数学建模——减肥计划(修改版)
数学建模——减肥计划(修改版)
•
C=(β+αγt)ω/α
• 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal；
• 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
• 节食加运动能有效减肥，节食时间周期长 ，在第一阶段就运动减肥会更快达到预期 目标。
• 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
减肥计划：
• 在节食加运动的情况下，分为三阶段 • 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐
渐减少，直至达到安全下限（10000Kcal） • 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续
运动，体重减至75Kg，减肥成功 • 第三阶段：保持减肥成果
• 基本模型： • K: 表示第几周； • ω(k):表示第k周的体重； • C(k):表示第k周吸收的热量； • α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; • β:表示代谢消耗系数（因人而异）
• 问题分析：
• 1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。
• 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。
3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少，
减少体重不要过快来表达
• 模型假设：
1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；
2. 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异；
3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关；
4. 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal
数学建模之减肥计划-4
姓名身高（m ） 体重(kg) BIM 每天吸收热量（体重保持不变） 目标体重(kg) 张三 1.7 63.5 22 1300 50一、以张三为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。
第一阶段：每天减肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。
2）若要加快进程，第二阶段增加运动。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制定1)首先应确定某甲的代谢系数β。
根据他每天吸收c=1300kcal 热量，体重ω=63.5kg 不变，由（1）式得βωαωω-c += ，相当于每天每公斤体重消耗热量1300/63.5=20.47kcal 。
从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人。
第一阶段要求体重每天减少b=0.1429kg ，吸收热量减至下限,1429min kcal c =即bk k b k k -==+-)0()(,)1()(ωωωω由基本模型（1）式可得)1()0(])([1)1(k b w b k w k c βααββα+-=-=+将b ,,βα的数值带入，并考虑下限m in c ，有c (k+1)=1713.8-4.081k 1429≥得70≤k 即第一阶段共70天第二阶段要求每天吸收热量保持下限m in c ，由基本模型（1）式可得min )()1()1(ac k k +-=+ωβω （3）为了得到体重减至75kg 所需的天数，将（3）式递推可得])1()1(1[)()1()(1--++-++-=+n m n C k w n k w ββαββαβαβm m n C C k w +--=])([)1( （4） 已知90)(=k ω，要求，）（75n k =+ω再以min c ，，βα的数值代入，（4）式给出得到n=131，即每天吸收热量保持下限1429kcal ，再有131天体重减至75kg 。
为了加快进程，第二阶段增加运动。
数学建模
若不运动，容易计算出c=15000kcal,若运 动，则c=16800kcal 此时 0
体重变化的影响因素
不仅和每天吃的食物有关，和所处环境也 有密切的关系，例如不同温度下人的代谢 消耗都不样，冬天人代谢的一般要比夏天 要多以些，含糖低的食物所含热量一般较 少一些，所以要达到理想的减肥状态，时 间的选择，以及所吃的食物，都应该加以 注意，当然了通过上面的计算也可以看出 运动也是一个比较重要的因素。
75 0.972 (94 44.6) 44.6
n
解得n=17.1,取整数得n=17,即增加运动后， 就可以将第二阶段22周的
时间缩短为17周。此外此模型中 若 0 ，则可以相应的分析出其结 果。
最简单的维持体重75kg的方案
寻求每周吸收热量保持某常数c，使w(k)不 变，则有 w w c ( et ) w
2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安 排计划。
3）给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的提出
1.首先应确定某甲的代谢消耗系数 。根 据他每周吸收c=20000kcal热 量，体重 w=100kg不变，由（1）式得 w=w+ c - w - c / w / w 0.025 0.01 相当于每周每千克体重消耗热量 20000/100=200kcal.从假设（2）可以知道， 某甲属于代谢相当弱的人，他又吃的那么 多，难怪如此之胖
减肥计划——节食与运动
背景
体重指数定义为体重（单位kg）除以身高（单 位m）的平方，18.5<BMI<25 ~正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. 大量事实表明，多数减肥食品达不到减肥的目的， 或者是即使减肥一时，也很难维持下去。许多医 生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的 运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体 重并维持下去的目的。本节主要是建立一个简单 的体重变化模型，并由此提供了一个通过节食和 运动的减肥计划。
mathematica建立减肥模型
减肥模型摘要本文讨论了关于减肥问题的模型建立与解决，共提出两种解决方案，分别通过节食来减少热量吸收，通过消耗大于吸收来达到减肥目的，另通过运动来增加热量的消耗，以加快减肥速度。
通过对两种方式所需时间的比较，选出较优方案。
将所用的Mathematica程序附于文末。
关键词：减肥体重吸收消耗减少增加热量运动问题提出对一个人是否肥胖，联合国世界卫生组织颁布所谓体重指数（简记BMI）。
BMI定义为体重（kg）除以身高（m）的平方。
并规定BMI在[18.5 , 25]为正常，超出25为超重，超出30为肥胖。
现某男子身高1.75m，体重120kg。
其BMI=39，该男子为肥胖。
目前该男子每周吸收的热量为25 000kcal。
该男子现欲进行减肥，使体重达到80kg，他该采取什么样的方法，可以尽快地实现减肥目标？问题分析每个人每天既要吃饭，吸收热量，使体重增加，同时又有新陈代谢，消耗热量，也可能还有比较剧烈的运动消耗热量。
我们的减肥可以通过控制饮食，减少人对热量的吸收，也可以通过运动，增大对热量的消耗达到目的。
模型假设根据人的生理资料，我们可以做以下假定：1．体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kca可增加1kg。
2．正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200~320kcal，因人而异。
3．运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。
4．为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不小于10 000kcal。
变量说明1．记第k周体重为w（k），第k周吸收的热量为c（k）。
2．人每天要吸收热量增加体重，同时又会有代谢使体重减少。
这里热量转换系数a=1/8 000 kg/kcal.3．代谢消耗指数为b，跟人有关。
