高中竞赛平面几何基础知识要求
高中数学竞赛基础平面几何知识点总结
⾼中数学竞赛基础平⾯⼏何知识点总结⾼中数学竞赛平⾯⼏何知识点基础1、相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：(1)平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似;(2)如果⼀个三⾓形的两条边和另⼀个三⾓形的两条边对应成⽐例,并且夹⾓相等,那么这两个三⾓形相似(简叙为:两边对应成⽐例且夹⾓相等，两个三⾓形相似.);(3)如果⼀个三⾓形的三条边与另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例,那么这两个三⾓形相似(简叙为:三边对应成⽐例，两个三⾓形相似.);(4)如果两个三⾓形的两个⾓分别对应相等(或三个⾓分别对应相等)，则有两个三⾓形相似(简叙为两⾓对应相等，两个三⾓形相似.).直⾓三⾓形相似的判定定理:(1)直⾓三⾓形被斜边上的⾼分成两个直⾓三⾓形和原三⾓形相似;(2)如果⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边与另⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边对应成⽐例，那么这两个直⾓三⾓形相似.常见模型：相似三⾓形的性质:（1）相似三⾓形对应⾓相等（2）相似三⾓形对应边的⽐值相等，都等于相似⽐（3）相似三⾓形对应边上的⾼、⾓平分线、中线的⽐值都等于相似⽐（4）相似三⾓形的周长⽐等于相似⽐（5）相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅2、内、外⾓平分线定理及其逆定理内⾓平分线定理及其逆定理：三⾓形⼀个⾓的平分线与其对边所成的两条线段与这个⾓的两边对应成⽐例。
如图所⽰，若AM平分∠BAC，则该命题有逆定理：如果三⾓形⼀边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对⾓的两边对应成⽐例，那么该点与对⾓顶点的连线是三⾓形的⼀条⾓平分线外⾓平分线定理：三⾓形任⼀外⾓平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内⾓的两边成⽐例。
如图所⽰，AD平分△ABC的外⾓∠CAE，则其逆定理也成⽴：若D是△ABC的BC边延长线上的⼀点，且满⾜，则AD是∠A的外⾓的平分线内外⾓平分线定理相结合：如图所⽰，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外⾓∠CAE，则3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的⾼，则有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC对于⼀般三⾓形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当⼀对相似三⾓形有公共定点且其边不重合时，则会产⽣另⼀对相似三⾓形，寻找⽅法：连接对应点，找对应点连线和⼀组对应边所成的三⾓形，可以得到⼀组⾓相等和⼀组对应边成⽐例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、张⾓定理在△ABC中D为BC边上⼀点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆内有关⾓度的定理圆周⾓定理及其推论：（1）圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半（2）同弧所对的圆周⾓相等（3）直径所对的圆周⾓是直⾓，直⾓所对的弦是直径（4）圆内接四边形对⾓互补（5）圆内接四边形的外⾓等于其内对⾓弦切⾓定理：顶点在圆上，⼀边和圆相交，另⼀边和圆相切的⾓叫做弦切⾓。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙. 2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知 AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DCAQ ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ).于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O与BC 、CA 、AB图6AN CDEB MAGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB .(提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°) 3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k ) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F.)O图107. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG .(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.A BGCD FE图1ABCDPO 图2设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.A图3BPQDHC A EDCB图4解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交 于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有 3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'B'C'c a b a'c'b'ABCa bb c∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.) 6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.F DAEC图10图11(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
平面几何知识点归纳 高中
平面几何知识点归纳高中高中平面几何知识点归纳平面几何是数学中的一门基础学科，它研究的是平面上的点、线、角、面等几何图形及其性质和相互关系。
在高中阶段，平面几何是数学课程的重要组成部分，它包含了许多重要的知识点。
下面将对高中平面几何的知识点进行归纳和总结。
1. 点、线、面的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状。
线是由无数个点连在一起形成的，它没有宽度和厚度。
面是由无数个线连在一起形成的，它有长度和宽度。
在平面几何中，点、线和面是最基本的图形，其他的图形都是由它们组成的。
2. 直线和射线的性质直线是由无数个点连在一起形成的，它没有起点和终点。
射线是由一个起点和一个方向确定的，它有一个起点但没有终点。
直线上的任意两点可以确定一条直线，而射线上的任意两点可以确定一条射线。
直线和射线的性质包括平行、垂直和夹角等。
3. 角的概念和性质角是由两条射线共享一个端点形成的，它是用来度量两条射线之间的旋转程度。
角的度量单位是度或弧度。
角的性质包括角的大小、角的类型（锐角、直角、钝角）以及角的和等于360度等。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的闭合图形，它是平面几何中最基本的多边形。
三角形的性质包括内角和为180度、三边的关系（边长关系、角度关系）、三角形的分类（等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）等。
5. 直角三角形的勾股定理和正弦定理、余弦定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度）。
直角三角形的勾股定理是一个重要的几何定理，它描述了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。
正弦定理和余弦定理是用来求解任意三角形的边长和角度的重要公式。
6. 平行线和平行四边形的性质平行线是在同一个平面内永远不相交的直线，它们的斜率相等。
平行四边形是具有两对平行边的四边形。
平行线和平行四边形的性质包括平行线的判定条件、平行四边形的性质（对边平等、对角线互相平分）等。
高中数学联赛平面几何基础知识
CF FA
1．
因为 AD BE CF 1，所以有 AD AD/ ．由于点 D、D/都在线段 AB 上，所以点 D 与
DB EC FA
DB D/ B
D/重合．即得 D、E、F 三点共线．
注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律．
四、托勒密定理
5．托勒密定理及其证明
4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在 ABC 的边 AB、BC 上各有一点 D、E，在边
AC 的延长线上有一点 F，若 AD BE CF 1， DB EC FA
那么，D、E、F 三点共线．
证明：设直线 EF 交 AB 于点 D/，则据梅涅劳斯定理有
AD/ D/ B
BE EC
AD DE ，即 AD BC AC DE ————（1） AC BC
由于 DAE = BAM，所以 DAM = BAE，即 DAC = BAE。而 ABD = ACD，即 ABE = ACD，所以 ABE∽ ACD．即得
AB BE ，即 AB CD AC BE ————（2） AC CD
因此，
A/ B/
A/ D
，
B/C/
C/D ．
AB BD BC BD
可得 A/ B/ B/C / AB A/ D BC C / D . BD
另一方面，
A/C /
A/ D ，即
A/C /
AC A/ D
．
AC CD
CD
AB A/ D BC C/ D AC A/ D
即证 CD C / D AD A/ D ，这是显然的．所以， A/ B/ B/C / A/C / ，即 A/、B/、C/
高中数学竞赛中平面几何涉及的定理
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D.连结DA.在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC,∠DPB ＝∠C. 由BP ＝CQ,可知△DBP ≌△AQC.有DP ＝AC,∠BDP ＝∠QAC. 于是,DA ∥BP,∠BAP ＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC.这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE.求证：∠EBA ＝∠ADE.证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由AB CD,易知△PBA ≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 ∠BCE ＝∠BPE,∠APE ＝∠ADE.由∠BAF ＝∠BCE,可知∠BAF ＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA ＝∠ADE. 这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. 由BD 平行∠ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ ＝PN. 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG ∥EC. 由CE 平分∠BCA,知GP 平分∠FGA.有PK ＝PM.于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ.这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK,就有PM ＋PN ＝PQ.证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. ∥＝A DB P QC 图1P E D G A B F C 图2A N E B Q K G C D M F P 图3例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB ＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM . 证明：如图4,若PQ ∥BC,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D.过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E.由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E,易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2. 则AP AB ＋AQ AC ＝DE CE BE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM . 所以,AP AB ＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM . 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E,CK 交AB 于F.求证：∠FDA ＝∠EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M.显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN. (1) 由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DCAQ ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3) 对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ.显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ.所以,∠FDA ＝∠EDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME . 由BD ＝DC,可知ED ＝DN.有△BED ≌△CND. 于是,BE ＝NC.显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN. 由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°. 所以,AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2). 这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. A PE D C M 2M 1B Q N 1N 2图4图5M P A Q NF B D C E K 图6A N C DE B M例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使EA ＝DA,FB ＝DB.过D 作AB 的垂线,交半圆于C.求证：CD 平分EF. 证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB.易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB,AD 2＝AE 2＝AG ·AB.二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG),或 (DB －AD)·AB ＝AB ·(HB －AG). 于是,DB －AD ＝HB －AG,或 DB －HB ＝AD －AG.就是DH ＝GD.显然,EG ∥CD ∥FH.故CD 平分EF.这里,为证明CD 平分EF,想到可先证CD 平分GH.为此添加CD 的两条平行线EG 、FH,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有 BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM ＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC.利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F,对角线BD ∥EF,AC 的延长线交EF 于G.求证：EG ＝GF. 证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N.由BD ∥EF ,可知MN ∥BD.易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC .可得MC ＝CN. 所以,EG ＝GF. 例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K,求证：AK 平分BC. 证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF. 由OD ⊥BC,可知OK ⊥PQ. 由OF ⊥AB,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ.由OE ⊥AC,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP. 显然,∠FKQ ＝∠EKP,可知∠FOQ ＝∠EOP.由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP. 则OQ ＝OP.于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP.所以,AK 平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用. 练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E,延长CD 交直线NM 于F.求证：∠BEN ＝∠CFN.(提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN.)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB.已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB. (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D.易证△ACD ∽△PBA.答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M.所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)A G D O HB FC E 图7图8AD B N CE M A B M E N D C G 图104. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E.已知AC:AB ＝k.求AE:EC.(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F.设BC ＝1,有AD ＝k,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F.求证：DE AD ＝FBCF .(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H.H 为△CDF 的垂心.) 6. 在△ABC 中,∠A:∠B:∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.求证：a1＋b 1＝c 1.(提示：在BC 上取一点D,使AD ＝AB.分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F.)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G.求证：FH ＝HG.(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N.)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N.求证：OM ＝ON.(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F.过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF.)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A.求证：BD ＝2CD. 分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED,故不能直接证出BD ＝2CD.若延长AD 交△ABC 的外接圆于F,则可得EB ＝EF,从而获取. 证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F,连结CF 与BF,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD.故BF:CF ＝BD:DC.又∠BEF ＝∠BAC,∠BFE ＝∠BCA,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE.故EB ＝EF. 作∠BEF 的平分线交BF 于G,则BG ＝GF.因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF,∠GFE ＝∠CFE,故△FEG ≌△FEC.从而GF ＝FC. 于是,BF ＝2CF.故BD ＝2CD. 1.2 利用四点共圆 例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、DA B G C D FE 图1A B CDO四点共圆,欲求sin ∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x)3x ＝2x(1＋2x).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD,AH ⊥CD 于H,CP ⊥BC,CP 交AH 于P.求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD. 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC,只须证AC ·BC ＝AP ·BD, 转化为证△APC ∽△BCD.这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q,则由AC ＝AD,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ.又AB ＝AD,故∠ADQ ＝∠ABQ.从而,∠ABQ ＝∠ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆.∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD,∠CBQ ＝∠CAQ,∴△APC ∽△BCD. ∴AC ·BC ＝AP ·BD.于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD. 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD,AD ＝DC ＝DB ＝p,BC ＝q.求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE.显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD,∴BC ＝AE. 从而,BC ＝AE ＝q.在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p,AE ＝q,故AC ＝22AE CE -＝224q p -.2.2 联想直径的性质构造辅助圆 例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC.若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B(－2,0)、C(4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).A 图3B PQD H CA E D CB 图4可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9.2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M,交AC 于N.求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN.分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN)(AB －AN)＝BM ·BN,而由题设易知AM ＝AN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°,又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN.以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN. 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE)(AB －AF)＝(AB ＋AN)(AB －AN)＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN.例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E,延长AB 和DC 相交于E,延长AD 和BC 相交于F,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q.求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G,连结CG. 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE,故F 、D 、C 、G 四点共圆.由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF)·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2. 2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D,连结AD 和BD,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D, ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D,∠B ＇＝∠BCD. ∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB. 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝a a '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab . 又AB ∥DC,可知BD ＝AC ＝b,BC ＝AD ＝a.从而,由托勒密定理,得AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题 1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A,则AC AB ＝DC BD . EA N C DB F M 12345图6(1)(2)图8AC A'B'c b c'b'A B CD a b bc 图9(提示：不妨设AB ≥AC,作△ADC 的外接圆交AB 于E,证△ABC ∽△DBE,从而AC AB ＝DE BD ＝DCBD .) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a,BC ＝CD ＝DE,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a.