Mathematica使用教程

Mathematica 使用教程

一、要点

Mathematica 是一个敏感的软件. 所有的Mathematica 函数都以大写字母开头; 圆括号( ),花括号{ },方括号[ ]都有特殊用途, 应特别注意; 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊用途, 应特别注意; 用主键盘区的组合键Shfit+Enter 或数字键盘中的Enter 键执行命令.

二、介绍案例

1. 输入与输出

例1 计算 1+1:在打开的命令窗口中输入

1+2+3

并按组合键Shfit+Enter 执行上述命令,则屏幕上将显示:

In[1] : =1+2+3 Out[1] =6

这里In[1] : = 表示第一个输入,Out[1]= 表示第一个输出,即计算结果.

2. 数学常数

Pi 表示圆周率π; E 表示无理数e; I 表示虚数单位i ; Degree 表示π/180; Infinity 表示无穷大.

注:Pi,Degree,Infinity 的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.

3. 算术运算

Mathematica 中用“+”、“-”、“*”、“/” 和“^”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和 乘方.

例2 计算 π???

? ??

?+??? ???-

-2

13

12

1494891100.

输入 100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi

则输出 3

103π

+

这是准确值. 如果要求近似值,再输入

N[%] 则输出

这里%表示上一次输出的结果,命令N[%]表示对上一次的结果取近似值. 还用 %% 表示上 上次输出的结果,用 %6表示Out[6]的输出结果.

注:关于乘号*,Mathematica 常用空格来代替. 例如,x y z 则表示x*y*z,而xyz 表示字符 串,Mathematica 将它理解为一个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.

4. 代数运算

例3 分解因式 232++x x

输入 Factor[x^2+3x+2] 输出 )x 2)(x 1(++ 例4 展开因式 )2)(1(x x ++

输入 Expand[(1+x)(2+x)] 输出 2x x 32++

例5 通分 3

1

22+++x x 输入 Together[1/(x+3)+2/(x+2)]

输出 )x 3)(x 2(x

38+++

例6 将表达式

)

3)(2(38x x x

+++ 展开成部分分式

输入 Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]

输出 3

x 1

2x 2+++ 例7 化简表达式 )3)(1()2)(1(x x x x +++++

输入 Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]

输出 2x 2x 75++

三、部分函数

1. 内部函数

Mathematica 系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个 字母都必须大写,后面的字母必须小写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都 必须大写,其余的字母必须小写. Mathematica 函数(命令)的基本格式为

函数名[表达式,选项] 下面列举了一些常用函数:

算术平方根x Sqrt[x] 指数函数x e Exp[x]

对数函数x a log Log[a,x]

对数函数x ln Log[x]

三角函数 Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] 反三角函数

ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], AsrcSec[x], ArcCsc[x]

双曲函数 Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], 反双曲函数 ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] 四舍五入函数 Round[x] (*取最接近x 的整数*) 取整函数 Floor[x] (*取不超过x 的最大整数*) 取模 Mod[m,n] (*求m/n 的模*) 取绝对值函数 Abs[x] n 的阶乘 n! 符号函数 Sign[x] 取近似值 N[x,n] (*取x 的有n 位有效数字的近似值,当n 缺省时,n 的默认值 为6*)

例8 求π的有6位和20位有效数字的近似值.

输入 N[Pi] 输出 输入 N[Pi, 20] 输出

注:第一个输入语句也常用另一种形式:

输入 Pi

2

3

5] 输出 (3) 输入 Round[] 输出 -2 例10 计算表达式

)6.0arctan(2

26sin 2ln 1132

+-+-e π 的值 输入 1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6] 输出

2. 自定义函数

在Mathematica 系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空 格或标点符号.

变量的赋值有两种方式. 立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使用 的符号是延迟赋值运算符“: =”.

例11 定义函数 12)(23++=x x x f ,并计算)2(f ,)4(f ,)6(f . 输入

Clear[f,x]; (*清除对变量f 原先的赋值*) f[x_]:=x^3+2*x^2+1; (*定义函数的表达式*) f[2] (*求)2(f 的值*)

f[x]/.{x->4} (*求)4(f 的值,另一种方法*)

x=6; (*给变量x 立即赋值6*)

f[x] (*求)6(f 的值,又一种方法*)

输出

17 97 289

注:本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.

四、解方程

在Mathematica 系统内,方程中的等号用符号“==”表示. 最基本的求解方程的命令为 Solve[eqns, vars]

它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns 表示方程(组),vars 表示所求未知变量. 例12 解方程0232=++x x 输入 Solve[x^2+3x+2==0, x] 输出 }}1x {},2x {{-→-→

例13 解方程组 ???=+=+1

dy cx by ax

输入 Solve[{a x + b y == 0,c x + d y ==1}, {x,y}]

输出 ???

?????????+-→-→ad bc a y ,ad bc b x

例14 解无理方程a x x =++-11

输入 Solve[Sqrt[x-1]+ Sqrt[x+1] == a, x]

输出 ??

?

