积分变换第1讲
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第六章积分变换法1nx
重复以上过程便可以得到证明
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
（6）积分性质
x 1 F f d F f x x0 i
（7）卷积定理
F f1 x f 2 x F f1 x F f 2 x
其中：
二、傅立叶变换：
由
1 f x 2
f e i d ei x d
令：
G f x e
i x
dx
（1）
则：
1 f x 2
G e d
i x
（2）
为此，我们定义：（1）式为傅立叶变换，（2）式为傅立叶逆 变换
它表明函数f（x）沿 x 轴位移 x0，相当于它的傅立叶变换乘以因 子
f x x0 e
i ( x x0 )
d ( x x0 )
ei x0 。同样，傅立叶逆变换也具有类似的位移性质，即
（3）延迟性质
F e
证明：由定义有
i0 x
f x G 0
证明：由定义和分部积分法有
F f ' x
f x e
f ' x ei x dx
i x i x f x i e dx
因为当 | x | 时， f x 0
，因此
F e
i0 x
i0 x i x f x e f x e dx i 0 x f x e dx G 0
（4）相似性质 : 设 a 为不为零的常数
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数
点z1，z2之间的距离. 利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.
假设
，则由式（1.5）可得
于是
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复变函数与积分变换
出版社 理工分社
由此可知：
①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两个复数乘积的辐角等于
它们各自辐角的和；
②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐
显然z和 是关于实轴
图1.6
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复变函数与积分变换
例1.6设 解因为
所以
，试求Re z，lm z和
出版社 理工分社
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复变函数与积分变换
例1.7求证:若|a|=1，则
证由
得
出版社 理工分社
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复变函数与积分变换
例1.8设复数
满足条件
求证
是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的顶点.
页 退出
复变函数与积分变换
出版社 理工分社
定义1.4设 为一点集，
如果对
，点集
是无穷点
集，则称z0为E的聚点或极限点，E的聚点全体通常记为E′；若
,但
则称z0为E的孤立点；若
，使得
，则称z0为E的外点.
定义1.5若点集E能完全包含在以原点为圆心，以某一个正数R为半径的圆域
内部，则称E为有界集，否则称E为无界集.
求其第三个顶
点.
解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转
得另一个向量，其终点就是所
求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得
图1.3
图1.4
页 退出
复变函数与积分变换
所以 类似可得
出版社 理工分社
积分变换.ppt
L [ekt ] 1 (P145) sk
1
f (t ) L 1[F (s)]
t
24
有
f
(t
)
1 t
L
1
1[
s1
1] s1
1 (et et ) 1 (et et )
t
t
积分性质 1
设Ff(s()t )=L[ tf(Lt)],1则[F有(s)]
t
2t
解 L [ sht ] =L [1 et 1 et ] 22
1 ( 1 1 ) F(s) 2 s1 s1
由像函数的积分性质, 有 L [ekt ] 1
f (t)
sk
L [ t ] s F (s)ds
27
sht 1 1 1
L
[
t
]
2 s
( s1
但在工程实际应用中, 许多以时间t 作为自 变量的函数往往在 t 0时是无意义的或者 是不需要考虑的. 这样的函数都不能取傅 氏变换. 因此, 傅氏变换的应用范围受到相 当大的限制.
对这些函数f(t)能否经过适当地改造, 使其 进行傅氏变换时克服上述两个缺点呢？ 答案是可以的, 就是拉普拉斯变换.
L [ t f (t)dt] 1F (s)
0
s
此外, 我们还有象函数的积分性质
L [ f (t)]
f (t ) est dt
F (s)ds
t
0t
s
26
或
f(t) = tL 1[ F (s)ds] s
例 求 f (t ) sht et et 的拉氏变换
积分变换第1讲
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
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2
ibn
,
cn
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ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
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24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
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2
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
复变函数与积分变换第1章
*
复数 复平面点集 扩充复平面及其球面表示
第一章 复数和复平面
*
§1.1 复数
1.复数的概念
在实数范围, 方程 x2=-1是无解的. 引进一个新数i, 称为虚数单位, 并规定 i2 =-1 从而i是方程x2=-1的一个根. 对于任意二实数x,y, 称z=x+iy或z=x+yi为复数, x,y分别称为z的实部和虚部, 记作 x=Re(z), y=Im(z)
汇报人姓名
*
在复平面上, 复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应, 因此复数z也能用向量OP来表示. 向量的长度称为z的模或绝对值, 记作
O
x
y
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*显然, 下列各式成立来自Oxy
x
y
q
P
z=x+iy
|z|=r
*
在z0的情况, 以正实轴为始边, 以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的幅角, 记作 Arg z=q 这时, 有
上述结论可简明地表示为
*
乘幂 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn
zn=rn(cos nq+isin nq). (1.14)
如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式).
(cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.15)
则对任意正整数n, 我们有
如果E内的每个点都是它的内点, 则称E为
开集。
01
03
02
平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列 两个条件: 1) D是一个开集; 2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.
积分变换第一章
变换域分析
从本章开始由时域转入变换域分析
频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为j 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z
傅里叶变换
首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面 的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进 行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组 合。
单位时间振动的次数,单位是赫兹(Hz).
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
实际上,所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
2
w 为 求 出 a n ,计 算 [ f T ,c o s n t ] ,即
T
2 T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
T 2
a0
cos
2 T 2
nwtd t
T
am
2 cos
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
n
T
bm
2 sin
T
m w t cos
nwtd t
m 1
2
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nwt d t(n
1, 2,
2
)
bn
2 T
T
2 T
fT (t) sin nwt d t(n
高等数学复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数
第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。
复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。
2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。
作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。
3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。
向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。
复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。
积分变换 PPT
z → z0
lim f ( z ) = ∞ .
z = 0 是二级极点 z = −2 是一级极点 是二级极点, 是一级极点.
10
2)极点的判定方法 极点的判定方法 (1) 由定义判别
f (z ) 的洛朗展开式中含有 z − z 0 的负幂项为有 限项 限项.
(2) 由定义的等价形式判别
g( z ) 在点 z0 的某去心邻域内 f ( z ) = ( z − z0 ) m
的邻域内解析, 其中 g (z ) 在 z0 的邻域内解析 且 g ( z0 ) ≠ 0.
lim (3) 利用极限 z z f ( z ) = ∞ 判断 . →
0
11
课堂练习
1 求 3 级数. 的奇点, 如果是极点, 的奇点 如果是极点 指出它的 级数 2 z − z − z+1
答案
1 1 , 由于 3 = 2 2 z − z − z + 1 ( z + 1)( z − 1)
lim (2) 判断极限 z→ z f ( z ) : 若极限存在且为有限值 若极限存在且为有限值, →
→
0
则 z0 为 f (z ) 的可去奇点 的可去奇点.
6
例3
sin z 1 2 1 4 中不含负幂项, = 1 − z + z − L 中不含负幂项 z 3! 5!
sin z z=0是 的可去奇点 . z
9
说明: 说明 (1)
g ( z ) = c− m + c− m +1 ( z − z0 ) + c− m + 2 ( z − z0 ) 2 + L
特点: 特点
1. 在 z − z 0 < δ 内是解析函数 2. g ( z0 ) ≠ 0
积分变换第1讲
的频谱图. 解： F ( )
f ( t )e i t dt
a 2e i t dt
E e i t i
a sin . 2 2E
24
频谱为 | F ( ) | 2 E | sin a | .
i
i
.
a0 fT ( t ) 2 e i n t e i n t e i n t e i n t a n ibn 2 2 n 1 a0 a n ibn i n t a n ibn i n t e e . 2 2 2 n 1
则在连续点处，有
6
a0 fT (t ) ( a n cos n t bn sin n t ). (1 ) 2 n 1
其中
2 a0 T 2 an T 2 bn T
T 2 T 2
fT ( t ) d t ,
2 , T
T 2
T 2 T 2
f T ( t ) cos nt dt ( n 1,2, ), f T ( t ) sin nt dt ( n 1,2, ).
所以 | F ( ) | f ( t ) cos tdt f ( t ) sin tdt , 显然有 | F ( ) || F ( ) | .
2 2
F ( )的 辐 角 arg F ( ) 称 为 f ( t ) 相 角 频 谱 .
记为
这里f (t )是要变换的函数， 原像函数； F ( )是变换后的函数， 像函数； K (t , )是一个二元函数， 积分变换核 .
