带通抽样定理
带通采样定理
带通抽样定理 【1 】现实中碰到的很多旌旗灯号是带通型旌旗灯号,这种旌旗灯号的带宽往往远小于旌旗灯号中间频率.若带通讯号的上截止频率为H f ,下截止频率为L f ,这时其实不须要抽样频率高于两倍上截止频率H f ,可按照带通抽样定理肯定抽样频率.[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时光持续旌旗灯号)(t x ,旌旗灯号带宽L H f f B -=,令N B f M H -=/,这里N 为不大于B f H /的最大正整数.假如抽样频率s f 知足前提mf f m f L s H 212≤≤+,10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(t x .对旌旗灯号)(t x 以频率s f 抽样后,得到的采样旌旗灯号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经由周期延拓而成,延拓周期为s f ,如图3-3所示.为了可以或许由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(t x ,必须选择适合的延拓周期（也就是选择采样频率）,使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量消失混叠,如许运用带通滤波器就可以由采样序列重建原始旌旗灯号.因为正负频率分量的对称性,我们仅斟酌),(H L f f 的频带分量不会消失混叠的前提. 在抽样旌旗灯号的频谱中,在),(H L f f 频带的双方,有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-.为了防止混叠,延拓后的频带分量应知足L s L f mf f ≤+-（3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1(（3.1-11）分解式（3.1-10）和式（3.1-11）并整顿得到mf f m f L s H 212≤≤+（3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数.假如m 取零,则上述前提化为H s f f 2≥（3.1-13）这时现实上是把带通讯号看作低通讯号进行采样.m 取得越大,则相符式（3.1-12）的采样频率会越低.但是m 有一个上限,因为mf f L s 2≤,而为了防止混叠,延拓周期要大于两倍的旌旗灯号带宽,即B f s 2≥.是以 Bf B f f f m L L s L =≤≤222（3.1-14） 因为N 为不大于B f H /的最大正整数,是以不大于B f L /的最大正整数为1-N ,故有10-≤≤N m综上所述,要无掉真的恢回复复兴始旌旗灯号)(t x ,采样频率s f 应知足mf f m f L s H 212≤≤+,10-≤≤N m （3.1-15） ff L f Hf H f -L f -L f H f H f -L f -图3-3 带通采样旌旗灯号的频谱带通抽样定理在频分多路旌旗灯号的编码.数字吸收机的中频采样数字化中有主要的运用. 作为一个特例,我们斟酌NB f H =（1>N ）的情形,即上截止频率为带宽的整数倍.若按低通抽样定理,则请求抽样频率NB f s 2≥,抽样后旌旗灯号各段频谱间不重叠,采取低通滤波器或带通滤波器均能无掉真的恢回复复兴始旌旗灯号.依据带通抽样,若将抽样频率取为B f s 2=（m 值取为1-N ）,抽样后旌旗灯号各段频谱之间仍不会产生混叠.采取带通滤波器仍可无掉真地恢回复复兴始旌旗灯号,但此时抽样频率远低于低通抽样定理NB f s 2=的请求.图3-4所示为B f H 3=,B f s 2=时抽样旌旗灯号的频谱.ffff图3-4 B f H 3=,B f s2=时的抽样频谱 在带通抽样定理中,因为10<≤M ,带通抽样旌旗灯号的抽样频率在B 2到B 4之间变更,如图3-5所示.f H f B2350图3-5 带通抽样定理 由以上评论辩论可知,低通讯号的抽样和恢复比起带通讯号来要简略.平日,当带通讯号的带广大B 于旌旗灯号的最低频率L f 时,在抽样时把旌旗灯号当作低通讯号处理,运用低通抽样定理,而在不知足上述前提时则运用带通抽样定理.模仿德律风旌旗灯号经限带后的频率规模为300Hz ～3400Hz,在抽样时按低通抽样定理,抽样频率至少为6800Hz.因为在现实实现时滤波器均有必定宽度的过渡带,抽样前的限带滤波器不克不及对3400Hz 以上频率分量完整予以克制,在恢复旌旗灯号时也不成能运用幻想的低通滤波器,所以对语音旌旗灯号的抽样频率取为8kHz.如许,在抽样旌旗灯号的频谱之间即可形成必定距离的呵护带,既防止频谱的混叠,又放松了对低通滤波器的请求.这种以恰当高于奈奎斯特频率进行抽样的办法在现实运用中是很罕有的.。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
通信原理-调制解调
×
1 2
(1 -
cos
2w0t
)
=
K3 A03 2
sinw0t
-
K 3 A03 4
[sin
3w0t
-
sinw0t]
=
3K3 A03 4
sinw0t
-
K3 A03 4
sin
3w0t
11
总得来说，对单音输入，输出为：
(即傅立叶级数展开形式）
定义全部谐波失真（THD）为：
THD(%) =
¥
åVn2
n=2 ´100 V1
t
27
频谱图m t
由频谱可以看出，AM信号的频谱由
载频分量
t
上A0 边m带t
下边带
三部分组成。
t
上边带载的波频谱结构与原调制
信号的频谱结构相同，下边 t 带是上边带的镜像。
sAM t
H
载频分量
c
上边带
t
下边带
M
H
SAM 载频分量
0
下边带
c
上边带
28
AM信号的特性
带宽：它是带有载波分量的双边带信号，带宽是基带信号带宽 fH 的 两倍： BAM 2 f H
代入上式，得到
h AM
=
< m2(t) > A02 + < m2(t) >
=
Am2 2 A02 +
Am2
当|m(t)|max = A0时（100％调制），调制效率最高，这时
ηmax ＝ 1/3
30
双边带调制（DSB）
时域表示式：无直流分量A0
sDSB (t) m(t) cosct
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。
