抽样定理
信息光学07-抽样定理
g s x, y hx, y g x, y
f y fx rect hx,y F rect 2B 2 B x y 4 Bx By s inc2 Bx x sinc2 By y g nX,m Yδx nX,y m Y
函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内.只要 信号存在于有限的时空范围,就会有所有的频率分量. 严格的限带函数在物理上是不存在的.
但是,实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带. 高频分量携带的能量甚少.由于忽略高频分量, 所引入的误差 可以忽略, 故可近似看作限带函数.
因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义.
XY comb Xfx combYf y G( f x , f y )
x y comb comb G( f x , f y ) X Y
n m d f x , f y G( f x , f y ) X Y n m n m G f x , f y X Y n m
空域中的面积 频域中的面积
在该区域中函数可以用16XYBxBy个值近似表示. 定义: 空间带宽积SW (SBP)= 16XYBxBy
§1.4 抽样定理
3、空间带宽积
空间带宽积的物理意义
• 空间信号(图像、场分布)的信息容量 • 成像系统、信息存储、处理系统，存储和处理信息的能力
• 空间物体的自由度数或自由参数数N
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1.4 抽样定理 Sampling Theorem
抽样定理
抽样定理定义:在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以1/2 f h的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续的全部信息。
抽样定理在实际应用中应注意在抽样前后模拟信号进行滤波，把高于二分之一抽样频率的频率滤掉。
这是抽样中必不可少的步骤。
07年的抽样定理：设时间连续信号f（t），其最高截止频率为f m ，如果用时间间隔为T<=1/2f m的开关信号对f（t）进行抽样时，则f（t）就可被样值信号唯一地表示。
什么是A/D转换和D/A转换？什么是A/D转换和D/A转换？一。
什么是a/d.d/a转换：随着数字技术，特别是信息技术的飞速发展与普及，在现代控制。
通信及检测等领域，为了提高系统的性能指标，对信号的处理广泛采用了数字计算机技术。
由于系统的实际对象往往都是一些模拟量(如温度。
压力。
位移。
图像等),要使计算机或数字仪表能识别。
处理这些信号，必须首先将这些模拟信号转换成数字信号；而经计算机分析。
处理后输出的数字量也往往需要将其转换为相应模拟信号才能为执行机构所接受。
这样，就需要一种能在模拟信号与数字信号之间起桥梁作用的电路-模数和数模转换器。
将模拟信号转换成数字信号的电路，称为模数转换器(简称a/d转换器或adc,analog to digital converter)；将数字信号转换为模拟信号的电路称为数模转换器(简称d/a转换器或dac,digital to analog converter)；a/d转换器和d/a转换器已成为信息系统中不可缺俚慕涌诘缏贰？br>为确保系统处理结果的精确度，a/d转换器和d/a转换器必须具有足够的转换精度；如果要实现快速变化信号的实时控制与检测，a/d与d/a转换器还要求具有较高的转换速度。
转换精度与转换速度是衡量a/d与d/a转换器的重要技术指标。
信号与系统3.11抽样定理
（其中m＝2
fm），或者说，最低抽样频率为2f
。
m
第3章 傅里叶变换
从上一节可以
看出，假定信号f(t)
的频谱F( )限制在
-m～ m范围内，
若以间隔T（s 或重复
频率s＝
2
Ts
）对f(t)
进行抽样，抽样后
信号fs (t)的频谱
Fs ()是F ()以s为
周期重复。
只有满足抽样定理，才不会产生“频谱混叠”的现象。这样，抽样信号 保留了原来连续信号的全部信息，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。
由前面的例题已知它是抽样函数（Sa函数）。
第3章 傅里叶变换
h t
c
Sa(c t)
因为 fs t பைடு நூலகம் nTs t nTs n
所以
f t fs tht
n
f
nTs
t
nTs
c
Sa(c t)
= c
n
f
nTs Sa[c t nTs ]
这说明ft 可以展开成正交抽样函数Sa函数的无穷级数，级数的系数等于
2tm
则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。
从物理概念上不难理解，因为在频域中对F 进行抽样， 等效于f t 在时域中重复。只要抽样间隔不大于 1 ，则在时
2tm 域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真 地恢复出原信号f(t)。
（Nyquist）频率”，把最大允许的抽样间隔
Ts＝
m
＝1 2fm
称为“奈奎斯特间隔”。
(二第3)章由傅抽里叶样变换信号恢复原连续信号
从前图可以看出，在满足抽样定理的条件下，
为了从频谱Fs ()在无失真地选出F()，可以用如 下的矩形函数H()与Fs ()相乘，即
抽样定理
