精品课件-数学建模简明教程-第8章

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解 数据的完善与规范化：由于病人测试的时间间断性，不 同病人的测试间隔、次数不同，以及部分数据缺失，无法对样本 数据进行直接处理，需先对数据进行完善与规范化预处理.
先对个别缺失数据严重(测试不足30周)的样本进行删除，最 终得到有效样本333个.
考虑到病人体内HIV和CD4两个指标变化的连续性，利用已测 周数据对未知周数据进行线性插值，得到所有病人整数周的两个 指标数据.
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例1 城市公交客运量的回归预测问题. 据相关分析，城市公共交通年客运量y与城市职工人数x1、 居民零售额x2、职工年收入x3统计相关.现有北京市1968~1980年 的统计数据如表8-2所示，试对2000年该市的城市公交客运量做 出预测.
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表 8-2
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续表
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解 建立多元线性回归模型，由MATLAB计算回归方程为
Q(ˆ0
,
ˆ1
)
min
0 ,1
Q( 0
,
1
)
记
x 1
n
n 1
xi ,
y 1 n
n 1
yi
5
n
Sxx (xi x)2 ,
1
则有
n
S xy (xi x)( yi y)
1
ˆ0
y
ˆ1 x
ˆ1
S xy S xx
6
直线 y ˆ0 ˆ1x 为数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)
3
1.回归系数的最小二乘估计 对于一组观测值(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，利用最小二乘 法可得到回归系数. 设
yi
E i
0
0,
x1
i
,
i
1,
2,
,n
D
i
2
且1,2 ,
,
相互独立
n
4
记
n
n
Q Q(0 , 1)
2 i
yi 0 1xi 2
i 1
i 1
最小二乘法就是选择β0和β1的估计、ˆ0 ，使ˆ得1
β0的置信区间为ˆ：1 t1 (n 2) 2
S S xx
2
ˆ0
t
1
(n
2)S
2
x 1 S XX n
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4.回归方程的显著性检验 对回归方程Y＝β0＋β1x的显著性检验，归结为对假设 H0:β1＝0；H1:β1≠0进行检验. 假设H0:β1＝0被拒绝，则回归显著，认为y与x存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y与x的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 血 压 144 135 138 145 162 142 170 124 158 154 162 150 140 110 128 年 龄 39 47 45 47 65 46 67 42 67 56 64 56 59 34 42 序 号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 血 压 130 135 114 116 124 136 142 120 120 160 158 144 130 125 175 年 龄 48 45 18 20 19 36 50 39 21 44 53 63 29 25 69
Y (t) 0.1274t2 6.6375t 98.145
R20.801842图 8-143
参数和其置信区间如下表：
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根据以上分析可以得出CD4的平均含量的大致走向是在 0~23周以前是较快上升，显示疗效确切；在23~24周左右达到一 个峰值，在24~28周之间有个小的波动，之后有个缓慢的上升期 ，在38周达到一个最大值，但以后却急剧地下降，药品产生耐药 性.由此确定：如果以CD4指标为标准，24周为最佳的停药时间.
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1.多元线性回归中的检验 首先假设H0：β0＝β1＝…＝βn＝0. 1)F检验 当H0成立时，
F U / m ~ F (k, n m 1) Qe /(n m 1)
n
其中， U yˆi y2
(残差平方和). i1
(回归平方和)；
Qe
n
( yi yˆi )2
i 1
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如果F>F1－α(k，n－m－1)，则拒绝H0，认为y与x1，x2， …，xm之间显著地有线性关系；否则就接受H0，认为y与x1，x2， …，xm之间的线性关系不显著.
和，U为回归平方和.定义 为相关系数(0<R2<1).
R2 U S
，称为决定系数，R称
决定系数表示在因变量的总变化量中，由自变量引起的那部
分变化的比例.R越大，说明自变量对因变量起的决定作用越大，
R反映了回归方程的精确程度.
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3.回归系数的置信区间 下面给出回归系数β0、β1的区间估计(在显著性水平α下). β1的置信区间为：
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8.3 非线性回归模型 在客观现象中，预报量y与自变量x之间存在的关系式往往不 是线性的.我们可依据假设或经验，构造特定的函数如多项式、 指数函数、三角函数等描述其关系，但其参数的确定和检验目前 还无统一方法.下面以Y与x具有多项式关系为例加以说明.