作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。
射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。
这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。
这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。
带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。
带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。
带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。
如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1]，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。
这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。
图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。
当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。
也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。
带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。
带通抽样定理教学提纲
带通抽样定理《信号与系统A（2）》课程自学报告实施报告题目：带通采样定理与软件无线电带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率s f 满足条件，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足）3.1-11）综合式（3.1-103.1-12） 这里mH s f f 2≥（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是m 有一个上限，因为mff L s 2≤，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。
因此3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数为1-N ，故有10-≤≤N m综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足mff m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
带通采样定理证明
带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在0,H f 的基带信号的采样问题;作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号;射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限;这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率这是现实中的A/D 难以实现的;这时,低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求;带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础,下面给出定理; 带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内,如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ 2-1 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数0,1,2…,则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t ;带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号,而不允许在不同的频带同时存在信号,否则将会引起信号混叠1;如图所示,为满足这一条件的一种方案,采用跟踪滤波器的办法来解决,即在采样前先进行滤波1 ,也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时,就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上,滤出所感兴趣的带通信号()n x t ,然后再进行采样,以防止信号混叠;这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器;图 带通信号采样式2-1用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式2-2表示： 0214s n f f +=2-2 式中,()0L H f f f =+,n 取能满足2s f B ≥B 为频带宽度的最大正整数;当频带宽带B 一定时,为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率2s f B =,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=;也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍; 