4．当增加运动hi，可将b修改为b+r，r为跟运动有关的消耗指数5．运动每小时每千克消耗的体重记为u模型建立与求解我们根据是否采取运动减肥分为两种情况。
方案1：控制饮食减肥。
数学建模之减肥问题的数学模型
数学建模之减肥问题的数学模型东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告教师评语：减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号 5133117 姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩指导教师签字： 2021年01月09日数学与统计学院课程设计（实习）报告第 1 页摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[?(t??t)??(t)]D?[A?(B?R)?(t)]?t再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式?(t)??e?dt?a(1?e?dt) d然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字：微分方程模型能量守恒能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是数学与统计学院课程设计（实习）报告第 2 页从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
建模报告——减肥计划
⑴
8
模型建立
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
• 控制饮食和适当运动的体重变化 增加运动时只需将 改为 1 1 t 其中 γ：运动热消耗 t：运动时间
(k 1) (k ) c(k 1) ( 1 ) (k ) (k ) c(k 1) ( t ) (k )
Thanks
一、在基本上不运动情况下的减肥方案
第一阶段 将α, β,b的数值带入，并考虑下限cmin，有 c(k+1)=12000－200k≥ cmin =10000 求解得k≤10,即第一阶段共10周，按照 c(k+1)=12000－200k，(k=0，1，…，9) （2） 吸收热量，可使体重每周减少1kg，至第10周末达到 90kg。
• 举一个具体的实例，制定一个减肥计划来讨论减
肥模型。 • 某甲身高1.8m，体重100kg，BMI高达30.8。自述 目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试 为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至 75kg （此时BMI为23.15）并维持下去：
4
问题分析
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
5
模型假设
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
• 根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假 设： • 假设该人身体状况正常，且肥胖不是遗传性的； • 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体 重1kg（kcal为非国际单位制单1kcal=4.2kj）； • 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体 重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而 异； • 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； • 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周 吸收热量不少于10000kcal。
减肥数学建模
减肥数学建模
在当今社会，减肥已经成为了很多人关注的话题。
人们希望通过科学的方法和
合理的方式来减肥，以达到健康和美丽的目的。
而数学建模作为一种科学的分析方法，可以帮助我们更好地理解减肥过程中的变化规律，从而找到更有效的减肥方案。
首先，我们可以通过数学建模来分析减肥的基本原理。
减肥的过程实际上是一
个能量平衡的问题，即摄入的能量和消耗的能量之间的关系。
我们可以用数学模型来描述这个过程，通过方程式来表示能量的变化和平衡，进而找到减肥的最佳方案。
其次，数学建模还可以帮助我们分析减肥过程中的身体变化。
比如，我们可以
通过建立数学模型来研究减肥对身体各项指标的影响，比如体重、体脂率、肌肉量等。
通过数学模型的分析，我们可以更好地了解减肥过程中身体的变化规律，从而找到更科学的减肥方法。
另外，数学建模还可以帮助我们优化减肥方案。
通过建立数学模型，我们可以
对不同的减肥方案进行模拟和比较，找到最适合自己的减肥方案。
比如，我们可以通过数学模型来分析不同饮食和运动方案对减肥效果的影响，从而找到最有效的减肥方案。
除此之外，数学建模还可以帮助我们预测减肥的效果。
通过建立数学模型，我
们可以根据自己的减肥计划和实际情况，预测未来的减肥效果，从而更好地调整和优化减肥方案，提高减肥的效果和成功率。
总的来说，数学建模在减肥过程中发挥着重要的作用。
通过数学建模，我们可
以更好地理解减肥的原理和规律，优化减肥方案，预测减肥效果，从而找到更有效的减肥方法。
因此，我们可以将数学建模应用到减肥过程中，以帮助我们更科学、更有效地减肥，达到健康和美丽的目标。
数学建模减肥模型
w w c ( t )w
c ( t ) w /
(8)
• 若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上)， 则c=16800kcal。 • 评注 人体体重的变化是有规律可循的，减肥也 应该科学化、定量化。这个模型虽然只考虑了一个非 常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚 至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。 • 体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别 是代谢系数 ，不仅因人而异，而且即使同一个人在 不同环境下也会有所改变。从上面的计算中我们看到， 当 由 0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所 需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应 用这个模型是要对 作仔细的 核对。
•
• •
•
• •
通常，制订减肥计划以周为时间单位比较方便， 所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。 模型假设 根据上述分析，参考有关生理数据， 作出以下简化假设： 1。体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal 增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kJ）； 2。正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每 公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间，且因 人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至 3200kcal； 3。运动引起的体重减少正比于比重，且与运动形 式有关； 4。为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg， 每周吸收热量不要少于10000kcal。
c / w 20000/ 8000/ 100 0.025
• 相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以 知道，某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多， 难怪如此之胖。 • 第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减 至下限 cmin 10000 kcal ， 即
数学建模之减肥问题的数学模型.
