第二章 线性系统的系统的运动
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t0 t
(t , t 0 ) x 0 (t , t 0 ) (t 0 ) (t , ) B ( )u ( )d
t0 t
根据初始条件x0，就可以定出待定向量 (t ) 的初始位置为 (t 0 ) 0，则系统运动规 律表达式为：
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u ( )d
举例：给定线性时变系统：
0 0 1 x x 1u, t [1,10] t 0
采用定义2，确定系统的状态转移矩阵
首先写出u＝0时的状态齐次方程：
x1 0 x 2 tx1
对其求解得：
x1 (t ) x1 (t 0 ) x2 (t ) 0.5t x1 (t 0 ) 0.5t 0 x1 (t 0 ) x2 (t 0 )
x(t ) (t , t 0 , x0 , u(t )), u
其中容许输入函数集的属性就是输入u(t) 是时间t的连续或分段连续函数，工程上， 实际应用的输入一般都满足这个条件。
定义：状态从初始点运动到x(t)点的 过程称为状态转移，并且把 称为状态 转移函数
一旦确定了初始点x0，那么把已知的 输入函数u(t)带入状态转移函数中就能确 定新的状态，所以说状态转移函数在整个 时间区域上描述了系统的动态行为，把它 称为系统动态行为的全描述，而状态方程 只描述了时间领域内某一点上的动态行为， 或者说描述了t时刻系统状态转移的趋势， 所以又把状态方程称作是系统动态行为的 点描述。
结论：状态转移函数表示了系统状态在 状态空间中随着时间的变化而走出的运 动轨迹，而状态方程描述的正是轨迹随 时间变化的速率。
例：一维运动轨迹如图所示
二 解的存在唯一条件
将状态方程转化成积分方程的形式 ：
x(t ) x0 f ( x( ), u ( ), )d
t0
t
因为输入u(t)已知，则上式可以改写为：
t0 t
1 2 0.5t 2 0.5t 0
0 1 t 1 2 1 0.5t 2 0.5 2 1
0 1 1d 1
t 1 1 1 t 3 0.5t 2 t 5 2 0.5t 1.5 3 6 t 2 1 3 3 t t 3
在线性系统中，状态方程中A(t)x+B(t)u代 替了函数f(x,t,u)，其解的存在形态及唯一 性都是由系统的参数矩阵A(t)和B(t)来决 定的，解的存在唯一条件叙述如下： 结论1：如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元 素在时间定义区间[t0,tf]上都是时间t的 实值连续函数，而且输入u(t)的所有元素 在时间区间[t0,tf]上是连续的实函数， 那么状态方程的解x(t)是存在且唯一的。
x(t ) x0 F ( x( ), )d
t0
t
由微分方程理论可知，保证上式有唯一 解 的 充 分 条 件 就 是 函 数 F(x(t),t) 满 足 Lipschitz条件，即存在一正数K，使得：
F ( x1 , t ) F ( x2 , t ) K x1 x2
换句话说就是向量F中的各个标量函数Fi是 关于时间t的连续或分段连续函数，且对每 个状态的偏导 Fi 也应该是时间t的连续或分 段连续函数 x j
0 0 0
A(t )(t , t0 )( x0 (t )) (t , t0 )(t ) A(t ) x(t ) (t , t )(t )
0
与状态方程比较可得：
(t , t 0 ) (t ) B(t )u (t ) (t ) (t , t ) B(t )u (t )
1
二、线性时变系统的运动规律
从本质上来看，不管是由初始状态引起的自 由运动，还是由输入作用引起的受迫运动，都 是一种状态转移，其形态可用状态转移矩阵来 表征。现在就利用状态转移矩阵，建立起线性 系统，无论是时变还是定常系统的运动规律统 一表达式。
假设状态x(t)由两部分组成，一部分是初 始状态的转移（代表自由运动），另一部 分是待定向量 (t ) 的转移，（代表受迫运 动）
（3） (t 2 ,t 0 )
(t 2 ) (t 0 )
1 1
(t 2 ) (t1 ) (t1 ) (t 0 )
1
(t 2 , t1 )(t1 , t 0 )
（4）当A(t)给定后， (t , t 0 ) 是唯一的。
（5) 当A(t)给定后，(t , t 0 ) 的表达式为：
(t , t 0 , x0 , u(t )) (t , t 0 , x0 ,0) (t , t 0 ,0, u(t ))
