数学建模减肥模型

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数学建模经典案例

数学建模经典案例

运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可.
2)第二阶段增Βιβλιοθήκη 运动的减肥计划增加运动相当于提高代谢消耗系数
( 0.025) t ( 0.028)
减肥所需时间从19周降至14周
提高12%
减少25%
• 这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感. • 应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人; 对同一人在不同的环境).
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
• 第二阶段:每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
已知 w(k ) 90, 要求 w(k n) 75, 求n
75 0.975 (90 50) 50
k 10
第一阶段10周, 每周减1千克,第10周末体重90千克 吸收热量为 c(k 1) 12000 200k , k 0,1,,9
1)不运动情况的两阶段减肥计划
• 第二阶段:每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克 基本模型 w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
减肥计划
某甲体重100千克,目前每周吸收20000千卡热量, 体重维持不变。现欲减肥至75千克.
1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划. 第一阶段:每周减肥1千克,每周吸收热量逐渐减少, 直至达到下限(10000千卡); 第二阶段:每周吸收热量保持下限,减肥达到目标. 2)若要加快进程,第二阶段增加运动,试安排计划. 3)给出达到目标后维持体重的方案.
n
lg(25 / 40) n 19 lg 0.975
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按

数学建模之减肥计划-4

数学建模之减肥计划-4

姓名身高(m ) 体重(kg) BIM 每天吸收热量(体重保持不变) 目标体重(kg) 张三 1.7 63.5 22 1300 50一、以张三为例:1)在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段:每天减肥0.1429千克,每天吸收热量逐渐减少,直至达到下限(1429千卡);第二阶段:每天吸收热量保持下限,减肥达到目标。

2)若要加快进程,第二阶段增加运动。

3)给出达到目标后维持体重的方案。

减肥计划的制定1)首先应确定某甲的代谢系数β。

根据他每天吸收c=1300kcal 热量,体重ω=63.5kg 不变,由(1)式得βωαωω-c += ,相当于每天每公斤体重消耗热量1300/63.5=20.47kcal 。

从假设2可以知道,某甲属于代谢消耗相当弱的人。

第一阶段要求体重每天减少b=0.1429kg ,吸收热量减至下限,1429min kcal c =即bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω由基本模型(1)式可得)1()0(])([1)1(k b w b k w k c βααββα+-=-=+将b ,,βα的数值带入,并考虑下限m in c ,有c (k+1)=1713.8-4.081k 1429≥得70≤k 即第一阶段共70天第二阶段要求每天吸收热量保持下限m in c ,由基本模型(1)式可得min )()1()1(ac k k +-=+ωβω (3)为了得到体重减至75kg 所需的天数,将(3)式递推可得])1()1(1[)()1()(1--++-++-=+n m n C k w n k w ββαββαβαβm m n C C k w +--=])([)1( (4) 已知90)(=k ω,要求,)(75n k =+ω再以min c ,,βα的数值代入,(4)式给出得到n=131,即每天吸收热量保持下限1429kcal ,再有131天体重减至75kg 。

为了加快进程,第二阶段增加运动。

数学建模减肥模型例题

数学建模减肥模型例题

数学建模减肥模型例题
以下是一个数学建模的减肥模型例题:
假设一个人想通过控制饮食和运动来减肥,他每天所摄入的总卡路里数(包括食物和饮料)为C,他每天通过进行运动所消耗的总卡路里数为E。

