带通采样定理精编版
【精品】采样定理
【精品】采样定理采样定理是一项重要的数学定理，也被称为香农定理。
它是指在一定条件下，对于一个具有有限带宽的周期信号，若以不小于其最高频率两倍的采样频率对其进行采样，则能够完全还原原信号。
它的本质是基于信号的频域特性，它使得我们可以用数字信号来表达连续时间的信号。
从数学上来讲，我们可以用傅里叶变换来理解采样定理。
对于一个连续时间的周期函数f(t)，其傅里叶变换为F(ω)，其中ω为频率。
傅里叶变换告诉我们一个重要的性质：当我们对一个周期函数进行采样时，相当于在其频谱中插入了一系列的零点。
这使得我们可以通过离散的频率来重构原来的连续信号。
为了恢复原信号，我们需要对采样频率的选择进行限制。
采样定理的条件就是，采样频率应当不小于信号最高频率的两倍。
只有在这种情况下，我们才能通过采样信号的离散频率来还原出原信号。
采样定理主要的应用是数字信号处理。
当我们需要将一段连续时间的信号转化成数字信号时，采样定理就非常有用。
通过采样定理，我们可以将连续时间信号的频率特性进行傅里叶变换，然后用数字信号模拟出离散的频谱特性。
这些数字信号可以用于设计数字滤波器，对信号进行降噪和滤波。
此外，采样定理还可以用于音频和视频信号的数字化。
例如，如果我们想传输一段高质量的音频信号，就可以在适当的采样频率下对其进行采样，然后用数字信号来重建原始信号，而数字信号可以被更轻松地传输和储存。
总之，采样定理是数字信号处理中非常基础的一项数学定理。
它告诉我们一个重要的事实：当我们用数字信号模拟连续时间信号时，必须满足一定的条件，以保证信号的完整性和精确度。
这个定理在现代通讯和音视频处理技术中经常被使用，它使得我们可以利用数字信号来模拟和处理复杂的连续时间信号。
采样定理简介
采样定理简介关于采样定理的介绍⼀、采样定理简介采样定理，⼜称⾹农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的⼀个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·⾹农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将⼀个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成⼀个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率⾼于信号最⾼频率的⼀倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最⾼频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能⼒是⾮常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽⼩于奈奎斯特频率（即采样频率的⼆分之⼀），那么此时这些离散的采样点能够完全表⽰原信号。
⾼于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
⼤多数应⽤都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，⼜称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信⼯程师H.奈奎斯特⾸先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联⼯程师科捷利尼科夫⾸次⽤公式严格地表述这⼀定理，因此在苏联⽂献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始⼈.⾹农对这⼀定理加以明确地说明并正式作为定理引⽤，因此在许多⽂献中⼜称为⾹农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述⽅式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到⼴泛的应⽤。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可⽤⼀系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表⽰,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
采样定理
sin[ xa (nT )
(t nT )
S 2C
T (t nT ) T
]
采样内插公式
采样内插公式说明：只要满足采样频率高于两倍
信号最高截止频率，则整个连续时间信号就可以 用它的采样值来完全代表，而不会丢失任何信息。
sin[
(t nT )
T (t nT ) T
即
1 ˆ X a ( j) X a ( j) P ( j) 2
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) , x
P ( j)
由于
[P (t )] （傅里叶变换）
是周期函数,即
P (t )
n
(t nT )
jk S t a e k
n
理想采样
T
t
(t nT )
0
xa(t)
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) x
t
ˆa (t ) x
n
x (nT ) (t nT )
a
二、频谱的周期延拓
xa (t ) X a ( j)
即
-1
ˆ ( j) ˆa (t ) X x a
t
2 s T
称为内插函数
ˆa (t ) g (t ) ya (t ) x
n
[ xa (nT ) ( nT )]g (t )dt
ˆ ( ) g (t )dt x
a
n