抽样定理是通信理论中的一个重要定理，它是模拟信号数字化的理论基础，包括时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理，也称为香农采样定律和奈奎斯特采样定律，是信息论特别是通信和信号处理中的重要基础结论。
E.T.惠特克（统计理论发表于1915年），克劳德·香农和哈里·奈奎斯特对此做出了重要贡献。
此外，V。
A. Kotelnikov也对该定理做出了重要贡献。
采样是将信号（即空间中的连续函数）转换为数字序列（即空间中的离散函数）。
采样后的离散信号通过保持器后，获得具有零阶保持器特性的阶跃信号。
如果信号受频带限制，并且采样频率高于信号最高频率的两倍，则可以从采样样本中完全重建原始连续信号。
限带信号转换的速度受到其最高频率分量的限制，也就是说，其在离散时间采样和表达信号细节的能力非常有限。
抽样定理意味着，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的一半），那么这些离散采样点就可以完全代表原始信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量将导致混叠。
大多数应用都需要避免混叠，混叠的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程中应遵循的定律也称为抽样定理和抽样定理。
抽样定理解释了采样频率和信号频谱之间的关系，这是连续信号离散化的基本基础。
抽样定理最早是由美国电信工程师H. Nyquist于1928年提出的，因此被称为Nyquist抽样定理。
1933年，苏联工程师科特尔尼科夫首次严格地通过公式表达了这一原理，因此在苏联文学中被称为科特尔尼科夫抽样定理。
1948年，信息理论的创始人C.E. Shannon 清楚地解释了这一原理，并将其正式引用为一个定理，因此在许多文献中也称为Shannon抽样定理。
抽样定理有很多表达式，但是最基本的表达式是时域抽样定理和频域抽样定理。
抽样定理广泛应用于数字遥测系统，时分遥测系统，信息处理，数字通信和采样控制理论中。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
信号的抽样与恢复(抽样定理)
信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。
它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。
抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。
一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。
抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。
抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。
具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。
这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。
抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。
它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。
这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。
如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。
抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。
当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。
三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。
采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。
例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。
抽样定理
又有：
x(t ) = cos(Φ ) cos(
x p (t ) =
+∞ n = −∞
ωs
2
t ) − sin(Φ ) sin(
nT )δ (t − nT )
ωs
2
t)
∑ cos(Φ) cos( 2
ωs
结论
xp(t)作为输入加到截止频率为ωs/2的理想
低通滤波器上，其输出为
y (t ) = cos(Φ) cos(
2 假定以频率为二倍于该正弦信号频率的周 期单位冲激函数对它抽样。即抽样频率为 ω s。 抽样的冲激信号作为输入加到一个截至频 率为ωs/2的理想低通滤波器上。 x(t ) = cos(
ωs
t + Φ)
x p (t ) =
n = −∞
∑ x(nT )δ (t − nT )
+∞
其中T = 2π / ω s。
问题的提出：
抽样定理要求抽样频率大于或等于信号中最 高频率的两倍，但是等于的时候，会出现一 些问题。
为什么？
实际的例子
目的：确定圆盘的旋转方向。(抽样率ωs) ω0<ωs<2ω0 圆盘看起来是在倒转。(Why?)
