抽样定理
抽样定理
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1
混叠 (aliasing)
m 0 m
X (e jW )
X [ j( sam )] ...
1 T
X ( j)
X [ j( sam )] ...
sam
samm
0
m sam
sam
为什么进行信号抽样
输入 x(t)
x[k] 离散 y[k]
A/D
系统
D/A
用数字方式处理模拟信号
输出 y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
连续时间信号的时域抽样
什么是信号抽样 为什么进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用
5 非周期信号的频域分析 p 1
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 2
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 3
[x,Fs,Bits]=wavread(‘myhreat’); play(x) Fs=22,050 ; Bits=16
5 非周期信号的频域分析 p 5
如何进行信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 6
如何进行信号抽样
x[k ] x(t ) t kT
如何选取抽样间隔T？
5 非周期信号的频域分析 p 7
信号抽样的理论推导
x(t) tkT x[k ]
通信原理实验-抽样定理(总9页)
通信原理实验-抽样定理(总9页)
实验名称：抽样定理
实验目的：
1.理解抽样定理的意义和应用
2.掌握抽样定理的实验方法
实验原理：
抽样定理是通信原理中非常重要的一个原理，它是指在信号经过理想低通滤波器之后，如果采样频率大于等于信号频率的两倍，就可以完全恢复原始信号，这个定理也称为奈奎
斯特定理。
实验器材：
示波器、函数信号发生器、导线、面包板。
实验步骤：
1.将函数信号发生器的频率调整至1kHz，并将示波器连接至信号发生器输出端口检测波形。
2.在示波器上观察到正弦波形之后，将频率调整至5kHz，再次观察波形。
5.根据抽样定理的公式计算出采样频率，例如在10kHz时，采样频率应大于等于
20kHz。
6.将采样频率设置为30kHz，并观察波形。
7.继续提高采样频率直至可清晰观察到原始信号的波形。
实验结果：
在采样频率大于20kHz的情况下，可以清晰地观察到原始信号的波形。
在采样频率低
于20kHz的情况下，原始信号的波形会出现明显的径向失真。
实验分析：
在通信系统中，信号传输的过程中可能会发生失真现象，而抽样定理可以帮助我们消
除这种失真。
在本实验中，我们使用函数信号发生器产生不同频率的信号，并通过示波器
观察波形。
通过设置不同的采样频率，可以清晰地观察到原始信号的波形，并验证奈奎斯特定理的正确性。
通过本实验验证了奈奎斯特定理的正确性，即在采样频率大于信号频率的两倍时，可以完全恢复原始信号，避免信号采样带来的失真。
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。
E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。
此外，V。
A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。
采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。
采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。
限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。
抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。
大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。
抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。
抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。
1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。
1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。
抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
nyquist抽样定理
nyquist抽样定理
纳奎斯特抽样定理，又称纳奎斯特采样定理，是信号处理学中的一个重要定理，是由瑞典电子工程师Harry Nyquist于1928年提出的。
纳奎斯特抽样定理指出，要将连续时间的信
号无损地采样成离散时间的信号，采样频率必须大于原信号最大频率的两倍，即采样频率必须大于最高频率的两倍，也就是说，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
简单来说，纳奎斯特抽样定理指出，要想得到完整的信号，最低的采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
这就是所谓的“双倍频率”原理，也叫做“纳奎斯特抽样定理”。
纳奎斯特抽样定理的最重要的概念是：在采样之前，信号的频率是有限的；在采样之后，信号的频率也是有限的，其值为原信号最高频率的一半。
也就是说，如果原信号的最高频率不超过采样频率的一半，那么在采样过程中不会丢失任何有用的信息。
如果原信号的最高频率超过采样频率的一半，那么在采样过程中就会丢失一部分有用的信息。
纳奎斯特抽样定理给信号处理提供了重要的理论基础，在数字信号处理的各个领域都得到了广泛的应用。
它是必须掌握的重要定律，并且它的实践应用也十分重要。
纳奎斯特抽样定理在数字音频处理、数字图像处理、数字视频处理等方面都有重要的应用，尤其是在数字信号处理领域，它的实践应用更为重要。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
抽样定理
又有：
x(t ) = cos(Φ ) cos(
x p (t ) =
+∞ n = −∞
ωs
2
t ) − sin(Φ ) sin(
nT )δ (t − nT )
ωs
2
t)
∑ cos(Φ) cos( 2
ωs
结论
xp(t)作为输入加到截止频率为ωs/2的理想
低通滤波器上，其输出为
y (t ) = cos(Φ) cos(
2 假定以频率为二倍于该正弦信号频率的周 期单位冲激函数对它抽样。即抽样频率为 ω s。 抽样的冲激信号作为输入加到一个截至频 率为ωs/2的理想低通滤波器上。 x(t ) = cos(
ωs
t + Φ)
x p (t ) =
n = −∞
∑ x(nT )δ (t − nT )
+∞
其中T = 2π / ω s。
问题的提出：
抽样定理要求抽样频率大于或等于信号中最 高频率的两倍，但是等于的时候，会出现一 些问题。
为什么？
实际的例子
目的：确定圆盘的旋转方向。(抽样率ωs) ω0<ωs<2ω0 圆盘看起来是在倒转。(Why?)