由上面的分析有，频谱发生混叠的原因有两个： 1.采样频率低 2.连续信号的频谱没有被限带
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
采样定理的证明与推导
采样定理的证明与推导
采样定理，⼜称⾹农采样定理，奈奎斯特采样定理，只要采样频率⼤于或等于有效信号最⾼频率的两倍，采样值就可以包含原始信号的所有信息，被采样的信号就可以不失真地还原成原始信号。
设输⼊连续信号：
采样输出信号：
采样的过程如下图所⽰，可看作⼀段周期为T、宽度为τ的矩形脉冲载波信号S（t）
显然，τ越窄，采样越精确，当τ<<T时，采样的矩形脉冲信号接近于冲击信号，具有冲击信号的性质。
所以
那么理想采样为：
对上述⼏个信号作傅⾥叶变换：
对于，由频域卷积定理（时域乘积等于频域卷积，下⾯公式Xc与S是卷积）：
由于S（t）是⼀个周期函数，可以表⽰成傅⾥叶级数
,其中
那么：
根据冲激函数的性质得到：
从上可知理想采样信号是连续时间信号频谱的周期延拓函数，其频域周期等于采样周期，⽽频谱幅度则为1/T，所以除去⼀个常数因⼦外，每⼀个延拓的的谱分量都和原频谱分量相同。
从图像上来理解会更直观⼀些
图a是输⼊信号Xc(t)在频域上的图像
图b是采样信号S(t)在频域上的图像
图c是成功采样后得到的信号Xs(t)在频域上的图像
图d是⼀次失败的采样，由此结果⽆法还原回原信号
从图c与d中我们可以看到，只有使延拓的的谱分量之间不发⽣重叠，才能最终还原出原始信号，为此上图中的Ωs应该⼤于等于2倍的Ωn，图中的Ωs即位采样的频率，Ωn为原信号的最⾼频率。
采样定理由此证毕。
《通信原理抽样定理》课件
奈奎斯特频率
定义奈奎斯特频率，它是信号 采样频率的两倍。
采样定理
给出抽样定理的数学表达式： 采样频率 ≥ 2 × 信号最高频率
重建滤波器
引入重建滤波器，用于恢复原 始信号。
抽样定理的应用举例
1
图像压缩
2
介绍抽样定理在图像压缩算法明抽样定理在无线通信中的应用，如 蜂窝网络和卫星通信。
音频编码
说明抽样定理在音频编码中的应用，例 如MP3。
视频传输
解释抽样定理在视频传输中的重要性， 包括流媒体和视频会议。
抽样定理的适用范围和限制
1 频域限制
解释抽样定理在频域上的限制，包括信号频谱的最高频率。
2 信噪比要求
说明抽样定理对信噪比有要求，高信噪比可放宽抽样定理的限制。
3 采样定理的实现
通信系统中的抽样问题
说明在通信系统中抽样的重要性和挑战。
直观实例
通过直观的实例帮助听众理解抽样定理。
抽样定理的定义和原理
抽样定义
解释抽样是什么，包括对连续信 号进行离散化的过程。
别名现象
说明抽样频率不足会引发别名现 象。
奈奎斯特准则
介绍奈奎斯特准则，它是抽样定 理的核心原理。
抽样定理的数学表达式
介绍实际系统中如何满足抽样定理的要求。
抽样定理的实际意义
数据传输
说明抽样定理如何保证数据在信 号传输中的可靠性。
信号处理
介绍抽样定理在信号处理中的重 要性，如滤波和解调。
通信技术发展
解释抽样定理对通信技术发展的 推动作用。
总结和应用建议
总结
总结抽样定理的重要性和应用。
应用建议
提供一些建议，如如何避免抽样问题，优化信号采 样。
抽样定理
抽样定理抽样的分类：（1） 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；（2） 用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同间隔的，又分为均匀抽样定理和非均匀抽样定理；（3） 抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又分为理想抽样和实际抽样。
低通型连续信号抽样定理抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理：一个频带限制在(0,)H f 赫内的时间连续信号()m t ，若以12H f 的间隔对他进行等间隔抽样，则()m t 将被所得到的抽样值完全确定。
说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM 系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的，只不过失真的大小可以控制。
低通型连续抽样定理证明设()m t 的频带为(0,)H f ，图中将时间连续信号()m t 和周期性冲激序列()T t δ相乘，用()s m t 表示此抽样函数，即()()()s T m t m t t δ=假设()m t 、()T t δ、()s m t 的频谱分别为()M ω、()T δω、()s M ω。
按照频域卷积定理，1()[()()]2s T M M ωωδωπ=因为 2()()T S n n T πδωδωω∞=-∞=-∑ 2S Tπω=所以， 1()[()*()]s s n M M n T ωωδωω∞=-∞=-∑由卷积关系，上式可写成1()()s s n M M n T ωωω∞=-∞=-∑ 上式表明，已抽样信号()s m t 的频谱()s M ω是无穷多个间隔为s ω的()M ω相迭加而成。
这表明()s M ω包含()M ω迭全部信息。
带通型抽样定理。
带通采样(欠采样)原理以及其在adc中下变频的应用
带通采样（Under-sampling）是指在采样过程中，采样频率低于信号的最大频率的奈奎斯特频率（Nyquist rate）。
带通采样主要用于对带通信号进行采样，其原理是通过对信号带宽的压缩，实现低采样率下的信号采集。
在ADC（模拟数字转换器）中，带通采样技术可以应用于下变频（down-converting）过程，以降低采样率和系统复杂度。
带通采样原理：1. 信号带宽：信号的带宽是指信号的最高频率与最低频率之差。
对于带通信号，其带宽通常远低于信号的最高频率。