东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩教师评语：指导教师签字：2016年01月09日摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式()(1)dt dt at e e dωω--=+- 然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字： 微分方程模型 能量守恒 能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω，当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足，这种减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称1ω为减肥的临界指标.另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为10<R R <，当能量的摄取量高于体重0ω时，这是体重不会从0ω减少，所以可以看到单一的措施达不到减肥效果. 1.2 具体的问题和相关数据现有五个人，身高、体重和BMI 指数分别如下表1.1所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：表1.1 身高，体重和BMI 指数表人数编号 1 2 3 4 5 身高 1.7 1.68 1.64 1.72 1.71 体重 100 112 113 114 124 BMI 34.6 33.5 35.2 34.8 35.6 理想目标 75 80 80 85 90 每天摄 入能量 28572543273426892776题目具体要求如下：（1）在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量如下表1.2所示：表1.2 每小时每kg 体重的热量消耗运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 （中速） 游泳（50m/min ）热量消耗7.03.04.42.5 7.9（3）给出达到目标后维持体重的方案.2 模型假设与符号说明2.1 问题分析本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量. 因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标. 因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志. 已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为8000kcal，称D为脂肪的能量转换系数.肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，可以将人体的体重ω.看成是时间t的函数()t在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程,ω是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的，而不同所以认定()t的活动对能量的消耗是不同的. 所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量. 记r为某一种活动每小时所消耗的能量，记b为1kg体重每小时所消耗的能量.2.2 模型假设1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.ω是连续而且充分光滑的.2．假设体重随时间的变化()t3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.4．假设人体每天摄入的能量是一定的.记为A.5．正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal，且因人而异.6．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异对减肥的影响.7．人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal.8．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.2.3 符号说明D ： 脂肪的能量转化系数.()t ω：人体的体重关于时间t 的的函数..r ： 每千克体重每小时运动所消耗的能量(/)/kcal kg h .b ： 每千克体重每小时所消耗的能量(/)/kcal kg h .0A ： 每天摄入的能量.1W ： 五个人理想的体重目标向量.A ： 五个人每天分别摄入的能量..W ： 五个人减肥前的体重.B ： 每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.3 模型建立与求解3.1 一般模型建立如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应=24(/)B b kcal d ，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动h 小时，则每天由于运动所消耗的能量应为=(/)R rh kcal d . 按照假设2， 体重随时间的变化()t ω是连续而且充分光滑的，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化. 按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差. 我们选取某一段时间(, )t t t +∆，在时间段(, )t t t +∆内考虑能量的改变: 设体重改变的能量变化为W ∆,则有=[(+)()]W t t t D ωω∆∆- （3.1）设摄入与消耗的能量之差为M ∆，则有[()()]M A B R t t ω∆=-+∆ （3.2）根据能量平衡原理有M W ∆=∆ （3.3）得：[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆ （3.4）取0t ∆→，可得d d (0) a d t ωωωω⎧=-⎪⎨⎪⎩= （3.5） 其中/a A D =，()/d B R D =+，0t =（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型 模型求解得()(1)dt dt at e e dωω--=+- （3.6）/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）. 3.2 针对实际问题的模型建立1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B ，因为没有运动，所以有0R =，根据式（3.6）式，得AB W=（3.7）从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由()t ω (五人的理想体重)，W （五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg （脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有001/ln ln/a d D B At d a d B B Aωωωω--=-=--- （3.8） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示表3.1 达到理想体重所需天数表人1 2 3 4 5 天数 194 372 313 266 298Matlab 源程序： R = 0;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length( W );B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 a = A./D d = (B + R)./D for i = 1:nt(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间 end2. 