为了减肥,他希望每天的摄入卡路里数小于消耗卡路里数。

假设他的基础代谢率为B,即他在休息状态下所消耗的卡路里数。

他希望通过减少每天摄入的卡路里数和增加运动量来控制减肥速度。

现在我们假设他的减肥速度为V(单位:千克/周),并且他的目标减肥时间为T(单位:周)。

我们需要建立一个模型来计算他每天应该摄入的卡路里数C和他每天需要进行的运动量E。

解决方案:
首先,我们需要根据减肥速度V和目标减肥时间T来计算他的目标减肥总量M(单位:千克)。

M = V * T。

然后,我们可以根据他的基础代谢率B和目标减肥总量M来计算他在目标减肥时间内所需的总卡路里数D。

D = M * 7700(每千克脂肪相当于7700卡路里) + B * T。

接下来,我们可以根据目标减肥总量M和目标减肥时间T来计算每天需要摄入的卡路里数C。

C = D / T。

最后,我们可以计算每天需要进行的运动量E。

E = C - B。

通过这个模型,该人可以根据自己的减肥速度和目标减肥时间来计算每天需要摄入的卡路里数和进行的运动量,从而实现减肥目标。

但需要注意的是,这只是一个简化的模型,实际减肥效果受到多种因素的影响,还需综合考虑其他因素来制定全面的减肥计划。

减肥模型中使用的建模方法

减肥模型中使用的建模方法

减肥模型中使用的建模方法减肥是当今社会非常热门的话题,利用建模技术来评估和预测减肥计划的效果已经成为减肥研究中的一项重要工具。

本文将介绍和详细描述10种减肥模型中使用的建模方法。

1. 线性回归模型线性回归模型是一种基于统计学的建模方法,可以用来评估减肥计划和身体指标之间的关系。

该模型可以使用多个变量进行建模,例如饮食、运动、体重等,进而预测身体指标的变化。

线性回归模型可以用来确定计划中哪些因素对减肥有帮助,以及它们对身体指标的影响大小。

2. 逻辑回归模型逻辑回归模型是一种二元分类模型,可以将减肥计划中的元素划分为“有用”或“无用”。

该模型可以用于区分不同饮食和运动计划的效果,并帮助制定更有效的减肥策略。

3. 神经网络模型神经网络模型是一种深度学习算法,可以用来识别模式和预测未来趋势。

该模型可以通过学习过去的数据来发现饮食和运动计划中的模式,然后根据这些模式预测减肥计划的效果。

4. 支持向量机模型支持向量机模型是一种分类模型,可以将减肥计划中的元素分为不同的类别。

该模型可以帮助确定哪种类型的饮食和运动计划最适合哪种类型的人。

一些人可能更适合热量控制的饮食计划,而另一些人可能更适合高蛋白质的饮食计划。

5. 决策树模型决策树模型是一种基于树结构的分类模型,可以将减肥计划中的元素分成不同的类别。

该模型可以通过将饮食和运动计划中的元素组合起来,来帮助制定更有效的减肥策略。

6. 聚类模型聚类模型是一种无监督机器学习模型,用于将整个数据集分成互不重叠的群体。

该模型可以帮助确定哪些饮食和运动计划可以分成互不重叠的组,哪些可以放在一起。

7. 马尔科夫链模型马尔科夫链模型是一种数学方法,用于描述状态连续性的随机变量序列。

该模型可以用来建立减肥计划中饮食和运动计划的状态转移概率,并根据当前状态预测未来的状态。

8. 随机森林模型随机森林模型是一种决策树集合的分类模型,可以用于减肥计划和身体指标之间的关系建模。

该模型可以通过学习过去的数据,来确定饮食和运动计划中的哪些元素对减肥最有帮助,以及可以量化这些因素的重要性。

数学建模减肥模型

数学建模减肥模型

w w c ( t )w
c ( t ) w /
(8)
• 若不运动,容易算出c=15000kcal;若运动(内容同上), 则c=16800kcal。 • 评注 人体体重的变化是有规律可循的,减肥也 应该科学化、定量化。这个模型虽然只考虑了一个非 常简单的情况,但是它对专门从事减肥这项活动(甚 至作为一项事业)的人来说也不无参考价值。 • 体重的变化与每个人特殊的生理条件有关,特别 是代谢系数 ,不仅因人而异,而且即使同一个人在 不同环境下也会有所改变。从上面的计算中我们看到, 当 由 0.025增加到0.028时(变化约12%),减肥所 需时间就从19周减少到14周(变化约25%),所以应 用这个模型是要对 作仔细的 核对。

• •

• •
通常,制订减肥计划以周为时间单位比较方便, 所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。 模型假设 根据上述分析,参考有关生理数据, 作出以下简化假设: 1。体重增加正比于吸收的热量,平均每8000kcal 增加体重1kg(kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kJ); 2。正常代谢引起的体重减少正比于体重,每周每 公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间,且因 人而异,这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至 3200kcal; 3。运动引起的体重减少正比于比重,且与运动形 式有关; 4。为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5kg, 每周吸收热量不要少于10000kcal。
c / w 20000/ 8000/ 100 0.025
• 相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以 知道,某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多, 难怪如此之胖。 • 第一阶段要求体重每周减少b=1kg,吸收热量减 至下限 cmin 10000 kcal , 即

数学建模之减肥问题的数学模型.

数学建模之减肥问题的数学模型.

