第9章--离散系统的零极点分析
信号与系统系统函数的零极点分析课件
极点的位置也会影响系统的噪声性能，极点靠近虚轴时，系统对噪声的抑制能力较强。
极点对系统稳定性的影响
实数极点影响系统稳定性
实数极点会使得系统函数在某点趋于无穷大，导致系统不稳 定。极点的位置决定了系统稳定的程度和响应速度。
复数极点影响系统稳定性
复数极点会影响系统的频率响应特性，进而影响系统的稳定 性。如果复数极点位于左半平面，则系统稳定；反之，位于 右半平面则不稳定。
零点与系统极点的关系
在复平面内，零点和极点可以影响系统的稳定性，极点的位置更为 关键。
稳定系统中的零点作用
在稳定的系统中，零点可以起到调节系统性能的作用，但不会改变 系统的稳定性。
零点对系统频率响应的影响
零点对低频响应的影响
某些零点的位置会影响系统的低频响应，可能导致低频增益降低 或相位滞后。
零点对高频响应的影响
傅里叶分析
将信号分解为不同频率的正弦波 和余弦波，研究信号的频谱特性 和系统的频率响应。
拉普拉斯变换
将时域函数转换为复平面上的函 数，通过分析系统的传递函数来 研究系统的稳定性、极点和零点 等特性。
Z变换
将离散时间序列转换为复平面上 的函数，通过分析系统的差分方 程来研究离散时间系统的特性。
系统函数与零极点
频率响应分析
零极点分布影响系统的频率响应特性，通过分析零极点 可以预测系统的频率合理设计系统的零极点，可以实现特定的系统性能 指标，如快速响应、低超调量等。
系统函数的零点分析
03
零点对系统性能的影响
零点位置影响系统性能
01
零点位置的不同会导致系统性能的差异，例如系统的幅频特性
极点的定义与性质
定义
极点是系统函数在复平面上具有无穷大 增益的点，即系统函数的分母为零的点。
信号与系统第9章 离散系统的分析
归纳得
将该结论推广到系统有 r（r >1）重特征根的 情况，此时可假设系统的传输算子为
8
考虑到实际的系统都为因果系统，输出不可能 超前于输入，则对离散系统来说，其传输算子不可 能为 H（E）=AEn（n >0，A 为常数）的形式。因 为此时由式（9.1.6）得到系统的单位响应为 h（k ）=H（E）δ（k）=Aδ（k+n），而这意味着在单 位脉冲序列 δ（k）作用下，系统的输出超前于输 入。
第9章 离散系统的分析
离散系统的输入输出信号都为离散信号。上 一章介绍了离散信号的基本分析方法，本章在此 基础上，介绍了离散系统的时域、频域和复频域 分析，并综合利用这些基本方法对数字信号处理 系统中常用的数字滤波器进行分析。
1
9.1 离散系统的时域分析 在连续系统的时域分析中，将连续系统用微分 方程或算子方程来描述，并据此求解系统的零输入 响应、零状态响应以及单位冲激响应等。离散系统 也有类似分析方法。但是对离散系统，在时域中用 差分方程来描述，通过引入超前滞后算子而得到离 散系统的传输算子，再据此求解系统的响应。
2
9.1.1 离散系统的传输算子 离散系统的输入输出方程为差分方程，其标准 形式为
为了简化表示，引入滞后算子 E-1，其代表的 运算为将信号向右平移一个点，即
3
9.1.2 离散系统的零输入响应 对于离散系统，同样令其输入序列为零，则由 其算子方程和零输入响应的定义得
4
归纳得到此时零输入响应的一般形式为 将以上结论推广到一般的离散系统，假设系统 有一个 r重特征根为 λ，则由该特征根决定的系统 零输入响应为
9
则由式（9.1.6）根据算子的含义直接得到此 时的单位脉冲响应为
综合以上各种情况，可以得到求解离散系统单 位脉冲响应的一般步骤为： ①确定系统的传输算子 H（E）。 ②将 H（E）/E 用部分分式展开法分解为若干 部分分式的叠加，即
数字信号处理(第四版)第9章数字信号处理的实现
第9章 数字信号处理的实现
2. 极点位置敏感度 下面分析系数量化误差对极零点位置的影响。如果 极零点位置改变了，严重时不仅IIR系统的频率响应会 发 生变化，还会影响系统的稳定性。因此研究极点位置 的 改变更加重要。为了表示系数量化对极点位置的影响，引 入极点位置灵敏度的概念，所谓极点灵敏度, 是指每 个极 点对系数偏差的敏感程度。相应的还有零点位置灵 敏度 ，分析方法相同。下面讨论系数量化对极点位置的 影响 。
就是量化后的数值。x可以是标量、向量和矩阵。将数取
整的方法有四舍五入取整、向上取整、向下取整、向零
取整，对应的MATLAB取整函数分别为 round(x)、
ceil(x)、floor(x)、fix(x)。round最常用，对应的MATLAB
量化语句为xq=q*round(x/q)。
第9章 数字信号处理的实现
解 求解本例的系数量化与绘图程序为ep911.m。
第9章 数字信号处理的实现
%ep911.m： 例题9.1.1 系数量化与图9.1.3绘图程序 B=1; A=［1, -0.17, 0.965］;%量化前系统函数系数向量
b=4; Aq=quant(A, b);
进行b位量化
%量化2进制位数 %对系统函数分母系数向量A
p=roots(A) pq=roots(Aq) ap=abs(p) a pq=abs(pq) %以下为绘图部分省略
%计算量化前的极点 %计算量化后的极点 %计算量化前极点的模 %计算量化后极点的模
第9章 数字信号处理的实现
运行程序，得到量化后的系统函数
为
并求出H(z)和
的极点分别为
显然，因为系数的量化，使极点位置发生变化，算出极点
的模为： |p1, 2|=0.9823，
(完整word版)离散系统的频域分析与零极点分布 (1)(word文档良心出品)
课程设计报告课程名称数字信号课程设计系别：工程技术系专业班级：电子信息工程0901学号：**姓名：**课程题目：离散系统的频域分析与零极点分布完成日期：2012年6月29日指导老师：**2012 年6 月29 日离散系统的频域分析与零极点分布摘要本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应,利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图,根据零极点在单位圆的分布,判断因果系统的稳定性.再比较不同零极点对系统频率响应特性的影响。
从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识,既极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。