2. 奈奎斯特定理：根据奈奎斯特定理，当采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，可以通过采样得到原始信号的完整信息。
3. 带通采样：对于带通信号，可以采用带通采样方法，即将信号带宽压缩到较窄的范围内，从而降低采样率。
带通采样定理指出，当采样频率大于信号带宽的2倍时，可以实现信号的完整重建。
4. 欠采样：带通采样是一种欠采样（under-sampling）方法，采样频率低于奈奎斯特频率。
欠采样可能导致信号失真和混叠，但通过后续的信号处理和滤波，可以降低失真和混叠的影响。
在ADC中，带通采样技术可以应用于下变频过程：1. 带通采样与下变频：在ADC中，带通采样技术可以用于降低采样率，从而降低系统复杂度和成本。
通过将信号带宽压缩到较窄的范围内，可以在较低的采样率下实现信号的采集。
2. 下变频：下变频过程是指将信号从较高的频率转换到较低的频率。
在ADC中，带通采样可以应用于下变频过程，以降低采样率和系统复杂度。
3. 数字滤波：在下变频过程中，可能需要对信号进行数字滤波，以去除混叠和失真。
数字滤波器的设计需要考虑信号的带宽和采样率等因素。
带通采样（欠采样）原理及其在ADC中下变频的应用可以帮助降低采样率和系统复杂度，从而提高ADC的性能和效率。
在实际应用中，需要根据信号特性和系统需求，选择合适的带通采样方法和下变频策略。
带通采样是一种采样率低于奈奎斯特频率的采样方法，主要用于对带通信号进行采样。
几种采样方法
带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。
实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。
带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。
降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。
在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。
若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。
原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。
从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。
这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。
这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。
过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。
过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。
设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。
若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
采样定理报告
1）采样率的确定，以哪个频率为基础？采样定理：带通采样定理：当连续信号的频带限在ωL到ωH之间，而且ωL≥W=ωH-ωL 时，称为带通信号。
此时并不一定需要采样频率高于两倍最高频率，对于窄带高频信号(W/ωH <<1) ，其采样速率近似等于2W。
这就使我们可以大大降低采样速率，为高频带通信号的数字化传输提供了有利条件。
低通采样定理：对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号，可以表示为fs≥2fmax或Ts≤1/2fmax，式中fs=1/Ts，fmax是信号的最高频率。
当f=2fmax 时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特率”。
低通采样定理是带通采样的特殊形式。
采样率的确定：带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
一般来说，根据奈奎斯特采样定理，仪器的采样率必须不低于信号带宽的两倍。
而实际上，要还原波形，采样频率仅仅满足采样定理是不够的，采样频率要“大于”信号带宽2倍，才可以得到信号的完整信息。
采样定理是避免信号在频域出现混叠失真的最基本条件，而不是时域信号不失真的条件。
所以，要恢复原信号，采样率是“大于”而非“等于”信号带宽的两倍。
理论上，采样率越高，越能反应原信号的真实情况，但是采样率越高，需要存储和处理的资源也就越大，所以，为了综合考虑，一般选取采样率为信号带宽的3到5倍。
2）采样率太低，会产生假频、混叠效应、波形失真。
进行理论分析数学推导和仿真。
有限带宽信号的数学分析：根据奈奎斯特采样定理，当对一个最高频率为fmax的带限信号进行采样时，采样频率fs必须大于fmax的两倍以上才能确保从采样值完全重构原来的信号。
带通抽样定理带通抽样定理45页文档
带通抽样定理带通抽样定理
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
带通采样定理和频谱混叠关系
带通采样定理和频谱混叠关系【引言】在数字信号处理领域，通采样定理和频谱混叠关系是两个重要的概念。
通采样定理指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构恢复原始信号。
而频谱混叠则是在采样时没有满足通采样条件导致出现的混叠，即被采样信号的频谱被复制到了不同的频率位置上，影响了信号的恢复。