东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩教师评语:指导教师签字:2016年01月09日摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况,经常使用一些不健康的方式减肥,到最后适得其反,给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题,通过该模型的建立,科学的解释了肥胖的机理,引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型,从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时,体重的实时变化数据是我们研究的核心数据,这就会使我们联系到变量的变化率或导数,这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系,因此,在研究体重,能量与运动之间的关系时,得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题,根据基本规律写出了平衡关系式[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子,求解出模型关系式()(1)dt dt at e e dωω--=+- 然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题,给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字: 微分方程模型 能量守恒 能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展,人们的生活水平在不断提高,饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变,使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此,联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数(简记BMI ):体重(单位:kg )除以身高(单位:m )的平方,规定BMI 在18.5至25为正常,大于25为超重,超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点,拟将上述规定中的25改为24,30改为29.无论从健康的角度,是从审美的角度,人们越来越重视减肥,大量的减肥机构和商品出现,不少自感肥胖的人加入了减肥的行列,盲目的减肥,使得人们感到不理想,如何对待减肥问题,不妨通过组建模型,从数学的角度,对有关的规律作一些探讨和分析.根据背景知识,我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量,因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω,当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足,这种减肥所得到的结果不能认为是有效的,它将危机人的身体健康,是危险的,称1ω为减肥的临界指标.另外,人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围,记为10<R R <,当能量的摄取量高于体重0ω时,这是体重不会从0ω减少,所以可以看到单一的措施达不到减肥效果. 1.2 具体的问题和相关数据现有五个人,身高、体重和BMI 指数分别如下表1.1所示,体重长期不变,试为他们按照以下方式制定减肥计划,使其体重减至自己的理想目标,并维持下去:表1.1 身高,体重和BMI 指数表人数编号 1 2 3 4 5 身高 1.7 1.68 1.64 1.72 1.71 体重 100 112 113 114 124 BMI 34.6 33.5 35.2 34.8 35.6 理想目标 75 80 80 85 90 每天摄 入能量 28572543273426892776题目具体要求如下:(1)在基本不运动的情况下安排计划,每天吸收的热量保持下限,减肥达到目标; (2)若是加快进程,增加运动,重新安排计划,经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量如下表1.2所示:表1.2 每小时每kg 体重的热量消耗运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 (中速) 游泳(50m/min )热量消耗7.03.04.42.5 7.9(3)给出达到目标后维持体重的方案.2 模型假设与符号说明2.1 问题分析本问题要建立减肥的数学模型,减肥是一个比较长期和不定的过程,因此要用数学的方法对减肥这一问题建模,就需要选定一个测量肥胖的标准量. 因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式,而且也是减肥的主要目标. 因此,我们以人体脂肪的重量作为体重的标志. 已知脂肪的能量转换率为100﹪,每千克脂肪可以转换为8000kcal,称D为脂肪的能量转换系数.肥胖主要是体现在人的身体上,减肥其实就是将人的体重降下来,所以归根到底,研究减肥就是要研究体重的变化,因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测,忽略个体间的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响,可以将人体的体重ω.看成是时间t的函数()t在减肥的过程中,无论是由于进食摄取能量导致体重的增加,还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少,异或还有其他一些不可预知的因素,这都是一个渐变的过程,ω是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的,而不同所以认定()t的活动对能量的消耗是不同的. 所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量. 记r为某一种活动每小时所消耗的能量,记b为1kg体重每小时所消耗的能量.2.2 模型假设1.假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.ω是连续而且充分光滑的.2.假设体重随时间的变化()t3.假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.4.假设人体每天摄入的能量是一定的.记为A.5.正常代谢引起的减少正比于体重,每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal,且因人而异.6.假设在研究减肥的过程中,我们忽略个体间的差异对减肥的影响.7.人体每天摄入量是一定的,为了安全和健康,每天吸收热量不要小于1429kcal.8.假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.2.3 符号说明D : 脂肪的能量转化系数.()t ω:人体的体重关于时间t 的的函数..r : 每千克体重每小时运动所消耗的能量(/)/kcal kg h .b : 每千克体重每小时所消耗的能量(/)/kcal kg h .0A : 每天摄入的能量.1W : 五个人理想的体重目标向量.A : 五个人每天分别摄入的能量..W : 五个人减肥前的体重.B : 每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.3 模型建立与求解3.1 一般模型建立如果以1天为时间的计量单位,于是每天基础代谢的能量消耗量应=24(/)B b kcal d ,由于人的某种运动一般不会是全天候的,不妨假设每天运动h 小时,则每天由于运动所消耗的能量应为=(/)R rh kcal d . 按照假设2, 体重随时间的变化()t ω是连续而且充分光滑的,我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化. 按照能量的平衡原理,任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差. 我们选取某一段时间(, )t t t +∆,在时间段(, )t t t +∆内考虑能量的改变: 设体重改变的能量变化为W ∆,则有=[(+)()]W t t t D ωω∆∆- (3.1)设摄入与消耗的能量之差为M ∆,则有[()()]M A B R t t ω∆=-+∆ (3.2)根据能量平衡原理有M W ∆=∆ (3.3)得:[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆ (3.4)取0t ∆→,可得d d (0) a d t ωωωω⎧=-⎪⎨⎪⎩= (3.5) 其中/a A D =,()/d B R D =+,0t =(模型开始考察时刻),即减肥问题的数学模型 模型求解得()(1)dt dt at e e dωω--=+- (3.6)/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重,而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的百分数(每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分). 3.2 针对实际问题的模型建立1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型(3.6),利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B ,因为没有运动,所以有0R =,根据式(3.6)式,得AB W=(3.7)从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗从假设5可知,这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人,加上吃得比较多,有没有运动,所以会长胖,进一步,由()t ω (五人的理想体重),W (五人减肥前的体重),D=8000kcal/kg (脂肪的能量转换系数),根据式(3.6)式有001/ln ln/a d D B At d a d B B Aωωωω--=-=--- (3.8) 将A (五个人每天分别摄入的能量)的值代入上式时,就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数,如下表3.1所示表3.1 达到理想体重所需天数表人1 2 3 4 5 天数 194 372 313 266 298Matlab 源程序: R = 0;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length( W );B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:nt(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end2. 为加快进程,增加运动,结合查找资料得到各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表2,再结合假设3,取1h h =,R rh r ==,根据式(4.6)有001/()ln ln/()a d D B R At d a d B R B R Aωωωω-+-=-=--++- (3.9) 将A (五个人每天分别摄入的能量)的值代入上式时,取不同的r ,得到一组数据, 在运动的情况下,我们选取的是一个小时,得到了每个人在不同运动强度下,要达到自己的理想目标所需的天数,如下表3.2所示:表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数运动跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 时间/天122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154Matlab 源程序: h = 1;r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h.*r; n1 = length(R);D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n1 for i = 1:nt = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j)) -A0))); %减肥所需要的时间end end3. 要使体重稳定在一个定值,则有*AB Rω=+ (3.10) 根据自己的不同理想目标和B (每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗),在不同小时下的能量消耗表:(1)在1h =的情况下运动所消耗的能量,如下表3.3表3.3 1h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳消耗能量(kcal) 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2448.400 2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800(2)在2h =的情况下运动所消耗的能量,如下表3.4表3.4 2h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量(kcal) 3198.00 2592.800 2802.800 2517.700 3327.800 2936.400 2296.400 2520.400 2216.400 3080.400 3055.600 2415.600 2639.600 2335.600 3199.600 3195.000 2515.000 2753.000 2430.000 3348.000 3274.800 2554.800 2806.800 2464.800 3436.800Matlab 源程序: h = [12];r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h*r;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n1 = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n for I = 1:n1A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量 end end4 模型的分析与讨论4.1 针对一般减肥模型在式(3.6)中假设0a =,即假设停止进食,无任何能量摄入,于是有0()dt t e ωω-= (4.1)这表明在t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由dt e -给出,特别当1t =时,e d -给出了单位时间内体重的消耗率,它表明在(0,)t 时间内体重的消耗率,它表明在(0,)t 内体重减少的百分率,可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的,如此继续下去,由lim 0t t ω→∞=(),即体重(脂肪)将消耗殆尽,可知不进食的节食减肥方法是危险的.a/d 是模型中的一个重要的参数,由于/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重,而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是/a d 就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t 时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的. 由式(3.5)0dtd <ω即/a d ω<,体重从0ω递减, 这是减肥产生效果,另外由式(3.6)可以看到t →∞时*()//()t a d A B R ωω→==+,也就是说式(3.5)的解渐进稳定于*a/d ω=,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*ω为减肥效果指标,由*/()A B R ω=+,因为B 是基础代谢的能量消耗,它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变,对于每个人可以认为它是一个常数,于是就有如下结论:减肥的效果主要是由两个因素控制的,包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量,从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量,这恰是人们对减肥的认识.人体体重的变化时有规律可循的,减肥也应科学化,定量化,这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系,但它们对人们走出盲区减肥的误区,从事减肥活动有一定的参考价值. 4.2 针对具体问题从上几个表可知,普遍观察得出结论,游泳是减肥的最佳方法,无论是在长时间还是短时间内,从结果来看,游泳消耗的能量是最多的,也是达到快速减肥的最佳方法,也可从下图可知,图4.1表示每个人的能量消耗图,都是离散的,并且都是递增的,表明了游泳时能量消耗最快的,选此方法减肥是最合理有效的. Matlab 源程序: x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; y = [ 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.4002016.4002448.4002495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.8002284.8002410.800 2239.800 2725.800 ];subplot( 3, 2, 1 ); plot( x, y(1,:),' g* '); title(' 第一个人 '); subplot( 3, 2, 2); plot( x, y(2,:),' ro '); title(' 第二个人 ');数学与统计学院课程设计(实习)报告第10页subplot( 3, 2, 3);plot( x, y(3,:),' g. ');title(' 第三个人');subplot( 3, 2, 4);plot( x, y(4,:),' c+ ');title('第四个人');subplot( 3, 2, 5);plot( x ,y(5,:),' go ');title(' 第五个人');图4.1 每个人的能量消耗图参考文献[1]姜启源,谢金星,叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年.[2]王敏生,王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年.[3]罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年.[4]胡良剑,孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.。