带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率,为后面的实时处理奠定了基础;但是从软件无线电的要求来看,带通采样的带宽应是越宽越好,这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性,在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少,有利于简化系统设计;另外,当对于一个频率很高的射频信号采样时,如果采样频率设的太低,对提高采样量化的信噪比是不利的;所以在可能的情况下,带通采样频率应该尽可能选的高一些,使瞬时采样带宽尽可能宽;但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高;因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹;实际对单信号采样时采样率是不高的;所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的;多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据;二、带通采样过程待采样信号为中频是100MHz,带宽为2MHz 的带通信号：fc0=100e6; //中频频率fc1=99e6; //信号一的频率fc2=101e6; //信号二的频率fs1=3e6; //欠采样的采样频率fs2=4e6; //临界采样采样频率fs3=6e6; //大于2倍带宽的采样速率f0=250e6 //用以模拟连续信号的离散信号采样速率远大于nyquist率t=0:1/f0:1e-6;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;待采样信号的波形和频谱如图所示：图1 原信号波形及频谱按照如上的三种采样频率对待采样信号进行采样,得到的三个信号及其幅度谱如图所示：1）欠采样条件下得到的采样信号：图2 欠采样信号的波形及幅度谱2 临界采样：图3 临界采样信号的波形及幅度谱3）满足采样条件的采样信号图4 正常采样信号的波形及幅度谱三、信号重建1设计通带为99～101MHz的4阶巴特沃兹一型IIR滤波器来作为信号恢复的模拟滤波器,滤波器的设计过程及幅频响应特性如图所示：fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';图1 滤波器的幅度响应2将三种采样信号的到的数据流通过信号恢复滤波器,即上述的巴特沃兹一型滤波器,得到的结果如下：图2欠采样恢复图3 临界采样恢复图3 正常采样恢复四、结果分析从结果可见：欠采样信号进行恢复时,从信号完整角度进行观察便可以发现信号的不同,缺少了原信号的部分信息;而临界采样信号的恢复,在信号周期上有一定的变化,比原信号的信息有所丢失;正常采样下的信号可以恢复出原信号一个完整周期的频谱;但由于所选取信号长度的问题,没能恢复全部信号,但这已经能够证明带通采样定理的正确性,即采样后的信号没有丢失原信号的信息;附:%′í¨2éù¨àíμé%%′í¨DDμêafc=100MHz,Doμêaf1=99MHzoíf2=101MHz%%2éùùê·±ea3MHz4MHz6M Hz%%%%% B=2MHz,àíéμ±2éùμê′μt±′íê±￡oDoμμ×2áìμt￡%%%%clear all; clc; close all;fc0=100e6;fc1=99e6; %Do1μμêfc2=101e6; %Do2μμêfs1=3e6; %μíóút±′íμ2éùμêfs2=4e6; %áù2éùμêfs3=6e6; %′óóút±′μ2éùμê f0=250e6;%±íê-Doμ2éùμê￡±è2éùμêòêyá%%%μíí¨2éù¨àíμ2éù×÷a-￡aDo%%%t=0:1/f0:1e-6;N=1e-6f0;xt0=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure1;subplot2,1,1;plott,xt0;title'′y2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjw0=fftxt0,N;absy0=absyjw0;f=0:N-1f0/N;subplot2,1,2;plotf,absy0;title'′y2éùDoμ×'xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíμ·2éù2¨D°μ×%%%t=0:1/fs1:5e-5;N=5e-5fs1;xts1=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure2;subplot2,1,1;plott,xts1;title'·2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws1=fftxts1,N;absys1=absyjws1;f=0:N-1fs1/N;subplot2,1,2;plotf,absys1;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'·2éùDoμ×' %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′í¨2éù¨àíáù2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs2:5e-5;N=5e-5fs2;xts2=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure3;subplot2,1,1;plott,xts2;title'áù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws2=fftxts2,N;absys2=absyjws2;f=0:N-1fs2/N;subplot2,1,2;plotf,absys2;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'áù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%′óóúáù2éùμêμ′í¨2éùμ2¨D°μ×%%%t=0:1/fs3:5e-5;N=5e-5fs3;xts3=2cos2pifc1t+4cos2pifc2t;figure4;subplot2,1,1;plott,xts3;title'′óóúáù2éùDo2¨D';xlabel'x';ylabel'xt';yjws3=fftxts3,N;absys3=absyjws3;f=0:N-1fs3/N;subplot2,1,2;plotf,absys3;xlabel'êy×μê';ylabel'·ùè×'title'′óóúáù2éùDoμ×'; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fs=250e6;N=4;figure6;Wn = ;b,a=butterN,Wn,'bandpass';h,w=freqzb,a;plotw/pifs/2,absh; grid;title'Amplitude Response';xlabel'Frequency Hz'; ylabel'Amplitude';%%%·2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure7;yrets1=filterb,a,xts1;plotyrets1;title'·2éù′'%%%%%áù2éùDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure8;yrets2=filterb,a,xts2;plotyrets2;xlabel't';ylabel'xt_rebuild';title'áù2éù′'%%%%%%ú×2éù¨àíDoμ′%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% figure9;yrets3=filterb,a,xts3;plotyrets3;xlabel't';ylabel'xt_rebuild'; title'y3￡2éù′'。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
带通抽样定理
《信号与系统A（2）》课程自学报告实施报告题目：带通采样定理与软件无线电带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率f，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延） 3.1-11）综合式（3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是m 有一个上限，因为mf f Ls 2≤，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。
因此3.1-14） 由于N 为不大于B f H /B f L /的最大正整数为1-N ，故有10-≤≤N m综上所述，要无失真的恢复原始信号)(t x ，采样频率s f 应满足mff m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-15） ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
信源编码-抽样定理(1.1.1)
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SCUT DT&P Labs
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2.2 抽样定理
1、均匀抽样定理 内容：一个频带限制在（ 内容：一个频带限制在（0,fH)赫兹内的时间连续信号m(t) 赫兹内的时间连续信号m(t) 如果以1/(2f 秒的间隔对它进行等间隔抽样， m(t)将被所得 如果以1/(2fH)秒的间隔对它进行等间隔抽样，则m(t)将被所得 到的抽样值完全确定。 到的抽样值完全确定。 从定理的内容说明中可以看到： 从定理的内容说明中可以看到： 1 均匀抽样周期: 均匀抽样周期: 2 fH
TS = 1 2 fH
2001 Copyright
SCUT DT&P Labs
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3）恢复信号 下面来看如何从已抽样信号m (t)来恢复原基带信号m(t)。 来恢复原基带信号m(t) 下面来看如何从已抽样信号mS(t)来恢复原基带信号m(t)。 考察以最小所需速率（每秒2f 个抽样）对信号m(t)抽样， m(t)抽样 考察以最小所需速率（每秒2fH个抽样）对信号m(t)抽样，此时 TS=1/(2fH) =2л =4л 2ω 又 ωS=2л/TS =4лfH = 2ωH ==> TS =л/ωH 所以 MS(ω)= 1/TS·∑nM(ω-2nωH) ∑ M(ω 2nω 将该信号通过截止频率为ω 的低通滤波器，便可得到频谱M( M(ω 将该信号通过截止频率为ωH的低通滤波器，便可得到频谱M(ω) 显然， 显然，滤波器的这种作用等于用一门函数D2ωH(ω)去乘MS(ω)。 由上式可得： 由上式可得： 1 +∞ =M(ω MS (ω)· D2 ω H (ω)= ∑ M (ω − n ω S )· D2ωH(ω)=M(ω)/TS T S n = −∞ 所以 M(ω)= TS[MS(ω)· D2ω (ω)] M(ω H 这样，使抽样信号m (t)通过低通滤波器便得到信号m(t)。 通过低通滤波器便得到信号m(t) 这样，使抽样信号mS(t)通过低通滤波器便得到信号m(t)。 此滤波器的截止频率为ω 增益为T 此滤波器的截止频率为ωH,增益为TS=1/2fH 。
低通与带通抽样定理验证
低通与带通抽样定理验证【分析内容】按照低通抽样定理与带通抽样定理，分别对构造的低通型信号和带通型信号、两种抽样后的信号及滤波重建信号进行时域和频域观察，形象地给出低通抽样定理与带通抽样定理（带通部分选做）。
【分析目的】通过分析验证低通抽样定理与带通抽样定理。
【系统组成】抽样定理实质上研究的是随时间连续变化的模拟信号经抽样变成离散序列后，能否由此离散序列值重建原始模拟信号的问题。
对于低通型和带通型模拟信号，分别对应不同的抽样定理，抽样定理是模拟信号数字化的理论基础。
对上限频率为f H 的低通型信号，低通抽样定理要求抽样频率应满足： 对下限频率为f L 、上限频率为f H 的带通型信号，带通抽样定理要求抽样频率满足：其中， 为信号带宽，n 为正整数， 。