同时也对系统函数零极点分布对系统频率响应特性的影响有了深入的了解。
既极点位置主要影响频率响应的峰值及尖锐程度,零点位置主要影响频率响应的谷点位置及形状。
本次课题也对系统的幅频特性曲线和相频特性曲线进行了绘制,并求出了系统的单位脉冲响应以及绘制出了波形图。
关键字：离散系统，频域分析，零极点分布目录一、绪论 (1)二、方案 (1)实验原理 (1)三、过程论述及结果分析 (2)1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 (2)2.分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线 (5)3.分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形 (9)四、结论 (12)致谢 (13)参考文献 (13)一、绪论编制Matlab 程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应；根据零极点分布图判断系统的稳定性；比较不同零极点发布对系统频率响应特性的影响；绘制相关信号的波形。
具体要求如下：下面四种二阶网络的系统函数具有相同的极点发布：1121()1 1.60.9425H z z z --=-+121210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+131210.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+ 124121 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z-----+=-+ （1）分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性； （2）分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线； （3）分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形。
数字信号处理实验4
实验4 离散时间系统的频域分析一、实验目的（1）了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系； （2）加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解； （3）熟悉MATLAB 中进行离散系统零极点分析的常用子函数； （4）掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。
二、知识点提示本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB 相关子函数的使用。
三、实验原理1．离散时间系统的零极点及零极点分布图设离散时间系统系统函数为NMzN a z a a z M b z b b z A z B z H ----++++++++==)1()2()1()1()2()1()()()(11 (4-1) MATLAB 提供了专门用于绘制离散时间系统零极点图的zplane 函数： ①zplane 函数 格式一：zplane(z, p)功能：绘制出列向量z 中的零点(以符号"○" 表示)和列向量p 中的极点(以符号"×"表示)，同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。
如果z 和p 为矩阵，则zplane 以不同的颜色分别绘出z 和p 各列中的零点和极点。
格式二：zplane(B, A)功能：绘制出系统函数H(z)的零极点图。
其中B 和A 为系统函数)(z H (4-1)式的分子和分母多项式系数向量。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，函数首先调用root 函数以求出它们的零极点。
②roots 函数。
用于求多项式的根，调用格式：roots(C)，其中C 为多项式的系数向量，降幂排列。
2．离散系统的频率特性MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的freqz 函数，调用格式如下： ①H = freqz(B,A,W)功能：计算由向量W (rad )指定的数字频率点上(通常指[0,π]范围的频率)离散系统)(z H 的频率响应)e (j ωH ，结果存于H 向量中。
第9章 系统的信号流图
x ( n)
w(n)
b0 b1
y ( n)
z 1
b1
a1 a2
z 1 z 1
z 1 z 1
z 1
通过加入变量w(n)，计算该系统的系统函数，可以得出与原系统相同的结 果 由以上例题可见，一个系统可以由不同的网络结构实现，在选择不同的 网络结构时，我们需要权衡考虑诸多方面的因素，最主要的就是数字计算的 复杂程度和硬件实现的花销。一般最希望网络中乘法器和延时支路尽可能少 ，这是因为乘法运算花费的时间较长，减少乘法器意味着提高运算速度，而 一个延时单元就相当于采用一个寄存器，减少延时单元就意味着减少存储电 路。另一方面，在用硬件实现数字滤波器时，有限寄存器长度(有限计算精 度)和滤波器结构关系密切，所以有时候希望选用对有限字长效应的影响敏 感度较低的网络结构，而宁愿舍弃乘法器和延时单元少的结构。下面我们将 介绍一些常用的网络形式，对IIR系统和FIR系统分开讨论。
H ( z ) n 0 h( n) z n
N 1
如果FIR的冲激响应长度为N，那么H(Z)就是Z-1的N-1次多项式，在z=0处有一 个N-1阶的极点，并有N-1个零点。FIR的实现结构也有多种形式，下面介绍其最 重要的几种网络结构
1、直接形式 N 1 n 若FIR的系统函数为 ，则相应的差分方程为 ， H ( z) h ( n ) z n 0 该式我们通常称为卷积和公式，由此，我们可得如下直接形式的网络结构。 N 1
b 1 az 1
则其信号流图如下
x ( n)
将其转置后有
y ( n) y ( n)
b
再按输入在左输出在右的习 惯可以画成
x ( n)
b
x ( n)
信号系统面试题