为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表2，再结合假设3，取1h h =，R rh r ==，根据式（4.6）有001/()ln ln/()a d D B R At d a d B R B R Aωωωω-+-=-=--++- （3.9） 将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的r ，得到一组数据， 在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数运动跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 时间/天122 155 141 160 116 187 261 229 274 176 173 232 207 243 164 148 198 177 206 140 163 220 196 230 154Matlab 源程序： h = 1;r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h.*r; n1 = length(R);D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n1 for i = 1:nt = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).* (B(i) + R(j)) -A0))); %减肥所需要的时间end end3. 要使体重稳定在一个定值，则有*AB Rω=+ （3.10） 根据自己的不同理想目标和B （每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：（1）在1h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.3表3.3 1h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳消耗能量(kcal) 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2448.400 2495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800（2）在2h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.4表3.4 2h =的情况下运动所消耗的能量运动 跑步 跳舞 乒乓 自行车 游泳 消耗能量(kcal) 3198.00 2592.800 2802.800 2517.700 3327.800 2936.400 2296.400 2520.400 2216.400 3080.400 3055.600 2415.600 2639.600 2335.600 3199.600 3195.000 2515.000 2753.000 2430.000 3348.000 3274.800 2554.800 2806.800 2464.800 3436.800Matlab 源程序： h = [12];r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; R = h*r;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量 W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重 n1 = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗 for j = 1:n for I = 1:n1A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量 A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量 end end4 模型的分析与讨论4.1 针对一般减肥模型在式（3.6）中假设0a =，即假设停止进食，无任何能量摄入，于是有0()dt t e ωω-= （4.1）这表明在t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由dt e -给出，特别当1t =时，e d -给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由lim 0t t ω→∞=()，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的.a/d 是模型中的一个重要的参数，由于/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是/a d 就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t 时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的. 由式（3.5）0dtd <ω即/a d ω<,体重从0ω递减, 这是减肥产生效果,另外由式（3.6）可以看到t →∞时*()//()t a d A B R ωω→==+,也就是说式（3.5）的解渐进稳定于*a/d ω=,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*ω为减肥效果指标,由*/()A B R ω=+，因为B 是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数，于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识.人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值. 4.2 针对具体问题从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图4.1表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的. Matlab 源程序： x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ]; y = [ 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.300 2376.400 2056.400 2168.4002016.4002448.4002495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.600 2600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.500 2644.8002284.8002410.800 2239.800 2725.800 ];subplot( 3, 2, 1 ); plot( x, y(1,:),' g* '); title(' 第一个人 '); subplot( 3, 2, 2); plot( x, y(2,:),' ro '); title(' 第二个人 ');数学与统计学院课程设计（实习）报告第10页subplot( 3, 2, 3);plot( x, y(3,:),' g. ');title(' 第三个人');subplot( 3, 2, 4);plot( x, y(4,:),' c+ ');title('第四个人');subplot( 3, 2, 5);plot( x ,y(5,:),' go ');title(' 第五个人');图4.1 每个人的能量消耗图参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年.