分方程模型减肥模型

分方程模型减肥模型
5.3.5 减肥模型
随着社会的进步和发展,人们的生活水平不断 提高。 由于饮食营养摄入量的不断改善和提高,“肥 胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。 如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于 是了解减肥的机理成为关键。
微分方程模型实例4——减肥模型
5.3.5 减肥模型
一. 背景知识
根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知: (1) 每日膳食中,营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食
二. 问题分析与模型假设
(4) 不同的活动对能量的消耗是不同的,例如:体重分别为50千克和100千 克的人都跑1000米,所消耗的能量显然是不同的。可见,活动对能量的 消耗也不是一个简单的问题,但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理 且相对稳定的活动计划,我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动 所消耗的能量与其体重成正比,记B为每1千克体重每天因活动所消耗的 能量。
虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。
根据能量的平衡原理,任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化
应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。
考虑时间区间[t,t t]内能量的改变,根据能量平衡原理,有
t t
t t
B为每1千克体重每天 因活动所消耗的能量。
D[w(t t) w(t)] At B
质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将对身 体产生不利的影响。 (2) 人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。 (3) 人们热能需要量的多少,主要决定于三个方面:维持人体基本代谢所需 的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用 (将食物转化为人体所需的能量)所消耗的能量。 (4) 一般情况下,成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。 (5) 一般情况下,食用普通的混合膳食,食物的特殊动力作用所需要的额外 的能量消耗相当于基础代谢的10%。

减肥计划的数学模型

减肥计划的数学模型


关键字:体重 、吸收热量、消耗热量、体重指数
问题重述

我们知道肥胖与热量吸收有直接关系, 我们将通过调整饮食和增减运动来降低 某同学对热量的吸收,帮他制定减肥计 划,看他在一个月内能否减肥成功。
背景与问题的分析


背景分析:1.体重指数BIM=W(kg)/L2 (m2), 18.5<BIM<25~ 正 常 ; BIM>25~ 超 重 ; BIM>30~肥胖2.通过控制饮食和适当的运动, 在不伤害身体的情况下,达到减肥目标 问题分析:饮食(吸收热量)引起体重增加 代谢和运动(消耗热量)引起体重减少
模型评价

此模型有利于看出减肥的趋势,合理分配生活时间起到了双赢的 效果,而且计算较小。但是此模型考虑的因素不会很全面,所以 会有一定的误差
现欲减肥至60公斤3为了安全与健康每周体重不宜超过15公斤每周吸收的热量不要小于10000千卡每小时每千克运动消耗的热量模型的建立每周吸收20000千卡w80公斤不变qm10000wk1wkaqk1bartwk模型求解qk1baw1a1bk8000200kqm10000取art0007即rt56bbart0032n12模型检验一个月内无法减肥成功经科学研究一周不要减肥超过15公斤再经模型求解计算出需要22周才能达到减肥目标值也就是说平均每周减肥091公斤这个数值比较符合事实又不会影响身体的健康
模型假设


减肥计划:某同学体重80公斤,身高1.6m,目前每周吸收20000 千卡热量。现欲减肥至60公斤 1)体重增加正比于吸收的热量,每8000千卡增加体重1千克 2)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关 3)为了安全与健康,每周体重不宜超过1.5公斤,每周吸收的热 量不要小于10000千卡

数学建模减肥减肥计划

数学建模减肥减肥计划

(2)
利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想目标所需的天数。
5.模型的建立
(1) 首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 B, 因为没有运动,所以有 R = 0, 根据公式 (2)式,
得到:
B A W
从而得到没人每千克体重基础代谢的能量消耗。
从假设(5)可知,这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人, 加上吃得比较多,没有运动,所以会长胖,进一步,由
自行车 2330.200 2016.400 2135.600 2217.000
游泳 2735.300 2448.400 2567.600 2676.000
2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800
(2) 在 h = 2 的情况下运动所消耗的能量,如下表:
(4)
由式(1.1)
dw dt

