S域分析、极点与零点

θ2
N1
σ
H ( jω) =
kN1
e j (ϕ1 −ϑ2 )
M1M 2 R1C1
M1 ≅
1 R1C 1
, ϑ1 ≈ 0
H( jω) k
高通 H( jω) =0, ϕ( jω) =ϕ1 =900
0
1ω
R 2C 2
ω 逐渐增加
900
450 0
1 R 2C 2
H(jω) = 1 , ω = 1 ,ϕ(jω) =450
jω
−α
0
σ
p1
h(t)
e −αt
t
H (s) = 1
S +α
h(t) = e−αt
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
jω
0
ασ
p1
H
(s)
=
S
1 −
α
h(t)
0
eαt t
h(t) = eαt
（2） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上
jω
p1 jω1
h(t)
0
1
试求当ω
s3 + 2s2 + 2s +1
=1
时的幅频和相位
H(s) =
1
(s+1)(s−1− j 3)(s−1+ j 3)
2
2
M1
θ1
j1
M1 =1.414
θ = 450
M 2 j1
θ 2 M2 = 0.517 θ2 =150
j1
M3
H( j1) = 1 = 1 M1M2M3 2
θ ( j1) = −(450 +150 + 750) =1350
2
R1C1
H(−∞) =0, ϕ(j∞)=900
1 ≤ω ≤ 1
R2C2
R1C1
, R1C1 << R2C2
M1
≈
1 R1C1
, θ1 ≈ 0
M 2 ≈ N1 ≈ jω , θ2 ≈ ϕ1 ≈ 900
m
∏∏ H ( jω ) =
k
( jω − z j )
j =1
n
( jω − p i)
=
k
N1N 2 " N m M 1M 2 " M n
m
n
∑ ∑ j ( ψ i − θ l )
e i=1
l =1
i =1
jω
jω − p1 = M1e jθ1
p1
jω − z1 = N1e jϕ1
z1
σ
例：已知 H (s) =
.1
s +α
v0 s1 (t )
=
[1 −
1 − e−α (T −τ 1− e−αT
)
.e−αt
].u(t)
−
(1− e−α (t−τ ) ).u(t −τ )
Vos1(t) 1
t
0
τ
（8）整个周期矩形信号的稳态响应
∞
∑ v0s (t) = v0s1(t − nT )[u(t − nT ) − u(t − (n + 1)T )] n=0
♦ 一零点，一在实轴的 极点
♦ 一在原点的零点，一 在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点 一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1
C
+ H(s) = U2(s) = R = s
R U2
U1(s) R+ 1 s + 1
—
sc RC
—
M N
-1/RC
H( jω) = N ej(ψ−θ)
M
U2 U1
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
系统函数的定义
♦ 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) = R (s) E (s)
♦ 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
系统函数的极零点分布
e(t) = Em sinω0t
E(s)
=
Emω 0
s2
+
ω
2 0
R(s) = E(s)H (s)
∑ = k − jω 0 +
k jω 0
n
+
ki
s + jω 0 s − jω 0 i=1 s − pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
如系统是稳定的， 该项最后衰减为零
H ( jω 0 ) = H 0e jϕ0
2
R2C2
H(∞) =k , ϕ(jω) =0
ω 较大时 p1 起主要作用
jω
M1
θ1
σ
k
H ( jω ) =
kN 1
e j (ϕ1 −ϑ1 )
M 1M 2 R1C1
M2 ≈ N1 , θ2 ≈ϕ1 ≈900
H ( jω ) = k e − jθ1
M1
ω 逐渐增加
0
1ω
R1C 1
低通特性
ϕ(jω)=−450 , H(jω) = 1 , ω= 1
n
⎣ i=1
s
ki − pi
⎤ ⎥ ⎦
n
n
∑ ∑ =
k ie pit =
hi (t)
i =1
i =1
总特性
第 i个极点决定
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
jω
h(t)
0 p1 σ t
H (s) = 1 S
h(t) = u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