注：两种状态运动都是状态的转移，其形 态可以通过状态转移矩阵来表征，另外利 用状态转移矩阵可以对线性系统的运动规 律，包括定常的、时变的、离散的都建立 起一个统一的表达形式
第二章 线性系统的系统的运动分析
状态方程唯一解的存在条件 线性连续系统的运动规律 脉冲响应矩阵 线性离散系统的运动分析
第一节 状态方程唯一解的存在条件
分析系统运动的目的就在于从数学 模型出发，定量地或是精确地给出系统 运动的变化规律，以便为系统的实际运 动过程作出估计。
一 状态转移函数
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , t 0 ) (t )
为了找到运动规律的表达式，就是要确定 上式中的待定向量 (t )
求导可得：
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) (t ) x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) (t ) (t , t0 ) (t ) (t , t )( x (t )) (t , t ) (t )
对于这样的一个系统
x f ( x, t , u ), y h( x, t , u )
运动分析就是要在初始状态和外加输入的作 用下，对状态方程求解。
对上述给定系统，已知t0时刻的初始状态x0 以及属于容许输入函数集中的输入u（t）， 那么在t时刻的状态应该是由初始状态和容 许输入唯一确定的：
2 0 (t ) 2 1 t 2 t0
利用定义2可以写出系统的状态转移矩阵 1 (t , t 0 ) (t ) (t 0 )
2 0 2 0 2 2 2 2 1 t t 0 1 t 0 t 0 1 0 2 2 0.5t 0.5t 0 1
一 状态转移矩阵
定义1：给定线性时变系统，它的状态转移 矩阵 (t , t 0 )就是满足下述矩阵微分方程 及初始条件的n维方阵
(t , t 0 ) A(t )(t , t 0 ), (t 0 , t 0 ) I
定义2：假设 (t )表示齐次方程 x A(t ) x 的 任一基本解阵，这个解阵是以该方程的n个线 性无关解为列所构成的。那么对任何 (t )来 讲肯定都是非奇异的，则线性时变系统的状 态转移矩阵 (t , t 0 ) 就可以表示为：
在数学上可以放宽上述条件, 用A(t)矩阵元 的绝对可积性,B(t)和u(t)矩阵元的平方可 积性来代替函数的连续实值性, 即
结论2：状态方程的解x(t)是存在且唯一 的充分条件是:
tf
t0 tf
aij (t ) dt ,
ik
b
t0
(t ) dt ,
2
u
tf t0
k
(t ) dt
举例：给定线性时变系统：
0 0 1 x x 1u, t [1,10] t 0
当输入u为单位阶跃函数1(t-1)，初始状 态为x1(1)=1,x2(1)=2时，确定系统的运动 规律.
Байду номын сангаас
利用状态转移矩阵和运动规律表达式可得：
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u ( )d
三．线性定常系统的运动分析
在定常系统中，状态转移矩阵完全可以由系 统矩阵(A,B,C,D)来确定，即
(t , t 0 ) e
A ( t t 0 )
(t t 0 )
注意：时变系统中状态转移矩阵 (t , t 0 ) ，其 物理意义就是 (t , t 0 )依赖于初始时刻t0，而在 定常系统中通常采用 (t t 0 ) 的方法来表示状 态转移矩阵，这说明了在定常系统中，状态 转移矩阵是依赖于时间的差值t-t0，而与初始 时刻t0没有直接关系。
2 2
任取两个不同的初始状态
x1 (t 0 ) 0, x2 (t 0 ) 1和x1 (t 0 ) 2, x2 (t 0 ) 0
代入方程解中可得到两组线性无关解：
2 0 1 (t ) , 2 (t ) 2 2 1 t t 0
于是系统的一个基本解阵就是
(t , t 0 ) I A( )d
t0
t
t [t 0 , t f ]
t
t0
A( )d d , A( ) 1 1 t0
线性时变系统状态转移矩阵的获得
对于线性时变系统,其状态转移矩阵的求法 有两种,一种是利用特性五,可以写出它的非 闭合表达形式,另外一种就是求出齐次方程 的基本解阵,并根据定义2获得状态转移矩 阵的确切表达形式。
2
第二节 线性系统的运动规律
线性系统的一个基本属性就是满足叠加原理， 所以可以把系统在初始状态及输入向量作用 下的运动分解成两个独立的分运动，其中一 个是无输入作用，单纯由初始状态引起的系 统状态的自由运动，另外一个是初始状态为 零的条件下，单纯由输入作用引起的状态强 迫运动。