应该注意的是，当 时，无论带通型信号的f L 和f H 为何值，只需将抽样频率设定在2B ，理论上就不会发生抽样后的频谱重叠，而不像低通抽样定理要求的必须为上限频率的2倍以上。
仿真分析系统将按照图1所示结构创建。
其中，对于恒定频谱的冲激函数，通过低通滤波产生低通型信号，再进行低通抽样；通过带通滤波产生带通型信号，再进行带通滤波产生带通抽样，最后分别滤波重建原始信号。
仿真分析时，设低通滤波器的上限频率为10Hz ，带通滤波器下限频率为100Hz 、上限频率为120Hz ，低通抽样频率选为30Hz ；带通型信号上限频率f H = 6×20=120Hz （B=20Hz ，n=6），带通抽样频率至少应取40Hz ，现取60 Hz的带通抽样频率。
【创建分析】第1步：进入SystemView 系统视窗，设置“时间窗”参数如下：① 运行时间：Start Time: 0秒；StopTime: 0.4秒；② 采样频率：Sample Rate= 10000Hz 。
第2步：在SystemView 系统窗下，创Hs f f 2≥]1[2nk B f s +⋅≥L H f f B -=10<≤k nBf H =冲激函数 发生器 低通 滤波 低通抽样带通 滤波 带通 抽样 低通 重建 带通 重建 图1 仿真分析系统结构图2 SystemView 仿真分析系统建的仿真分析系统如图2所示。
带通采样定理和频谱混叠关系
带通采样定理和频谱混叠关系【引言】在数字信号处理领域，通采样定理和频谱混叠关系是两个重要的概念。
通采样定理指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构恢复原始信号。
而频谱混叠则是在采样时没有满足通采样条件导致出现的混叠，即被采样信号的频谱被复制到了不同的频率位置上，影响了信号的恢复。
本文将详细介绍通采样定理和频谱混叠关系，并给出相关例子分析。
【正文】在信号处理中，我们经常会遇到连续时间信号采样的问题。
连续时间信号是一种在每个时间点都有定义的信号，而数字信号是在有限的时间范围内离散的信号。
为了将连续时间信号转换成数字信号，我们需要对其进行采样。
通采样定理是由萨奇-托洛茨基（Shannon-Tellegen）在1949年提出的，它指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构来准确地恢复原始信号。
通采样定理的证明思路如下：在连续时间信号中，将其分解成一系列不同频率的正弦波，然后对每一个正弦波进行采样。
根据采样频率和采样周期的关系，可以用离散时间的正弦波去逼近连续时间的正弦波。
这样，我们就可以通过对每一个频率成分都进行采样和重构，来重建原始信号。
然而，在实际应用中，往往无法满足通采样定理的条件，即采样频率必须大于信号频率的两倍，否则就会出现频谱混叠的问题。
频谱混叠是由于原始信号频谱被复制到了不同的频率位置上而产生的，这会导致重构的信号不再准确。
具体来说，当采样频率小于信号频率的两倍时，原始信号的高频部分会被复制到低频部分的位置上，从而导致低频成分在频谱中出现了多余的能量。
为了更好地理解频谱混叠的问题，我们可以通过一个简单的例子进行分析。
假设原始信号的频率为10Hz，采样频率为15Hz。
根据通采样定理，我们应该至少以20Hz的频率进行采样。
然而，由于采样频率小于信号频率的两倍，就会出现频谱混叠。
首先，我们可以将原始信号表示为一个简单的正弦波：x(t) = sin(2π10t)。
带通采样定理知识讲解
带通采样定理3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。
如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。
对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。
为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+- （3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+ （3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数。
如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥ （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
35、抽样定理
Lecture Notes 35 2004/12/23
抽样定理
一 低通抽样定理
x ( t ) ，其最高频率分量是 f H ，以 f s ≥ 2 f H 的速率对 x ( t ) 进行等间 1 Ts = x = x ( nTs )} ，其中 f s 是采样间隔，则用 { xn } 可以完全恢复出 隔采样后得到 { n x ( t ) ，恢复方法是
X ( f ) = Ts
∞
x (t ) =
#
m =−∞
∑ x ( mT ) sinc ( t − mT ) f = ∑ x ( mT ) sinc ( tf
s s s m =−∞ s
∞
∞
s
− m)
二 带通信号抽样定理
定理：设有任意信号
x ( t ) ，其频率分量在区间
( f L , f H ) 内，带宽是
1 rect ( x ) ≅ 0
∞
x≤
1 2 elseXk =所以1 Nhomakorabeas∫
fs 2
− fs 2
X ( f ) e − j 2π mTs f df = Ts ∫ X ( f ) e− j 2π mTs f df = Ts x ( − mTs )
−∞
1/3
Lecture Notes 35 2004/12/23
率为
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在抽样信号的频谱中，在 频带的两边,有着两个延拓频谱分量： 和 。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足
(３．1-10)
（3．1-11）
综合式(3.1-１0）和式(３.1-11）并整理得到
（3.1-12)
这里 是大于等于零的一个正数。如果 取零,则上述条件化为
图3-4 , 时的抽样频谱
在带通抽样定理中，由于 ，带通抽样信号的抽样频率在 到 之间变化,如图3-５所示。
图３-５带通抽样定理