考虑另一种情况
当ωs=2ω0时,不能确定圆 盘旋转方向。
信号的例子：
考虑下面正弦信号
ωs
2
t)
结果可见，x(t)的完全恢复仅仅发生在相位是 零的情况（或者2π整数倍的情况），否则信 号y(t)不等于x(t)。
极端的例子
考虑φ=-π/2的情况。这样有：
x(t ) = sin(
ωs
2
t)
该信号在抽样周期2π/ωs整倍数点上的 值都是零。在这个抽样率下所产生的信 号全是零。 当这个零输入加到该理想低通滤波器上 时，所得输出当然也都是零。
《数字信号处理教学课件》3.10 抽样定理
c2
1
1
2 1
1
0
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.15
0.25
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
2 1
2 1 1
0
1
1
1
0
0.15
2 1
0.25
例3-10-1
BACK 例如音频信号：0～3.4KHz，
fs 2 fm
信号无失真恢复
抽样频谱 连续信号：
恢复
在满足时域抽样定理条件下使 T s s 2 F Fs H , 其中H 0 s 2 矩形函数H(w)与Fs(w)相乘。 即将f (t )的抽样f s t 施于“理想低通滤波器”H ,
可从f s t 的频谱Fs 无失真地选出f (t )的F ， 再由滤波器输出端恢复f(t)。
二、频域抽样定理
根据时域和频域对称性，可推出频域抽样定理
c f (t ) f (nTs ) Sa[ c (t nTs )] n
偶函数
变 量 置 换
时分复用
n n F ( ) F Sa t ( ) m t tm n m
若信号 f (t ) 为时限信号，它集中在 tm tm 的时间范围内，若在频域中， 以不大于 1 2tm 的频率间隔对 f (t ) 的频谱 F ( ) 进行抽样，则抽样后的频谱 F1 ( )可以唯一 地表示原信号。
f (t ) d t
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
抽样定理
抽样定理词义就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T抽取一个瞬时幅度值分类时域抽样定理、频域抽样定理基本定义所谓抽样，就是对时间连续的信号隔一定的时间间隔T 抽取一个瞬时幅度值（样值），抽样是由抽样门完成的。
在一个频带限制在（0，f h）内的时间连续信号f（t），如果以小于等于1/(2 f h)的时间间隔对它进行抽样，那么根据这些抽样值就能完全恢复原信号。
或者说，如果一个连续信号f（t）的频谱中最高频率不超过f h，这种信号必定是个周期性的信号，当抽样频率f S≥2 f h时，抽样后的信号就包含原连续信号的全部信息，而不会有信息丢失，当需要时，可以根据这些抽样信号的样本来还原原来的连续信号。
根据这一特性，可以完成信号的模-数转换和数-模转换过程。
意义介绍抽样定理指出，由样值序列无失真恢复原信号的条件是f S≥2 f h ，为了满足抽样定理，要求模拟信号的频谱限制在0～f h之内（fh为模拟信号的最高频率）。
为此，在抽样之前，先设置一个前置低通滤波器，将模拟信号的带宽限制在fh以下，如果前置低通滤波器特性不良或者抽样频率过低都会产生噪声。
例如，话音信号的最高频率限制在3400HZ，这时满足抽样定理的最低的抽样频率应为fS=6800HZ，为了留有一定的防卫带，CCITT规定话音信号的抽样率fS=8000HZ，这样就留出了8000-6800=1200HZ作为滤波器的防卫带。
应当指出，抽样频率fS不是越高越好，太高时，将会降低信道的利用率（因为随着fS升高，数据传输速率也增大，则数字信号的带宽变宽，导致信道利用率降低。
）所以只要能满足fS≥2f h,并有一定频带的防卫带即可。
以上讨论的抽样定理实际上是对低通信号的情况而言的，设模拟信号的频率范围为f0～fh，带宽B=fh - f0.如果f0<B，称之为低通型信号，例如，话音信号就是低通型信号的，弱f0>B，则称之为带通信号，载波12路群信号（频率范围为60～108KHZ）就属于带通型信号。
实验四、抽样定理
实验四、抽样定理
抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。
当采样频率 小于 时, 在接收端恢复的信号失真比较大, 这是因为存在信号的混频；当采样频率大于或等于奈奎斯特频率 时, 恢复信号与原信号基本一致。
理论上, 理想的抽样频率为2倍的奈奎斯特带宽, 但实际工程应用中, 限带信号绝不会严格限带, 且实际滤波器特性并不理想, 通常选取抽样频率的2.5～5倍的最高频率 进行采样以避免失真。
例如, 普通的话音信号带宽为3.4kHz 左右, 而抽样频率则通常选取8kHz 。
本实验被采样的模拟信号源是幅度1V 、频率为100Hz 的正弦波, 抽样脉冲为窄矩形脉冲, 脉宽为1微秒。
抽样器用乘法器代替。
用于恢复信号的低通滤波器采用三阶巴特沃斯低通滤波器（Butterworth ）。
为验证信号与恢复不失真条件和分析信号失真的原因, 我们分别选取了100Hz 、200Hz 、500Hz 等几种不同的抽样频率, 对原输入信号波形与抽样恢复后的波形进行观察和分析。
实验信号采样与恢复原理图:
信号采样与恢复的仿真模型如图:
1．实验要求: 信号源 信号预处理 LPF 抽样脉冲
恢复信号
2．根据要求搭建实验仿真的电路模型, 并进行参数设置, 系统采样速率为10kHz, 采样点为1024；
3．实验恢复过程, 为了便于观察, 将图中的两个增益置100；
4．观察原始信号、抽样脉冲、抽样信号、及恢复信号的波形与频谱；
5．将抽样脉冲频率分别置100、200、500Hz, 观察恢复后信号的波形的失真度, 验证抽样定理的要求；
6．观察图中使用的1.4两个LPF的作用；
将实验结果记录下来, 完成实验报告。
第3章-3.7抽样定理
X 1 ( )
IFT
0 0 0
1
0
x1 (t )
TM T0
0
t
3.7 抽样定理
频域抽样小结
时域抽样：x(t)是带宽 s 2M ；
频域抽样： ( ) 是时限 T0 2π 2TM 。 X 带限信号x(t)可利用矩形窗实现。 时域理想周期抽样对应频域离散、周期， 反之亦然。
3.7 抽样定理
已知这些样本值，信号重建方法：让抽样后
的信号通过一个增益为Ts, 截止频率大于M，而小于
（ s M）的理想滤波器，该滤波器的输出就是 x (t ) .