2
零点移动
z0
到原点
z0
h (t ) = e − at cos ω t
h(t) = e−at
1+
⎜⎛ ⎝
a
ω
⎟⎞2 ⎠
cos(ωt
−ϕ)
ϕ = tg−1(− a ) ω
（4） 零点的影响
♦ 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t) = e−at cosωt
幅度多了
一个因子
h(t) =e−at
e + e j(ω0t+ϕ0 )
− j (ω0t +ϕ0 )
e(t)=Emsinω0t r(t) = EmH0 sin(ω0t +ϕ0)
幅度该变
相位偏移
H( jω0) = H0ejϕ0
H( jω) = H( jω)ejϕ( jω)
ω 若ω0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
用几何法求系统频率特性
σ
0
t
p2 − jω1
H (s) = ω1
h(t) = sinω1t.u(t)
S 2 + ω12
（2） 几种典型的极点分布—— (e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
jω
p1 jω1
h(t)
0
σ
0
t
p2 − jω1
H (s) = S
h(t) = cosω1t.u(t)
S 2 + ω12
（2） 几种典型的极点分布—— (f)共轭极点在左半平面
1+
⎜⎛⎝ωa
⎟⎞2 ⎠
cosω( t
−ϕ)
ϕ =tg−1(− a) ω
多了相移
结论
♦ H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
♦ 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
♦ E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
♦ 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
jω
p1
jω1
h(t)
−α 0
σ
0
t
p2
− jω1
H(s) =
ω1
(S +α )2 + ω12
h(t) = e−αt sinω1t.u(t)
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
jω
h(t)
jω1 p1
0
ασ
0
t
− jω1 p2
H (s) =
ω1
(S
−α
)2
+
ω
2 1
h(t) = sinω1t.u(t)
1 R1C 1
⎠⎞⎟⎟ ⎝⎛⎜⎜
s
+
1 R2C 2
⎟⎟⎠⎞
=k
s
R 1C 1 ( s + p 1 )( s + p 2 )
H ( jω ) =
k R1C 1
N 1e jϕ 1 M 1 e M j θ 1 2 e j θ 2
=k
N1
e = V e j ( ϕ 1 − θ 1 − ϑ 2 )
1
jϕ (ω )
H (− jω 0 ) = H 0e− jϕ0
k − jω 0
= (s +
jω ) R ( s ) s=− jω 0
=
E m H 0 e − jϕ 0 −2j
k jω 0
= (s −
jω ) R ( s ) s= jω 0
=
E m H 0 e jϕ 0 2j
稳态响应 有关的
[ ] Rw(s)
=
Em H 0 2j
稳态响应
完全响应
A
B
暂态响应
−B
A=11−−ee−−ααTτ
B
=
1− 1−
eατ eαT
§5.2 由系统函数决定系统频 率特性
♦ 什么是系统频率响应？ 不同频率的正弦激励下系统的稳态响应 一般为复数，可表示为下列两种形式：
H ( jω) = R( jω) + jI( jω) H ( jω) = H ( jω) e jϕ( jω)
_
RC s + 1
RC
jω
M
H ( jω ) = k 1 e j(ϕ −θ1)
M
−1 RC
没有零点
U2
幅频特性
U1
ω=0,
M=1RC
U2 U1
=1
ω
=
1 RC
相位特性
−450
ω
=
1 RC
− 90 0
ω
ω= 1 ,
RC
M= 2, RC
U2U1 =
1 2
ϕ =−450
ω
ω=∞,
M=∞,
U2 U1
=0
ϕ=−900
θ 3 M3 = 1.932 θ3 = 750
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析
♦ 已知该系统的H(s)的极零点在S平面 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
（1）一阶系统
H (s) = K s − z1 s − p1
H(s) = K s s − p1
H (s) = k s − p1
（2） 二阶非谐振系统的S平面分析
只考虑单极 点使系统逞 低通特性
−β
高通
H( jω)
−α
总体是个带通
β >> α
只考虑一极点 和一零点使系 统逞高通特性
