实变函数论课后答案第二章1

实变函数论课后答案第二章1
第二章第一节
1.证明'0p E ∈的充要条件是对于任意含有0p 的邻域()0,N p δ（不一定以0p 为中心）中，恒有异于0p 的点1p 属于E （事实上这样的1p 其实还是有无穷多个）而0p 为E 的内点的充要条件则上有含有0p 的邻域()0,N p δ（同样，不一定以0p 为中心）存在，使()0,N p E δ⊂. 证明：先设'0p E ∈，则()00,,N p E δδ∀> 中有无穷多个点。

现在设()00,p N p δ∈，这表明()00,p p ηρδ≤=<，
故()0,y N p δη∀∈-，有()()()00,,,y p y p p p ρρρδηηδ≤+<-+= 故()()0,,N p N p δηδ-⊂
故()0,N p E δη- 有无穷个点，自然有异于0p 的点()10,p N p E δη∈-
(),N p δ⊂.这就证明了必要性，事实上，(){}00,N p E p δη-- 是无穷集，故()
,N p δ
中有无穷多个异于0p 的E 中的点.
反过来，若任意含有0p 的邻域(),N p δ中，恒有异于0p 的点1p 属于E ，则0δ∀>， (),N p δ中，有异于0p 的点1p 属于E ，
记()101,p p ρδ=，则显然1δδ<
由条件()01,N p δ中有异于0p 的点2p E ∈，()2021,p p ρδδ=<
由归纳法易知，有{}11,1,2,,n n n n δδδδ+∀=<<< 和()01,n n p E N p δ-∈ ，
0,1,2,n p p n ≠=
这表明()0,N p δ中有无穷个E 中的点.由0δ>的任意性知，'0x E ∈
若0p 为E 的内点，则0,δ∃>使()0,N p E δ⊂，故必要性是显然的. 若存在邻域(),N p E δ⊂，使()0,p N p δ∈，则从前面的证明知 ()()()00,,,N p p p N p E δρδ-⊂⊂，故0p 为E 的内点.
2.设1
n
R R =是全体实数，1E 是[]0,1上的全部有理点，求'
11,E E .
解：[]0,1x ∀∈，由有理数的稠密性知，()()0,,,N x x x εεεε∀>=-+中有无穷个1E 中的点，故'1x E ∈，故[]'
10,1E ⊂.
而另一方面，[]0,1x ∀∉，必有0δ>，使()[]0,0,1N x δ=∅ ，故'01x E ∉ 故[]'
10,1E ⊂，所以[][]'
10,10,1E ⊂⊂.
表明[]'
10,1E =
而[][]'
11110,10,1E E E E ===
故[]'
110,1E E ==.
1. 设2n R R =是普通的xy 平面(){}222,;1E x y x y =+<，求'22,E E . 解：(){}'222,;1E x y x y =+≤
事实上，若()'
0002,p x y E =∈，则由于()2
2
,f x y x y =+是2R 上的连续函数，必存在
0δ>，使()()0,,x y N p δ∀∈有()2
2
,1f x y x y =+>.
故()02,N p E δ=∅ ，故0p 不是'
2E 中的点矛盾. 故22
001x y +≤时(){}220,;1p x y x y ∈+≤
反过来，若()(){}22000,,;1p x y x y x y =∈+≤ 则0δ∀>，作[]0,1上的函数()()()
()2
2
000000,f t tp p tx x ty y ρ==-+-
()
2
22
22
000011
t x y t x y =
-+=-+
则()f t 是[]0,1上的连续函数，()2
2
0001f x y =+≤，()10f =，01δ∀<<，
[]0,1t δ∃∈使()f t δδ=
现在任取()0,0min 1,ηδη>∃<<，使()()00,,N p N p δη⊂. 由上面的结论，存在01t δ<<，使()1f t δδ=<.
故0t p δ满足（1）00t p p δ≠；（2）0001t p t p t p t δδδδ==≤<.故02t p E δ∈ （3）()00,t p p δρδη=<，故()0,t p N p δη∈
所以(){}020,t p N p E p δη∈-
由习题1的结论知'02p E ∈，所以(){}'222,;1E x y x y =+≤. 而(){}''222222,;1E E E E x y x y ===+≤ .
2. 设2n R R =是普通的xy 平面，3E 是函数1sin 000
x y x
x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩
的图形上的点所作成的集
合，求'3E .
解：设函数的图形是()(){}{}'
1
31,;,,sin
;0x f x x R E x x R x ⎧⎫⎛⎫∈=∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
(){}0,0 . 下证(){}'
330,;11E E δδ=-≤≤
()'
0003,p x y E =∈⇔存在()(){}300,,n n n p x y E x y =∈-，
()000,,n n n n n p x y p x x y y =→⇔→→，()0,0n p p ρ→
设()'
0003,p x y E =∈，则存在()(){}300,,n n x y E x y ∈-使00,n n x x y y →→
若00x ≠，则0n x ≠（当n 充分大） 则00
11sin
sin
n n
y y x x =→=
所以()003,x y E ∈
若00x ≠，则0n x →，01sin
n n
y y x =→，011y -≤≤
所以()(){}00,0,;11x y δδ∈-≤≤ 故(){}'
330,;11E E δδ⊂-≤≤
反过来：()(){}0003,0,;11p x y E δδ∀=∈-≤≤ ， 若00x ≠，00
1sin
y x =，
故存在0n x x ≠，使0n x ≠，0n x x →
从而0
11sin
sin
n
x x →
即存在()001,sin ,n n x x y x ⎛⎫
→ ⎪⎝
⎭
故'03p E ∈.
若()(){}000,0,;11p y δδ=∈-≤≤ 则从[]01,1y ∈-知存在0x 使00sin x y =， 令()0
10,1,2,2k x k k x π=
≠=+ .
则()0001sin
sin 2sin k
k x x y x π=+==，
所以()3011,sin ,,sin 0,k k
k k x E x y x x ⎛⎫⎛⎫∈→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，()()00,0,k x y y → ()()00,0,k x y y ≠
故'
03p E ∈
故结论成立.
3. 证明当E 是n R 中的不可数无穷点集时，'E 不可能是有限集. 证明：记B 为E 的孤立点集，则'E B E -= 所以()'
E E B B E B =-⊂ .
若能证明B 是至多可数集，则若'E 是有限集或可列集知'
E B E ⊃ 为至多可数集，这将与
E 是n
R 中的不可数无穷点集矛盾.
故只用证E 的孤立点集B 是至多可数集
p B ∀∈，0p δ∃>使(){},p N p E p δ=
故(),n p p N p R δ⊂ 是B 到n R 中的一个互不相交的开球邻域组成的集的11-对应. 而任一互不相交开球邻域作成的集合{},A αα∈Λ是可数的，因为任取α∈Λ，取有理点
p A α∈，则从,A A αβαβ=∅≠ 则{},A αα∈Λ与Q 11-对应
α∈Λ是至多可数集. 故{}
A
,
α
证毕。