0即
a/d
<
w,体重从w0
递减,这
是减肥产生的效果,另外由式 (1.2)可以看到 t 时
w(t) w* a / d A /(B R) ,也就是说式(1.1)的解渐进
稳定于 w* a / d ,它给出了减肥过程的最终结果,因此不
妨称 w*为减肥效果指标,由 w* A /(B R) ,因为 B 是基础
代谢的能量消耗,它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变,对于每个人可以认为它是一个常数(非常数,即
通过调整新陈代谢的方法来减肥) ,于是就有如下结论:减
肥效果主要是由两个因素控制的,包括由于进食而摄入的能
量以及由于运动消耗的能量,
从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量, 这恰是人们对减肥的认识。

数学建模设计报告—减肥问题

数学建模设计报告—减肥问题

数学建模设计报告专业:网络工程班级:网络工程1101班组员姓名:(1108020104)(1108020105)(1108020106)日期:2013年1月17日一、题目减肥问题假定某人每天的饮食可产生A焦耳热量,用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为B焦耳,用于锻炼所消耗的热量与体重成正比(可设为C焦耳/千克).为简单计,假定增加(或减少)体重所需热量全由脂肪提供,脂肪的含热量为D 焦耳/千克.讨论节制饮食、加强锻炼,调节新陈代谢对体重的影响。

要求:1)建立反映人的体重随时间变化规律的数学模型;2)求解模型,讨论节制饮食、加强体育锻炼和调节新陈代谢对体重的影响;3).进一步讨论限时减肥(例如举重运动员参赛前体重要降到规定的数值)或限时增肥(例如养猪场要在一定时间内使猪的重量达到一定值)问题;4)按要求写出课程设计报告。

二、摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。

之所以造成这种情况的原因很多,但是有一个重要原因就是科学素质低,不知道应该从生理机理,特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理,引导群众合理科学的减肥。

在问题中,我们找到营养的供给、成人(男、女)每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据,并结合肥胖的三个要素(进食、活动、新陈代谢),建立了如下的数学模型:w(t)=w D e-a+a/c(1-e-a)其中a=∑3i=1w i r i/∑3i=1r iηi;c=(1+10+μi)4.2)4.2×103/Σ3i=1r i ηi .(1)、相关数据1 、每日膳食中,营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准,营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量,如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将使身体产生不利的影响. (每天膳食提供的热量不少于5000 ———7500J ,这是维持正常命活动的最少热量)2 、成人每天需要的热量= 人体基本代谢需要的热量+ 体力活动需要的热量+ 食物的特殊动力的作用所需要的热量①人体基本代谢的需要的热量的简单算法: 女子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×9 (千卡) = 体重(斤)×3.78 ×310J 男子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×10 (千卡) = 体重(斤)×4. 2 ×310J②食物的特殊动力的作用所需要的热量≈10 % ×人体基本代谢的最低热量③体力活动所需要的热量= 人体基本代谢的需要的本热量×活动强度系数3 、热量主要由3 种物质即由脂肪、蛋白质、碳水化合物转化而得,因此在减肥期间应当限制膳食的总热量,而不仅是限制脂肪的摄入。

数学建模之减肥问题的数学模型

数学建模之减肥问题的数学模型


2)为加快进程,第二阶段增加运动。经过调查资
料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量:
运动 跑步 跳舞 热量消耗 7.0 3.0
(kcal)
乒乓 4.4
自行车 游泳 (中速) 50m/秒
2.5
7.9
• 记表中热量消耗 ,每周运动时间t,为利用基本模
型(1)式,只需将 改为 t ,即 w(k 1) w(k) c(k 1) ( t)w(k) (6)
• 相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以 知道,某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多, 难怪如此之胖。

第一阶段要求体重每周减少b=1kg,吸收热量减
至下限 cmin 10000 kcal , 即

w(k)-w(k+1)=b, w(k)=w(0)-bk
• 由基本模型(1)式可得
为14周。

3)最简单的维持体重75公斤的方案,是寻求每周
吸收热量保持某常数c,使w(k)不变。由(6)式得
w w c ( t)w
c ( t)w /
(8)
• 若不运动,容易算出c=15000kcal;若运动(内容同上), 则c=16800kcal。

评注 人体体重的变化是有规律可循的,减肥也
公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间,且因
人而异,这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至
3200kcal;

3。运动引起的体重减少正比于比重,且与运动形
式有关;

4。为了安全与健康,每周体重减少不宜超过1.5kg,
每周吸收热量不要少于10000kcal。
• 基本模型 记第k周末体重为w(k),第k周吸收热

数学建模减肥计划

数学建模减肥计划

减肥计划——节食与运动背景社会的进步和发展,人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高,“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。

您的体重正常吗?不妨用联合国世界卫生组织颁布的所谓体重指数(简记BMI )体重指数BMI=w(kg)/l2(m2) 18.5<BMI<25 ~正常;BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表,反映着体内多方面的变化。

很多人在心理上害怕肥胖,追求苗条,不少人纷纷奔向减肥食品的柜台。

可是大量事实说明,多数减肥食品达不到减肥的目标,或者即使能减肥一时,也难以维持下去。

许多医生和专家的意见是,只有通过控制饮食和适当的运动,才能在不伤害身体的条件下,达到减轻体重并维持下去的目的,本论文要建立一个简单的体重变化规律模型,并由此通过节食与运动制定合理、有效地减肥计划。

模型分析通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。

人们通过饮食吸收热量,转化为脂肪等,导致体重增加;又由于代谢和运动消耗热量,引起体重减少。

只要做适当的简化假设就可得到体重变化的关系。

减肥计划应以不伤害身体为前提,这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。

当然,增加运动量是加速减肥的有效手段。

通常,制定减肥计划以周为时间单位比较方便,所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。

模型假设根据上述分析,参考有关生理数据,作出以下简化假设:1)体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克;2)代谢引起的体重减少正比于体重,每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡;3)运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式有关;4)为了安全与健康,每周体重减少不宜超过 1.5千克,每周吸收热量不要小于10000千卡。