[2]王敏生，王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年.[3]罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年.[4]胡良剑，孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.。
数学模型之减肥计划优秀课件
第二阶段
• 要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模 型得
• ω(k+1)=ω(k)+α cmin -βω(k)=(1-β) ω(k)+ α cmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得
(kn)(1)n(k)cm in1(1)(1)n1 • 已(1 知ω)(nk) =(9k0),α,cβm ,incmin，cm i求n ω(k+1)=75，由上
运动跑步跳舞乒乓自行车中速游泳50mmin热量消耗kcal703044257914记表中热量消耗每周运动时间t利用增加运动后的基本模型其中试取t0003即t24则0028所以由上式带入已知条件得n14即若增加t24的运动每周跳舞8小时或自行车10小时就可将第二阶段时间缩短为14周
数学模型之减肥计 划
式得：
• 75=0.975n(90-50)+50
• 解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再 过19周就可减至75kg。
• 2. 为加快进程，第二阶段增加运动。
• 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消 耗的热量：
运动
跑步
热量消耗 7.0 （kcal）
跳舞 3.0
乒乓 4.4
自行车 （中速）
2.5
游泳 （50m/min）
7.9
记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增 加运动后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k)
试取αγt=0.003，即 γt=24，则β’=0.028
所以由上式带入已知条件
7 5 0 .9 7 2 n9 0 4 4 .6 4 4 .6
数学建模设计报告—减肥问题
数学建模设计报告专业：网络工程班级：网络工程1101班组员姓名：（1108020104）（1108020105）（1108020106）日期：2013年1月17日一、题目减肥问题假定某人每天的饮食可产生A焦耳热量，用于基本新陈代谢每天所消耗的热量为B焦耳，用于锻炼所消耗的热量与体重成正比（可设为C焦耳／千克）．为简单计，假定增加(或减少)体重所需热量全由脂肪提供，脂肪的含热量为D 焦耳／千克．讨论节制饮食、加强锻炼，调节新陈代谢对体重的影响。
要求：1）建立反映人的体重随时间变化规律的数学模型；2）求解模型，讨论节制饮食、加强体育锻炼和调节新陈代谢对体重的影响；3）.进一步讨论限时减肥（例如举重运动员参赛前体重要降到规定的数值)或限时增肥(例如养猪场要在一定时间内使猪的重量达到一定值)问题；4）按要求写出课程设计报告。
二、摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。
之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。
该模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。
在问题中，我们找到营养的供给、成人（男、女）每天需要的热量、热量的主要构成、活动强度系数表以及三种热量构成物的单位产热量等方面数据，并结合肥胖的三个要素（进食、活动、新陈代谢），建立了如下的数学模型：w(t)=w D e-a+a/c（1-e-a）其中a=∑3i=1w i r i/∑3i=1r iηi;c=(1+10+μi)4.2)4.2×103/Σ3i=1r i ηi .（1）、相关数据1 、每日膳食中,营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准,营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量,如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量,将使身体产生不利的影响. (每天膳食提供的热量不少于5000 ———7500J ,这是维持正常命活动的最少热量)2 、成人每天需要的热量= 人体基本代谢需要的热量+ 体力活动需要的热量+ 食物的特殊动力的作用所需要的热量①人体基本代谢的需要的热量的简单算法: 女子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×9 (千卡) = 体重(斤)×3.78 ×310J 男子:基本热量(千卡) = 体重(斤) ×10 (千卡) = 体重(斤)×4. 2 ×310J②食物的特殊动力的作用所需要的热量≈10 % ×人体基本代谢的最低热量③体力活动所需要的热量= 人体基本代谢的需要的本热量×活动强度系数3 、热量主要由3 种物质即由脂肪、蛋白质、碳水化合物转化而得,因此在减肥期间应当限制膳食的总热量,而不仅是限制脂肪的摄入。
减肥模型(可编辑修改word版)
减肥模型专科组：陈瑶江珅唐波【摘要】本文利用一阶线性微分方程，建立人体重变化与摄入热量的数学模型，先解出整数解，再讨论不同初值对解的影响：最后通过三种曲线的形式，直观的给出体重与摄入热量的动态变化规律；得出的结论是：提高单位体重单日消耗的热量值比减小热量摄入量对减肥更有效。
关键字：微分方程热量新陈代谢减肥一问题重述：某人每天由饮食获取10500 焦耳的热量，其中5040 焦耳用于新陈代谢。
此外每千克体重需支付67.2 焦耳热量作为运动消耗。
其余热量则转化为脂肪。
已知脂肪形式储存的热量利用率为100%，问此人的体重如何随时间变化？二问题分析：由题意可以求出，任意一天的体重的变化量与体重之间关系，将其推广，可看作任意一点的体重的变化率与体重之间关系，即可建立微分方程，进而求出体重变化规律三模型假设：（1）一天之内人的体重基本不变化，一天为t 的最小单位；（2）人的初始体重假设最低为 25kg，最大为 125kg；（3）存在一个连续可导的函数 W(t),s 使任意正整数n 都满足W(n)=第n 天人的体重；（4）人体内多余的热量都转化为脂肪储存在体内；（5）某人以脂肪形式储存的热量是100%地有效，而1 千克脂肪含热量是42000 焦耳。