求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE.(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE.)3. 在△ABC 中AB ＝BC,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M,使BM ＝AC.求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC,连结KM,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.)4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF,CE ⊥AE.求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H.则CG ＝AH,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B,直线 CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D,且AC ＝AD,EC 、ED 分别切两圆于C 、D.求证：AC 2＝AB ·AE.(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF,从而AE ＝AF,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2. (提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E,交AE 及其延长线于N 、M,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM.)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a,对角线长为b,试证：a b －ba ＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
高中数学竞赛平面几何讲座非常详细
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB ＋AQAC＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BCAM BD ·. (2) 由DCAQ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NCME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB图6AN CDEB M AGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG.O图10(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A BGCD FE图1ABCDPO 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有A图3BPQDHC A EDCB图4图53＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝aa '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'C'cb a'c'b'A BCDabb c图9又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)F DAB EC图10图11第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
2023年高中数学竞赛平面几何定理
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边旳平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中旳一边和另一边在这边上旳射影乘积旳两倍． (2)钝角对边旳平方等于其他两边旳平方和，加上这两边中旳一边与另一边在这边上旳射影乘积旳两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 旳边BC 旳中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一种角旳平分线分对边所成旳两条线段与这个角旳两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长二分之一）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间旳一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对旳圆周角相等，等于圆心角旳二分之一．（圆外角怎样转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对旳圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线旳交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆旳幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O旳半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O旳幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则P A·PB= |d2－r2|．“到两圆等幂旳点旳轨迹是与此二圆旳连心线垂直旳一条直线，假如此二圆相交，则该轨迹是此二圆旳公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆旳“根轴”．三个圆两两旳根轴假如不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆旳“根心”．三个圆旳根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两旳根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．16．蝴蝶定理：AB是⊙O旳弦，M是其中点，弦CD、EF通过点M，CF、DE交AB 于P、Q，求证：MP=QM．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点旳距离；不在等边三角形外接圆上旳点，到该三角形两顶点距离之和不小于到另一点旳距离．定理2三角形每一内角都不不小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张旳角都是120°，该点到三顶点距离和到达最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不不不小于120°时，此角旳顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形；△ABC 旳三条边分别向△ABC 旳内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们旳外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相似旳中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线旳垂足，以及垂心与各顶点连线旳中点，这九个点在同一种圆上，九点圆具有许多有趣旳性质,例如:（1）三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;（2）九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;（3）三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形旳外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形旳外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心旳距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形旳外接圆半径与内切圆半径旳和等于外心到各边距离旳和． 23．重心：三角形旳三条中线交于一点，并且各中线被这个点提成2：1旳两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 旳重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 旳中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 旳重心，则ABC ACG BCG ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 旳重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 旳重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC +=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++；③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离旳平方和最小旳点是重心，即222GC GB GA ++最小；⑤三角形内到三边距离之积最大旳点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 旳重心）．24． 垂心：三角形旳三条高线旳交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心旳距离，等于外心到对边旳距离旳2倍；（2）垂心H 有关△ABC 旳三边旳对称点，均在△ABC 旳外接圆上；（3）△ABC 旳垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 旳外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 旳外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形旳三条角分线旳交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 旳内心，则I 到△ABC 三边旳距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 旳内心，则C AIB B AIC A BIC ∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆旳交点到另两顶点旳距离与到内心旳距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上旳点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 旳内心；（4）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则a c b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 旳内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上旳射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形旳三条中垂线旳交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB A Cy By AyC B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 旳外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形旳外心到三边旳距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 旳三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切旳旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似旳式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 旳连线交△ABC 旳外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样旳结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 旳垂足三角形，且△I A I B I C 旳外接圆半径'R 等于△ABC 旳直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表达BC 边上旳高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径旳互相关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 旳三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不通过它们任一顶点旳直线旳交点分别为P 、Q 、R 则有1=⋅⋅RB AR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理旳应用定理1：设△ABC旳∠A旳外角平分线交边CA于Q，∠C旳平分线交边AB于R，∠B旳平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理旳应用定理2：过任意△ABC旳三个顶点A、B、C作它旳外接圆旳切线，分别和BC、CA、AB旳延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC旳边BC、CA、AB上旳一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点旳充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理旳应用定理：设平行于△ABC旳边BC旳直线与两边AB、AC旳交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC旳中点M．