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设变量x，Y多项式关系的回归模型为: Y＝β0＋β1x＋β2x2＋…＋βpxp＋ε
R 2 =0.7123
=0.05
血压随年龄的变化关系为y＝96.86＋0.953x，决定系
数为0.7123，显示血压与年龄有较强的线性关系.
利用上述回归方程，可预测不同年龄人群的血压规律，如表
8-1所示.
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表 8-1
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由表8-1的预测可知，对于50岁的人来说，我们有95%的把握 认为其血压(收缩压)在区间［124.5，163.2］.
2
8.1 一元线性回归模型
对于自变量x的每一个值，因变量是一个随机变量y，若x对y 的影响是线性的，则可表示为y＝β0＋β1x＋ε，称为一元线性 回归模型，其中β0，β1为待定回归系数，ε为随机误差， ε~N(0，σ2).
一元线性回归分析的主要任务是：用试验值(样本值)对β0 、β1和σ作点估计；对回归系数β0、β1作假设检验；在x＝x0 处对y做出预测，给出y的区间估计.
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式(8.1.1)的第一项是残差，表示随机误差引起的因变量 的变化；第二项表示自变量在x＝xi时引起的因变量相对于平均 值的变化.
对式(8.1.1)两边平方并求和，有:
n
n
n
( yi y)2 ( yi yˆi )2 ( yˆi y)2
i 1
i 1
i 1
(8.1.2)
9
式(8.1.2)记为S＝Q＋U，称S为总偏差平方和，Q为残差平方
y 0.305 0.678 x1 2.287 x2 3.58 x3
R2 U 0.9916 ，表明公共交通年客运量y与城市职工人数 S
x1、居民零售额x2、职工年收入x3具有很高的线性关联性. 根据有关规划，2000年该城市职工人数x1＝4.5(百万人)，
居民零售额x2＝15.0(10亿元)，职工年收入x3＝5.7(10亿元)， 则预测北京市公共交通年客运量y＝58.067(亿次).
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1)F检验法 当H0成立时，
F
U Q
F(1, n 2)
n2
故F>F1－α(1，n－2)时，拒绝H0，否则就接受H0.
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2)t检验法 当H0成立时，
T Sxx ˆ1 t(n 2) ˆ
故
T
t
1
(n时，2)拒绝H0，否则就接受H0.
2
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5.预测
用y0的回归值 yˆ0 ˆ0 ˆ1x0 作为y0的预测值，y0的置信
其中p是已知的，βi(i＝1，2，…，p)是未知参数，ε服从 正态分布N(0，σ2).则
Y＝β0＋β1x＋β2x2＋…＋βkxk 称为回归多项式. 若令xi＝xi(i＝1，2，…，k)，则多项式回归模型可变为多 元线性回归模型.
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例1 药物疗效的评价与预测问题. 现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据 .ACTG320(见建模竞赛题2006)是同时服用zidovudine(齐多夫定) 、lamivudine(拉美夫定)和indinavir(茚地那韦)3种药物的300 多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度(每毫升血液里的数量 ).利用给定的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终 止时间(继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药 效果不好，则可选择提前终止治疗).
.
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2)区间估计
y的1－α的预测区间(置信区间)为 ( yˆ1, yˆ2 ) ，其中
mm
yˆ1 yˆ ˆe 1
cij xi x j
i0 j0
yˆ2
yˆ
ˆe
m
1
m
cij xi x j
i0 j0
C L1 (cij ), L X T X
t1 / 2 (n m 1) t1 / 2 (n m 1)
的回归直线(方程)，对于给出的x，可由此方程对y进行预测.
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2.σ2的无偏估计 一元线性回归模型中的参数σ2的无偏估计值为：
n
( yi ˆ0 ˆ1xi )2
ˆ 2 i1
S2
n2
由数据点xi(i＝1，2，…，n)可计算因变量y的理论值
yˆi y
的ˆ0偏差ˆ1xi , yi y
，观测数据yi(i＝1，2，…，n)对数据均值 －可表示为：
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8.2 多元线性回归模型 若与因变量y有关联的自变量不止一个，则可建立多元线性 回归模型.设影响变量y的主要因素有m个，记为x＝(x1，x2，…， xm)，则 y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βmxm＋ε (8.2.1)