(0 )
P ( )
0
O
0
3.7 抽样定理
将抽样定理进一步分解，则要将连续时间信号离散化必
须满足三个条件：
0
3.7 抽样定理
作业
习题3 3-29 3-30 3-31 3-32
3.7 抽样定理
解 （1）
1 f (2t ) F1 ( ) F ( ) 2 2
频带宽度为
2M 2 8 16 rad/s
奈奎斯特频率 N 2 2M 32 rad/s 奈奎斯特间隔 T 2 s N N 16
f (t / 2) F2 ( ) 2 F (2 )
3.7 抽样定理
理想抽样
理想抽样就是以周期性冲激串来对连续时间信号 进行抽样。其原理图如下：
x (t )
p (t )
xs (t ) x(t ) p(t )
n
(t nT )
s
Ts--采样间隔，s=2/Ts为抽样频率。
3.7 抽样定理
时域分析：
信号与系统§3.11 抽样定理
当s 2m时，不满足抽样定理，fs t 的频谱出现混叠，
在 时 域 图 形 中 ， 因Ts过 大 使 冲 激 响 应Sa函 数 的 各 波 形 在 时
间 轴 上 相 隔 较 远 ， 无 论如 何 选 择 c 都 不 可 能 使 迭 加 后 的 波
形恢复f t。
由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的 系统都相当困难，因而在数字通信系统中广泛采用零阶 抽样保持来产生和传输信号，在收端利用补偿滤波器恢 复连续时间信号。
§3.11 抽样定理
பைடு நூலகம்
主要内容
抽样定理 由抽样信号恢复原信号
重点 抽样定理 难点 由抽样信号恢复原信号
一．抽样定理
1．对信号抽样 （1）抽样前滤波→有限频带 （2）抽样率足够高 （3）抽样后接理想低通滤波器，滤除高频分量
2．抽样定理
一个频率受限的信号f(t) ,若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
二．由抽样信号恢复原信号
理想低通滤波器
S 2m 1 F S
TS
H T0s
c c
S
F Fs H f t fs t ht
om
S
S m
H
TS
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域运算时域解释
C o C
F
1
o
m
m
时域运算
以理想抽样为例
时 域 ： f s (t) f (t) T (t) f (nTs ) (t nTs )
n
频 域 ：Fs
抽样定理文档
抽样定理什么是抽样定理？抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了当样本数量足够大时，从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。
抽样定理广泛应用于各个领域的统计研究中，为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。
抽样定理的背景抽样定理最早由俄国数学家切比雪夫在1874年提出。
他证明了当总体为无限大且服从一定规律时，从总体中随机抽取的样本均值的分布将逐渐趋近于正态分布。
这个定理被广泛应用于概率论、数理统计以及其他与随机变量有关的领域中。
抽样定理的假设抽样定理的有效性基于以下几个重要的假设：1.总体是无限大的；2.样本的抽取是随机的；3.样本之间是相互独立的；4.样本的大小足够大。
这些假设是抽样定理成立的前提条件，只有在满足这些条件的情况下，我们才能应用抽样定理进行推断统计。
抽样定理的应用抽样定理为统计学的推断统计提供了有力的工具。
通过从总体中随机抽取样本，我们可以利用抽样定理来估计总体的参数。
例如，我们可以根据样本均值来估计总体的均值，根据样本标准差来估计总体的标准差等。
除了参数估计，抽样定理还可以用于假设检验。
通过计算样本均值与总体均值之间的差异，在一定的统计显著性水平下，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相差显著。
抽样定理的局限性尽管抽样定理在统计学中有着广泛的应用，但我们也需要注意它的局限性。
抽样定理仅适用于样本数量足够大的情况下，当样本数量较小时，抽样定理可能并不成立。