第1章信号与系统的根本概念1.信号、信息与消息的差异？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2.什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号〔在t=0点时，不连续〕，单边正弦信号〔在t =0时的一阶导函数不连续〕。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号d(t)和单位阶跃信号u(t)。
5.线性时不变系统：同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应〔或单位脉冲响应〕、系统函数或频率响应进行描述。
而且多个系统可以以不同的方式进行连接，根本的连接方式为：级联和并联。
第2章连续时间系统的时域分析1.如何获得系统的数学模型？数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。
不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。
对于线性时不变系统，其数学模型通常由两种形式：建立输入-输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的假设干个方程组成的方程组〔状态方程〕。
对于本课程研究较多的电类系统而言，建立系统数学模型主要依据两个约束特性：元件特性约束和网络拓扑约束。
一般地，对于线性时不变连续时间系统，其输入-输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程那么是一阶常系数微分方程组。
在本章里，主要讨论系统的输入-输出方程。
2.系统的起始状态和初始状态的关系？起始状态：通常又称状态，它是指系统在鼓励信号参加之前的状态初始状态：通常又称状态，它是指系统在鼓励信号参加之后的状态。
起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。
3.零输入响应和零状态响应的含义？零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。
如果系统无外加输入信号〔即输入信号为零〕时，由起始状态所产生的响应〔也可以看作为由起始状态等效的电压源或电流源----等效输入信号所产生的响应〕，称为零输入响应，一般用表示；如果系统起始无储能，系统的响应只由外加信号所产生，称为零状态响应，一般用表示。
实验-Z变换、零极点分析
（一）离散时间信号的Z 变换1．利用MATLAB 实现z 域的部分分式展开式MATLAB 的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：[r,p,k]=residuez(num,den)式中，num 和den 分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r 为部分分式的系数向量，p 为极点向量，k 为多项式的系数向量。
【实例1】 利用MATLAB 计算321431818)(-----+zz z z F 的部分分式展开式。
解：利用MATLAB 计算部分分式展开式程序为% 部分分式展开式的实现程序num=[18];den=[18 3 -4 -1];[r,p,k]=residuez(num,den)2．Z 变换和Z 反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Z 变换的函数ztrans()和Z 反变换的函数iztrans （），其调用形式为)()(F iztrans f f ztrans F ==上面两式中，右端的f 和F 分别为时域表示式和z 域表示式的符号表示，可应用函数sym 来实现，其调用格式为()A sym S =式中，A 为待分析的表示式的字符串，S 为符号化的数字或变量。
【实例2】求（1）指数序列()n u a n 的Z 变换;(2)()()2a z az z F -=的Z 反变换。
解 （1）Z 变换的MATLAB 程序% Z 变换的程序实现f=sym('a^n');F=ztrans(f)程序运行结果为：z/a/(z/a-1)可以用simplify( )化简得到 :-z/(-z+a)（2）Z 反变换的MATLAB 程序% Z 反变换实现程序F=sym('a*z/(z-a)^2');f=iztrans(F)程序运行结果为f =a^n*n（二）系统函数的零极点分析1. 系统函数的零极点分布离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H = （3-1）如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为：11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （3-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为：[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
信号、系统分析与控制 第9章 系统函数的零极点
2. 离散系统函数的零极点
M
离散系统函数的多项式形式为：
H (z)
B(z) A(z)
bj z j
j0
N
ai z i
b0 a0
b1z 1 ... bm z m a1z 1 ... an z n
（9.1.2）
将系统函数进行因式分解，可采用根的形式表示多项式，即 i0
M
H (z)
Y (z)
➢ 说明系统正弦稳态特性。
➢ 研究系统的稳定性。从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率，进而了解系统冲激响应的模式，也就 是说可以知道系统的冲激响应是指数型、衰减振荡型、等幅振荡型、还是几者的组合，从而可以了解系统的
响应特性及系统是否稳定。
1. 连续系统的零极点
系统函数一般以多项式形式出现，分子多项式和分母多项式都可以分解成线性因子的乘积，即连续系统函数：
➢ 可预测系统的时域特性。确定系统函数H(s)、H(z)。 ➢ 可以用函数 [r,p,k]=residuez（num,den）完成部分分式展开计算系统函数的留数、极点和增益； ➢ 可以用函数sos=zp2sos（z,p,k）完成将高阶系统分解为2阶系统的串联。