?????????????????+→24a 4a 4x 很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解. 求方程的近似解的方法有两种, 一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于 求方程(组)数值解的命令:

NSolve[eqns, vars] (*求代数方程(组)的全部数值解*)

FindRoot[eqns, {x, x0}, {y, y0} ,]

后一个命令表示从点),,(00 y x 出发找方程(组)的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大

致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.

例15 求方程013=-x 的近似解 输入 NSolve[x^3-1== 0, x]

输出 {{→x →x →x 输入 FindRoot[x^3-1==0,{x, .5}] 输出 {→x 1.}

下面再介绍一个很有用的命令:

Eliminate[eqns, elims] (*从一组等式中消去变量(组)elims*) 例16从方程组 ??

?

??=+=-+-+=++11)1()1(1222222y x z y x z y x 消去未知数y 、z .

输入

Eliminate[{x^2+y^2+z^2 ==1,

x^2+(y-1)^2 + (z-1)^2 ==1, x + y== 1},{y, z}]

输出 0x 3x 22==+-

注:上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行 隔开, 来迫使Mathematica 从前一行继续到下一行在执行该语句. 有时候多行语句的意义不太明 确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“\”, 来迫使Mathematica 继续到下一行再执行该语句.

五、保存与退出

Mathematica 很容易保存Notebook 中显示的内容,打开位于窗口第一行的File 菜单,点击Save 后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为 *.nb 文件. 如果只想保存全部 输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中Delete All Output,然后 再执行保存命令. 而退出Mathematica 与退出Word 的操作是一样的.

六、查询与帮助

查询某个函数(命令)的基本功能,键入“函数名”,想要了解更多一些,键入“函数名”,例如,

输入

Plot

则输出

Plot[f,{x,xmin,xmax}] generates a plot of f as a function

of x from xmin to xmax. Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}] plots several functions fi 它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.

例17 在区间]1,1

y=的图形.

[-上作出抛物线2x

输入 Plot[x^2,{x,-1,1}]

则输出

例18 .

输入 Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]

则输出

Plot

则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.

此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项Help

Browser(帮助游览器)是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单

去学习.

编辑本段Mathematica 基本运算

a+

mathematica数学实验(第2版) b+c 加

a-b 减

a b c 或 a*b*c 乘

a/b 除

-a 负号

a^b 次方

Mathematica 数字的形式

256 整数

实数

11/35 分数

2+6I 复数

常用的数学常数

Pi 圆周率，π=…

E 尤拉常数，e=2.…

Degree 角度转换弧度的常数，Pi/180

I 虚数，其值为√-1

Infinity 无限大

指定之前计算结果的方法

% 前一个运算结果

%% 前二个运算结果

%%…%(n个%) 前n个运算结果

%n 或 Out[n] 前n个运算结果

复数的运算指令

a+bI 复数

Conjugate[a+bI] 共轭复数

Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分

Abs[z] 复数z的大小或模数(Modulus)

Arg[z] 复数z的幅角(Argument)

Mathematica 输出的控制指令

expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最後一个运算的结果

expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果

expr; 做运算，但不印出结果

编辑本段常用数学函数

Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三角函数，其引数的单位为弪度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数

ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三角函数

ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]

ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数

Sqrt[x] 根号

Exp[x] 指数

Log[x] 自然对数

Log[a,x] 以a为底的对数

Abs[x] 绝对值

Round[x] 最接近x的整数

Floor[x] 小於或等於x的最大整数

Ceiling[x] 大於或等於x的最小整数

Mod[a,b] a/b所得的馀数

n! 阶乘

Random[] 0至1之间的随机数（最新版本已经不用这个函数，改为使用RandomReal[]）

Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极大/极小值

编辑本段数之设定

x=a 将变数x的值设为a

x=y=b 将变数x和y的值均设为b

x=. 或 Clear[x] 除去变数x所存的值

变数使用的一些法则

xy 中间没有空格，视为变数xy

x y x乘上y

3x 3乘上x

x3 变数x3

x^2y 为 x^2 y次方运算子比乘法的运算子有较高的处理顺序

编辑本段四个常用处理代数的指令

Expand[expr] 将 expr展开

Factor[expr] 将 expr因式分解

Simplify[expr] 将 expr化简成精简的式子

FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将 expr化成更精简的式子

编辑本段多项式/分式转换的函数

ExpandAll[expr] 把算是全部展开

Together[expr] 将 expr各项通分在并成一项

Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和

Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将 expr拆成数项的和

Cancel[expr] 把分子和分母共同的因子消去

编辑本段分母/分子的运算

Denominator[expr] 取出expr的分母

Numerator[expr] 取出expr的分子

ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母

ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子

编辑本段多项式的另二种转换函数

Collect[expr,x] 将 expr表示成x的多项式，

如

Collect[expr,{x,y,…}] 将 expr分别表示成 x,y,…的多项式

FactorTerms[expr] 将 expr的数值因子提出，

如 4x+2=2(2x+1)

FactorTerms[expr,x] 将 expr中把所有不包含x项的因子提出

FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将 expr中把所有不包含{x,y,...}项的因子提出编辑本段三角函数、双曲函数和指数的运算