此外，抽样定理假设总体分布为正态分布，然而实际情况中总体的分布并不总是正态分布，这也是抽样定理的一大限制。
总结抽样定理是统计学中一个重要的概念，它指出了从一个总体中得到的样本均值的分布将趋向于正态分布。
抽样定理为我们提供了一种有效的估计总体参数的方法。
然而，我们需要注意抽样定理的前提条件和限制，在应用抽样定理时要考虑到这些因素。
抽样定理在统计学中有着广泛的应用，为我们理解和推断总体提供了有力的工具。
以上是关于抽样定理的文档，希望能对您有所帮助！。
6抽样定理
6抽样定理
抽样定理是指在总体（population）中，抽出若干个样本（sample）时，所得到的样本的特征可以代表总体的特征。
在实际研究中，由于无法对整个总体进行完整地调查和分析，因此通常只能对样本进行研究。
而抽样定理提供了这种研究的理论基础。
抽样定理有多种，下面介绍其中比较常见的六种抽样定理。
1. 大数定律
大数定律是指在独立同分布（IID）的条件下，随着样本量的增加，样本平均值的差异越来越小，趋近于总体平均值。
这表明，当样本足够大时，样本的平均值可以近似地代表总体的平均值。
这一定理常常被用于评估某个总体的均值。
5. 方差稳定定理
方差稳定定理是指，当总体的方差是一个已知数量的情况下，样本的方差在独立同分布（IID）条件下成为总体方差量级的倒数。
这表明，当总体方差已知时，可以通过样本方差来估算总体方差。
这一定理常常被用于评估总体方差。
6. 核密度估计定理
核密度估计定理是指，在总体分布不确定时，可以利用样本数据推断总体分布的一个估计函数，称为核密度估计函数。
这个定理依赖于一些假设前提，例如 KDE 的核函数和带宽的选择。
这一定理通常被用于非参数统计。
抽样定理的原理及应用
抽样定理的原理及应用1. 抽样定理的原理抽样定理是概率论中的一个重要定理，它指出了在一定条件下，通过抽样可以准确地推断出总体的参数或分布情况。
抽样定理的原理基于大数定律和中心极限定理。
1.1 大数定律大数定律是概率论中的一个基本定律，它描述了在重复独立试验中，随着试验次数的增加，样本均值（或频率）将收敛于总体均值（或概率）。
换句话说，大数定律表明，通过增加样本数量，可以增加估计的准确性。
1.2 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量相互独立的随机变量之和的分布将趋近于正态分布。
换句话说，中心极限定理表明，无论总体分布是什么样的，当样本容量足够大时，样本均值的分布都接近于正态分布。
2. 抽样定理的应用抽样定理在实际应用中具有广泛的用途。
下面将介绍抽样定理在统计学、市场调研和质量控制等领域的应用。
2.1 统计学中的应用在统计学中，抽样定理被广泛应用于构造信赖区间和进行参数估计。
信赖区间用于描述参数估计的不确定度，通过抽样获得的样本数据可以帮助我们估计总体参数的范围。
例如，通过抽样后的样本数据可以估计总体均值的信赖区间，从而推断总体均值的范围。
2.2 市场调研中的应用在市场调研中，抽样定理被用于确定样本容量的大小。
通过抽样的方式，可以从总体中选择一部分样本进行调研，以了解总体的特征。
抽样定理告诉我们，样本容量的大小与估计的准确性有关，通常情况下，样本容量越大，估计的准确性越高。
因此，在市场调研中，我们可以根据抽样定理计算出所需的样本容量，以确保研究结果的可靠性。
2.3 质量控制中的应用在质量控制中，抽样定理被用于进行抽样检验。
通过抽样的方式，可以从生产过程中选择一部分产品进行检验，以判断整体质量水平是否合格。
抽样定理告诉我们，当样本容量足够大时，可以通过抽样得到的样本数据准确地反映整体质量水平。
因此，在质量控制中，我们可以根据抽样定理确定合适的抽样容量，以保证检验结果的可靠性。
抽样定理
采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker （1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用[1]。
抽样定理
抽样定理以一定的时间间隔T提取时间连续信号的瞬时振幅值（采样值），并由采样门完成采样。
采样定理指出，从采样序列中恢复原始信号的条件是f S≥2 f h。
为了满足采样定理，有必要将模拟信号的频谱限制为0〜f h（fh是模拟信号的最高频率）。