考虑另一种情况
当ωs=2ω0时,不能确定圆 盘旋转方向。
信号的例子：
考虑下面正弦信号
ωs
2
t)
结果可见，x(t)的完全恢复仅仅发生在相位是 零的情况（或者2π整数倍的情况），否则信 号y(t)不等于x(t)。
极端的例子
考虑φ=-π/2的情况。这样有：
x(t ) = sin(
ωs
2
t)
该信号在抽样周期2π/ωs整倍数点上的 值都是零。在这个抽样率下所产生的信 号全是零。 当这个零输入加到该理想低通滤波器上 时，所得输出当然也都是零。
抽样定理的分析与仿真
抽样定理的分析与仿真抽样定理（Sampling theorem）是一种用于信号处理和统计学中的理论，它描述了在进行信号采样时，采样频率应该满足的最低条件，以确保从采样信号中可以恢复原始信号的全部信息。
抽样定理的原理是基于奈奎斯特-香农采样定理（Nyquist-Shannon sampling theorem）。
该定理提供了一个准确的方式来进行信号重建，即信号的采样频率必须大于等于信号中最高频率成分的两倍。
这样的采样频率可以确保在进行信号重建时，不会产生额外的混叠（aliasing），从而保留原始信号的频谱信息。
在进行抽样定理的分析和仿真时，首先需要明确信号的频谱特性和采样要求。
频谱特性可以通过信号的傅里叶变换来获得，而采样要求通常由信号的最高频率成分确定。
接下来，可以通过理论分析来验证抽样定理是否满足。
例如，可以运用奈奎斯特-香农采样定理，计算信号的最高频率成分和采样频率的关系，以确认是否满足最低采样频率要求。
如果采样频率低于最低要求，将会导致混叠现象，即信号的高频成分被错误地表示为低频成分。
因此，采样频率必须高于信号频率的两倍。
此外，还可以通过信号的重建进行仿真来验证抽样定理的有效性。
在进行仿真时，首先需要将信号进行离散化，即从连续时间域转换到离散时间域。
然后，可以基于抽样频率进行插值操作，以恢复原始信号。
最后，通过比较原始信号和重建信号的频谱信息来评估抽样定理的有效性。
在仿真过程中，可以考虑不同的采样频率，观察重建信号的质量如何随着采样频率的变化而变化。
如果采样频率低于最低要求，将会出现明显的混叠现象，而高于最低要求的采样频率，则可以正确地恢复原始信号。
总结来说，抽样定理的分析与仿真可以通过理论分析和信号重建过程来验证。
这种方法可以确保在信号采样过程中，满足最低采样频率要求，以保留原始信号的全部信息。
这对于信号处理和统计学应用非常重要，以确保准确和可靠的结果。
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
实验四、抽样定理
实验四、抽样定理
抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。
当采样频率 小于 时, 在接收端恢复的信号失真比较大, 这是因为存在信号的混频；当采样频率大于或等于奈奎斯特频率 时, 恢复信号与原信号基本一致。