数学建模减肥计划

数学建模减肥计划

减肥计划——节食与运动摘要:本题讨论的是人体体重在随着人体代谢和人的运动而减少的减肥计划。

小组成员:常露鹏首先在每周减肥1kg,每周吸收的热量渐渐减少,直至安全下限的情况下,建立差分方程模型计算出:c(k+1)=(β∗ω(0)−(1+β∗k))/α,得出k<=10;其次在c(k)=42000kJ安全下限,人体基本不运动情况下得到方程:ω(n+10)=(1-β)^n*[ω(10)-α*42000/β]+α*42000/β,在人体运动时有β1=(β+α*γ*t)满足上式方程。

最后在体重维持75kg稳定时,求出人体在不运动和运动的不同状态下的每周需要吸收的热量c。

在体重维持75kg稳定时,求出人体在不运动和运动的不同状态下的每周需要吸收的热量c。

关键词:差分方程;常微分方程;常数变易法;MTLAB;问题重述:体重指数(BMI)定义为:体重指数(BMI)=体重/ 身高的平方,规定BMI在18.5至25之间为正常,大于25为超重,超过30为肥胖。

据悉,我国针对东方人的特点,拟将上述标准的25改为24,30改为29。

在不伤害身体的条件下,达到减轻体重并维持下去的目的。

问题分析:1.人们通过饮食及吸收热量,转化为脂肪等,导致身体加重。

2.运动和代谢可以消耗热量引起体重减少,因为体重变化受其他因素的影响,所以描述体重的变化要做出适当的假设。

3.减肥计划应当注意身体健康,不能伤害身体,这可以用吸收热量不要过少,减肥不要过快来表达。

其中增加运动量是快速减肥的最好手段,要在建模中凸现出来。

问题假设:根据分析,参考资料,作出以下假设。

(1)假设人处于正常代谢的最佳状态。

忽略人体的健康,性别,年龄等因素。

假设体重与时间有关。

(2)体重的增加与吸收的热量成正比,用α=1/33600(kg/kJ),即平均每33600KJ的热量能够使人体重增加1kg。

(3)正常代谢引起的体重减少与体重成正比,β表示代谢消耗系数,因人而异,每周每千克体重消耗热量一般在840—1344kJ。

数学建模减肥计划

数学建模减肥计划

当维持体重ω(k)=75kg(稳定)时,我们由 (1)得到������*c-β*ω(k)=0. 得到c=63000kJ,我们由(2)式得到������*cβ1*ω(k)=0. 得到c=70560kJ。


由以上差分方程的图形得知,体重随时间 在一定范围内单调递减,所以当c=42000kJ 时,可以让人达到减肥目的。但是最后体 重会在某时刻达到极 限(即稳定)。如图
对于第二阶段,c(k)=42000kJ,所以 ω(k+1)=(1-β)ω(k)+������*42000(5) 设体重由90kg减至75kg需要n周,则由(5) 有 ω(n+10)=(1-β)^n*[ω(10)-������*42000/β]+������ *42000/β(6) ω(n+10)=75,ω(10)=90,n=19。 如图

如果该肥胖者运动,可取������*γ*t=0.003(每周 跳舞8h或骑自行车10h),记β�)=(1-β1)^n*[ω(10)-������ *42000/β1]+������*42000/β1(7) 把������,β1的数据带入(7),n=14。如图
0

上式的基本性质(如:稳定点、单调性、 极限等)和模型(5)相似。
b
b

林道荣.数学实验与数学建模【M】.北京: 科学出版社,2011.
用ω(k)表示第k周某人的体重,其第k周吸收 的热量为c(k)。 不考虑运动:我们有差分方程模型为 ω(k+1)= ω(k)+������*c(k+1)- β*ω(k),k=0,1,2,3… 如果每周运动时间为t h,则 ω(k+1)= ω(k)+������*c(k+1)-(β+������*γ*t)(k), k=0,1,2,3…

数学建模减肥计划

数学建模减肥计划
差分方程模型
减肥计划——节食与运动 节食与运动 减肥计划
减肥计划——节食与运动 节食与运动 减肥计划 背 景
体重指数 体重指数BMI(Body Mass Index )=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常; BMI>25 ~ 超重 正常; 超重; 正常 BMI>30 ~ 肥胖 肥胖. 多数减肥食品达不到减肥目标,或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标, 通过控制饮食和适当的运动,在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动, 的前提下, 的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标
75 = 0 .975 ( 90 50 ) + 50
n
lg(25 / 40) n= = 19 lg 0.975
小 结
第二阶段19周 每周吸收热量保持10000千卡 体重按 千卡, 第二阶段 周, 每周吸收热量保持 千卡 减少至75千克 千克。 w(n) = 40 × 0.975 n + 50 (n = 1,2, ,19) 减少至 千克。
w = w + αc βw
20000 β= = = 0.025 w 8000 × 100
αc
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 千卡
1)不运动情况的两阶段减肥计划 ) 第一阶段 w(k)每周减 千克 c(k)减至下限 第一阶段: 每周减1千克 减至下限10000千卡 每周减 千克, 减至下限 千卡
4.4
2.5
7.9 t~每周运动 每周运动 时间(小时 小时) 时间 小时
取 αγ t = 0 .003 , 即 γ t = 24
β (= 0.025) → β ′ = β + αγt(= 0.028)
αCm αCm ]+ β′ β′

数学建模 减肥模型

数学建模 减肥模型

有一人体重110kg,身高180cm,制定减肥计划使其BMI降到25以下目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI,定义为BMI=h/L^2其中h是体重(单位是kg),L是身高(单位是m)。

