减肥模型

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微分方程(组)模型

③
(2) 方程③是一阶线性微分方程，通解为②当n>0时，有特解y=0.
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’) 符号说明：在表达微分方程时，用字母D表示求微分， D2、D3等表示求2阶、3阶等微分。任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省。 d2y
方法：
• 规律分析法：根据相关学科的定理或定律、规律（这些涉及到某些函数变化率）建立微分方程模型，如曲线的切线性质. • 微元分析法:应用一些已知规律和定律寻求微元之间的关系式. • 近似模拟法：在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实际问题中，许多现象的规律性不清楚，常常用近似模拟的方法建立微分方程模型.
4.符号说明
• • • • • • • a---某人每天在食物中摄取的热量 b---某人每天用于新陈代谢（及自动消耗）的热量 α ---某人每天从事工作、生活每千克体重必需消耗的热量 β---某人每天从事体育锻炼每千克体重消耗的热量 w---体重(单位：千克) w0---体重的初始值 t---时间（单位：天）
若Q(x)≡0,则称为一阶线性齐次方程，一阶线性微分方程通解为 P ( x ) dx P ( x ) dx ② y ( x) e ( Q( x)e dx C )
从而可得
dz (1 n) P ( x) z (1 n)Q ( x) dx
dz dy (1 n) y n dx dx
一、微分方程模型二、微分方程的数学形式三、微分方程（组）的MATLAB解法四、减肥的数学模型五、人口增长数学模型六、兰彻斯特（Lanchester）作战模型七、硫磺岛战役案例

数学建模经典案例

运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可.
2）第二阶段增Βιβλιοθήκη 运动的减肥计划增加运动相当于提高代谢消耗系数
( 0.025) t ( 0.028)
减肥所需时间从19周降至14周
提高12%
减少25%
• 这个模型的结果对代谢消耗系数很敏感. • 应用该模型时要仔细确定代谢消耗系数 (对不同的人; 对同一人在不同的环境).
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克
w(k n) 0.975 [w(k ) 50] 50
n
已知 w(k ) 90, 要求 w(k n) 75，求n
75 0.975 (90 50) 50
k 10
第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为 c(k 1) 12000 200k , k 0,1,,9
1）不运动情况的两阶段减肥计划
• 第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克基本模型 w(k 1) w(k ) c(k 1) w(k )
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克.
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划. 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少, 直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标. 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划. 3）给出达到目标后维持体重的方案.
n
lg(25 / 40) n 19 lg 0.975
第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按

(完整版)数学模型课程设计减肥模型

1 引言随着社会的进步和发展,人们的生活水平不断提高。

由于饮食营养摄入量的不断改善和提高,“肥胖"已经成为全社会关注的一个重要的问题。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病,如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。

肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。

很多人在心理上害怕肥胖，追求苗条,因而减肥并不是口头话题，更有人花很多时间和金钱去实施减肥.这也造成了各种减肥药、减肥器械和治疗方法的巨大市场。

各种假药或对身体有害的药品,夸大疗效的虚假广告等等也就应应运而生理念，对老百姓造成了不必要的伤害。

所以，如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。

于是了解减肥的机理成为关键。

2模型的提出2.1背景知识根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知:（1) 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。

如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。

(2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志.（3)人们热能需要量的多少,主要决定于三个方面:维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用(将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。