理论上, 理想的抽样频率为2倍的奈奎斯特带宽, 但实际工程应用中, 限带信号绝不会严格限带, 且实际滤波器特性并不理想, 通常选取抽样频率的2.5～5倍的最高频率 进行采样以避免失真。
例如, 普通的话音信号带宽为3.4kHz 左右, 而抽样频率则通常选取8kHz 。
本实验被采样的模拟信号源是幅度1V 、频率为100Hz 的正弦波, 抽样脉冲为窄矩形脉冲, 脉宽为1微秒。
抽样器用乘法器代替。
用于恢复信号的低通滤波器采用三阶巴特沃斯低通滤波器（Butterworth ）。
为验证信号与恢复不失真条件和分析信号失真的原因, 我们分别选取了100Hz 、200Hz 、500Hz 等几种不同的抽样频率, 对原输入信号波形与抽样恢复后的波形进行观察和分析。
实验信号采样与恢复原理图:
信号采样与恢复的仿真模型如图:
1．实验要求: 信号源 信号预处理 LPF 抽样脉冲
恢复信号
2．根据要求搭建实验仿真的电路模型, 并进行参数设置, 系统采样速率为10kHz, 采样点为1024；
3．实验恢复过程, 为了便于观察, 将图中的两个增益置100；
4．观察原始信号、抽样脉冲、抽样信号、及恢复信号的波形与频谱；
5．将抽样脉冲频率分别置100、200、500Hz, 观察恢复后信号的波形的失真度, 验证抽样定理的要求；
6．观察图中使用的1.4两个LPF的作用；
将实验结果记录下来, 完成实验报告。
第3章-3.7抽样定理
X 1 ( )
IFT
0 0 0
1
0
x1 (t )
TM T0
0
t
3.7 抽样定理
频域抽样小结
时域抽样：x(t)是带宽 s 2M ；
频域抽样： ( ) 是时限 T0 2π 2TM 。 X 带限信号x(t)可利用矩形窗实现。 时域理想周期抽样对应频域离散、周期， 反之亦然。
3.7 抽样定理
已知这些样本值，信号重建方法：让抽样后
的信号通过一个增益为Ts, 截止频率大于M，而小于
（ s M）的理想滤波器，该滤波器的输出就是 x (t ) .
(0 )
P ( )
0
O
0
3.7 抽样定理
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必
须满足三个条件：
0
3.7 抽样定理
作业
习题3 3-29 3-30 3-31 3-32
3.7 抽样定理
解 （1）
1 f (2t ) F1 ( ) F ( ) 2 2
频带宽度为
2M 2 8 16 rad/s
奈奎斯特频率 N 2 2M 32 rad/s 奈奎斯特间隔 T 2 s N N 16
f (t / 2) F2 ( ) 2 F (2 )
3.7 抽样定理
理想抽样
理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号 进行抽样。其原理图如下：
x (t )
p (t )
xs (t ) x(t ) p(t )
n
(t nT )
s
Ts--采样间隔，s=2/Ts为抽样频率。
3.7 抽样定理
时域分析：
抽样定理
抽样定理是什么?