模型分析:在正常情况下,人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化,摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥,反之会使人体重降低,因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析,在适当的假设下建立模型,减肥计划应以不伤害人体健康为目标,所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制,同时增大运动量也是减肥的关键,也应加以考虑,通常,制定减肥计划以周为时间单位比较方便,所以这里用离散时间模型——差分方程来讨论。

模型假设:根据上述分析,参考有关生理数据,做出以下假设:1、体重增加正比于吸收的热量,平均每8000kcal增加体重1kg。

(kcal是非国际单位制单位,1kcal=4.5kJ);2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重,每周每千克体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间,且因人而异,这相当于体重110kg的人每天消耗约3413kcal至5029kcal之间;3、运动引起的体重减少正比于体重,且与运动形式和运动时间有关;4、为了健康考虑,每周吸收热量不能少于10 000kcal,且每周减少量不能超过1 000kcal每周体重减少不能超过1kg;5、假设此人身体健康,没有肠胃方面的毛病;通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考(假设食物重量如表中一样重),如下表基本模型:记第k周(初)体重为w(k)(kg),第k周吸收热量为c(k)(kcal),k=1,2,……。

设热量转换(体重的)系数为α,身体代谢消耗系数为β,根据模型假设,正常情况下(不考虑运动)体重变化的基本方程为α(1)wk(k)1kcwβkw(k-+=⋯⋯)=()(+,2,1),由假设1,α=1/8000kg/kcal,当确定了个人的代谢消耗系数β后,就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。

数学建模——减肥计划(修改版)

数学建模——减肥计划(修改版)

再确定甲运动后的代谢消耗系数β1 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量: 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 记表中热量消耗γ,每周运动时间 , 记表中热量消耗 ,每周运动时间t,利用增加运动 后的基本模型,其中β’=β+β1, β1=αγt,即 后的基本模型,其中 即 , ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) 试取β 试取 1=αγt=0.003,即 γt=24 , 则β’=0.028
第二阶段:要求每周吸收热量保持下限cmin,由基 本模型得 ω(k+1)=ω(k)+α cmin - β ’ω(k) =(1- β’)ω(k)+ α cmin 要得到减至75kg所需周数,可将上式递推得
w(k + n) = (1 − β ' ) w(k ) + αcmin [1 + (1 − β ' ) + K + (1 − β ' )
α
[ β ' w(k ) − b]
根据α,β’,b, cmin已知,取β1=0.03 β ’=0.028, 有 C(k+1)=14400-224k≥ cmin=10000 得 k ≤19.6,即第一阶段共19周,按照 C(k+1)=14400-224k吸收热量,可使体重每 周减1kg,至第19周末可减至81kg
问题分析:
1 通常,人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等,导致 体重增加;又由于代谢和运动消耗热量,引起体重 减少。 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体,这可以用吸收热量不要过少, 减少体重不要过快来表达
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摘要随着社会的进步和发展,人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高,“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。

减肥的方法也有很多。

如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。

于是了解减肥的机理成为关键。

背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知:(1)每日膳食中,营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。

如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将对身体产生不利的影响。

(2)人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。

(3)人们热能需要量的多少,主要决定于三个方面:维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用(将食物转化为人体所需的能量)所消耗的能量。

(4)一般情况下,成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。

(5)一般情况下,食用普通的混合膳食,食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。

关键字微分方程转化能量转换系数问题重述随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。

所以我们可以通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。

现有五个人,身高、体重和BMI指数分别入下表一所示,体重长期不变,试为他们按照以下方式制定减肥计划,使其体重减至自己的理想目标,并维持下去:(1)在基本不运动的情况下安排计划,,每天吸收的热量保持下限,减肥达到目标;(2)若是加快进程,增加运动,重新安排计划,经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量入下表二所示:(3)给出达到目标后维持体重的方案。

模型假设(1) 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式,而且也是减肥的主要目标。

对于一个成年人来说体重主要由四部分组成:骨骼、肌肉、水和脂肪。

骨骼、肌肉和水大体上可以认为是不变的,我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。

已知脂肪的能量转换率为100%,每千克脂肪可以转换为×107焦耳的能量。

记D =×107焦耳/千克,称为脂肪的能量转换系数。

(2) 人体的体重仅仅看成是时间t 的函数()w t ,而与其他因素无关,这意味着在研究减肥的过程中,我们忽略了个体间的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。

(3) 体重随时间是连续变化的,即()w t 是连续函数且充分光滑,因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。

(4) 不同的活动对能量的消耗是不同的,例如:体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米,所消耗的能量显然是不同的。

可见,活动对能量的消耗也不是一个简单的问题,但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划,我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动所消耗的能量与其体重成正比,记B 为每1千克体重每天因活动所消耗的能量。

(5) 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。

记C 为1千克体重每天消耗的能量为。

(6) 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制,在本问题中,为简单计,我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的,记为A ,为了安全和健康,每天吸收热量不要小于6000k 焦耳。

3.分析与建立模型建模过程中,我们以“天”为时间单位。

根据假设(3),我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。

根据能量的平衡原理,任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。

考虑时间区间[t ,t +Δt ]内能量的改变,根据能量平衡原理,有[()()]()()t t t tD w t t w t A t B w s ds C w s ds t t +∆+∆+∆-=∆--⎰⎰由积分中值定理有()()(),(0,1)w t t w t a t bw t t t θθ+∆-=∆-+∆∆∈, 其中/a A D =,B Cb D+=, 两边同时除以Δt.并令Δt →0取极限得 ()(),0dw t a bw t t dt=->这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。

我们知道模型的某些假设不十分合理,但我们希望求解模型,看看能否说明一些问题。

4.模型的求解设t =0为模型的初始时刻,这时人的体重为w (0)=w 0。

在模型的两边同时乘以e bt 得()()dw t bt bt bt e bw t e ae dt+=即(())bt bt de w t ae dt= 从0到t 积分,并利用初值0(0)w w =得00()(1)()bt bt bt a a aw t w e e w e b b b---=+-=+-.对于问题一,减肥计划在基本不运动的情况下安排,所以上述假设(1)每1千克体重每天因活动所消耗的能量0B =。