➢ 描述系统的频响特性。从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性，从而可以分析系统的正弦稳态 响应特性。 使用h=freqz(num,den,w)函数可求系统的频率响应。
2. 使用多项式的roots()函数分别求出多项式和的根，获得系统函数的极点、零点。
3. 用用zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零极点，sys表示系统传递函数。用法如下：
z = zero(sys)：返回 LTI模型 sys的零点z 的列向量。
[z,gain] = zero(sys)：同时返回增益gain。
零极点分析ppt课件
p1 p2 1
极点：
p3
2
j
j
p4
2
j
s1 0
-j
零点：
s2 s3
1 1
j j
s4
只要知道H(s)在s平面中零极点分布
h(t)波形的特性
17
H(s)在s平面中零极点分布特点： 1. 若系统为实系统，则H(s)的零极点为复数零极点必然成
对地出现。 2. H(s)的零点数和极点数必然相等。
53零极点分布与系统的频率响应特性的关系51系统函数与冲激响应52零极点分布与时域响应特性54典型系统的频响特性55全通系统与最小相位系统56模拟滤波器的基本概念与设计方法57系统模拟及信号流图58系统的稳定性51系统函数与冲激响应511系统函数的定义设系统的n阶微分方程为
第5章 连续时间系统的s域分析
H (s)
p3
j
p1
X (s)
K1,2
Eme j
j2 Z ( j01)
p4 p2
Z(
j01)
Z (s) s j01
R
j
(01L
1 01C
)
Z ( j01) e j
K3,4
Em 01
L
j
2
d
(
2 01
2 d
j d 2
j2 d )
34
(4) 求各响应分量
H (s)
I (s) K1 K2 K3 K4
28
5.2.3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应
Y(s) H(s)X (s)
m
设：
(s zj )
u
(s zl )
H (s)
j 1 n
,
离散系统的零极点分析
3.分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
根据Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
六个图都没有零点，图1，2，4的极点都在单位圆内，所以系统1，2，4是稳定的，图3，5，6的极点
都在单位圆外，所以系统3,5,6是不稳定的。
My1.m
a=[1 -1];
b=[1];
impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（2）
My2.m
a=[1 -0.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（3）
My3.m
a=[1 -1.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-5,50,0,800000]);
时域条件：离散系统稳定的充要条件为 ，即系统单位响应绝对求和。
Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系
离散系统单位响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。H（z）的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然，H（z）的极点位置不同，则h(n)的时域特性也完全不同。
a=[1 –1];
b=[1];impz(b,来自)axis([-5,10,0,1.2])
3分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
1.写出上面6图对应系统的系统函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.编辑各系统函数的相应的.m文件，输出冲激响应波形；
绘制离散系统零极点图
绘制离散系统零极点图：zplane()滤波器绘制离散系统零极点图：zplane()zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。
如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜色来表示。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root函数以求出它们的零极点。
[H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。
其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。
如果有重零极点，它还包括显示在其右上方的文本句柄。
例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减为60dB程序设计如下：wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=10000Hz;rp=0.5; rs=60;wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2];[n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs);[num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop');[H, W]=freqz(num, den);figure;plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');figure;impz(num, den);figure;grpdelay(num, den);figure;zplane(num, den);FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数[H,W] = FREQZ(B,A,N) returns the N-point complex frequency responsevector H and the N-point frequency vector W inradians/sample ofthe filter:函数的输出：a.