35．塞瓦定理旳逆定理：（略）36．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理1：三角形旳三条中线交于一点，三角形旳三条高线交于一点，三角形旳三条角分线交于一点．37．塞瓦定理旳逆定理旳应用定理2：设△ABC旳内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC旳外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理旳逆定理：（略）40．有关西摩松线旳定理1：△ABC旳外接圆旳两个端点P、Q有关该三角形旳西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．有关西摩松线旳定理2（安宁定理）：在一种圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其他一点旳有关该三角形旳西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC旳垂心为H，其外接圆旳任意点P，这时有关△ABC旳点P 旳西摩松线通过线段PH旳中心．43．史坦纳定理旳应用定理：△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关边BC、CA、AB旳对称点和△ABC旳垂心H同在一条（与西摩松线平行旳）直线上．这条直线被叫做点P 有关△ABC旳镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边旳延长线旳交点所连线段旳中点和两条对角线旳中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形旳牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形旳两条对角线旳中点，及该圆旳圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们旳对应顶点（A 和D、B和E、C和F）旳连线交于一点，这时假如对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC旳外接圆上旳三点为P、Q、R，则P、Q、R有关△ABC 交于一点旳充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC旳外接圆上旳三点，若P、Q、R 有关△ABC旳西摩松线交于一点，则A、B、C三点有关△PQR旳旳西摩松线交于与前相似旳一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线旳交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作旳三角形旳垂心和其他三点所作旳三角形旳垂心旳连线段旳中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考察△ABC旳外接圆上旳一点P旳有关△ABC旳西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆旳弦，则三点P、Q、R旳有关△ABC 旳西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC旳顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB旳中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一种圆上，这时L、M、N点有关有关△ABC旳西摩松线交于一点．53．卡诺定理：通过△ABC旳外接圆旳一点P，引与△ABC旳三边BC、CA、AB分别成同向旳等角旳直线PD、PE、PF，与三边旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．54．奥倍尔定理：通过△ABC旳三个顶点引互相平行旳三条直线，设它们与△ABC旳外接圆旳交点分别是L、M、N，在△ABC旳外接圆上取一点P，则PL、PM、PN与△ABC 旳三边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．55．清宫定理：设P、Q为△ABC旳外接圆旳异于A、B、C旳两点，P点旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．56．他拿定理：设P、Q为有关△ABC旳外接圆旳一对反点，点P旳有关三边BC、CA、AB旳对称点分别是U、V、W，这时，假如QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线旳交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线．（反点：P、Q分别为圆O旳半径OC和其延长线旳两点，假如OC2=OQ×OP则称P、Q两点有关圆O互为反点）57．朗古来定理：在同一圆周上有A1、B1、C1、D1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点旳有关这4个三角形旳西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58．从三角形各边旳中点，向这条边所对旳顶点处旳外接圆旳切线引垂线，这些垂线交于该三角形旳九点圆旳圆心．59．一种圆周上有n个点，从其中任意n－1个点旳重心，向该圆周旳在其他一点处旳切线所引旳垂线都交于一点．60．康托尔定理1：一种圆周上有n个点，从其中任意n－2个点旳重心向余下两点旳连线所引旳垂线共点．61．康托尔定理2：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点有关四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中旳每一种旳两条西摩松线旳交点在同一直线上．这条直线叫做M、N两点有关四边形ABCD旳康托尔线．62．康托尔定理3：一种圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、L、N两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线、M、L 两点旳有关四边形ABCD旳康托尔线交于一点．这个点叫做M、N、L三点有关四边形ABCD旳康托尔点．63．康托尔定理4：一种圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点有关四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中旳每一种康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M、N、L三点有关五边形A、B、C、D、E旳康托尔线．64．费尔巴赫定理：三角形旳九点圆与内切圆和旁切圆相切．65．莫利定理：将三角形旳三个内角三等分，靠近某边旳两条三分角线相得到一种交点，则这样旳三个交点可以构成一种正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66．布利安松定理：连结外切于圆旳六边形ABCDEF相对旳顶点A和D、B和E、C 和F，则这三线共点．67．帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对旳边AB和DE、BC和EF、CD和F A旳（或延长线旳）交点共线．68．阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B旳距离之比为定比m：n（值不为1）旳点P，位于将线段AB提成m：n旳内分点C和外分点D为直径两端点旳定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69．库立奇*大上定理：（圆内接四边形旳九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形旳九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心旳圆叫做圆内接四边形旳九点圆．70．密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形旳外接圆共点，这个点称为密格尔点．71．葛尔刚（Gergonne）点：△ABC旳内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点．72．欧拉有关垂足三角形旳面积公式：O是三角形旳外心，M是三角形中旳任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成旳三角形旳面积，其公式：222ABC D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何旳意义 就个人经验而言，我相信人旳智力懵懂旳大门获得开悟往往缘于某些不经意旳偶尔事件．罗素说过：“一种人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之因此这样说，是由于平面几何曾经救了他一命旳缘故．天懂得是什么缘故，这个养尊处优旳贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家旳孩子巴望一辈子都够不到旳幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发旳小子想到做最终一件事情，那就是理解一下平面几何究竟有多大迷人旳魅力．而这个魅力是之前他旳哥哥向他吹嘘旳．估计他旳哥哥将平面几何与人生旳意义搅和在一起向他做了推介，否则万念俱灰旳旳头脑怎么会在离开之前想到去做最终旳光顾？而罗素真旳一下被迷住了，厌世旳念头由于沉湎于平面几何而被淡化，最终竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我旳意义只是发掘了一种成绩本来不错旳中学生旳潜力，为我解开了智力上旳扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来旳伟大旳怀疑论者显露了执拗旳本性．他反对不加考察就接受平面几何旳公理，在与哥哥旳反复争论之后，只是他旳哥哥使他确信不也许用其他旳措施一步步由这样旳公理来构建庞大旳平面几何旳体系旳后来，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻旳亚历山大从马其顿麾师东进，短短旳时间就建立了一种从尼罗河到印度河旳庞大帝国．伴随他旳征服，希腊文明传播到了东方，开始了一种新旳文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明旳中心也从希腊本土转移到了东方，精确地说，是从雅典转移到了埃及旳亚历山大城．正是在这个都市，诞生了“希腊化时代”最为杰出旳科学成就，其中就包括欧几里德旳几何学．由于他旳成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比旳完美体系一直被视为演绎知识旳典范，哲学史家更乐意把它看作是古代希腊文化旳结晶．它由人类理性不可反驳旳几种极其简朴旳“自明性公理”出发，通过严密旳逻辑推理，演绎出一连串旳定理，这些在构造上紧密依存旳定理和作为基础旳几种公理一起构筑了一种庞大旳知识体系．世间事物旳简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出有关三角形旳一种有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一种历史名题，近几年仍有不少文献对此简介．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．尚有三角形用拿破仑这个名子来命名旳呢！拿破仑与我们旳几何图形三角形有什么关系？少年朋友懂得拿破仑是法国著名旳军事家、政治家、大革命旳领导者、法兰西共和国旳缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关旳几何等知识素有研究，却懂得得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值旳文献，包括欧几里德旳名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“怎样用圆规将圆周四等分”旳问题，被法国数学家曼彻罗尼所处理．听说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上旳真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一种规定：“将军，我们最终有个祈求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相称造诣旳数学爱好者吧！不少几何史上有名旳题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过旳三角形称为“拿破仑三角形”，并且还是一种很有趣旳三角形．在任意△ABC旳外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD 三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC旳三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙、旳圆心构成旳△——外拿破仑旳三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一种等边三角形，如下图．△ABC旳三条边分别向△ABC旳内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们旳外接圆⊙、⊙、⊙旳圆心构成旳△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一种等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相似旳中心．少年朋友，你与否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同步还是一位受异书籍、热爱知识旳数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质与否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边旳中点,三高旳垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段旳中点〕九点共圆〔一般称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上旳一种著名问题,最早提出九点圆旳是英国旳培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题刊登在1823年旳一本英国杂志上.第一种完全证明此定理旳是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1823年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先刊登旳.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他旳证明刊登在1823年旳《直边三角形旳某些特殊点旳性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆旳某些重要性质〔如下列旳性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣旳性质,例如:1.三角形旳九点圆旳半径是三角形旳外接圆半径之半;2.九点圆旳圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线旳中点;3.三角形旳九点圆与三角形旳内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何
