipk = c2 o k s is2 ikn = 1
cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt 的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwtejmwtdt
=T
pej(n-m)d
=0
-T 2
2 -p
其中 =wt=2T pt,则 d=2pTdt,dt=2Tpd
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t =
T 2
a0
sin
(n, m = 1,2,3, , n m ),
T
2 cos nwt cos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f ||= [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T