滤波器的频率响应H（N点） b.频率向量W(N点，且单位为弧度)其中，滤波器形式如下：given numerator and denominator coefficients in vectors B andA. Thefrequency response is evaluated at N points equally spacedaround theupper half of the unit circle. If N isn't specified, it defaultsto 512.滤波器的系数：分子为B，分母为A频率向量W，是均匀分布在滤波器的上半区，即：0：pi，这些点上的频率响应都将通过此函数计算出来。
信号与系统 系统函数的零极点分析ppt课件
(e)
(f)
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
解：对应系统的幅频特性为
j
H ( )
0
0
H ( )
j
0
0
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
j
H ( )
0
j
0
H ( )
0
0
信号与系统
五．零极点与系统频率响应的关系
j
H ( )
0
0
j
H ( )
0
sj r 1 n r
m
m
k 1
k
j p
k 1
r1 n
r
k
系统的相频特性为
( ) arg j z arg j p
r 1 r k 1 k
m
n
令 有
j r j z N e r r
j k j p M e k k
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
j
几种典型情况
jω 0
α
O
α
jω0
信号与系统
5.7.2 系统零极点与冲激响应模式的关系
p j 对时域响应特性关系如下
s) 总体来说，系统函数 H (极点
（1）极点的实部 决定了时域响应指数衰减或增长的快慢， 离虚轴越远，指数衰减或增长越快，所以称为衰减因子， ，响应为衰减形式，若 0 响应振幅为常数。 0 若 （2）极点的虚部 ，响应为增长形式，若 0 ，
m
将
j z r j pk 都看作是两矢量之差，
离散系统的系统函数
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ， 激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i
h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面 极点位置
虚轴上 原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面 极点位置
实验四 离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析实验四离散时间信号与系统分析一、实验目的1、理解离散信号及系统的时频域分析方法2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。
3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方法二、实验时数：2学时三、实验相关知识（一）离散信号的卷积利用函数(,)可以计算离散信号的卷积和，c conv a b即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。
若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。
例4-1：已知两序列：x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1;k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。
解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围k_x = -1:3;x=[1,2,3,4,5];k_y = -1:1;y=[1,1,1];z=conv(x,y);k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z);（二）离散信号的逆z 变换离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。
设离散信号的z 变换式如下，120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下：[r,p,k] = residuez(num,den)其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的多项式，缺项应补零。
六、离散LTI系统的零极点分析
（3）、绘制系统的幅度响应曲线，并根据幅度响应曲线判断系统的滤波特性；
（4）、若将差分方程改写为 ，谈论该系统的滤波特性。
解：系统函数：
（1）（2）（3）MATLAB代码：
b=[1,0.9];a=[1,-0.9];
figure(1);subplot(2,1,1);zplane(b,a);
B=[1,-0.9];a=[1,0.9];%结果6-6和6-7
实验数据结果及分析
6-1
6-2
6-3
6-4
6-6
6-7
结果分析：1、从6-4和6-5可以看出该系统具有低通特性，属于低通滤波器且具有非线性相位响应。
2、从6-6和6-7可以看出该系统具有高通特性，属于高通滤波器且具有非线性相位响应。
求：
1、系统函数 ，并画出零极点分布图；
2、单位冲激响应 ；
3、系统的频率响应 ，并在 上画出它的幅度和相位。
解（1）对差分方程进行Z变换可以求得系统函数
收敛域： ；
极点： ；
零点： 。
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];%分子分母系数
zplane(b,a);%结果6-1
（2）
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];