因此，在采样之前，请设置一个低通滤波器以将模拟信号的带宽限制在fh以下。
如果预低通滤波器的特性很差或采样频率太低，则会产生折叠噪声。
例如，语音信号的最大频率被限制为3400HZ。
此时，满足采样定理的最小采样频率应为fS = 6800HZ。
为了离开某个防御区域，CCITT指定语音信号的采样率fS = 8000HZ，因此将8000-6800 = 1200HZ用作滤波器的防御区域。
应当注意，采样频率fS将不会尽可能高。
如果过高，则会降低信道利用率（由于fS的增加，数据传输速率也会提高，数字信号的带宽也会变宽，从而导致信道利用率下降。
）当fS≥2f h时，具有一定的防御频段。
上面讨论的采样定理实际上是针对低通信号的。
假设模拟信号的频率范围为f0〜fh，带宽B = fh-f0。
如果f0 <B，则称为低通信号。
例如，语音信号是低通信号，并且弱f0> B称为带通信号。
12组载波信号（频率范围60〜108KHZ）为带通信号。
对于低通信号，应满足fS≥2fh的条件；对于带通信号，如果仍然使用此采样，尽管可以满足采样频谱中不重叠的要求，但fS无疑太高（由于高频段，通过信号fh高），这会降低信道带宽利用率，这是不希望的。
采样定理：假设一个时间连续信号f（t），如果时间间隔T <= 1 / 2f m，则最高截止频率为f m当f（t）的开关信号被采样时，则f（t）可以由采样信号唯一地表示。
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实验一 抽样定理实验一、实验目的1、了解抽样定理在通信系统中的重要性2、掌握自然抽样及平顶抽样的实现方法3、理解低通采样定理的原理4、理解实际的抽样系统5、理解低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响6、理解低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响7、理解平顶抽样产生孔径失真的原理8、理解带通采样定理的原理二、实验内容1、验证低通采样定理原理2、验证低通滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响3、验证低通滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响4、验证带通抽样定理原理5、验证孔径失真的原理三、实验原理抽样定理原理：一个频带限制在（0，H f ）内的时间连续信号()m t ，如果以T ≤H f 21秒的间隔对它进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
（具体可参考《信号与系统》）我们这样开展抽样定理实验：信号源产生的被抽样信号和抽样脉冲经抽样/保持电路输出抽样信号，抽样信号经过滤波器之后恢复出被抽样信号。
抽样定理实验的原理框图如下：抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号图1抽样定理实验原理框图抽样/保持被抽样信号抽样脉冲低通滤波器抽样恢复信号低通滤波器图2实际抽样系统为了让学生能全面观察并理解抽样定理的实质，我们应该对被抽样信号进行精心的安排和考虑。
在传统的抽样定理的实验中，我们用正弦波来作为被抽样信号是有局限性的，特别是相频特性对抽样信号恢复的影响的实验现象不能很好的展现出来，因此，这种方案放弃了。
另一种方案是采用较复杂的信号，但这种信号不便于观察，如图所示：被抽样信号抽样恢复后的信号图3复杂信号抽样恢复前后对比你能分辨图中抽样恢复后信号的失真吗？因此，我们选择了一种不是很复杂，但又包含多种频谱分量的信号：“3KHz正弦波”+“1KHz正弦波”，波形及频谱如所示：图1被抽样信号波形及频谱示意图对抽样脉冲信号的考虑大家都知道，理想的抽样脉冲是一个无线窄的冲激信号，这样的信号在现实系统中是不存在的，实际的抽样脉冲信号总是有一定宽度的，很显然，这个脉冲宽度（简称脉宽）对抽样的结果是有影响的，这就是课本上讲的“孔径失真”，用不同的宽度的脉冲信号来抽样所带来的失真程度是不一样的，为了让大家能很好地理解和观察孔径失真现象，我们将抽样脉冲信号设计为脉宽可调的信号，在实验中大家可以一边调节脉冲宽度，一边从频域和时域两个方面来观察孔径失真现象。