自由运动（无输入即u=0）就是系统 x A(t ) x 在初始条件x0下的解，用 (t , t0 , x0 ,0) 来表 示，并称其为零输入响应
0
将上式积分，就可以求出待定向量 (t )
(t ) (t 0 ) (t 0 , ) B( )u ( )d
t0
t
则状态运动规律为
x(t ) (t , t 0 ) x 0 (t , t 0 ) (t 0 ) (t , t 0 ) (t 0 , ) B ( )u ( )d
t0
t
可以看出，状态x（t）很自然地可以分 解成两个分运动，一个是单纯由初始条件x0 作用引起的零输入响应，另外一个就是在初 始条件为零时，单纯由输入作用引起的零状 态响应。
此外还需要指出的是一旦确定了系统的 状态转移矩阵，就可以通过系统的运动方 程计算得到系统的状态运动轨迹。但是在 一般情况下，状态转移矩阵是很难求出的， 所以上述公式的意义并不在于计算系统的 运动轨迹，而是在于系统理论研究。在实 际中，由初始状态x0和控制输入u所引起的 系统运动的计算通常采用数值方法来解决， 并且已经有了专门的计算机求解程序。
强迫运动是系统在初始条件为零的情况下， 单纯由输入作用产生的，即强迫方程
x A(t ) x B(t )u, x(t 0 ) 0
的解，这时用 (t , t 0 ,0, u ) 表示，称之为零状 态响应
则系统由初始状态和输入共同作用而引起 的整个响应（上节中提到的状态转移函数） 是二者的叠加 ：
(t , t 0 ) (t ) (t 0 ), t t 0
1
注: 状态转移矩阵是非奇异的
状态转移矩阵的重要性质：
（1） (t , t ) I
（2） (t ,t 0 ) [ (t ) (t0 )]
1 1 1 1
(t0 ) (t ) (t0 , t )
(t , t 0 ) x 0 (t , t 0 ) (t 0 ) (t , ) B ( )u ( )d
t0 t
根据初始条件x0，就可以定出待定向量 (t ) 的初始位置为 (t 0 ) 0，则系统运动规 律表达式为：
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u ( )d
举例：给定线性时变系统：
0 0 1 x x 1u, t [1,10] t 0
采用定义2，确定系统的状态转移矩阵
首先写出u＝0时的状态齐次方程：
x1 0 x 2 tx1
对其求解得：
x1 (t ) x1 (t 0 ) x2 (t ) 0.5t x1 (t 0 ) 0.5t 0 x1 (t 0 ) x2 (t 0 )
x(t ) (t , t 0 , x0 , u(t )), u
其中容许输入函数集的属性就是输入u(t) 是时间t的连续或分段连续函数，工程上， 实际应用的输入一般都满足这个条件。
定义：状态从初始点运动到x(t)点的 过程称为状态转移，并且把 称为状态 转移函数
一旦确定了初始点x0，那么把已知的 输入函数u(t)带入状态转移函数中就能确 定新的状态，所以说状态转移函数在整个 时间区域上描述了系统的动态行为，把它 称为系统动态行为的全描述，而状态方程 只描述了时间领域内某一点上的动态行为， 或者说描述了t时刻系统状态转移的趋势， 所以又把状态方程称作是系统动态行为的 点描述。
结论：状态转移函数表示了系统状态在 状态空间中随着时间的变化而走出的运 动轨迹，而状态方程描述的正是轨迹随 时间变化的速率。
例：一维运动轨迹如图所示
二 解的存在唯一条件
将状态方程转化成积分方程的形式 ：
x(t ) x0 f ( x( ), u ( ), )d
t0
t
因为输入u(t)已知，则上式可以改写为：
t0 t
1 2 0.5t 2 0.5t 0
0 1 t 1 2 1 0.5t 2 0.5 2 1
0 1 1d 1
t 1 1 1 t 3 0.5t 2 t 5 2 0.5t 1.5 3 6 t 2 1 3 3 t t 3
在线性系统中，状态方程中A(t)x+B(t)u代 替了函数f(x,t,u)，其解的存在形态及唯一 性都是由系统的参数矩阵A(t)和B(t)来决 定的，解的存在唯一条件叙述如下： 结论1：如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元 素在时间定义区间[t0,tf]上都是时间t的 实值连续函数，而且输入u(t)的所有元素 在时间区间[t0,tf]上是连续的实函数， 那么状态方程的解x(t)是存在且唯一的。
x(t ) x0 F ( x( ), )d