TrigExpand[expr] 将三角函数展开

TrigFactor[expr] 将三角函数所组成的数学式因式分解

TrigReduce[expr] 将相乘或次方的三角函数化成一次方的基本三角函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三角函数或双曲函数

TrigToExp[expr] 将三角函数或双曲函数化成指数函数

复数、次方乘积之展开

ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对 expr展开

ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对 expr展开

PowerExpand[expr] 将

多项式项次、系数与最高次方之取得

Coefficient[expr,form] 於 expr中form的系数

Exponent[expr,form] 於 expr中form的最高次方

Part[expr,n] 或 expr[[n]] 在 expr项中第n个项

代换运算子

expr/.x->value 将 expr里所有的x均代换成value

expr/.{x->value1,y->value2,…} 执行数个不同变数的代换

expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将 expr代入不同的x值

expr清除f的定义

Remove[f] 将f自系统中清除掉

含有预设值的Pattern

a_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替

x_ y_ y的预设值为1

x_^y_ y的预设值为1

条件式的自订函数

lhs:=rhs/;condition 当condition成立时，lhs才会定义成rhs

If指令

If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应else

If[test,then,else,unknow] 同上，若test无法判定真或假时，则回应unknow 极限

Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限

Limit[expr,x->c,Direction->1]

Limit[expr,x->c,Direction->-1]

微分

D[f,x] 函数f对x作微分

D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分

D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次

D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分

Dt[f] 全微分df

Dt[f,x] 全微分

Dt[f,x1,x2,…] 全微分

Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数

不定积分

Integrate[f,x] 不定积分∫f dx

定积分

Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分

Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分

数

列之和与积

Sum[f,{i,imin,imax}] 求和

Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增

Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]

Product[f,{i,imin,imax}] 求积

Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增

Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]

函数之泰勒展开式

Series[expr,{x,x0,n}] 对 expr於x0点作泰勒级数展开至(x-x0)n项

Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开

关系运算子

a==b 等於

a>b 大於

a>=b 大於等於

a

a<=b 小於等於

a!=b 不等於

逻辑运算子

!p not

p||q||… or

p&&q&&… and

Xor[p,q,…] exclusive or

LogicalExpand[expr] 将逻辑表示式展开

基本二维绘图指令

Plot[f,{x,xmin,xmax}]

画出f在xmin到xmax之间的图形

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]

同时画出数个函数图形

Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]

指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形

Plot[]几种常用选项的指令

选项预设值说明

AspectRatio 1/GoldenRatio 图形高和宽之比例，高/宽

Axes True 是否把坐标轴画出

AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为

AxesLabel->{ylabel}，则为y轴之标记。若设定为AxesLabel->{xlabel,ylabel} ，则为{x轴,y轴}的标记

AxesOrigin Automatic 坐标轴的相交的点

DefaultFont $DefaultFont 图形里文字的预设字型

Frame False 是否将图形加上外框

FrameLabel False 从x轴下方依顺时针方向加上图形外框的标记

FrameTicks Automatic (如果Frame设为True)为外框加上刻度;

None则不加刻度

GridLines None 设Automatic则於主要刻度上加上网格线

PlotLabel None 整张图之图名

PlotRange Automatic 指定y方向画图的范围

Ticks Automati 坐标轴之刻度，设None则没有刻度记号出现

※「Automatic、None、True、False」为Mathmatica常用的选项设定，其代表意义分别为「使用内部设定、不包含此项、作此项目、不作此项目」。

串列绘图

ListPlot[{y1,y2,…}] 画出{1,y1},{2,y2},…的点

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}] 画出{x1,y1},{x2,y2},…的点

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…},PlotJoined->True] 把画出来的点用线段连接

绘图颜色的指定

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},

PlotStyle->{RGBC olor[r1,g1,b1],RGBColor[r2,g2,b2],…}]

彩色绘图

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax},

PlotStyle->{GrayLevel,GrayLevel[j],…}]

灰阶绘图

图形处理指令

Show[plot] 重画一个图

Show[plot1,plot2,…] 将数张图并成一张

Show[plot,option->opt] 加入选项

图形之排列

Show[GraphicsArray[{plot1,plot2,…}]] 将图形横向排列

Show[GraphicsArray[{,,…}]] 将图形垂直排列

Show[GraphicsArray[{{plot1,plot2,…},…}]] 将图形成二维矩阵式排列

二维参数图

ParametricPlot[{f1,f2},{t,tmin,tmax}]

参数绘图

ParametricPlot[{{f1,f2},{g1,g2},…},{t,tmin,tmax}]

同时绘数个参数图

ParametricPlot[{f1,f2},{t,tmin,tmax},AspectRatio->Automatic]

保持曲线的真正形状，即x,y坐标比为1：1

等高线图

ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]

於指定范围之内画出f的等高线图

ContourPlot[]的选项

选项预设值说明

ColorFunction Automatic 上色的预设值为灰阶，选Hue则为系列色彩

Contours 10 等高线的数目。设Contours->{z1,z2,…}则指定等高值为z1,z2,…

ContourShading True Contour的上色，选False则不上色

PlotRange Automatic 高度z值的范围，也可指定{zmin,zmax}