为了保证将抽样信号进行很好的、无失真地恢复，低通滤波器必须保证以下两点：带宽满足要求，包括其通带和阻带的带宽图2被抽样信号的频谱图3被抽样信号经9KHz抽样脉冲抽样的信号频谱图4低通滤波器的幅频特性曲线图5抽样信号经低通滤波之后的频谱上面一组图显示低通滤波器通带是符合要求的，1KHz、3KHz信号的频谱均没有失真；但阻带的衰减不够。
因此，恢复的信号中还残留了6KHz、8KHz的杂波。
相频特性满足要求，不能对某些频率成分产生很大的相移（或者说延时），而对某些频率成分产生较小的相移。
这一点往往会在实际的设计工作中被工程师们忽视，我想，我们国内的产品往往在性能上逊色于欧美国家产品，在很大程度上可能就是因为类似这些我们并没有认真理解且一直被我们忽视的细节吧。
所以这里请大家一定要认真观测并进行理解。
图6被抽样信号的合成示意图图7抽样恢复信号的合成示意图图6中可以看到1KHz与3KHz信号均从0相位开始。
而图7是抽样恢复后的信号经过滤波器波形合成的示意图，可以看到3KHz正弦波相对1KHz相位不再是从0开始了。
虽然单独看图7中1KHz和3KHz信号都没有失真，但对比抽样恢复信号和图6中的被抽样信号，抽样恢复信号明显失真了。
抽样定理电路原理框图如图8所示。
其中，抽样/保持电路是U3（LF398）完成的，自然抽样/平顶抽样的切换由S1控制。
低通滤波器是由U7（TL084）构成的8阶巴特沃斯低通滤波器，而且低通滤波器还可以由FPGA实现IIR（8阶椭圆滤波器）或FIR低通滤波器（200阶Hanning窗低通滤波器），数字滤波器的输入端口是“编码输入”（TH13），输出端口是“译码输出”（TH19），数字滤波器的切换在主控模块的菜单中设置。
△!注意：数字滤波器的端口与信源编译码部分的端口进行了复用。
被抽样信号抽样脉冲LPF-OUT译码输出图8 抽样定理电路原理框图孔径失真：平顶抽样有利于解调后提高输出信号的电平，但却会引入信号频谱失真2/)2/(ωτωτSin，τ为抽样脉冲宽度。
通常在实际设备里，收端必须采用频率响应为)2/(2/ωτωτSin的滤波器来进行频谱校准，抵消失真。
这种频谱失真称为孔径失真。
实验内容概述：1、抽样定理验证：通过改变抽样脉冲的频率，观测抽样输出和低通滤波器的输出信号，检验抽样定理的正确性。
2、实际的抽样系统：实际的抽样系统在抽样保持电路的前端会加入一个低通滤波器做为抗混叠滤波器（用的是模拟的8阶巴特沃斯低通滤波器）。
我们会在被抽样信号中加入另外一种杂波（7K正弦波），然后比较加了抗混叠滤波器和没加抗混滤波器两种情况抽样及恢复的情况。
3、低通滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响：比较8阶巴特沃斯模拟低通滤波器和200阶hanning窗的FIR低通数字滤波器的幅频特性对抽样信号恢复的影响。
首先，需要测试滤波器的幅频特性曲线。
然后，重复抽样定理验证实验的步骤。
换一种滤波器再重复前面的步骤。
比较两种滤波器对抽样信号恢复效果有何不同。
4、低通滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响：比较200阶hanning窗的FIR低通数字滤波器和8阶IIR巴特沃斯低通数字滤波器的相频特性对抽样信号恢复的影响。
首先，需要对比测试滤波器的相频特性。
然后，重复抽样定理验证实验的步骤。
比较两种滤波器对抽样信号恢复效果有何不同。
5、孔径失真现象观测：抽样脉冲与被抽样信号的频率均不改变，逐渐增大抽样脉冲的占空比，同时观测抽样信号的频谱，可以观测到孔径失真现象展现出来。
四、实验器材1、信号源模块一块2、3号模块一块3、20M双踪示波器一台4、连接线若干五、实验步骤特殊说明：由于FPGA实现了许多种功能，为了减少端口而将端口进行了复用。
这里复用的端口是：编码输入用做fir数字滤波器输入，译码输出用作fir数字滤波器输出。
（一）实验项目1：抽样信号观测及抽样定理验证1、插上电源线，打开主机箱右侧的交流开关，将信号源模块和模块3的电源开关拨下，观察指示灯是否点亮，红灯为+5V电源指示灯，绿灯为-12V电源指示灯，黄色为+12V电源指示灯。