根据上式计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数,如下表所示对于问题二,为加快进程,增加运动,结合调查资料得到以下各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表:为了加快减肥进程,增加运动,假设当每天运动h 小时,每1千克体重每天因活动所消耗的能量B h r =⨯,1h =时计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数,如下表所示从表四可以得出,每天一小时的不同运动似的要达到自己的理想体重时的天数也不同,其中游泳是最快能达到自己理想体重的运动。

对于问题三,由上面的模型可得lim ()t a Aw t b B C→+∞==+,记*A w B C =+, 也就是说模型的解渐近稳定于*w 也就是达到目标后维持体重的方案,根据每个人要维持的理想体重可以得出A B C 、、的值组成的减肥维持体重方案。

假设每天维持一小时的运动,则每天需要摄入的能量J 如下表所示5.模型推广1)a b是模型中的一个重要参数。

/a A D =是每天由于能量的摄入而增加的体重。

()/b B C D =+是每天由于能量的消耗而失去的体重。

2) 假设a =0,即停止进食,无任何能量摄入,体重的变化(减少)完全是脂肪的消耗而产生。

此时,0()btw t w e-=.(1)不进食的节食减肥法是危险的。

因为lim ()0t w t →+∞=, 即体重(脂肪)都消耗尽了,如何能活命! (2)当a =0时,有00(())/1bt w w t w e --=-, 这表明在[0,]t 内体重减少的百分率为1bt e --,称之为[0,]t 内体重消耗率,特别地,1be --是单位时间内的体重的消耗率,事实上,(1)00(1)()b t bt b b w t w e w e e w t e -+---+===,所以(()(1))/()1bw t w t w t e --+=-. 自然0()/bt e w t w -=为[0,t ]内的体重保存率,它表明t 时刻体重占初始体重的百分率。

基于上面的分析,t 时刻的体重由两部分构成:一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分,另一部分是摄取能量而获得的补充量,这一解释从直观上理解也是合理的。

3)由上面的模型可得lim ()t a Aw t b B C→+∞==+,记*A w B C =+, 也就是说模型的解渐近稳定于*w ,它给出了减肥的最终结果,称 *w 为减肥效果指标。

因为bt e -衰减很快,在有限时间内, 0(/)btw a b e --就很小,可以忽略,当t 充分大时,()a Aw t b B C==+这表明任何人都不必为自己的体重担心(肥胖、瘦小),从理论上讲,体重要多重就有多重,只要适当调节A (进食)、B (活动)、C (新陈代谢)。

同时也说明了,任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素:节食是调节A 、活动是调节B 、减肥药是调节C 。

由于C 是基础代谢和食物特殊动力的消耗,它不可能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变,对于每个人而言可以认为是一个常数,有大量事实表明,通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。

于是我们有如下结论,减肥的效果主要由两个因素控制:进食摄取能量和活动消耗能量,从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。

这也是熟知的常识。

容易证明,当且仅当*0w w <时有0dwdt<, 这表明只有当*0w w <时才有可能产生减肥的效果。

4) 进一步讨论能量的摄取量A 与活动消耗量B 对减肥效果的影响。

由*Aw B C=+有**A w B w C =+在A -B 坐标系内表示一条过点(-C ,0)斜率为w *的直线。

根据背景知识,任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量。

因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w 1,当*0w w <时表明能量的摄入过低,无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。

这时减肥所得到的结果不能认为是有效的,它将危及人体的健康,因而称w 1为减肥的临界指标。

此外,人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围,即存在B 1使得10B B <<, 于是在A B -平面上由B =0、B =B 1和A =0所界出的上半带形区域被直线000:l A w B w C =+和111:l A w B w C =+分割成三个区域:1Ω、2Ω和3Ω,这表明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。

在区域1Ω中,能量的摄取量A 大于体重为w 0(初始体重)时的消耗量w 0(B +C ),这时体重将在w 0基础上继续增加,故称之为非减肥区;而在区域3Ω中,能量的摄取量A 低于体w 1 时的消耗量w 1(B +C ),体重将减 少到临界减肥指标以下,这将危及人的身体健康,故称3Ω为减肥危险区。

只有区域2Ω所表示的A 和B 的组合才能实现有效的减肥,故称2Ω为有效减肥区。

如图综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。

而且,本模型避免了做强度过大的运动和靠药物来达到增加能量消耗、抑制食欲的不科学的方法。

6.参考文献[1] 张兴永.数学建模简明教程.徐州: 中国矿业大学出版社, [2] 姜启源,谢金星《数学模型》(第三版) 高等教育出版社面2003. 8 P207 -210[3] 王安利,另眼看减肥(上)《健康》2006 第一期,P26 -29 [4] 谢兆鸿.数学建模技术. 北京:中国水利水电出版社,2003,138-139附录:matalb%A ,假设人体每天摄入的能量 %B ,每天运动消耗的能量%C ,每天基本的新陈代谢消耗的能量 %D ,脂肪的能量转换系数A=6000*1000;%每天吸收热量的下限 %B=0; B=[ ]*1000*; C=4200*24; D=;W0=[100 112 113 114 124 ]; a=A/D; b=(B+C)/D; %for t=1:200% Wt=a/b+(W0-a/b)*exp(-b*t) %endWt=[75 80 80 85 90];for i=1:5for j=1:5t(i,j)=-((log((Wt(i)-a/b(j))/(W0(i)-a/b(j))))/b(j));endendA(k)=Wt(k)*(B(k)+C)A=Wt'*(B+C)。

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