（4)一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。

（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。

2.2模型分析通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。

人们通过饮食吸收热量，一部分用于代谢和运动消耗，若有剩余则转化为脂肪存储起来，导致体重的增加。

如果要想体重减少,必须使吸收的热量小于消耗的热量，从而使机体代谢存储的脂肪。

这可以通过减少摄入和增加消耗来实现，即减少进食量，增加运动量。

但每天的进食不仅提供能量，还提供人体必需的营养物质，所以进食量不能过少。

数学建模(微积分)二

dC 利用微分法，令 0 dT
，不难求得（4）
2c1 r c2
T
2c1 rc 2
再根据（1）有，
Q
（5）
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Q
2c1 r c2
（5）
这就是经济理论中著名的经济订货批量公式（EOQ公式）货物本身的价格可不考虑，这是因为若记每吨货的价格为k，则一周期的总费用 C 中应添加kQ，由于
Q rT
（1）
订货后贮存量由Q均匀地下降，记任意时刻t的贮存量为q，则q(t)的变化规律可以用图1表示
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Q A r T 图1 t
0
考察一个订货周期的总费用：订货费为c1;贮存费是
c2 q(t )dt 其中积分恰等于图中三角形的面积为A，显然
0 T
1 A QT 2
实例十一、森林救火数学模型
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贮存模型背景不允许缺货的贮存数学模型知识工厂要定期地订购各种原料，在仓库里供生产
之用。商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以备零售。水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和航运。无论是原料、商品还是水的贮存，都有贮存多少的问题。原料、商品贮存得太多，贮存费用高；贮存得太少，则无法满足需求。水库雨季蓄水过量，更可能危及安全。当影响贮存量的因素包含随机性时，如顾客对商品的需求，天气对蓄水的影响，需要建立贮存模型。
Q rT 所以公式（3）中增加一常数项kr，对求解结果
式（4）、（5）没有影响。（5）式表明，订货费c1越高，需求量越大，订货批量 Q应越大；贮存费c2越高，订货批量Q应越小，这些关系当然是符合常识的，不过公式在定量上表明的平方关系却是凭常识方法得到的

数学建模减肥模型例题

数学建模减肥模型例题
以下是一个数学建模的减肥模型例题：
假设一个人想通过控制饮食和运动来减肥，他每天所摄入的总卡路里数（包括食物和饮料）为C，他每天通过进行运动所消耗的总卡路里数为E。

为了减肥，他希望每天的摄入卡路里数小于消耗卡路里数。

假设他的基础代谢率为B，即他在休息状态下所消耗的卡路里数。

他希望通过减少每天摄入的卡路里数和增加运动量来控制减肥速度。

现在我们假设他的减肥速度为V（单位：千克/周），并且他的目标减肥时间为T（单位：周）。

我们需要建立一个模型来计算他每天应该摄入的卡路里数C和他每天需要进行的运动量E。

解决方案：
首先，我们需要根据减肥速度V和目标减肥时间T来计算他的目标减肥总量M（单位：千克）。

M = V * T。

然后，我们可以根据他的基础代谢率B和目标减肥总量M来计算他在目标减肥时间内所需的总卡路里数D。

D = M * 7700（每千克脂肪相当于7700卡路里） + B * T。

接下来，我们可以根据目标减肥总量M和目标减肥时间T来计算每天需要摄入的卡路里数C。

C = D / T。

最后，我们可以计算每天需要进行的运动量E。

E = C - B。

通过这个模型，该人可以根据自己的减肥速度和目标减肥时间来计算每天需要摄入的卡路里数和进行的运动量，从而实现减肥目标。

但需要注意的是，这只是一个简化的模型，实际减肥效果受到多种因素的影响，还需综合考虑其他因素来制定全面的减肥计划。

数学建模(微积分)一

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(1) 机理分析法
常用的建模方法有机理分析法、测试分析法等。机理分析法是立足于事物内在规律的一种常见建模方法，主要是依对现实对象的特性有较为清楚的了解与认识，通过分析其因果关系，找出反映其内部机理的规律性而建立其模型的一种方法.
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四、模型建立
我们以1天为时间单位，那么每天基础代谢的能量消耗为B=24b（焦耳/日）。由于人的活动不可能是全天进行的，所以假设每天人体活动h小时，则一天消耗的能量应为R=rh（焦耳/日）；按照假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化。按照能量平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量变化应等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差。
从以上两个方面来看，咳嗽时气管收缩（在一定范围内）有助于咳嗽，它促进气管内空气的流动，从而使气管中的脏物能尽快地被清除掉
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减肥模型
一、问题的提出随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为社会关注的一个重要问题，无论从健康的角度还是从审美的角度，人们越来越重视自己的形体的健美。从面就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）和名目繁多的健美中心。如何对待减肥的问题，我们也可以通过组建模型，从数学的角度对有关规律作进一步的探讨和分析
实例十一、群体遗传模型
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一、数学建模的总体介绍
1．数学建模中常用的书籍
2．数学建模基本过程