四符号说明W t表示人的体重W0表示人的初体重W s表示人的稳定体重P 表示每天饮食摄入的总热量Q 表示每天新陈代谢消耗热量K 表示每天热量净摄入量R 表示每天每千克体重运动消耗热量A 表示每千克脂肪所含热量五建立模型：一天的净摄入量每天运动消耗热量K=P-QR·W(t)所以从t 到t+ ∆t 时间内体重的变化：W(t+ ∆t) - W(t) = 体重变化的数学模型：P -QA∆t -R •W (t)∆tAW(t + ∆ t) - W(t)=∆t即P -Q-AR •W (t)A⎧⎪dW =P -Q -R •W (t)⎨dt ⎪⎩A A W (0) =W利用分离变量法解方程得：-1ln (P -Q) -RW (t) =Rt+CA由W(0)=W0得：从而得：C= -1ln (P -Q) -RWR 0 W(t)=代入题目中的数值：P -QR-(P -Q) -RW0 eR-RtAP=10500 Q=5040 R=67.2 A=42000 所以体重随时间变化的函数是：W(t)= 即10500 -504067.2-(10500 - 5040) - 67.2W0 e67.2-67.2t42000W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e- t625求导得： 即dW = (P - Q ) - RW 0 e dt A- RtAdW = 5460 - 67.2W 0 e dt 42000- 67.2t 42000用 MatLab 编程画出 W 0 从 25Kg 到 125Kg 每增长 5Kg 的体重随时间变化曲线图代码见附件 1曲线方程为：W(t)=81.25-（81.25-W 0 ） e 曲线图如下：- t625（W 0 =25：10：125，0<t<5000）Wt(Kg)80604020 (t(d)) 0 5001000150020002500300035004000图 1图 1 结果分析：(1) 这是假设人初始体重为 25Kg ，以 10Kg 的增速递增，最大值是 125Kg 时随着时间（t ）的增长人体重（Kg ）的变化曲线。
数学建模减肥计划
减肥计划——节食与运动背景社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。
由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。
您的体重正常吗？不妨用联合国世界卫生组织颁布的所谓体重指数（简记BMI ）体重指数BMI=w(kg)/l2(m2) 18.5<BMI<25 ~正常；BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖。
肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。
肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。
很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条，不少人纷纷奔向减肥食品的柜台。
可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。
许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的，本论文要建立一个简单的体重变化规律模型，并由此通过节食与运动制定合理、有效地减肥计划。
模型分析通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。
人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。
只要做适当的简化假设就可得到体重变化的关系。
减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。
当然，增加运动量是加速减肥的有效手段。
通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。
模型假设根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
数学建模减肥计划
减肥计划——节食与运动摘要：本题讨论的是人体体重在随着人体代谢和人的运动而减少的减肥计划。
小组成员：常露鹏首先在每周减肥1kg，每周吸收的热量渐渐减少，直至安全下限的情况下，建立差分方程模型计算出：c(k+1)=(β∗ω(0)−(1+β∗k))/α，得出k<=10;其次在c(k)=42000kJ安全下限，人体基本不运动情况下得到方程：ω(n+10)=(1-β)^n*[ω(10)-α*42000/β]+α*42000/β，在人体运动时有β1=(β+α*γ*t)满足上式方程。
最后在体重维持75kg稳定时，求出人体在不运动和运动的不同状态下的每周需要吸收的热量c。
在体重维持75kg稳定时，求出人体在不运动和运动的不同状态下的每周需要吸收的热量c。
关键词：差分方程；常微分方程；常数变易法；MTLAB；问题重述:体重指数（BMI）定义为：体重指数（BMI）＝体重/ 身高的平方，规定BMI在18.5至25之间为正常，大于25为超重，超过30为肥胖。
据悉，我国针对东方人的特点，拟将上述标准的25改为24，30改为29。
在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。
问题分析：1.人们通过饮食及吸收热量，转化为脂肪等，导致身体加重。
2．运动和代谢可以消耗热量引起体重减少，因为体重变化受其他因素的影响，所以描述体重的变化要做出适当的假设。
3.减肥计划应当注意身体健康，不能伤害身体，这可以用吸收热量不要过少，减肥不要过快来表达。
其中增加运动量是快速减肥的最好手段，要在建模中凸现出来。
问题假设：根据分析，参考资料，作出以下假设。
（1）假设人处于正常代谢的最佳状态。
忽略人体的健康，性别，年龄等因素。
假设体重与时间有关。
（2）体重的增加与吸收的热量成正比，用α=1/33600（kg/kJ），即平均每33600KJ的热量能够使人体重增加1kg。
（3）正常代谢引起的体重减少与体重成正比，β表示代谢消耗系数，因人而异，每周每千克体重消耗热量一般在840—1344kJ。
数学建模减肥计划
天津农学院系别：园艺系班级：果树班姓名：潘丽红学号：1002044116减肥计划—节食与运动一、了解日常食品的热量1、主食米饭 1160 kcal /1kg 馒头 2330 kcal / 1kg面条 2850 kcal / 1kg 玉米 1060 kcal / 1kg烧饼 3260 kcal / 1kg 油条 3860 kcal / 1kg煎饼 3330 kcal/ 1kg 土豆粉 3370 kcal/ 1kg汉堡 2630 kcal/ 1kg 方便面 4700 kcal / 1kg豆腐脑 100 kcal/ 1kg 粉丝 3550 kcal/ 1kg面包 3120 kcal / 1kg 炸糕 2800 kcal / 1kg年糕 1540 kcal / 1kg 蛋糕 3780 kcal / 1kg小米粥 460 kcal/ 1kg 豆浆 140 kcal/ 1kg麦片粥1220 kcal/1kg 牛奶 570 kcal/1kg酸奶 720 kcal/ 1kg 豆奶 300 kcal/ 1kg黑芝麻糊 5310 kcal/ 1kg 白粥 3400 kcal / 1kg奶粉 5100 kcal/ 1kg 果料酸奶 670 kcal / 1kg2、蔬菜类土豆 808 kcal/ 1kg 茄子 278 kcal/ 1kg西红柿 196 kcal/ 1kg 菠菜 270 kcal/ 1kg豆角 313 kcal/ 1kg 菜花 293 kcal/ 1kg圆白菜 256 kcal/ 1kg 豆芽 180 kcal/ 1kg西葫芦 247 kcal/ 1kg 黄瓜 193 kcal/ 1kg苦瓜 222 kcal/ 1kg 芹菜 299 kcal/ 1kg3、水果类苹果 563 kcal/ 1kg 桃 466 kcal/ 1kg梨 696 kcal/ 1kg 杏 395 