2
积分变换第1讲
c e
n n
jw n t
给定fT(t), cn的计算如下:
a0 1 c0 2 T
T 2 T 2
fT (t ) d t
an jbn 1 T2 当n 1时cn T fT (t ) cos nwt d t 2 T 2 T 1 2 j T fT (t ) sin nwt d t T 2 1 T2 T fT (t )[cos nwt j sin nwt ] d t T 2 1 T2 T fT (t )e jnwt d t T 2
s 0 0 s
3、Fourier余弦变换式
f (t ) f ( ) coswd coswtdw p 00 2
F (ω) f ( t ) cos ωt d t 2 则 f ( t ) F (ω) cos ωt d ω π
c 0 0 c
1 f (t ) 2p f ( )e iw d eiwt dw
F (w )
f (t )e iwt dt
(1.8)
1 iwt (1.9) f (t ) F ( w ) e d w 2p (1.8)式叫做f(t)的Fourier变换式, (1.9)式为F(w)
（2）Fourier余弦积分公式
f (t ) f ( ) coswd coswtdw p 00 2
函数的图形为 f(t)
1
1
o
1
t
例1.求f (t ) 1 | t | 1,的Fourier 积分表达式
0 | t | 1 是偶函数，根据上面的结果有 2 f (t ) f ( ) cos w d cos wt d w 0 p 0 2 1 cos w d cos wt d w 0 p 0 2 sin w cos wt d w
积分变换 ppt课件
积分后可得
取逆变换可得
满足初始条件
15
例 求方程 的解。
解
满足初始条件
为确定常数C，令 代入，有
故方程满足初始条件的解为
16
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
解设 对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
17
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为 的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。
由象函数的微分性质可知
从而
10
例3 求方程 的解。
解 设方程的解 对方程的两边取Laplace变换，
满足初始条件 且设
亦即
又由初始条件，代入整理化简后可得
11
例3 求方程 的解。
解 这是可分离变量的一阶微分方程，即
分方程
代数方程
4
例1 求方程 的解。
满足初始条件
解 设方程的解
且设
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数
5
例1 求方程 的解。
解
满足初始条件
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数 为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，
20
例 求方程 解设
的解。 ，原方程可写为
对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
因此方程的解为
21
例8 求解方程组
满足初始
取逆变换可得
满足初始条件
15
例 求方程 的解。
解
满足初始条件
为确定常数C，令 代入，有
故方程满足初始条件的解为
16
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
解设 对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
17
例4 求方程 的解，其中h(t)，f (t)为定义在[0,+∞)上的实值函数。
对于某些变系数的微分方程，即方程中每一项为 的形式时也可以用Laplace变换的方法求解。
由象函数的微分性质可知
从而
10
例3 求方程 的解。
解 设方程的解 对方程的两边取Laplace变换，
满足初始条件 且设
亦即
又由初始条件，代入整理化简后可得
11
例3 求方程 的解。
解 这是可分离变量的一阶微分方程，即
分方程
代数方程
4
例1 求方程 的解。
满足初始条件
解 设方程的解
且设
对方程的两边取Laplace变换，又由初始条件，得
这是含未知量 Y (s)的代数方程，整理后解出Y (s)，得
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数
5
例1 求方程 的解。
解
满足初始条件
这便是所求函数的Laplace变换，取其逆就可得所求函数 为了求Y(s)的逆变换，将它化为部分分工的形式，
20
例 求方程 解设
的解。 ，原方程可写为
对方程的两边取Laplace变换，由卷积定理可得
所以
因此方程的解为
21
例8 求解方程组
满足初始
积分变换 课件-课件
bnT 2 T 2 T 2fT(t)sin n td(tn1,2,3, )
在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为
1 2f(t00)f(t00) (二)付氏级数的复指数形式
fT(t) Cnjewnt n (三)付氏积分
任何一个非周期函数f (t)都可以看成由某个周期
函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。 即 Tl im fT(t)f(t)
sin x d x sinc( x ) d x
0x
0
2
另 外 ， 由 F = 2 s i n 可 作 出 频 谱 图 :
F 2 k s i n 0
2 3
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t 0 的 傅 氏 变 换 及 其 t 0
积 分 表 达 式 ,其 中 0 .