高中数学竞赛标准讲义：第12章：立体几何2021高中数学竞赛标准讲义：第十二章：立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上如果有两个不同的点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。
即不共线的三点确定一个平面．推论l 直线与直线外一点确定一个平面．推论2 两条相交直线确定一个平面．推论3 两条平行直线确定一个平面．公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
初高中数学竞赛知识点
初高中数学竞赛知识点参加初高中数学竞赛，需要掌握以下知识点：初中数学竞赛知识点主要包括：1. 整数和有理数的加减乘除运算，包括带分数和小数的转化。
2. 基本的代数知识，比如方程、不等式的解法，多项式的基本运算与因式分解。
3. 平面几何的基础知识，包括角度大小、面积计算、相似、共圆等概念。
4. 空间几何的基础知识，包括立体图形名称及其特征，立体图形的表面积和体积的计算，平行截面定理等。
5. 数列和函数的基础知识，包括等差数列、等比数列、递推式、函数的定义、一次函数、二次函数等基本属性。
6. 统计与概率知识，包括频率分布及其表示，概率的基本概念、事件、概率的计算方法等。
高中数学竞赛知识点主要包括：1. 三角函数：例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等。
2. 数列与极限：理解数列的概念，掌握数列的通项公式，会用极限的知识求解数列问题。
3. 向量：理解向量的概念，掌握向量的加法、数乘和向量的数量积运算，理解向量的几何意义。
4. 数学归纳法：理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法的应用。
5. 复数：理解复数的概念，掌握复数的四则运算，理解复数的几何意义。
6. 导数与微积分：掌握导数的概念及几何意义，理解微积分的基本概念及运算。
7. 排列组合与概率：理解排列组合的概念，掌握概率的基本计算方法。
8. 平面几何：掌握各种平面图形的性质和定理，如三角形、四边形、圆等图形的性质和定理。
9. 解析几何：掌握解析几何的基本概念和性质，如直线的方程，圆的方程等。
10. 立体几何：理解三维空间中的点、线、面的关系，掌握三维图形的性质和定理。
以上知识点仅供参考，建议查阅竞赛大纲获取更全面和准确的信息。
同时请注意，竞赛数学题往往难度较大，需要扎实的基础知识和严密的逻辑思维，建议在专业指导下进行学习和训练。
高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)
HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。 （7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN
1 2
AM
AD sin
1 2
AD
AN sin(
)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE
AB
A'
F
=
1 2
s
in
A
EF
A
C
A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相 交于一点。
高中数学竞赛大纲的内容和知识点
高中数学竞赛大纲应该掌握的内容和知识点1.集合（set）1.1集合的阶，集合之间的关系。
1.2集合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理2.函数（function）2.1函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1单调性2.2.2奇偶性2.2.3周期性2.2.4凹凸性2.2.5连续性2.2.6可导性2.2.7有界性2.2.8收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3.三角函数（trigonometric function）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4.向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5.数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法，迭代法5.1.4数学归纳法，递归法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analytic geometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solid geometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望10.极限，导数（limits, derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complex numbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（plane geometry）12.1几个重要的平面几何定理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6几何变换12.6.1平移变换12.6.2旋转变换12.6.3位似变换12.6.4对称变换（反射变换）12.6.5反演变换12.6.6配极变换12.7几何不等式12.8平面几何常用方法12.8.1纯几何方法12.8.2三角法12.8.3解析法12.8.4复数法12.8.5向量法12.8.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematical induction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理7.初等数论（elementary number theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）（了解即可，不作要求）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数17.6其他1、平面几何基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
高中数学中的平面几何知识点梳理
高中数学中的平面几何知识点梳理在高中数学学习中，平面几何是一个重要的知识点。
它涉及到平面图形的性质、相似与全等、圆的性质等内容。
下面将对高中数学中的平面几何知识点进行梳理。
1. 点、线、面的基本概念在平面几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和厚度。
线是由无数个点连成的，它没有宽度和厚度。
面是由无数个线连成的，它有长度和宽度，但没有厚度。
2. 直线与射线直线是由无数个点连成的，它没有起点和终点。
射线是由一个起点和无数个点连成的，它有一个起点但没有终点。
3. 角的性质角是由两条射线的公共端点构成的，它有大小和方向。
角的度量单位是度或弧度。
角的性质包括对顶角、邻补角、互补角等。
4. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的闭合图形。
三角形的性质包括内角和为180度、三边关系、三角形的分类等。
5. 相似与全等相似是指两个图形的形状相同但大小不同。
全等是指两个图形的形状和大小都相同。
相似与全等的判定条件和性质是高中数学中的重点内容。
6. 平行线与垂直线平行线是指在同一个平面内永远不相交的线。
垂直线是指两条线段相交时，相交的角为90度。
7. 平面图形的性质平面图形包括多边形、圆等。
多边形的性质包括正多边形、正n边形、内角和、外角和等。
圆的性质包括圆心角、弧长、扇形面积等。
8. 直角三角形与勾股定理直角三角形是指有一个角为90度的三角形。
勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
9. 圆锥与圆台圆锥是由一个圆和一个顶点外的一条线段连成的。
圆台是由两个相似的圆和连接两个圆心的线段连成的。
10. 平面几何的应用平面几何在实际生活中有许多应用，例如建筑设计、地图绘制、工程测量等。
掌握平面几何的知识可以帮助我们更好地理解和应用这些实际问题。
通过对高中数学中的平面几何知识点的梳理，我们可以更好地理解和掌握这些内容。
平面几何是数学中的基础知识，对于进一步学习和应用数学都有着重要的作用。
希望同学们能够认真学习和掌握这些知识，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细).
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1 、设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA .在△DBP ＝∠AQC 中,显然∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知△DBP ≌△AQC .有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC .于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP .则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP .所以AB ＝AC .这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE .由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE ＝∠BPE ,∠APE ＝∠ADE .由∠BAF ＝∠BCE ,可知∠BAF ＝∠BPE .有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE .所以,∠EBA ＝∠ADE .这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ .证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ,过点F 作BC 的 平行线分别交PQ 、AC 于K 、G ,连PG . 由BD 平行∠ABC ,可知点F 到AB 、BC∥＝A D BP QC图1PE D G A B FC图2A N E BQ K G CD M FP 图3两边距离相等.有KQ ＝PN . 显然,PD EP ＝FD EF ＝GDCG,可知PG ∥EC . 由CE 平分∠BCA ,知GP 平分∠FGA .有PK ＝PM .于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ . 这里,通过添加平行线,将PQ “掐开”成两段,证得PM ＝PK ,就有PM ＋PN ＝PQ .证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的. 例4 设M 1、M 2是△ABC 的BC 边上的点,且BM 1＝CM 2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM 1、AM 2于P 、Q 、N 1、N 2.试证：AP AB＋AQAC ＝11AN AM ＋22AN AM .证明：如图4,若PQ ∥BC ,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行, 设PQ 交直线BC 于D .过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E . 由BM 1＝CM 2,可知BE ＋CE ＝M 1E ＋M 2E , 易知AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DE E M 2.则AP AB ＋AQ AC ＝DECEBE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM .所以,APAB＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM .这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE ,于是问题迎刃而解.