kcal/ 1kg香蕉 1542 kcal/ 1kg 橘子 550 kcal/ 1kg葡萄 489 kcal/ 1kg 菠萝 603 kcal/ 1kg樱桃 575 kcal/ 1kg 花生 5620 kcal/ 1kg鲜枣 1040 kcal/ 1kg 柠檬 530 kcal/ 1kg橙子 635 kcal/ 1kg 西瓜子 13325 kcal/ 1kg4、肉类猪肉（肥）8160kcal / 1kg 猪肉（瘦）5938 kcal / 1kg羊肉 2150 kcal / 1kg 牛肉 1060 kcal / 1kg烧鸭 3960 kcal / 1kg 烤鸡 3287 kcal / 1kg羊肉串 2340 kcal / 1kg 扒鸡 3257 kcal / 1kg火腿肠 2120 kcal / 1kg 腊肉 1810 kcal / 1kg鱿鱼干 3193 kcal / 1kg 带鱼 1671 kcal / 1kg桂鱼 1198 kcal / 1kg 鲤鱼 2000 kcal / 1kg鲫鱼 2000 kcal / 1kg 河蟹 2452 kcal / 1kg鲈鱼 1724 kcal / 1kg 河虾 976 kcal / 1kg海虾 1549 kcal / 1kg 牡蛎 730 kcal / 1kg5、蛋类鸡蛋 1600 kcal / 1kg 鸭蛋 2046 kcal / 1kg鹅蛋 2253 kcal / 1kg 松花蛋 2144 kcal / 1kg鹌鹑蛋 1860 kcal / 1kg 鸡蛋黄 3280 kcal / 1kg鸡蛋白 470 kcal / 1kg6、其它食物巧克力 5860 kcal / 1kg 冰激淋 1260 kcal / 1kg橘汁 1190 kcal / 1kg 啤酒 350 kcal / 1kg二、减肥计划—营养配餐方案1、减肥计划的提出某人身高1.7m，体重100kg，BMI达34.6，每周吸收20000kcal的热量，体重长期不变，现在要为他制定一个减肥计划，使其体重减至75kg并维持不变：1）在基本不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。
数学建模减肥计划
减肥计划——节食与运动 节食与运动 减肥计划
减肥计划——节食与运动 节食与运动 减肥计划 背 景
体重指数 体重指数BMI(Body Mass Index )=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~正常； BMI>25 ~ 超重 正常； 超重; 正常 BMI>30 ~ 肥胖 肥胖. 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
75 = 0 .975 ( 90 50 ) + 50
n
lg(25 / 40) n= = 19 lg 0.975
小 结
第二阶段19周 每周吸收热量保持10000千卡 体重按 千卡, 第二阶段 周, 每周吸收热量保持 千卡 减少至75千克 千克。 w(n) = 40 × 0.975 n + 50 (n = 1,2, ,19) 减少至 千克。
w = w + αc βw
20000 β= = = 0.025 w 8000 × 100
αc
即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡 千卡
1）不运动情况的两阶段减肥计划 ） 第一阶段 w(k)每周减 千克 c(k)减至下限 第一阶段: 每周减1千克 减至下限10000千卡 每周减 千克, 减至下限 千卡
4.4
2.5
7.9 t~每周运动 每周运动 时间(小时 小时) 时间 小时
取 αγ t = 0 .003 , 即 γ t = 24
β (= 0.025) → β ′ = β + αγt(= 0.028)
αCm αCm ]+ β′ β′
数学建模 减肥模型
有一人体重110kg，身高180cm，制定减肥计划使其BMI降到25以下目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI，定义为BMI=h/L^2其中h是体重（单位是kg），L是身高（单位是m）。
模型分析：在正常情况下，人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化，摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥，反之会使人体重降低，因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析，在适当的假设下建立模型，减肥计划应以不伤害人体健康为目标，所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制，同时增大运动量也是减肥的关键，也应加以考虑，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程来讨论。
模型假设：根据上述分析，参考有关生理数据，做出以下假设：1、体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。
（kcal是非国际单位制单位，1kcal=4.5kJ）；2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重110kg的人每天消耗约3413kcal至5029kcal之间；3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关；4、为了健康考虑，每周吸收热量不能少于10 000kcal，且每周减少量不能超过1 000kcal每周体重减少不能超过1kg；5、假设此人身体健康，没有肠胃方面的毛病；通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考（假设食物重量如表中一样重），如下表基本模型：记第k周（初）体重为w(k)（kg），第k周吸收热量为c(k)（kcal），k=1，2，……。
设热量转换（体重的）系数为α，身体代谢消耗系数为β，根据模型假设，正常情况下（不考虑运动）体重变化的基本方程为α(1)wk(k)1kcwβkw(k-+=⋯⋯)=()(+,2,1),由假设1，α=1/8000kg/kcal，当确定了个人的代谢消耗系数β后，就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。
数学建模减肥模型
摘要随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。
由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。
减肥的方法也有很多。
如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。
于是了解减肥的机理成为关键。
背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。
如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。
（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。
（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。
（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。
（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。