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
扩展资料
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax 的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍；采样定理又称奈奎斯特定理。
如果对信号的其它约束是已知的，则当不满足采样率标准时，完美重建仍然是可能的。
在某些情况下（当不满足采样率标准时），利用附加的约束允许近似重建。
这些重建的保真度可以使用Bochner定理来验证和量化。
问题：
[多选] 抽样定理的分类描述正确的有哪些（）。
A . 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理
B . 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，抽样定理分均匀抽样定理和非均匀抽样定理
C . 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，抽样定理分理想抽样定理和实际抽样定理
D . 以上都不对
参考答案： A, B, C。
抽样定理文档
抽样定理什么是抽样定理？抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了当样本数量足够大时，从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。
抽样定理广泛应用于各个领域的统计研究中，为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。
抽样定理的背景抽样定理最早由俄国数学家切比雪夫在1874年提出。
他证明了当总体为无限大且服从一定规律时，从总体中随机抽取的样本均值的分布将逐渐趋近于正态分布。
这个定理被广泛应用于概率论、数理统计以及其他与随机变量有关的领域中。
抽样定理的假设抽样定理的有效性基于以下几个重要的假设：1.总体是无限大的；2.样本的抽取是随机的；3.样本之间是相互独立的；4.样本的大小足够大。
这些假设是抽样定理成立的前提条件，只有在满足这些条件的情况下，我们才能应用抽样定理进行推断统计。
抽样定理的应用抽样定理为统计学的推断统计提供了有力的工具。
通过从总体中随机抽取样本，我们可以利用抽样定理来估计总体的参数。
例如，我们可以根据样本均值来估计总体的均值，根据样本标准差来估计总体的标准差等。
除了参数估计，抽样定理还可以用于假设检验。
通过计算样本均值与总体均值之间的差异，在一定的统计显著性水平下，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相差显著。
抽样定理的局限性尽管抽样定理在统计学中有着广泛的应用，但我们也需要注意它的局限性。
抽样定理仅适用于样本数量足够大的情况下，当样本数量较小时，抽样定理可能并不成立。
此外，抽样定理假设总体分布为正态分布，然而实际情况中总体的分布并不总是正态分布，这也是抽样定理的一大限制。
总结抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。
抽样定理为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。
然而，我们需要注意抽样定理的前提条件和限制，在应用抽样定理时要考虑到这些因素。
抽样定理在统计学中有着广泛的应用，为我们理解和推断总体提供了有力的工具。
以上是关于抽样定理的文档，希望能对您有所帮助！。
抽样定理实验原理
抽样定理实验原理
抽样定理是统计学中的一项重要原理，它可以帮助研究者在分析数据时得出准确的结论。
抽样定理的实验原理是通过从总体中随机抽取一部分样本，并对这些样本进行观察和分析，从而推断出总体的性质。
实际操作中，研究者需要按照一定的规则从总体中选择样本。
这种选择需要具备随机性，确保每个样本都有被选择的机会，并且不会受到任何外部因素的干扰。
通过随机抽样，可以减小样本选择的偏差，提高对总体的推断准确性。
在实验开始前，研究者需要确定样本的大小。
通常情况下，样本越大，推断总体特征的准确性就越高。
然而，样本大小的选择也需要考虑实际操作的可行性以及经济成本等因素。
当样本被选定后，研究者可以对样本进行观察和测量。
通过对样本数据的分析，可以获取有关总体的统计信息，如均值、方差等。
同时，抽样定理指出，样本均值的分布会逐渐接近总体均值，而样本方差的分布也会逐渐接近总体方差。
基于抽样定理的实验原理，研究者可以运用统计学中的各种方法，如假设检验、置信区间估计等，来推断总体的特征。
这些方法可以帮助研究者对数据进行分析和解释，进而得出科学结论。
总之，抽样定理的实验原理是通过随机抽样和样本观察来推断总体性质的一种统计学原理。
它在现实应用和科学研究中扮演
着重要角色，帮助研究者从有限的样本中获取对总体的准确认识。
抽样定理
抽样定理例题（1）解
证明：
线脉冲实质上也是二维的函数，只是沿 y 方向函数值不变，是常 数1。
f x, y x 1