t0
t
由微分方程理论可知，保证上式有唯一 解 的 充 分 条 件 就 是 函 数 F(x(t),t) 满 足 Lipschitz条件，即存在一正数K，使得：
F ( x1 , t ) F ( x2 , t ) K x1 x2
换句话说就是向量F中的各个标量函数Fi是 关于时间t的连续或分段连续函数，且对每 个状态的偏导 Fi 也应该是时间t的连续或分 段连续函数 x j
0 0 0
A(t )(t , t0 )( x0 (t )) (t , t0 )(t ) A(t ) x(t ) (t , t )(t )
0
与状态方程比较可得：
(t , t 0 ) (t ) B(t )u (t ) (t ) (t , t ) B(t )u (t )
1
二、线性时变系统的运动规律
从本质上来看，不管是由初始状态引起的自 由运动，还是由输入作用引起的受迫运动，都 是一种状态转移，其形态可用状态转移矩阵来 表征。现在就利用状态转移矩阵，建立起线性 系统，无论是时变还是定常系统的运动规律统 一表达式。
假设状态x(t)由两部分组成，一部分是初 始状态的转移（代表自由运动），另一部 分是待定向量 (t ) 的转移，（代表受迫运 动）
（3） (t 2 ,t 0 )
(t 2 ) (t 0 )
1 1
(t 2 ) (t1 ) (t1 ) (t 0 )
1
(t 2 , t1 )(t1 , t 0 )
（4）当A(t)给定后， (t , t 0 ) 是唯一的。
（5) 当A(t)给定后，(t , t 0 ) 的表达式为：
(t , t 0 , x0 , u(t )) (t , t 0 , x0 ,0) (t , t 0 ,0, u(t ))
注：两种状态运动都是状态的转移，其形 态可以通过状态转移矩阵来表征，另外利 用状态转移矩阵可以对线性系统的运动规 律，包括定常的、时变的、离散的都建立 起一个统一的表达形式
第二章 线性系统的系统的运动分析
状态方程唯一解的存在条件 线性连续系统的运动规律 脉冲响应矩阵 线性离散系统的运动分析
第一节 状态方程唯一解的存在条件
分析系统运动的目的就在于从数学 模型出发，定量地或是精确地给出系统 运动的变化规律，以便为系统的实际运 动过程作出估计。
一 状态转移函数
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , t 0 ) (t )
为了找到运动规律的表达式，就是要确定 上式中的待定向量 (t )
求导可得：
x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) (t ) x(t ) (t , t0 ) x0 (t , t0 ) (t ) (t , t0 ) (t ) (t , t )( x (t )) (t , t ) (t )
对于这样的一个系统
x f ( x, t , u ), y h( x, t , u )
运动分析就是要在初始状态和外加输入的作 用下，对状态方程求解。
对上述给定系统，已知t0时刻的初始状态x0 以及属于容许输入函数集中的输入u（t）， 那么在t时刻的状态应该是由初始状态和容 许输入唯一确定的：
2 0 (t ) 2 1 t 2 t0
利用定义2可以写出系统的状态转移矩阵 1 (t , t 0 ) (t ) (t 0 )
2 0 2 0 2 2 2 2 1 t t 0 1 t 0 t 0 1 0 2 2 0.5t 0.5t 0 1
一 状态转移矩阵
定义1：给定线性时变系统，它的状态转移 矩阵 (t , t 0 )就是满足下述矩阵微分方程 及初始条件的n维方阵
(t , t 0 ) A(t )(t , t 0 ), (t 0 , t 0 ) I
定义2：假设 (t )表示齐次方程 x A(t ) x 的 任一基本解阵，这个解阵是以该方程的n个线 性无关解为列所构成的。那么对任何 (t )来 讲肯定都是非奇异的，则线性时变系统的状 态转移矩阵 (t , t 0 ) 就可以表示为：
在数学上可以放宽上述条件, 用A(t)矩阵元 的绝对可积性,B(t)和u(t)矩阵元的平方可 积性来代替函数的连续实值性, 即
结论2：状态方程的解x(t)是存在且唯一 的充分条件是:
tf
t0 tf
aij (t ) dt ,
ik
b
t0
(t ) dt ,
2
u
tf t0
k
(t ) dt
举例：给定线性时变系统：
0 0 1 x x 1u, t [1,10] t 0
当输入u为单位阶跃函数1(t-1)，初始状 态为x1(1)=1,x2(1)=2时，确定系统的运动 规律.
