信号与系统课件10采样定理

t
m m

2s s
o s 2s
s
o
s

冲激取样信号的频谱
如图一连续信号f(t) 用取样脉冲序列s(t)(开关函数）进行 取样，取样间隔为TS，fS =1/TS称为 取样频率。
f(t) × s(t) fs(t)
1 … 0
f(t)
0 s(t)
t
… TS
f(t)s(t) 1
n s n n s


在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
• 冲激取样
f (t )
T t
s
f s (t )
o
F ( j )
1
t
T 3Ts 2T s s
o T 2Ts 3T t s
s s
s
3Ts 2Ts Ts
1 Ts
oT
s
2Ts 3Ts
Fa j
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
2、理想低通滤波器
具有如图所示幅频、相频特性的系 统称为理想低通滤波器。c称为截 止角频率。 理想低通滤波器的频率响应可写为：
|H(jω)| 1 ω -ωC 0 ωC θ (ω)
j t d , C e j t d H ( j ) g 2C ( ) e C 0,
(2)无失真传输条件：
y(t ) Kf (t td )
Y ( j) Ke
jtd
F ( j)
对一个冲击响应系统，要实现无失真传输，则
Y ( j ) jtd H ( j ) Ke F ( j )
即
H ( j ) K
( ) t d
K
H ( j) K
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信 号处理等方面占有十分重要的地位，该定理在连续 时间信号与系统和离散时间信号与系统、数字信号 与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答 了为什么可以用数字信号处理手段解决连续时间信 号与系统问题。
二、时域取样定理
当ωS ≥2ωm 时，将取样信号通过下面的低通滤波器
=
… -Ts 0 Ts 2Ts
… t
1 2
F(jω) 1 -ωm 0 ω m
ω Sδ
ωs (t)
FS(jω)
*
ω
( ω S) … -ωS 0 ωS …
=
1/TS ω
ω -ωS -ωm 0 ω m ω S
在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS ≥2ωm （频 谱不发生混叠），因此能设法(如利用低通滤波器)从 FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。 否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
冲激取样信号的频谱
f s (t ) f (t )s(t )
1 Fs ( j ) F j S ( j ) 2
n
S ( j ) F [ s(t )] F [ Ts (t )] F [ (t nTs )] s
1 1 Fs ( j ) F j S ( j ) F j s ( n s ) 2 2 n
|H(jω )| π ω
θ (ω ) 5 -5 0 -5Leabharlann Baidu(b) 5 ω
0 (a)
10
该系统是个 失真的系统 (A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
振幅不失真，相位失真 振幅不失真，相位不失真 振幅不失真，相位失真 振幅不失真，相位失真
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
y(t ) Kf (t td )
其频谱关系为
Y ( j) Ke
jtd
F ( j)
(2)无失真传输条件： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：
|H(jω)| K ω 0 θ (ω)
上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带 宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、 相频特性满足以上条件即可。
称为佩利-维纳准则。（必要条件） 从该准则可看出，对于物理可实现系统，其幅频特性可在某 些孤立频率点上为0，但不能在某个有限频带内为0。
4.9
取样定理
取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号
完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连
续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。 可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间 架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。 •信号的取样 •采样定理
冲激取样信号的频谱
当 s 2m 时 各相邻频谱相互分开
1 Ts
s
F ( j )
o
1 Ts
s

当 s 2m 时 各相邻频谱相互重叠
F ( j )
s
o
s

二、时域取样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什 么条件下才可以无失真地由抽样信号恢复原连续信 号。著名的抽样定理对此作了明确而精辟的回答。
三、频率响应H(j)的求法
1. H(j) = F [h(t)] 2. H(j) = Y(j)/F(j) (1) 由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。 (2) 由电路直接求出。
三、频率响应H(j)的求法
例1：某系统的微分方程为 y´(t) + 2y(t) = f(t) 求f(t) = e-tε(t)时的响应y(t)。 解：微分方程两边取傅里叶变换
3、物理可实现系统的条件
就时域特性而言，一个物理可实现的系统，其冲激响应在 t<0时必须为0， 即 h(t)=0 ，t<0 响应不应在激励作用之前出现。
就频域特性来说，佩利（Paley)和维纳（Wiener)证明了物理 可实现的幅频特性必须满足 ln H ( j ) 2 H ( j ) d 并且 1 2 d
TS , | | C H ( j ) 0, | | C
其截止角频率ωC取ωm <ωC <ωS -ωm 。即可恢复原信号。
由于 fs(t)= f(t)s(t) = f(t) (t nTs )
n