系统对线脉冲的输出响应，即线响应也是二维的函数，可表示为
Lx L x δx hx, y
线响应的一维傅里叶变换则为
F L x F δ x h x, y fy H fx , fy H fx ,0
式中 XY 表示函数在空域覆盖的面积, B x B y 表示函数在频域中覆 盖的面积。在该区域的函数可由数目为 XYBx B y 的抽样值来 近似表示。 空间带宽积 SW 就定义为函数在空域和频域中所占有的面积之积：
SW XYBx B y
空间带宽积的意义
空间带宽积描述空间信号（如图象，场分布）的信息量，也可用来 描述成象系统、光信息处理系统的信息容量，即传递与处理信息 的能力。
f H f x , f y rect x 2B x f rect y 2B y
滤波过程可写作
f G s f x , f y rect x 2B x
fy rect 2B y
G f x , f y
Y ，并且 ，则 2By 2Bx
n m sinc2Bx x - n gx, y g , 2B 2B 2B n m x y x
m sinc2By y 2 B y
信息光学
抽样定理
1)分离方式取样; 2)进行信息处理; 3)再现原来的图形。 问题: • 怎么取样（选取样函数）？ • 取样必须满足什么条件才能恢复图象；
抽样定理
E Fs ( ) Ts 上式表明:
n s Sa( ) F ( n s ) 2 抽样性 周期性 n
信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs () 是连续信 号的频谱 F () 以取样角频率 s 为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列 的形状。 (p152 图3－50)
F ()
1
Fs ()
Es
－m
m
w
抽样后频谱
抽样前频谱
m
s
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从 Fs ()的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以 其频谱所占的频带几乎是无限宽。
§3.10~3.11 抽样与抽样定理
本次课讨论的内容为 :
一、信号的时域抽样 二、抽样定理 三、连续信号的恢复(内插公式) 四、时域抽样和频域抽样的类比
一. 取样的目的及所遇到的问题
模 拟 信 号 输 入
模 拟
抽 样
量 化
数字信号 处理器
信 号 输 出
A/ D 转换器
D/ A 转换器
数字信号处理系统简单框图
E n s dt Sa Ts 2
1 p( ) 2 Pn ( n s ) Fs ( ) F ( ) * p ( ) 2 n
E Fs ( ) Ts
理想取样
n s Sa F ( n s ) 2 n
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以 F () 是以 s 为周期等幅地重复，如下图所示：
6抽样定理
6抽样定理
抽样定理是指在总体（population）中，抽出若干个样本（sample）时，所得到的样本的特征可以代表总体的特征。
在实际研究中，由于无法对整个总体进行完整地调查和分析，因此通常只能对样本进行研究。
而抽样定理提供了这种研究的理论基础。
抽样定理有多种，下面介绍其中比较常见的六种抽样定理。
1. 大数定律
大数定律是指在独立同分布（IID）的条件下，随着样本量的增加，样本平均值的差异越来越小，趋近于总体平均值。
这表明，当样本足够大时，样本的平均值可以近似地代表总体的平均值。
这一定理常常被用于评估某个总体的均值。
5. 方差稳定定理
方差稳定定理是指，当总体的方差是一个已知数量的情况下，样本的方差在独立同分布（IID）条件下成为总体方差量级的倒数。
这表明，当总体方差已知时，可以通过样本方差来估算总体方差。
这一定理常常被用于评估总体方差。
6. 核密度估计定理
核密度估计定理是指，在总体分布不确定时，可以利用样本数据推断总体分布的一个估计函数，称为核密度估计函数。
这个定理依赖于一些假设前提，例如 KDE 的核函数和带宽的选择。
这一定理通常被用于非参数统计。
抽样定理的原理及应用
抽样定理的原理及应用1. 抽样定理的原理抽样定理是概率论中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，通过抽样可以准确地推断出总体的参数或分布情况。
抽样定理的原理基于大数定律和中心极限定理。
1.1 大数定律大数定律是概率论中的一个基本定律，它描述了在重复独立试验中，随着试验次数的增加，样本均值（或频率）将收敛于总体均值（或概率）。
换句话说，大数定律表明，通过增加样本数量，可以增加估计的准确性。
1.2 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和的分布将趋近于正态分布。
换句话说，中心极限定理表明，无论总体分布是什么样的，当样本容量足够大时，样本均值的分布都接近于正态分布。
2. 抽样定理的应用抽样定理在实际应用中具有广泛的用途。
下面将介绍抽样定理在统计学、市场调研和质量控制等领域的应用。