ejn t co n stjsin n t (1.3.8)
e j n t cn o t s jsn itn ( 1 .3 .9 )
co nts1(ej nt ej nt) (1 .3 .1)0 2
sin nt1(ej ntej nt) (1.3.1)1
2j
2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲
上满足狄利克莱（DirichL et）条件，如果它满足条
件： ⑴ 在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一
类间断点；
⑵ f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。
从T为周期的周期函数fT(t)，如果在
T 2
,
T2上 满
足狄利克雷条件，那么在
T 2
,
T上2 fT(t)可以展成付
氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形成为
数理方法-第一章-积分变换
2.1.2 复数形式的傅立叶级数
从复变函数的知识中， 我们知道， 由欧拉公式， 三角函数与复指数函数有着密切的联系：
eiθ = cos θ + i sin θ, (2.9)
因此， 我们可以进一步来构造复数形式的傅立叶级数。 将上述欧拉公式代入（2.3 ）式中的傅立叶级数中， 得 ) ∞ ( ∑ kπx kπx f (x) = ak cos + bk sin l l k=0 ( ) kπx kπx kπx kπx ∞ ∑ ei l + e− i l ei l − e− i l = ak + bk 2 2i k=0 ( ) ∞ ∑ ak − ibk kπx ak + ibk −i kπx l = ei l + e 2 2 k=0 因此， 我们可以将上式归纳为
f (x) =
∞ ∑ k=−∞
ck ei
kπx l
,
其中的展开系数可如下求得：
ck = 1 2l ˆl
−l
0 ˆ ˆl x kπx kπx x kπx 1 1 − (−1)k e−1 e l e−i l dx + e− l e−i l = f (x)e−i l dx = , 2l 1 + k2 π2
f (x) = a0 + 1 l ˆl f (x) dx,
0 ∞ ∑ k=1
ak cos
kπx , x ∈ [0, l] l 2 ak = l ˆl f (x) cos
0
a0
=
kπx dx. l
(2.20)
注意以上有限区间傅里叶级数展开系数表达式中的积分区间和积分号前面的系数。
F (x) =
∞ ∑ k=1
bk sin
积分变换第一章
−
cos nω t d t = ∫ T sin nω t d t = 0 ( n = 1, 2, 3,L),
− 2 T 2
T 2
T ∫−T2 sin nω t d t = ∫−T2 cos nω t d t = 2 ( n = 1, 2, 3,L),
2 2
T 2
∫ ∫ ∫
T 2
T − 2 T 2 T 2
+∞
此公式称为函数 f(t)的Fourier积分公式.
三. Fourier积分定理
定理 若f(t)在(−∞, +∞)上满足条件: 1, f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2, f(t)在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积, 则有
f (t + 0) + f (t − 0) 而左端的f (t )在它的间断点t处, 应以 来代替. 2
π
1
0 +∞
+∞ = ∫ ∫ ( f (τ )cos ωτ cos ωt + f (τ )sin ωτ sin ωt )dτ d ω −∞ π 0 τ的偶函数 τ的奇函数 2 +∞ +∞ = ∫ ∫ f (τ )sin ωτ sin ωt dτ d ω 0 π 0
T →+∞
lim fT (t ) = f (t )
结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T→∞时转化而来的.
由公式 1 +∞ T2 fT (t ) = ∑ ∫ T fT (τ )e− jωnτ dτ e jωnt T n=−∞ − 2 可知
1 f (t ) = 2π
+∞ f (τ )e − jωτ dτ e jωt d ω ∫−∞ ∫−∞
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cos nwt, sin nwt, ... 是两两正交的, 其中w=2p/T, 这是因为 cos nwt和sin nwt都可以看作是复指数函数ejnwt 的线性组合. 当nm时,
p T 2
ejnwtejmwtdt
=T
pej(n-m)d
=0
-T 2
2 -p
其中 =wt=2T pt,则 d=2pTdt,dt=2Tpd
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t =
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t =
T 2
a0
sin
11
这是因为
p e j(n-m ) d =
1
p
e j(n-m )
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m )p - e - j(n-m )p ]
j(n - m)
=
1
e - j( n - m )p [e j2 ( n - m )p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ipk = c2 o k s is2 ikn = 1
cosnwt =
T
2 cos2 nwtdt =
T 2
1cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt =
T
2 sin2 nwtdt =
T 2
1-cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示
为三角级数的形式如下:
fT
(t )
=
数.