Байду номын сангаас
利用状态转移矩阵和运动规律表达式可得：
x(t ) (t , t 0 ) x0 (t , ) B( )u ( )d
三．线性定常系统的运动分析
在定常系统中，状态转移矩阵完全可以由系 统矩阵(A,B,C,D)来确定，即
(t , t 0 ) e
A ( t t 0 )
(t t 0 )
注意：时变系统中状态转移矩阵 (t , t 0 ) ，其 物理意义就是 (t , t 0 )依赖于初始时刻t0，而在 定常系统中通常采用 (t t 0 ) 的方法来表示状 态转移矩阵，这说明了在定常系统中，状态 转移矩阵是依赖于时间的差值t-t0，而与初始 时刻t0没有直接关系。
2 2
任取两个不同的初始状态
x1 (t 0 ) 0, x2 (t 0 ) 1和x1 (t 0 ) 2, x2 (t 0 ) 0
代入方程解中可得到两组线性无关解：
2 0 1 (t ) , 2 (t ) 2 2 1 t t 0
于是系统的一个基本解阵就是
(t , t 0 ) I A( )d
t0
t
t [t 0 , t f ]
t
t0
A( )d d , A( ) 1 1 t0
线性时变系统状态转移矩阵的获得
对于线性时变系统,其状态转移矩阵的求法 有两种,一种是利用特性五,可以写出它的非 闭合表达形式,另外一种就是求出齐次方程 的基本解阵,并根据定义2获得状态转移矩 阵的确切表达形式。
2
第二节 线性系统的运动规律
线性系统的一个基本属性就是满足叠加原理， 所以可以把系统在初始状态及输入向量作用 下的运动分解成两个独立的分运动，其中一 个是无输入作用，单纯由初始状态引起的系 统状态的自由运动，另外一个是初始状态为 零的条件下，单纯由输入作用引起的状态强 迫运动。
自由运动（无输入即u=0）就是系统 x A(t ) x 在初始条件x0下的解，用 (t , t0 , x0 ,0) 来表 示，并称其为零输入响应
0
将上式积分，就可以求出待定向量 (t )
(t ) (t 0 ) (t 0 , ) B( )u ( )d
t0
t
则状态运动规律为
x(t ) (t , t 0 ) x 0 (t , t 0 ) (t 0 ) (t , t 0 ) (t 0 , ) B ( )u ( )d
t0
t
可以看出，状态x（t）很自然地可以分 解成两个分运动，一个是单纯由初始条件x0 作用引起的零输入响应，另外一个就是在初 始条件为零时，单纯由输入作用引起的零状 态响应。
此外还需要指出的是一旦确定了系统的 状态转移矩阵，就可以通过系统的运动方 程计算得到系统的状态运动轨迹。但是在 一般情况下，状态转移矩阵是很难求出的， 所以上述公式的意义并不在于计算系统的 运动轨迹，而是在于系统理论研究。在实 际中，由初始状态x0和控制输入u所引起的 系统运动的计算通常采用数值方法来解决， 并且已经有了专门的计算机求解程序。
强迫运动是系统在初始条件为零的情况下， 单纯由输入作用产生的，即强迫方程
x A(t ) x B(t )u, x(t 0 ) 0
的解，这时用 (t , t 0 ,0, u ) 表示，称之为零状 态响应
则系统由初始状态和输入共同作用而引起 的整个响应（上节中提到的状态转移函数） 是二者的叠加 ：
(t , t 0 ) (t ) (t 0 ), t t 0
1
注: 状态转移矩阵是非奇异的
状态转移矩阵的重要性质：
（1） (t , t ) I
（2） (t ,t 0 ) [ (t ) (t0 )]
1 1 1 1
(t0 ) (t ) (t0 , t )