2.1 统计学中的应用在统计学中，抽样定理被广泛应用于构造信赖区间和进行参数估计。
信赖区间用于描述参数估计的不确定度，通过抽样获得的样本数据可以帮助我们估计总体参数的范围。
例如，通过抽样后的样本数据可以估计总体均值的信赖区间，从而推断总体均值的范围。
2.2 市场调研中的应用在市场调研中，抽样定理被用于确定样本容量的大小。
通过抽样的方式，可以从总体中选择一部分样本进行调研，以了解总体的特征。
抽样定理告诉我们，样本容量的大小与估计的准确性有关，通常情况下，样本容量越大，估计的准确性越高。
因此，在市场调研中，我们可以根据抽样定理计算出所需的样本容量，以确保研究结果的可靠性。
2.3 质量控制中的应用在质量控制中，抽样定理被用于进行抽样检验。
通过抽样的方式，可以从生产过程中选择一部分产品进行检验，以判断整体质量水平是否合格。
抽样定理告诉我们，当样本容量足够大时，可以通过抽样得到的样本数据准确地反映整体质量水平。
因此，在质量控制中，我们可以根据抽样定理确定合适的抽样容量，以保证检验结果的可靠性。
1.4 抽样定理
δ (x − x0 )g ( x) = δ ( x − x0 )g ( x0 )
x y gs (x, y) = comb comb g(x, y) X Y ∞ x ∞ y = ∑δ − n ∑ δ − mg(x, y) m=−∞ Y X n=−∞ ∞ 1 ∞ 1 ( x − Xn) ∑ δ ( y −Ym)g(x, y) = ∑δ X m=−∞ Y n=−∞ = XY ∑ = XY ∑
n=−∞ m=−∞ ∞ ∞
∑ ∑δ ( x − nX , y − mY)g(x, y) ∑ ∑δ ( x − nX , y − mY)g(nX , mY)
滤波函数:
H ( f x , f y ) = rect ( fx fx ) rect ( ) 2Bx 2By
∞
∞
n=−∞ m=−∞
从频域看 x y Gs ( f x , f y ) = ℑcomb comb ∗G( f x , f y ) X Y = XY comb( Xfx )comb(Y y ) ∗G( f x , f y ) f
∞
g(x)
G(fx)
⇔
x
× … 空 域 ||
0 comb(x/X)
﹡
-BX 0 BX Xcomb(Xfx)
fx
…
-2x -x 0 x 2x gs(x) x
⇔ ⇔
…
-1/x 0 1/x
…
fx
||
Gs(fx) fx
频 域
﹡
||
-2x -x 0 x 2x 2Bx 2Bxsinc(2Bxx)
x
-1/x
-BX 0 B1/x X rect(fx/2Bx)
x y comb comb X Y
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k
5 非周期信号的频域分析 p 10
信号抽样的理论推导
若连续信号x(t)的频谱为X(j )，离散序列
x[k] 频谱为 X(ejW),且存在
x[k] x(t) t kT
则有
X
(e jW )
1 T
X
n
(
j(
nsam )
)
(W T )
信号时域的离散化导致其频域的周期化
其中： T 为抽样间隔，sam=2p /T为抽样角频率
Байду номын сангаас
若件带下限，信信号号xx((tt))的 可最以高用角等频间北大19率隔3达学4为T克获年的ω塔得在抽m大物A，T样学理&则值学学T在公习博唯司满士。一工学1足表9作1位一7示，年。定.后在19条转耶17鲁～入
Bell电话实验室工作。
抽样间隔T需满足：
1927年，Nyquist确定了对某一
T π / m 1/(带且2宽在f m的抽)有样限率时达间到连一续定信数号值进时，行根抽据样，
h(t)
x(t)
抗混
x1(t)
低通滤波器
X ( j) 1
H ( j)
1
X1( j) 1
0
m
5 非周期信号的频域分析 p 19
0 m m
0 m
抽样定理的工程应用
✓ 混叠误差与截断误差比较
X(ejW)
...
1 T
sam
m
0 m
X (e jW )
1
...
T
5
非周期信号的频域分sa析m
m
p 20
0 m
解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号x(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对x(t)*x(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对x(t)x(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
5 非周期信号的频域分析 p 18
抽样定理的工程应用
许多实际工程信号不满足带限条件
为什么进行信号抽样
输入 x(t)
x[k] 离散 y[k]
A/D
系统
D/A
用数字方式处理模拟信号
输出 y(t)
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等 (4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
m 0 m
X (e jW )
X [ j( sam )] ...