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f (t) = tgt
存在第二类间断点
f (t) =sin(1t)
在靠近 0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变
化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
(n, m = 1,2,3, , nos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
a0 2
(an cos nwt bn sin nwt)
n =1
(1.1)
为求出 a0 , 计算[ fT ,1], 即
T
2 -T
fT (t) d t =
2
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n =1
T
2 -T
cos
nwt
d
t
bn
2
T
2 sin nwt d t) =
-T 2
a0 T 2
即
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
-T
-T
2
2
cos = [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦
,
f g
则如果 [ f , g ] = 0 称为 f 与 g 正交 .
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
积分变换
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f ||= [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
5
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函
数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可 以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷
(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函
p T 2
ejnwtejmwtdt
=T
pej(n-m)d
=0
-T 2
2 -p
其中 =wt=2T pt,则 d=2pTdt,dt=2Tpd
a0
=
2 T
T
2 -T
fT (t) d t
2
15
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t =
T 2
a0
cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t cos
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t cos
2 - T 2
nwtd t
T
am
2 cos
-T
m w t sin
nwtd t
m =1
2
n
T
bm
2 sin
-T
m w t sin
nwtd t =
m =1
2
= a n
T
2 cos
-T 2
2 nwt d t =
T an 2
即
an
=
2 T
T
2 -T
f T ( t ) cos
2
nwtd t
16
同理, 为求bn, 计算[fT(t), sin nwt], 即
T
2 -T
f T ( t ) sin
2
nwtd t =
T 2
a0
sin
11
这是因为
p e j(n-m ) d =
1
p
e j(n-m )
-p
j(n - m)
-p
=
1
[e j(n-m )p - e - j(n-m )p ]
j(n - m)
=
1
e - j( n - m )p [e j2 ( n - m )p - 1] = 0
j(n - m)
p p e 2 ipk = c2 o k s is2 ikn = 1
cosnwt =
T
2 cos2 nwtdt =
T 2
1cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
sinnwt =
T
2 sin2 nwtdt =
T 2
1-cos2nwt
dt
=
T
-T 2
-T 2
2
2
14
因此, 任何满足狄氏条件的周期函数fT(t), 可表示
为三角级数的形式如下:
fT
(t )
=
数.
6
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
第一类间断点
7
不满足狄氏条件的例:
f (t) = tgt
存在第二类间断点
f (t) =sin(1t)
在靠近 0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变
化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些.
12
由此不难验证
T
2 cos nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt d t = 0 -T 2
(n = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt cos mwt d t = 0 -T 2
(n, m = 1,2,3, ),
T
2 sin nwt sin mwt d t = 0 -T 2
8
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全体也构成
一个集合, 这个集合在通常的函数加法和数乘运算上也
构成一个线性空间V, 此空间的向量就是函数, 线性空间
的一切理论在此空间上仍然成立. 更进一步地也可以在
此线性空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素(即
函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交的概念. 两个
(n, m = 1,2,3, , nos mwt d t = 0 (n, m = 1,2,3, , n m ), -T 2
13
而1, coswt, sinwt, ..., cos nwt, sin nwt, ...
的函数的长度计算如下:
T
1 = 2 12 dt = T -T 2
a0 2
(an cos nwt bn sin nwt)
n =1
(1.1)
为求出 a0 , 计算[ fT ,1], 即
T
2 -T
fT (t) d t =
2
T 2
a0
dt
2 -T 2
(an
n =1
T
2 -T
cos
nwt
d
t
bn
2
T
2 sin nwt d t) =
-T 2
a0 T 2
即
T
2 f 2 ( t ) d t 2 g 2 ( t ) d t
-T
-T
2
2
cos = [ f , g ] 是 f , g 间的夹角余弦
,
f g
则如果 [ f , g ] = 0 称为 f 与 g 正交 .
10
而在区间[-T/2,T/2]上的三角函数系
1, coswt, sinwt, cos 2wt, sin 2wt, ...,
积分变换
1
傅里叶(Fourier)级 数展开
2
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随
时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
函数f和g的内积定义为:
T
[f,g]= 2 f(t)g(t)dt -T 2
9
一个函数f(t)的长度为
|| f ||= [ f , f ] = 而许瓦兹不等式成立 [f,g] f g
T
2 f 2 (t) d t -T 2
:
T
即 2 f ( t ) g ( t ) d t -T 2
这样可令
T
3
最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T
t
而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt
4
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用 一系列的三角函数的线性组合来逼近.
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
5
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内
的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函
数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可 以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷
(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函