xlabel('n');ylabel('h(n)');%结果6-2
>> [H,W]=freqz(b,a);%求系统频率响应
>> figure(2);subplot(2,1,1);
>> plot(W/pi,abs(H));%绘制幅度响应曲线
>> title('幅度响应曲线');grid on;
离散系统的转移函数_零、极点分布和模拟
二、实验项目名称：离散系统的转移函数，零、极点分布和模拟 三、实验原理：离散系统的时域方程为∑∑==-=-Mm m Nk km n x b k n y a][][其变换域分析方法如下：系统的频率响应为 ωωωωωωωjN N j jM M j j j j ea e a a eb e b b e A e B e H ----++++++==......)()()(1010 Z 域 )()()(][][][][][z H z X z Y m n h m x n h n x n y m =⇔-=*=∑∞-∞=系统的转移函数为 NN MM z a z a a z b z b b z A z B z H ----++++++==......)()()(110110 分解因式 ∏∏∑∑=-=-=-=---==Ni i Mi i N i i kMi ik z z Kz a zb z H 11110)1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极点。
在MATLAB 中，可以用函数[z,p,K]=tf2zp （num,den ）求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane （z ，p ）绘出零、极点分布图；也可以用函数zplane （num ，den ）直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。
四、实验目的：1、加深对离散系统转移函数、零极点概念的理解；2、根据系统转移函数求系统零极点分布。
五、实验内容：实验内容（一）、使用实验仿真系统(略) 实验内容（二）、MATLAB 仿真六、实验器材（设备、元器件）：计算机、MATLAB 软件。
七、实验步骤：对系统系统2181.09.011)(--+-=zz z H1、编程实现系统的参数输入，绘出幅度频率响应曲线和零、极点分布图。
2、根据系统的零极点计算系统频率响应的幅值和相位。
定义omega=[0:511]*pi/256和unitcirc=exp(j*omega)得到在单位圆上512个等分点，在这些点上将要对频率响应)(jw e H 求值。
【精品】计算机控制技术作业33
计算机控制技术作业1连续控制系统分析(第1---3章)一、填空题1．闭环负反馈控制的基本方法是。
2．自动控制系统通常是由被控对象和两大部分构成的。
而后者是由指令生成、综合比较、等六个部件构成的。
3．连续系统传递函数定义为在零初始条件下,输出量与输入量的。
传递函数只取决于，与输入信号特性无关。
4．系统传递函数的分布状况决定了系统的动态响应特性。
5．积分环节的输出量c(t)与输入量r(t)的成正比。
微分环节的输出量c(t)与输入量r(t)的成正比。
6．在一个闭环控制系统中，不同输入与输出量的传递函数相同，而是不同的。
7．连续系统稳定的充分必要条件是它的特征根应全部位于S平面的。
8．稳态误差定义为系统误差响应的，即e ss= 。
9．一个线性系统，若其输入信号为一定幅值及频率的正弦信号，则它的稳态输出是的正弦信号。
10．对数幅频特性L( )定义为L( )= 。
11．截止频率 c定义为L( c)= 时的频率。
12．通常，系统的相稳定裕度γM的大小反映了系统的，而截止频率 c 反映了系统的。
二、单项选择题1．图2．1所示的有源RC网络是一种环节。
A 积分；B 微分；C 惯性。
122．若以电机轴的转速为输入量，电机轴的转角为输出量，则它的传递函数为 环节 。
A 积分；B 微分；C 惯性。
3．图2．2是二阶系统的单位阶跃响应曲线，从该曲线的形状可知它的阻尼比ζ 。
A 1 >ζ> 0；B ζ> 1；C ζ= 0 。
4．图2．3是一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线，从一阶惯性环节特性可知，曲线中H 等于 。
A 0.6；B 0.632；C 0.707。
5．某系统的零极点分布如图2．4所示，从中可知该系统是 的。
A 稳定；B 临界稳定；C 不稳定。
图2.1s/图2.236．某系统的传递函数为G(s) = 0.5(s-0.5) / (0.5s+1) ，可知该系统是 。
A 稳定的；B 临界稳定的；C 不稳定的。
离散系统的零极点分析
例9-2 研究z左半平面的实数极点对系统响应的影响。
已知系统的零-极点增益模型分别为
H1(z)
z ,
z 0.85
H2 (z)
z ,
z1
H3(z)
z z 1 .5
求这些系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，判 断系统的稳定性。
解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
分布图以及系统的冲激响应。程序如下：
解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
分布图以及系统的冲激响应。程序如下： %在右半平面的实数极点的影响 z1＝［0］；p1＝［0.85］；k＝1； ［b1，a1］＝zp2tf(z1，p1，k)； subplot(3，2，1)，zplane(z1，p1)； ylabel(极点在单位圆内)； subplot(3，2，2)，impz(b1，a1，20)； z2＝［0］；p2＝［1］；
求这些系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，判 断系统的稳定性。
解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
分布图以及系统的冲激响应。程序如下：
%复数极点的影响 z1＝［0.3，0］；p1＝［0.5＋0.7j，0.5－0.7j］；k＝ 1； ［b1，a1］＝zp2tf(z1，p1，k)； subplot(3，2，1)，zplane(b1，a1)； ylabel(极点在单位圆内)； subplot(3，2，2)，impz(b1，a1，20)； z2＝［0.3，0］；p2＝［0.6＋0.8j，0.6－0.8j］； ［b2，a2］＝zp2tf(z2，p2，k)；