关键字微分方程转化能量转换系数1.问题重述随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。
所以我们可以通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。
现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg 体重的消耗的热量入下表二所示：（3）给出达到目标后维持体重的方案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本模型： K: 表示第几周； ω(k):表示第k周的体重； C(k):表示第k周吸收的热量； α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; β:表示代谢消耗系数（因人而异）
体重变化基本方程
w(k + 1) = w(k ) + αc(k + 1) − β ' w(k )
其中β’= β+ β1 β1为增加运动时的代谢消耗系数， 由运动的形式和 增加运动时的代谢消耗系数， 增加运动时的代谢消耗系数 时间决定. 时间决定
再确定甲运动后的代谢消耗系数β1 经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量： 自行车(中速 游泳(50米 分 中速) 跑步 跳舞 乒乓 自行车 中速 游泳 米/分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 记表中热量消耗γ，每周运动时间 ， 记表中热量消耗 ，每周运动时间t，利用增加运动 后的基本模型，其中β’=β+β1， β1=αγt,即 后的基本模型，其中 即 ， ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) 试取β 试取 1=αγt=0.003，即 γt=24 ， 则β’=0.028
αcmin αcmin = (1 − β ' ) [ w(k ) − ]+ β' β'
n
n −1
]
已知ω(k)=81, α, β’, cmin，求ω(k+n)=75，由上式得：
75=0.972n(90-45)+45 解得n=7,即每周吸收热量保持在下限，再过7 周就可减至75kg
第三阶段： 若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出 每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。 由上式 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+ αγt )ω(k) ω=ω+αc-(β+ αγt ) ω
问题分析：
1 通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到 破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致 体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重 减少。 2 做适当的假设就可以得到体重变化的关系。 3 减肥应不伤身体，这可以用吸收热量不要过少， 减少体重不要过快来表达
1. 2.
3. 4.
模型假设： 体重增加正比于吸收的热量， 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加 增加1kg（1kcal=4.2kj）； 增加 （ ）； 正常代谢引起的体重减少正比于体重， 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每 周每公斤体重消耗热量一般在 200kcal~320kcal，且因人而异； ，且因人而异； 运动引起的体重减少正比于体重， 运动引起的体重减少正比于体重，且与运 动形式有关； 动形式有关； 为了安全与健康， 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过 1.5kg,每周吸收热量不少于 每周吸收热量不少于10000kcal 每周吸收热量不少于
建立模型：
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡 千克，目前每周吸收 某甲体重 千克 千卡 热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克 千克。 热量，体重维持不变。现欲减肥至 千克。
减肥计划：
在节食加运动的情况下，分为三阶段 第一阶段：每周减肥1Kg,每周吸收热量逐渐 减少，直至达到安全下限（10000Kcal） 第二阶段：每周吸收热量保持下限，持续运 动，体重减至75Kg，减肥成功 第三阶段：保持减肥成果
第二阶段：要求每周吸收热量保持下限cmin，由基 本模型得 ω(k+1)=ω(k)+α cmin - β ’ω(k) =（1- β’）ω(k)+ α cmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得
w(k + n) = (1 − β ' ) w(k ) + αcmin [1 + (1 − β ' ) + K + (1 − β ' )
模型求解： 先确定甲不运动时的代谢消耗系数β。 根据已知条件c=20000kcal, α =1/8000,ω=100kg不变，由基本模型得 ω= ω+αc- βω 推出 β=0.025 这相当于每周每公斤体重消耗热量 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢 消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖
α
[ β ' w(k ) − b]
根据α,β’,b, cmin已知，取β1=0.03 β ’=0.028， 有 C(k+1)=14400-224k≥ cmin=10000 得 k ≤19.6,即第一重每 周减1kg，至第19周末可减至81kg
数学建模——减肥计划
数学三班 许小红 单厚荣 张茜佳 仙洋 冶青兰 罗静
问题描述： 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥 胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量 事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目的， 或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许 多医生和专家意见是，只有通过控制饮食和 运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减 轻体重并维持下去的目的。
C=(β+αγt)ω/α 若不运动β1= αγt=0，得c=15000kcal； ， ； 若运动， 若运动，则c=16800kcal
减肥建议
节食加运动能有效减肥，节食时间周期长， 在第一阶段就运动减肥会更快达到预期目标。 通过改变β’，缩短减肥的时间，改变运动的 方式和时间是不错的减肥方式。
第一阶段： 第一阶段： 要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限 要求每周体重减少 吸收热量减至下限 cmin=10000kcal,即 即
ω(k)- ω(k+1)=1, ω(0)- ω(k)=bk
ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)- β ’ω(k)
c(k + 1) =
1
β' b = w(0) − (1 + β ' k ) α α