n
f (nT ) (t nT )
4.9
一、信号的取样
取样定理
所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信
号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。
这样得到的离散信号称为取样信号。
它是对信号进行数字处理的第一个环节。
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过 程得到的离散样值信号称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
Y ( j ) 1 jY(j) + 2Y(j) = F(j) H ( j ) F ( j ) j 2 1 -t f(t) = e ε(t)←→ F ( j ) j 1 1 1 1 Y(j) = H(j)F(j) ( j 1)( j 2) j 1 j 2
实际上是不可实现的非因果系统 (why?)。
由图可见理想低通滤波器的冲激响应延迟了t d 秒，而且输出脉冲在其建立之前和建立之后都出现 振荡现象，这种振荡一直延伸到 。实际上,当
t<0 时,输入信号尚未接入，对于现实的物理系统， 当然不可能有输出。这里的结果是由于采用了实际 上不可能实现的理想化传输特性所致。
n
( n )
s

1 Ts 1 Ts
n
F j ( n )
s

f(t)
× s(t)
fs(t)
n
F j ( n )
s
冲激取样信号的频谱
f(t)
δ
Ts(t)
fs(t)
…
×
0 t
(1) … -Ts 0 Ts 2Ts t
h(t ) F
1
[e
j t d
g 2 c
c ( )] Sac (t t d )
h(t ) F
1
[e
j t d
g 2 c
c ( )] Sac (t t d )
h(t ) F
1
[e
j t d
g 2 c
c ( )] Sac (t t d )
|H(jω )| π -10 ω
θ (ω ) 5 -5 0 -5 (b) 5 ω
0 (a)
10
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)
(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
(D) f(t) = cos2(4t)
例：系统的幅频特性 |H(jω)|和相频特性如图 (a)(b)所示，则下列信 号通过该系统时，不 -10 产生失真的是
f (t )
o
p (t )
t
o
TS
f s (t )
t
o
TS
t
抽样的原理方框图:
f (t )
fs (t )
A/D
f (n)
量化编码
p( t )
数字 滤波器
g( n)
D/ A
g(t )
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需 周期 要再经量化、编码等步骤变成数字信号。这 信号 种数字信号经传输、处理等步骤后，再经过 上述过程的逆过程就可恢复原连续信号。 需要解决两个问题： 1. 抽样信号 fs (t)的频谱Fs(ω)与原连续信号 f (t)的频谱F(ω) 的关系； 2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复原连续 信号 f (t) 。
2TS
得取样信号 f S ( t) = f ( t) s ( t) 取样信号fS(t)的频谱函数为 FS( j)=(1/2)F( j)*S( j)
…
3TS
t
0
TS
2TS
… 3TS t
冲激取样信号的频谱
s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t)
带限信号： f(t)的频谱只在区间（- m，m)为有限值， 其余区间为0 。
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
四、无失真传输与滤波
线性失真:
1、振幅失真:系统对信号中各频率分量的幅度 产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之 间的相对振幅关系发生了变化。
2、相位失真：系统对信号中各频率分量产生 的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴 上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使 信号产生新的频率分量。 非线性失真: 由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通 过系统后产生了新的频率分量。
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即 f (t ) F ( ) 抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p (t )
2 1 s 为抽样角频率， f s 为抽样频率 Ts Ts
n


Pn e j n s t P ( ) 2
n
P ( n )
在0~c 的低频段内，传输信号无失真（通带内不失真）。
2、理想低通滤波器
冲激响应
h(t ) F 1[e jtd g2c ()]
g (t ) Sa 2
t Sa 2g ( ) 2
2c Sact 2g2c ()
o
td

d ( ) td d
无失真传输系统的幅频特性和相频特性
理想条件。实际中，传输有限带宽的信号，只要在信号占有 频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。
例：系统的幅频特性 |H(jω)|和相频特性如图 (a)(b)所示，则下列信 号通过该系统时，不 产生失真的是
四、无失真传输与滤波
系统对于信号的作用大体可分为两类：
信号的传输
滤波 传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤 去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。
四、无失真传输与滤波
1、无失真传输
（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信 号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有 波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为
n s

频谱是原连续信号的频 Ts 为抽样间隔， 谱以抽样角频率为间隔 周期地延拓，频谱幅度 所以抽样信号的频谱为 受抽样脉冲序列的傅立 1 f s (t ) f (t ) p (t ) Fs ( ) F ( ) P ( ) 叶系数加权。
2

n
F ( ) P ( n ) P F ( n )