z1 H(z) 求该系统的零极点及零极点z分2 布2图.5，z并 1判断系统的因果稳定性。
图9-3 处于z右半平面的复数极点对系统响应的影响
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图9-6 例9-5的零极点分布图
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图9-7 例9-5系统的冲激响应图
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由运行结果和图9-6零极点分布图可见，该系统的所有
极点均在单位圆内；由图9-7可见，该系统的冲激响应曲线 随着n增大而收敛。因此，该系统是一个因果稳定系统。
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程序运行结果如下：
rz＝ 1
rp＝
2.0000 0.5000 零极点分布图如图9-4所示，系统的冲激响应如图9-5 所示。 由运行结果和图9-4可见，该系统有一个极点rp1＝2， 在单位圆外；由图9-5可见，该系统的冲激响应曲线随着n 增大而发散。因此，该系统不是因果稳定系统。
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图9-4 例9-4的零极点分布图
16
由图9-2可见，这3个系统的极点均为实数且处于z平面
的左半平面。由图可知，当极点处于单位圆内，系统的冲 激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，
系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，
系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。
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图9-2 处于z左半平面的实数极点对系统响应的影响
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2.roots
功能：求多项式的根。 调用格式：
r＝roots(a)；由多项式的分子或分母系数向量求根向量。 其中，多项式的分子或分母系数按降幂排列，得到的根向
量为列向量。
5
三、实验原理
1.离散系统的因果性和稳定性
1)因果系统 由理论分析可知，一个离散系统的因果性在时域中必 须满足的充分必要条件是：
7
3)因果稳定系统
综合系统的因果性和稳定性两方面的要求可知，一个 因果稳定系统的充分必要条件是：系统函数的全部极点必
须在z平面上以原点为中心的单位圆内。
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2.系统极点的位置对系统响应的影响
系统极点的位置对系统响应有着非常明显的影响。下面举例说明 系统的极点分别是实数和复数时的情况，使用MATLAB提供的zplane
子函数制作零极点分布图进行分析。
例9-1 研究z右半平面的实数极点对系统响应的影响。
已知系统的零-极点增益模型分别为：
H 定性。 1 (z)
求这些系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，判断系统的稳 z z z
z 0.85
,
H 2 (z)
z 1
,
H 3 (z)
z 1.5
9
解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
1.zplane 功能：显示离散系统的零极点分布图。 调用格式：
zplane(z，p)；绘制由列向量z确定的零点、列向量p确
定的极点构成的零极点分布图。
zplane(b，a)；绘制由行向量b和a构成的系统函数确定 的零极点分布图。
［hz，hp，ht］＝zplane(z，p)；执行后可得到3个句柄
向量：hz为零点线句柄，hp为极点线句柄，ht为坐标轴、 单位圆及文本对象的句柄。
分布图以及系统的冲激响应。程序如下： %在右半平面的实数极点的影响 z1＝［0］；p1＝［0.85］；k＝1； ［b1，a1］＝zp2tf(z1，p1，k)； subplot(3，2，1)，zplane(z1，p1)； ylabel(极点在单位圆内)； subplot(3，2，2)，impz(b1，a1，20)； z2＝［0］；p2＝［1］；
10
［b2，a2］＝zp2tf(z2，p2，k)；
subplot(3，2，3)，zplane(z2，p2)； ylabel(极点在单位圆上)；
subplot(3，2，4)，impz(b2，a2，20)；
z3＝［0］；p3＝［1.5］； ［b3，a3］＝zp2tf(z3，p3，k)； subplot(3，2，5)，zplane(z3，p3)； ylabel(极点在单位圆外)； subplot(3，2，6)，impz(b3，a3，20)；
20
subplot(3，2，3)，zplane(b2，a2)；
ylabel(极点在单位圆上)； subplot(3，2，4)，impz(b2，a2＋j，1－j］；
［b3，a3］＝zp2tf(z3，p3，k)； subplot(3，2，5)，zplane(b3，a3)； ylabel(极点在单位圆外)； subplot(3，2，6)，impz(b3，a3，20)；
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3.系统的因果稳定性实例分析
在MATLAB中提供了roots子函数，用于求多项式的根。配合使用 zplane子函数制作零极点分布图，可以帮助我们进行系统因果稳定性的
分析。
例9-4 已知离散时间系统函数为
H(z)
z 1 z 2 2.5 z 1
求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因果稳定性。
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由图9-1可见，这3个系统的极点均为实数且处于z平面