例5、 AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E ,CK 交AB 于F .求证：∠FDA ＝∠EDA .证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于Q 、P 、N 、M .显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD ·AM ＝DC ·AN . (1)由BD AP ＝FB AF ＝BC AM ,有AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DC AQ ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BCAN DC ·. (3) 对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ .显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ .所以,∠FDA ＝∠EDA .这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来. 4、为了线段相等的传递AP EDM 2M 1BQN 1N 2图4图5MP A Q NFB DC EK当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6 在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN ＝90°.如果BM 2＋CN 2＝DM 2＋DN 2,求证：AD 2＝41(AB 2＋AC 2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E .连ME .由BD ＝DC ,可知ED ＝DN .有△BED ≌△CND . 于是,BE ＝NC . 显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN .由BM 2＋BE 2＝BM 2＋NC 2＝MD 2＋DN 2＝MN 2＝EM 2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE ＝90°.有∠ABC ＋∠ACB ＝∠ABC ＋∠EBC ＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB 2＋AC 2).这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN ,使解题找到出路. 例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F ,使EA ＝DA ,FB ＝DB .过D 作AB 的垂线,交半圆于C .求证：CD 平分EF .证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB . 易知DB 2＝FB 2＝AB ·HB ,AD 2＝AE 2＝AG ·AB . 二式相减,得DB 2－AD 2＝AB ·(HB －AG ),或 (DB －AD )·AB ＝AB ·(HB －AG ). 于是,DB －AD ＝HB －AG ,或 DB －HB ＝AD －AG . 就是DH ＝GD .显然,EG ∥CD ∥FH .故CD 平分EF .这里,为证明CD 平分EF ,想到可先证CD 平分GH .为此添加CD 的两条平行线EG 、FH ,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即 BN DM＝NC ME 或ME DM ＝NC BN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是 BN ＝NC .利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮. 例8 如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F ,对角线BD ∥EF ,AC 的延长线交EF 于G .求证：EG ＝GF .证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N .由BD ∥EF , 可知MN ∥BD .易知 S △BEF ＝S △DEF .有S △BEC ＝S △ⅡKG － *5ⅡDFC . 可得MC ＝CN . 所以,EG ＝GF .例9 如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB图6AN CDEB M AGD O HBFC E图7图8A DBN C EM图9ABM EF ND CG的切点.若OD 与EF 相交于K ,求证：AK 平分BC .证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF . 由OD ⊥BC ,可知OK ⊥PQ .由OF ⊥AB ,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ ＝∠FKQ . 由OE ⊥AC ,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP ＝∠EKP .显然,∠FKQ ＝∠EKP ,可知∠FOQ ＝∠EOP .由OF ＝OE,可知Rt △OFQ ≌Rt △OEP . 则OQ ＝OP .于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP .所以,AK 平分BC .综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD ,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E ,延长CD 交直线NM 于F .求证：∠BEN ＝∠CFN . (提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN .)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB .已知∠ABC ＝45°,∠APC ＝60°.求∠ACB . (提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D .易证△ACD ∽△PBA .答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC ,∠EBD ＝60°,S △EBD ＝60cm 2.求六边形ABCDEF 的面积.(提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q ,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M .所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm 2)4. AD 为Rt △ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E .已知AC :AB ＝k .求AE :EC .(提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F .设BC ＝1,有AD ＝k ,DC ＝k 2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD ⊥AB 于D ,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F .求证：DE AD ＝FBCF.(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H .H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A :∠B :∠C ＝4:2:1,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D ,使AD ＝AB .分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F .)7. △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ,过点F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G .求证：FH ＝HG.O图10(提示：过点A 作BC 的平行线分别交直线DE 、DF 于点M 、N .)8. AD 为⊙O 的直径,PD 为⊙O 的切线,PCB 为⊙O 的割线,PO 分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：OM ＝ON .(提示：过点C 作PM 的平行线分别交AB 、AD 于点E 、F .过O 作BP 的垂线,G 为垂足.AB ∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路. 1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆 例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系.容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA＝∠ABC ＝∠AFC,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF . 作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A BGCD FE图1ABCDPO 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615+. 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ .又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD .于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长. 分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利 用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE .显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE .从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9),对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有A图3BPQDHC A EDCB图4图53＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6, ∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交BA 的延长线于E . 则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF )＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝AB 2－AN 2,即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连结CG . 因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆. 由切割线定理,有EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2, 即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明. 证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示.∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB . 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝a a '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .E A NCD B FM 12345图6(1)(2)图8ABCA'C'cb a'c'b'A BCDabb c图9又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD ,即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而ACAB＝DE BD ＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE .(提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCD E 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)F DAEC图10图11第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲
个人精心高中数学联赛竞赛平面几何四大定理及考纲Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#1、数学竞赛考纲二试1、平面几何基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、、、。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--。
到三角形三顶点距离的平方和最小的点--。
三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的。
了解下述定理：在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
方法、方法。
平面、及应用。
2、代数在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期，带的函数的图像。