本文将详细介绍通采样定理和频谱混叠关系，并给出相关例子分析。
【正文】在信号处理中，我们经常会遇到连续时间信号采样的问题。
连续时间信号是一种在每个时间点都有定义的信号，而数字信号是在有限的时间范围内离散的信号。
为了将连续时间信号转换成数字信号，我们需要对其进行采样。
通采样定理是由萨奇-托洛茨基（Shannon-Tellegen）在1949年提出的，它指出，如果一个连续时间信号的频率小于采样频率的一半，那么可以通过采样和重构来准确地恢复原始信号。
通采样定理的证明思路如下：在连续时间信号中，将其分解成一系列不同频率的正弦波，然后对每一个正弦波进行采样。
根据采样频率和采样周期的关系，可以用离散时间的正弦波去逼近连续时间的正弦波。
这样，我们就可以通过对每一个频率成分都进行采样和重构，来重建原始信号。
然而，在实际应用中，往往无法满足通采样定理的条件，即采样频率必须大于信号频率的两倍，否则就会出现频谱混叠的问题。
频谱混叠是由于原始信号频谱被复制到了不同的频率位置上而产生的，这会导致重构的信号不再准确。
具体来说，当采样频率小于信号频率的两倍时，原始信号的高频部分会被复制到低频部分的位置上，从而导致低频成分在频谱中出现了多余的能量。
为了更好地理解频谱混叠的问题，我们可以通过一个简单的例子进行分析。
假设原始信号的频率为10Hz，采样频率为15Hz。
根据通采样定理，我们应该至少以20Hz的频率进行采样。
然而，由于采样频率小于信号频率的两倍，就会出现频谱混叠。
首先，我们可以将原始信号表示为一个简单的正弦波：x(t) = sin(2π10t)。
带通采样定理 matlab
带通采样定理一、引言1.1 背景在数字信号处理和通信系统中，采样是将连续时间信号转化为离散时间信号的过程，是数字信号处理中的重要环节。
然而，采样过程中可能会出现混叠现象，即高频信号被混叠到了低频信号中，影响了采样信号的质量。
1.2 问题为了消除混叠现象，需要理解并正确应用带通采样定理。
带通采样定理是说当信号的带宽小于采样频率的一半时，能够完美重构原始信号。
在本文中，我们将介绍带通采样定理以及如何在Matlab中使用它。
二、带通采样定理概述2.1 什么是带通采样定理带通采样定理，也称为奈奎斯特采样定理，是Shannon在1949年提出的一个重要定理。
它指出，对于连续时间信号，如果信号的带宽不超过采样频率的一半，那么我们可以通过离散时间采样来完美重构原始信号。
2.2 带通采样定理的数学表示数学上，带通采样定理可以用下面的公式表示： [f_s 2f_m] 其中，(f_s) 是采样频率，(f_m) 是信号的最高频率成分。
2.3 带通采样定理的原理带通采样定理的基本原理是通过进行足够高的采样频率，能够保留原始信号的重要信息，从而恢复原始信号。
当信号的带宽超过采样频率的一半时，采样结果会发生混叠，导致原始信号无法完美重构。
三、Matlab中的带通采样定理实现3.1 生成信号首先，我们需要生成一个连续时间信号。
在Matlab中，我们可以使用sin函数来生成一个正弦信号。
例如，我们生成一个频率为5Hz的正弦信号，并设定采样频率为20Hz。
fs = 20; % 采样频率fm = 5; % 信号频率t = 0:1/fs:1; % 时间段x = sin(2*pi*fm*t); % 生成正弦信号3.2 进行带通采样接下来，我们可以使用Matlab中的resample函数来进行带通采样。
resample函数可以将信号的采样频率转变为我们需要的频率，同时进行插值和抽样操作。
我们可以将采样频率设置为满足带通采样定理的条件。
fs_new = 2*fm; % 新的采样频率t_new = 0:1/fs_new:1; % 新的时间段x_new = resample(x, fs_new, fs); % 带通采样3.3 重构信号最后，我们可以使用插值方法来重构信号。
采样定理
名称定义即采样值或取样值，用来衡量声音波动变化的参数，是指声卡在采集和播放声音文件时所使用数字声音信号的二进制位数。
声卡的位客观地反映了数字声音信号对输入声音信号描述的准确程度。
声卡的主要的作用之一是对声音信息进行录制与回放，在这个过程中采样的位数和采样的频率决定了声音采集的质量。
采样位数与采样频率采样位数可以理解为声卡处理声音的解析度。
这个数值越大，解析度就越高，录制和回放的声音就越真实。
我们首先要知道：电脑中的声音文件是用数字0和1来表示的。
所以在电脑上录音的本质就是把模拟声音信号转换成数字信号。
反之，在播放时则是把数字信号还原成模拟声音信号输出。
声卡的位是指声卡在采集和播放声音文件时所使用数字声音信号的二进制位数。
声卡的位客观地反映了数字声音信号对输入声音信号描述的准确程度。
8位代表2的8次方——256，16位则代表2的16次方——64K。
比较一下，一段相同的音乐信息，16位声卡能把它分为64K个精度单位进行处理，而8位声卡只能处理256个精度单位，造成了较大的信号损失，最终的采样效果自然是无法相提并论的。
如今市面上所有的主流产品都是16位的声卡，而并非有些无知商家所鼓吹的64位乃至128位，他们将声卡的复音概念与采样位数概念混淆在了一起。
如今功能最为强大的声卡系列——Sound Blaster Live！采用的EMU10K1芯片虽然号称可以达到32位，但是它只是建立在Direct Sound加速基础上的一种多音频流技术，其本质还是一块16位的声卡。
应该说16位的采样精度对于电脑多媒体音频而言已经绰绰有余了。
采样频率是指录音设备在一秒钟内对声音信号的采样次数，采样频率越高声音的还原就越真实越自然。
在当今的主流声卡上，采样频率一般共分为22.05KHz、44.1KHz、48KHz三个等级，22.05只能达到FM广播的声音品质，44.1KHz则是理论上的CD音质界限，48KHz则更加精确一些。