的右半平面。由图可知，当极点处于单位圆内，系统的冲 激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，
系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，
系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。
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图9-1 处于z右半平面的实数极点对系统响应的影响
求这些系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，判 断系统的稳定性。
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解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
分布图以及系统的冲激响应。程序如下： %复数极点的影响 z1＝［0.3，0］；p1＝［0.5＋0.7j，0.5－0.7j］；k＝ 1； ［b1，a1］＝zp2tf(z1，p1，k)； subplot(3，2，1)，zplane(b1，a1)； ylabel(极点在单位圆内)； subplot(3，2，2)，impz(b1，a1，20)； z2＝［0.3，0］；p2＝［0.6＋0.8j，0.6－0.8j］； ［b2，a2］＝zp2tf(z2，p2，k)；
title(系统的冲激响应)；
xlabel(n)；ylabel(h(n))； 程序运行结果如下： rz＝ －0.5000＋0.8660i －0.5000－0.8660i 0.2500＋0.9682i
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0.2500－0.9682i
rp＝ 0.2367＋0.8915i
0.2367－0.8915i
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图9-3 处于z右半平面的复数极点对系统响应的影响
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解 该题给出的公式是按z的降幂排列。MATLAB程序
如下： b＝［0，1，－1］；a＝［1，－2.5，1］； rz＝roots(b) rp＝roots(a) subplot(1，2，1)，zplane(b，a)； title(系统的零极点分布图)； subplot(1，2，2)，impz(b，a，20)； title(系统的冲激响应)； xlabel(n)；ylabel(h(n))； %求系统的零点 %求系统的极点 %求系统的零极 点分布图
h(n)＝0
n<0
即系统的冲激响应必须是右序列。 在变换域，极点只能在z平面上一个有界的以原点为中
心的圆内。如果系统函数是一个多项式，则分母上z的最高
次数应大于分子上z的最高次数。
6
2)稳定系统
在时域中，离散系统稳定的充分必要条件是：它的冲 激响应绝对可加，即
n 0
h(n)
在变换域，则要求所有极点必须在z平面上以原点为中 心的单位圆内。
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四、实验任务
(1)阅读并输入实验原理中介绍的例题程序，理解每一 条语句的含义，观察程序输出结果，理解零极点对系统特 性的影响。 (2)已知系统的零-极点增益模型分别为
(z 0.3) H1 (z) (z 0.5 0.7 j)(z 0.5 0.7 j ) (z 0.3) H 2 (z) (z 0.6 0.8 j)(z 0.6 0.8 j )
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由图9-3可见，这3个系统的极点均为复数且处于z平面
的右半平面。由图可知，当极点处于单位圆内，系统的冲 激响应曲线随着频率的增大而收敛；当极点处于单位圆上，
系统的冲激响应曲线为等幅振荡；当极点处于单位圆外，
系统的冲激响应曲线随着频率的增大而发散。 由系统的极点分别为实数和复数的情况，我们可以得 到结论：系统只有在极点处于单位圆内才是稳定的。
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例9-2 研究z左半平面的实数极点对系统响应的影响。
已知系统的零-极点增益模型分别为
z H1 (z) , z 0.85 z H 2 (z) , z 1 z H 3 (z) z 1.5
求这些系统的零极点分布图以及系统的冲激响应，判 断系统的稳定性。
解 根据公式写出zpk形式的列向量，求系统的零极点
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图9-5 例9-4系统的冲激响应图
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例9-5 已知离散时间系统函数为
0.2 0.1 z 1 0.3 z 2 0.1 z 3 0.2 z 4 H(z) 1 1.1 z 1 1.5 z 2 0.7 z 3 0.3 z 4
求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因 果稳定性。
4 1.6 z 1 1.6 z 2 4 z 3 1 0.4 z 1 0.35 z 2 0.4 z 3
2
1
1 z
1 1 0.5 z
1
1 1 0.5 z 1
求该系统的零极点及零极点分布图，并判断系统的因 果稳定性。
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五、实验预习
(1)认真阅读实验原理，明确本次实验任务，读懂各函 数和例题程序，了解实验方法。 (2)根据实验任务预先编写实验程序。 (3)预习思考题：因果稳定的离散系统必须满足的充分 必要条件是什么？MATLAB提供了哪些进行零极点求解的 子函数？如何使用？
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例9-3 研究z右半平面的复数极点对系统响应的影响。