，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
，一阶、二阶递归，法。
函数，求n次迭代，简单的函数方程。
n个变元的平均不等式，，及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括，，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，，，，，格点及其性质。
3、立体几何多面角，多面角的性质。
三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何直线的式，直线的，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它。
集合的划分。
覆盖。
西姆松线的存在性及性质()。
及其逆定理。
一、平面几何1. 梅涅劳斯定理（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。
2023年高中数学竞赛教案讲义立体几何
第十二章立体几何一、基础知识公理1 一条直线。
上假如有两个不一样旳点在平面。
内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．公理2 两个平面假如有一种公共点，则有且只有一条通过这个点旳公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一旳直线m，使得α∩β=m,且P∈m。
公理3 过不在同一条直线上旳三个点有且只有一种平面。
即不共线旳三点确定一种平面．推论l 直线与直线外一点确定一种平面．推论2 两条相交直线确定一种平面．推论3 两条平行直线确定一种平面．公理4 在空间内，平行于同一直线旳两条直线平行．定义1 异面直线及成角：不一样在任何一种平面内旳两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线旳平行线，这两条直线所成旳角中，不超过900旳角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交旳直线叫做异面直线旳公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间旳线段长度叫做两条异面直线之间旳距离．定义2 直线与平面旳位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．定义3 直线与平面垂直：假如直线与平面内旳每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 假如一条直线与平面内旳两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．定理2 两条直线垂直于同一种平面，则这两条直线平行．定理3 若两条平行线中旳一条与一种平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．定理4 平面外一点到平面旳垂线段旳长度叫做点到平面旳距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面旳距离都相等，这个距离叫做直线与平面旳距离．定义 5 一条直线与平面相交但不垂直旳直线叫做平面旳斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上旳射影．所有这样旳射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内旳射影．斜线与它旳射影所成旳锐角叫做斜线与平面所成旳角．结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小旳角．定理4 (三垂线定理)若d为平面。
高中数学竞赛题之平面几何概况
第一讲 注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线 .平行线是初中平面几何最基本的 ，也是非常 重要的图形•在证明某些平面几何问题时 ，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能使 证明顺畅、简洁•添加平行线证题，一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的需要.例1设P 、Q 为线段BC 上两点，且BP = CQ ，A 为BC 外一动点（如图1）.当点A 运动到使 / BAP = Z CAQ 时，△ ABC 是什么三角形？试证明你的结论 .答：当点A 运动到使/ BAP = Z CAQ 时，△ ABC 为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点 D.连结DA.在厶 DBP = Z AQC 中，显然 / DBP = Z AQC ，/ DPB = Z C.由 BP = CQ ，可知△ DBP ◎△ AQC. 有 DP = AC ，/ BDP = ZQAC.PM + PN = PK + KQ = PQ.这里,通过添加平行线，将PQ “掐开”成两段，证得PM = PK,就有PM + PN = PQ.证法于是，DA // BP ，/ BAP = Z BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆，且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB = DP. 所以AB = AC.这里，通过作平行线，将/ QAC “平推”到/ BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆， 使证明很顺畅.例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形，/ BAF =Z BCE.求证：/ EBA =Z ADE.P证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线，得交点P ，连PE."/由 AB L CD ，易知△ PBAECD.有 PA = ED ，PB = EC.显然，四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有 / BCE = Z BPE ，/ APE = Z ADE. 由/ BAF =Z BCE ，可知 / BAF = Z BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是，/ EBA =Z APE.这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过 起来./ APE 成为/ EBA 与/ ADE 相等的媒介，证法很巧妙. 2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等” 平行线，将某些线段“送”至胎当位置 ，以证题.例3 在厶ABC 中，BD 、CE 为角平分线，P 为ED 上任意一点.过P 分别作 AC 、AB 、BC 的 垂线，M 、N 、Q 为垂足.求证：PM + PN = PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F ，过点F 作BC 的平行线分别交 于 K 、G,连 PG.由BD 平行/ EP 显然，三匚=PD由CE 平分/ 所以，/ EBA = Z ADE. B 、A 、E 四点共圆，紧密联系这两条，常可通过添加ABC ，可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ = PN. E FCG=，可知 PG // EC.FD GDBCA ，知GP 平分/ FGA.有PK = PM.于是， C非常简捷.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边 ，所得对应线段成比例”，在一些问题中，可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化 •这在平面几何证题中是会经常遇到的•例4 设M 「M 2是厶ABC 的BC 边上的点,且BM j = CM 2.任作一直线分别交 AB 、AC 、AM 「AB ACAM 2 于 P 、Q 、N 1> N 2.试证：+AP AQ证明：如图4,若PQ // BC,易证结论成立.若PQ 与BC 不平行，设PQ 交直线BC 于D.过点AAB =匹 AC = CE AP DE , AQ B EAM i M 1E AM ,M 2E 血 AB [ AC BE CE M 1E M 2E,=. 贝 y +AN i DE AN , DE AP AQ DEDEAM 1 AN i AN ,AB +些=如+处 AP AQ AN 1AN 2这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为 DE,于是 问题迎刃而解•例5 AD 是厶ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK 交AC 于E, CK 交AB 于F.求证：/ FDA = / EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线，分别交直线 DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M.这里,原题并未涉及线段比，添加BC 的平行线，就有大量的比例式产生，恰当地运用这些比例式，就使AP 与AQ 的相等关系显现出来 4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理 ，用平行线将线段相等的关系传递开去 例6在厶ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且/ MDN =他 + AM , AN 1 AN 2A 作PQ 的平行线交直线 BC 于E.由 BM i = CM ,,可知 BE + CE = M 1E + M ,E,易知BDKDDC显然，-=ANKA AM有 BD • AM = DC • AN. ⑴亠AP AAM 七 BD A M由 =,有AP =.(2)BD F BBC BC亠AQA AN 七DC A N由-=AQ =⑶DCE C BC BC对比(1)、 ⑵ 、⑶有 AP = AQ.190° .如果BM2+ CN2= DM 2+ DN2,求证：AD2= (AB2+ AC2).4证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME. C由BD = DC,可知ED = DN.有△ BED◎△ CND .于是,BE = NC.显然，MD为EN的中垂线.有EM = MN.由BM2+ BE2= BM2+ NC2= MD2+ DN2= MN2= EM2,可知△ BEM 为直角三角形,/ MBE o有/ ABC + Z ACB =Z ABC +Z EBC= 90°. 于是,/ BAC = 90°.2所以,AD2= 1BC =丄(AB2+ AC2).12丿4这里,添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路例7 如图7, AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F,使EA= DA, FB = DB.过D作AB 的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足,连FA、EB.易知DB2= FB2= AB • HB,AD2= AE2= AG • AB.二式相减,得DB2—AD2= AB • (HB —AG),或(DB —AD) • AB = AB • (HB —AG).于是,DB —AD = HB —AG,或DB —HB = AD —AG. 就是DH = GD.显然，EG // CD // FH. 故CD 平分EF.这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH, 从而得到G、H两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相等如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束，DE是与BC平行的直线.于是,有DM AM ME 测DM ME 土DM BN= = ,即卩= 或= .BN AN NC BN NC ME NC此式表明，DM = ME的充要条件是BN= NC. 图7由 OF = OE,可知Rt △ OFQ 也Rt △ OEP. 贝U OQ = OP.于是,OK 为PQ 的中垂线，故 QK = KP. 所以,AK 平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用 .同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用练习题1. 四边形ABCD 中,AB = CD, M 、N 分别为AD 、BC 的中点，延长BA 交直线NM 于E,延长 CD 交直线 NM 于F.求证：/ BEN = Z CFN.（提示：设P 为AC 的中点，易证PM = PN.）2. 设 P ABC 边 BC 上一点,且 PC = 2PB.已知/ ABC = 45° , / APC = 60° .求/ ACB. （提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D.易证△ ACDPBA.答：75°）3. 六边开 ABCDEF 的各角相等，FA = AB = BC, / EBD = 60°, S ^EBD = 60cm 2.求六边形 ABCDEF 的面积.（提示：设EF 、DC 分别交直线 AB 于P 、Q,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M.所求面积 与二EMQD 面积相等.答：120cm 2）4. AD 为Rt △ ABC 的斜边BC 上的高，P 是AD 的中点，连BP 并延长交 AC 于E.已知AC: AB =k.求 AE: EC.1（提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F.设BC = 1,有AD = k, DC = k 2.答：-2）1 + k 25. AB 为半圆直径，C 为半圆上一点，CD 丄AB 于D, E 为DB 上一点，过D 作CE 的垂线交 CB 于F.