由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。通常，当带通信号的带宽 大于信号的最低频率 时,在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。模拟电话信号经限带后的频率范围为30０Hz~３40０Hz，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz。由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带,抽样前的限带滤波器不能对3400Hz以上频率分量完全予以抑制,在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kＨz。这样,在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠,又放松了对低通滤波器的要求。这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。
带通抽样定理
————————————————————————————————作者:
————————————————————————————————日期：
ﻩ
《信号与系统A（2)》课程自学报告
实施报告
题目：带通采样定理与软件无线电
带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为 ，下截止频率为 ,这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率 ,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
ｈw2=fｆｔ(y2，N）;%快速傅里叶变换
HＷ2=abs(hw2)；%取幅度值
Ｗ=(0:N－1)*fs／N;％频率值
fiｇure（3);
ｓubploｔ(２,1,１);ｐlｏt(t(１:8000)，y2（1：８000));
软件无线电所覆盖的频率范围一般都比较宽,
只有宽频段才能具有广泛的适应性,这样宽的频段号的频谱Xs(ω)ﻩ可表示为:
+ ∞
Xs（ω)＝1
Tsn＝-∑∞Ｘ(ω－ﻩnωs)
用Nｙquist低通采样[1]是不现实的,而实际上软件无
线电中的各种无线电信号的瞬时信号带宽都比较
窄，这样采用带通采样将使采样速率大大降低。本
文重点是通过对带通采样定理进行严格的数学推导
和论证,利用一系列不等式组提出了带通采样理论
上能达到的最小采样速率 。
用ｍａtlaｂ对定理进行仿真
fs＝10００00;%抽样频率
N=2^１6；
ｔ＝(０:Ｎ-1）／fs;%t时间
W=（0:N－1)＊ｆs/Ｎ;%W频率
y＝cｏs（1２0０*2*pi＊t)＋ｃos(１2５0*2*pi＊ｔ)+ｃos（１３０0*2＊pi*t)；
（３.1-13)
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
取得越大，则符合式(3.１-12)的采样频率会越低。但是 有一个上限,因为 ，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽,即 。
因此
(3.1－14)
由于 为不大于 的最大正整数，因此不大于 的最大正整数为 ,故有
综上所述，要无失真的恢复原始信号 ，采样频率 应满足
gｒｉd on；title('抽样信号cｈyanｇ＇)；xlａｂel('时间／s')；
ｓubｐloｔ(2,1，2);pｌot(W(1:N/64）,HWCH(1：N/6４）)；
agｒid on；tiｔle（＇抽样信号频谱图'）；ｘlabeｌ（'频率／Ｈz');ylａｂｅl('振幅｜H(ｅ^jw)|');
％y原始信号
chyａng=ｚeｒoｓ(1,N)；%抽样信号
T=ｒound(fs/250); %频率为２50HＺ
ｆoｒｉ=１:N
iｆ(mｏd(i,T）==0)
chyang(i)=１;
ｅnｄ
end
y2＝ｙ.＊chyang;％y2为抽样后的信号
ｈｗ=fft（ｙ,Ｎ);%快速傅里叶变换
HＷ=ａbs(ｈｗ);%取幅度值
grｉdｏn;ｔitｌe（'滤波前信号频谱图');xｌaｂel('频率/Ｈz');ylａbel（＇振幅｜H(ｅ＾jw)|');
hwcｈ=ffｔ（chｙａng，N);
HWCＨ=abs（hwch）；％取幅度值
W=(０：N-１)*fｓ/N；％频率值
figｕre(2）;
ｓubｐｌｏt(2,1,１)；sｔem(t（1:1００00),cｈyａng(1:１0000)）;
[定理］带通抽样定理:一个频带限制在 内的时间连续信号 ，信号带宽 ,令 ,这里 为不大于 的最大正整数。如果抽样频率 满足条件
, (3.1－9）
则可以由抽样序列无失真的重建原始信号 。
对信号 以频率 抽样后，得到的采样信号 的频谱是 的频谱经过周期延拓而成,延拓周期为 ,如图３－3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号 ,必须选择合适的延拓周期(也就是选择采样频率），使得位于 和 的频带分量不会和延拓分量出现混叠,这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
, (３.１－15）
图3-3带通采样信号的频谱
带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
作为一个特例,我们考虑 ( ）的情况,即上截止频率为带宽的整数倍。若按低通抽样定理,则要求抽样频率 ,抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。根据带通抽样，若将抽样频率取为 （ 值取为 ），抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理 的要求。图３-4所示为 ， 时抽样信号的频谱。
W=(0:N－1）*fs/N；%频率值
ｆigｕre（1);
subｐlｏLeabharlann (２，1,１);plｏｔ(t(1:8０00),ｙ（1:8000));
grｉdon;ｔitｌe('滤波前信号ｙ'）;ｘlａbel（'时间/ｓ');%原始信号
subplot(２，１,２);ｐｌot(Ｗ(1：N/6４)，ＨＷ(１：N／64));％ 查看信号频谱