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3.1.3 带通抽样定理
实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。
若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。
[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。
如果抽样频率满足条件
， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。
对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。
为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。
由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。
在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。
为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足
（3.1-10）
（3.1-11）
综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到
（3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。
如果取零，则上述条件化为
（3.1-13）
这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。
取得越大，
则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。
但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。
因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有
综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足 ， （3.1-15） H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f m
f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(m
f f m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m m
f f L s 2≤B f s 2≥B
f B f f f m L L s L =≤≤
222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f m
f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m
图
3-3 带通采样信号的频谱 带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。
作为一个特例，我们考虑（）的情况，即上截止频率为带宽的整数倍。
若按低通抽样定理，则要求抽样频率，抽样后信号各段频谱间不重叠，采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号。
根据带通抽样，若将抽样频率取为（值取为），抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠。
采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号，但此时抽样频率远低于低通抽样定理的要求。
图3-4所示为，时抽样信号的频谱。
图3-4 ，时的抽样频谱
在带通抽样定理中，由于，带通抽样信号的抽样频率在到之间变化，如图3-5所示。
f
f L f H
f H f -L f -L f H f H f -L f -
NB
f H =1>N NB f s 2≥B f s 2=m 1-N NB f s 2
=B f H 3=B f s 2=f
f
f
f
B f H 3=B f s 2=10<≤M B 2B 4
图3-5 带通抽样定理
由以上讨论可知，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
通常，当带通信号的带宽大于信号的最低频率时，在抽样时把信号当作低通信号处理，使用低通抽样定理，而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理。
模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz ～3400Hz ，在抽样时按低通抽样定理，抽样频率至少为6800Hz 。
由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带，抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制，在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器，所以对语音信号的抽样频率取为8kHz 。
这样，在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带，既防止频谱的混叠，又放松了对低通滤波器的要求。
这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的。
f H
f B
2350B L f。