1 T
X ( j)
X [ j( sam )] ...
sam
samm
0
m sam
sam
5 非周期信号的频域分析 p 14
2、时域取样定理
抽样定理总是假设信号是实信号的！由于实信号的幅度 频谱具有偶对称性，所以当抽样信号能唯一表示原信号时， 要求：抽样频率不能过低，至少需是最高频率的两倍。
从抽样信号fs(t)中完全恢复原信号f(t)，需满足两个条件：
(1) f(t) 的频谱函数在| | >m各处为零，即要求其在频域
有限(带限信号)，对应时域无限，工程上无法实现……
(2) 抽样间隔T 需满足 T π / m 1/(2 f m ) ，
或抽样频率fs需满足： fs 2fm （或ωs 2ω m） 。
fs = 2fm 定义为最小取样频率，称为Nyquist Rate。以上条件也 就是抽样后频谱不产生混叠的充分条件。
5 非周期信号的频域分析 p 15
Nyquist，美国物理学家，1889
抽样定年出理生的在内瑞容典。1976年在Texas逝
世。他对信息论做出了重大贡献。
1907年移民到美国并于1912年进入
实际滤波
1 F ( j) 理想
1 F ( j)
1 F ( j)
滤波
0
0 m
0 m
(2) 若连续时间信号 f (t) 的最高频率 fm 未知，
如何确定抽样间隔T？
取较大的T，从抽样信号频谱可发现有混叠，逐渐减小T，当前后2次抽样信号频 谱之间没有变化时，即可确定T
5 非周期信号的频域分析 p 22
fsam 2fm （或ω这复sa些原m 抽信 样号2ω。值m为可）不以使在原接波收形端产准生确“地半恢
fsam= 2fm
为最小抽样频率波，损称失”为，N采yq样ui率st至R少at应e. 为信号最
高频率的2倍，这就是著名的
5 非周期信号的频域分析 p 16
Nyquist采样定理。
信号抽样的实现
x(t)
5 非周期信号的频域分析 p 5
如何进行信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 6
如何进行信号抽样
x[k ] x(t ) t kT
如何选取抽样间隔T？
5 非周期信号的频域分析 p 7
信号抽样的理论推导
x(t) tkT x[k ]
?
x[k] x(t) t kT
X ( j)
X (e jW ) (W T )
5 非周期信号的频域分析 p 11
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1
m 0 m
X [ j( sam )] ...
sam
X (e jW )
1 T
X ( j)
m
sam /2 0 m
X [ j( sam )] ...
sam
5 非周期信号的频域分析 p 12
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
连续信号x(t)的频谱为X(j )，
离散序列x[k] 频谱为 X(ejW)
5 非周期信号的频域分析 p 8
信号抽样的理论推导
T (t) (t kT) k
sam () sam ( nsam) n
sam 2π / T
T (t) (1)
sam () (sam )
T 0 T
5 非周期信号的频域分析 p 9
连续时间信号的时域抽样
什么是信号抽样 为什么进行抽样 抽样定理的理论推导 抽样定理内容 抽样定理的应用
5 非周期信号的频域分析 p 1
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 2
什么是信号抽样
5 非周期信号的频域分析 p 3
[x,Fs,Bits]=wavread(‘myhreat’); play(x) Fs=22,050 ; Bits=16
sam 2m
X ( j) 1
m 0 m
X [ j( sam )] ...
X (e jW )
1 T
X(j)
sam m
0 m
X [ j( sam )]
...
sam
5 非周期信号的频域分析 p 13
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam 2m
X ( j) 1
混叠 (aliasing)
A/D
x[k]=x(kT)
T
x[k] x(t) t kT
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
5 非周期信号的频域分析 p 17
T
(s)
sam=2p/T (rad/s)
fsam=1/T (Hz)
已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算对 各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t)抽样不混叠的最 小抽样频率。
t
sam 0 sam
xsam(t) x(t)T (t) x(kT) (t kT) k
Xsam( j)
1 2π
X
(
j) *sam
n
(
nsam )
1 T n
X ( j( nsam))
X sam ( j) x(kT)e jkT x(kT)e jkΩ X (e jW )
k
X ( j) 1
sam
...
0
X1( j)
1
sam
m
0 m
...
不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fsam=44,100 Hz
抽样频率fsam=5,512 Hz
抽样频率fsam=5,512 Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
5 非周期信号的频域分析 p 21
思考题
(1) 根据时域抽样定理，对连续时间信号进行抽 样时，只需抽样速率 fs 2fm。在工程应用中， 抽样速率常设为 fs (3~5)fm，为什么？