求证：AD =CF DEFB（提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H. H CDF 的垂心.） 1 1 6.在厶 ABC 中，/ A: / B: / C = 4:2:1, / A 、/ B 、/ C 的对边分别为 a 、b 、c.求证：一+ —a b利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮 例8如图9, ABCD 为四边形，两组对边延长后得交点 线交EF 于G.E 、F 分别为O O 与BC 、CA 、AB AB 、AC 于 Q 、P 两点，连 OP 、OQ 、Q 四点共圆，有 E 四点共圆.有/ FOQ = / EOP./ FOQ = Z FKQ. / EOP = Z EKP.E 、M 、c（提示：在BC上取一点D,使AD = AB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于点E、F.）7. 分别以△ ABC的边AC和BC为一边在厶ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点.求证：P点到边AB的距离是AB的一半.8. △ ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE 于点H、G.求证：FH = HG.（提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.）9. AD为O O的直径，PD为O O的切线，PCB为O O的割线，PO分别交AB、AC于点M、N.求证：OM = ON.（提示：过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.AB// GF.）第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系，通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着 “点共圆”，此时若能把握问题提供的信息 ，恰当补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，就会使题设和结论的逻辑关系明朗化•1.1作出三角形的外接圆例1 如图1,在厶ABC 中,AB = AC, D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点 且/ BED = 2/ CED = Z A.求证：BD = 2CD.分析：关键是寻求/ BED = 2 / CED 与结论的联系.容易想到作/ BED 的平分线, 但因BE M ED,故不能直接证出 BD = 2CD.若延长 AD 交厶ABC 的外接圆于 F, 则可得EB = EF,从而获取.证明：如图1,延长AD 与厶ABC 的外接圆相交于点 F,连结CF 与BF,则/ BFA = / BCA = / ABC = Z AFC,即/ BFD = Z CFD .故 BF: CF = BD: DC.又/ BEF = Z BAC, / BFE = Z BCA,从而/ FBE =Z ABC = Z ACB = Z BFE. 故 EB = EF.作/ BEF 的平分线交 BF 于G,则BG = GF.1因/ GEF =/ BEF = Z CEF, / GFE = Z CFE,故厶 FEGFEC.从而 GF = FC.2于是,BF = 2CF.故 BD = 2CD. 1.2利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中，/ ABC = 60° , / BAD = Z BCD = 90° , AB = 2, CD = 1, 对角线 AC 、BD 交于点 O,如图2.则sin /AOB = _________________ . 分析：由/ BAD = / BCD = 90° 可知 A 、B 、C 、D四点共圆，欲求sin / AOB,联想到托勒密定理，只须求出BC 、AD 即可.解：因/ BAD = / BCD = 90° ,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P,则/ADP = / ABC = 60°设 AD = x,有 AP = . 3x, DP = 2x.由割线定理得(2 + . 3x) 3x = 2x(1 + 2x). 解得 AD = x = 2 .. 3 — 2, BC = — BP = 4—3 .2由托勒密定理有 BD • CA = (4 — .. 3)(2 ,3 — 2) + 2X 1 = 10 3 — 12.又 S ABC D = S A ABD + S A BCD = __3.2例3 已知：如图 3, AB = BC = CA = AD, AH 丄CD 于H,CP 丄BC, CP 交AH 于P.求证:J 3△ ABC 的面积S =』AP • BD.4J 3分析：因 S A ABC = BC 2 =4须证 AC • BC = AP • BD,转化为证△ APCBCD.这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证（Q 为 BD 与AH 交点）.证明：记BD 与AH 交于点 Q,则由AC = AD, AH 丄CD 得/ ACQ = / ADQ.又 AB = AD,故/ ADQ = / ABQ.15 + 6故 sin / AOB = 156 326-AC • BC,只4AF图1P图于是 ,S^ —3AC • BC = 3AP • BD.42构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信 息，此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加以解决 •2.1联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形 ABCD 中，AB // CD, AD = DC = DB = p, BC = q.求对角线 AC 的长. 分析：由“ AD = DC = DB = p ”可知A 、B 、C 在半径为p 的O D 上.利用圆的性质即 可找到AC 与p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的O D 于E 点，连结AE.显然A 、B 、C 在O D 上.•/ AB / CD, • BC = AE. 从而，BC = AE = q.在△ ACE 中,/ CAE = 90 ° ,CE = 2p, AE = q,故AC = .CE 2 - AE 2 =2.2联想直径的性质构造辅助圆例5已知抛物线y = — x 2 + 2x + 8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC.若在x 轴上侧的 A 点为抛物线上的动点，且/ BAC 为锐角，则AD 的取值范围是 ______________ .分析：由“/ BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段BC 为直径的圆外，又点A 在x 轴上 侧,从而可确定动点 A 的范围，进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为 A °(1,9),对称轴为x = 1,与x 轴交于两点B( — 2,0)、 C(4,0).分别以BC 、DA 为直径作O D 、O E,则两圆与抛物线均交于两点 P(1 — 2、、2,1)、Q(1 + 2 . 2 ,1).可知，点A 在不含端点的抛物线 PA 0Q 内时，/ BAC V 90° .且有3= DP = DQ V AD < DA 0 =9,即AD 的取值范围是3V AD < 9. 2.3联想圆幕定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ ABC 斜边BC 上的高，/ B 的平行线交 AD 于M,交AC 于N.求证：AB 2 — AN 2= BM • BN.分析：因 AB 2 — AN 2= (AB + AN)( AB — AN) = BM • BN,而由题设易知 AM = AN,联想割线定 理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,V/ 2 +/ 3=/ 4 +/ 5= 90° ,又/ 3=/ 4, / 1 = / 5, •••/ 1 = / 2.从而，AM = AN.以AM 长为半径作O A,交AB 于F,交BA 的延长线于 E.则AE = AF = AN.从而,/ ABQ = Z ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. •••/ APC = 90°+/ PCH = Z BCD, / CBQ = Z CAQ, •••△ APC s^ BCD. ••• AC • BC = AP • BD. C图4B •「 AEyA(1,9)(-2,0) (4,0)图5ED图6由割线定理有BM • BN = BF • BE = (AB + AE)( AB —AF) = (AB+ AN)( AB—AN) = AB2—AN2, 即AB2—AN2= BM • BN.例7 如图7, ABCD 是O O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于E,延长AB 和DC 相交于 E,延长AD 和BC 相交于F, EP 和FQ 分别切O O 于P 、Q.求证：EP 2 + FQ 2= EF 2.分析：因EP 和FQ 是O O 的切线，由结论联想到切割线定理，构造辅助圆使 EP 、FQ 向EF 转化• 证明：如图7,作厶BCE 的外接圆交EF 于G,连结CG.因/FDC =Z ABC = Z CGE,故 F 、D 、C 、G 四点共圆• 由切割线定理，有EF 2= (EG + GF) • EF = EG • EF + GF • EF = EC • ED + FC • FB =EC • ED + FC • FB = EP 2 + FQ 2,即 EP 2 + FQ 2= EF 2.2.4联想托勒密定理构造辅助圆例8 如图8, △ ABC 与厶A / B / C ，的三边分别为 a 、b 、c 与a ，、 b '、c ，,且/ B =Z B ， , / A + / A = 180° .试证：aa /=bb z+ cc ， 分析：因/ B = Z B / , / A +Z A ，= 180° ,由结论联想到托勒密定理 构造圆内接四边形加以证明.证明：作厶ABC 的外接圆，过C 作CD // AB 交圆于D,连结AD 和BD, 如图 9 所示.•••/ A +Z A / = 180°=Z A +Z D,练习题AB BD1.作一个辅助圆证明：△ ABC 中，若AD 平分Z A,贝U= .AC DCAB(提示：不妨设AB > AC,作厶ADC 的外接圆交 AB 于E,证厶ABC ^^ DBE ,从而 -AC=BD .) DC2.已知凸五边形 ABCDE 中，Z BAE = 3a, BC = CD = DE, Z BCD = Z CDE = 180°— 2a.求 证：Z BAC = Z CAD = Z DAE.(提示：由已知证明Z BCE = Z BDE = 180 ° — 3a,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆，得Z BAC =ZZ BCD = Z B =Z B ，=Z D, Z B ，=Z BCD.B ，C ， DCB.A' B' B'C' A'C' 即旦 DC又AB / a'b' DB有DC CB DB ac' ab'故 DC =, DB =.a' a'aDC,可知 BD = AC = b, BC = AD = a.从而，由托勒密定理，得 2 ac' , ab' 即 a = c • + b •.a'a'AD • BC = AB • DC + AC • 故 aa ，= bb ，+ cc ，BD,BD DECAD = Z DAE.)3. 在厶ABC 中AB = BC, / ABC = 20° ,在AB 边上取一点 M,使BM = AC.求/ AMC 的度数.1（提示：以BC 为边在△ ABC 外作正△ KBC,连结KM,证B 、M 、C 共圆，从而/ BCM =一/ BKM = 10° ,得/ AMC = 30° .）4. 如图10, AC 是 c ABCD 较长的对角线,过C 作CF 丄AF,CE 丄AE.求证：AB • AE + AD • AF = AC 2.（提示：分别以 BC 和CD 为直径作圆交 AC 于点 G 、H.则CG = AH,由割线定理可证得结论.）5. 如图11.已知O 01和O O 2相交于 A 、B,直线CD 过A 交O 01和O O 2于C 、D, 且AC = AD, EC 、ED 分别切两圆于 C 、D.求证：AC 2= AB • AE.（提示：作厶BCD 的外接圆O O 3,延长BA 交O O 3于F,证E 在O O 3上, 得厶ACE ◎△ ADF,从而AE = AF,由相交弦定理即得结论.） 6. 已知E 是厶ABC 的外接圆之劣弧 BC 的中点. 求证：AB • AC = AE 2— BE 2.（提示：以BE 为半径作辅助圆O E,交AE 及其延长线于 N 、M,由厶ANC ABM 证AB - AC =AN • AM.）b a7.若正五边形 ABCDE 的边长为a,对角线长为b,试证：兰一三=1.a b（提示：证b 2 = a 2 + ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.）第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理 的应用。
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反演
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质点重心，边框重心，面积重心，Newton 线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel 点，Newton 线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller 定理
重要轨迹
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特殊直线、圆
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特殊三角形
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