（注意，此处只是验证通电是否成功，在实验中均是先连线，再打开电源做实验，不要带电连线）。
2、连线：3、将3号模块的S1拨为“自然抽样”，打开系统电源开关及各模块电源开关，设置信号源为通信原理实验→抽样定理。
4、为了验证抽样定理，此处我们用模拟信号源的输出music作为待抽样信号（内含一个3K+1K的正弦波），而利用A-out中的方波作为抽样脉冲（实际中的抽样脉冲很窄，但是不能达到理想状态，我们可以调节方波的占空比来改变抽样脉冲的宽度），这样我们可以调节方波的频率来改变抽样的频率）。
5、用示波器观测被抽样信号（music），被抽样信号3#和抽样输出3#。
观测并记录自然抽样信号的波形。
再将S13#拨为“平顶抽样”，观测并记录平顶抽样信号的波形。
6、用示波器观测被抽样信号3#和抽样输出3#。
以100Hz的步进减小A-out0#的频率。
观测并记录被抽样信号3#和抽样输出3#的波形。
比较两路波形，在抽样脉冲频率多小的情况下无法恢复抽样信号。
*下面用频谱的角度去验证抽样定理（选做）。
7、用示波器频谱功能观测并记录被抽样信号频谱。
用示波器观测记录抽样输出频谱。
（注意：示波器需要用250kS/s采样率(即每秒采样点为250K)，FFT缩放调节为×10）8、以100Hz的步进减小抽样脉冲的频率，同步骤7观测抽样输出的频谱。
注：通关观测频谱可以看到当抽样脉冲小于2倍被抽样信号频率时，信号会产生混叠。
（二）实验项目2：滤波器幅频特性对抽样信号恢复的影响。
1、测试PCM抗混叠滤波器的幅频特性曲线接线设置：设置A-out为正弦波，频率为5K，固定幅度。
用示波器观测LPF_OUT3#。
以100Hz的步进减小A-out0#的频率。
观测并记录LPF_OUT3#的频谱。
记录表如下：由上述表格数据，画出模拟低通滤波器幅频特性曲线。
2、测试fir数字滤波器的幅频特性曲线接线设置：其中设置A-out为正弦波，频率为5K，固定幅度，将滤波器设置为fir低通滤波器。
用示波器观测译码输出，以100Hz的步进减小信号源模块A-out的频率。
观测并记录3号模块译码输出的频谱。
记录表如下：由上述表格数据，画出fir低通滤波器幅频特性曲线。
3、分别利用上述两个滤波器对被抽样信号进行恢复，比较被抽样信号恢复效果。
接线设置：设置：music设置为1K+3K音乐输出。
抽样时钟占空比为20%，频率为7.5KHz。
用示波器分别观测比较译码输出3#的时域波形。
（三）实验项目3：滤波器相频特性对抽样信号恢复的影响。
1、观察被抽样信号经过fir低通滤波器与iir低通滤波器后，所恢复信号的频谱接线设置：设置：music设置为1K+3K音乐输出。
抽样时钟占空比为20%，频率为7.5KHz。
分别将滤波器设置为fir低通滤波器和iir低通滤波器。
思考题：被抽样信号与经过滤波器后恢复的信号之间的频谱是否一致？如果一致，是否就是说原始信号能够不失真的恢复出来？下面我们来探讨这个问题。
步骤同1，用示波器分别观测比较被抽样信号与3号模块的译码输出的时域波形。
波形是否完全一致，如果波形不一致，是失真呢？还是有相位的平移呢？注：实际系统中，失真的现象不一定是错误的，实际系统中有这样的应用。
如果相位有平移，观测并计算相位移动时间。
2、观测相频特性。
接线设置：设置A-out为正弦波，频率为5KHz，固定幅度。
滤波器分别设置为fir和iir数字低通滤波器。
相频特性测量就是改变信号的频率测输出信号的延时（时域上观测），用示波器观测被抽样信号和3号模块译码输出时域波形。
记录表格如下：六、实验思考题被抽样信号为1K+3K的正弦波，抽样时钟为9K，由抽样定理可知，示波器所需采样率高于18K以上即可满足恢复采样信号，为什么我们的示波器采用250KS/s采样率？同学们可以尝试用50KS/s及100KS/s采样率来观测被抽样信号的恢复信号频谱。
同学们可以探讨这个问题。
七、实验报告要求1.分析电路的工作原理，叙述其工作过程。
2.绘出所做实验的电路、仪表连接调测图。
并列出所测各点的波形、频率、电压等有关数据，对所测数据做简要分析说明。
必要时借助于计算公式及推导。
3.分析以下问题：滤波器的幅频特性是如何影响抽样恢复信号的；为什么方波的占空比的变化会影响恢复信号的；简述平顶抽样和自然抽样的原理及实现方法。