低通
中间状态是个常数
ω
例： +
V1
−
R1
C1
C2
+
−
KV3
R2
+ V2
−
H (s) = V2(s) = k
s
V1 ( s )
R1C 1
⎜⎜⎝⎛ s +
v0 (t)
T
（1）求e(t)的拉氏变换
∑ E
(s)
=
1 (1− e−sτ s
∞
) e−snT
n=0
=
1 s
(1− e−sτ ) (1− e−sT )
（2）求系统函数H(s)
jω
H (s) =
1 Cs
α= 1 RC
=
α
R+ 1
s +α
Cs
−α
σ
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
H (s) = 1 S2
h(t) = t
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
jω
h(t)
σ
0
t
H
(s)
=
(S
1
+α
)2
h (t ) = te −αt
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
jω
h(t)
=
E (s).H
(s)
=
α (1 − e − sτ ) s(s + α )(1 − e −sT
)
暂态
稳态
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
V0t
(s)
=
K1
s +α
K1
= V0 (s)(s
+α)
s = −α
=
1− eατ 1− eαT
固定常数
v0t (t)
=
−
1 1
− −
e ατ eαT
.e −αt
σ
0
t
H (s) = 2ωS
(S
2
+
ω
2 1
)
2
h(t) = t sin ω1t
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
jω
jω1
h(t)
σ
0
t
− jω1
H
(s)
=
2ω (S + α )
[( S
+
α
)2
+
ω
2 1
]2
h(t) = te−αt sinω1t
jω
σ
一阶极点
jω
σ
二重极点
极点影响小结：
♦极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
♦极点落在右半平面— h(t)逞增长趋 势
♦极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
♦极点落在原点— h(t)等于 u(t)
（4） 零点的影响
H1(s)
=
(s
s+a
+ a)2 + ω
2
H 2(s)
=
(s
+
s a)2
+ω
ω=0,
N =0,
M=
1 RC
N M
=0
ω
=
1 RC
ω= 1RC,
N
=
1 RC
,θ =450,
M=
2 RC,
N M
=
1
2
900
450
ω ω = ∞, N ≈ 1, ϕ −θ = 0
M
例： 求一阶低通滤波器的频率特性
+
R
U1
C
_
+
H (s) = U 2 =
1 Cs
U1
R
+
1 Cs
U2 = 1 . 1
m
k∏(s − zj)
H (s) =
j =1 n
∏(s − pi)
i =1
jω
p1
z1
p0
z0
σ
p2
z2
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k∏(s − zj )
H(s) =
j=1 n
∏(s −pi)
i=1
反变换
∑ h (t ) =
L
−
1
⎡ ⎢
激励E(s)的极点影响
♦ 激励E(s)的极点也可能是复数
♦ 增幅，在稳定系统的作 用下稳下来，或与系统
Re[ pk ] > 0
某零点相抵消
♦ 等幅，稳态
Re[ pk ] = 0
♦ 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] < 0
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
τ
e(t) R
t
C
R1C 1 M 1M 2
V2
高通
M1
M2
N1
p1
=
−
1 R1C1
p2
=
−
1 R2C2
1 >> 1
R1C 1
R 2C 2
M2
M1
低通
p2
=
−
1 R2C2
p1
=
−
1 R1C1
H ( jω ) = k
N1
e j (ϕ 1 −θ 1 −ϑ 2 )
R1C 1 M 1M 2
ω 较小时 p2 起作用
jω
M2
−1 R 2C 2
衰减因子
Байду номын сангаас
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
=
H
(s).E1
(s)
=
α(1− e−sτ s(s +α)
)
（7）求第一周期的稳态响应
V 0 s1 ( s ) = V 01 ( s ) − V 0 t ( s )
=
α (1 − e − sτ ) s(s + α )
+
1 − e ατ 1 − eαT