两个新的减肥差分方程模型和解法

两个新的减肥差分方程模型和解法一、引言减肥是现代社会中一个普遍的健康问题。

随着人们对健康的重视程度提升，减肥已成为许多人追求的目标。

对于减肥来说，除了饮食和运动外，数学模型在帮助人们理解和解决减肥问题方面也起到了重要的作用。

本文将介绍两个新的减肥差分方程模型和相应的解法。

二、模型1：体重变化模型2.1 模型描述我们首先考虑一个体重变化的模型。

假设一个人的体重在时间t时刻的变化率与摄入的能量和消耗的能量之间相关。

设W(t)表示时间t时刻的体重，n(t)表示摄入的能量，m(t)表示消耗的能量。

则该模型可以表示为：dW(t)=n(t)−m(t)dt2.2 解法为了求解上述差分方程，我们可以使用离散化的方法来近似求解。

假设时间变化的步长为Δt，则差分方程可以改写为：W(t+Δt)−W(t)=n(t)−m(t)Δt进一步整理得到：W(t+Δt)=Δt⋅(n(t)−m(t))+W(t)因此，我们可以通过迭代的方式逐步计算出体重在不同时刻的值。

三、模型2：脂肪堆积模型3.1 模型描述在对减肥问题进行更深入的分析时，我们希望能够考虑到脂肪的堆积过程。

假设一个人的脂肪堆积速率与摄入的脂肪量和消耗的脂肪量之间相关。

设F(t)表示时间t时刻的脂肪堆积，p(t)表示摄入的脂肪量，q(t)表示消耗的脂肪量。

则该模型可以表示为：dF(t)=p(t)−q(t)dt3.2 解法我们可以使用与前一个模型类似的方法来求解上述差分方程。

假设时间变化的步长为Δt，则差分方程可以改写为：F(t+Δt)−F(t)=p(t)−q(t)Δt进一步整理得到：F(t+Δt)=Δt⋅(p(t)−q(t))+F(t)通过迭代的方式，我们可以逐步计算出脂肪堆积在不同时刻的值。

四、应用实例：健身计划优化4.1 问题描述假设现在有一个减肥者，他希望在一段时间内减掉10公斤的体重。

他每天的饮食和运动有一定的规律，摄入的能量和消耗的能量也是一定的。

他想知道在给定的条件下，通过调整饮食和运动的方式来达到减肥目标。

减肥模型中使用的建模方法

减肥模型中使用的建模方法减肥是当今社会非常热门的话题，利用建模技术来评估和预测减肥计划的效果已经成为减肥研究中的一项重要工具。

本文将介绍和详细描述10种减肥模型中使用的建模方法。

1. 线性回归模型线性回归模型是一种基于统计学的建模方法，可以用来评估减肥计划和身体指标之间的关系。

该模型可以使用多个变量进行建模，例如饮食、运动、体重等，进而预测身体指标的变化。

线性回归模型可以用来确定计划中哪些因素对减肥有帮助，以及它们对身体指标的影响大小。

2. 逻辑回归模型逻辑回归模型是一种二元分类模型，可以将减肥计划中的元素划分为“有用”或“无用”。

该模型可以用于区分不同饮食和运动计划的效果，并帮助制定更有效的减肥策略。

3. 神经网络模型神经网络模型是一种深度学习算法，可以用来识别模式和预测未来趋势。

该模型可以通过学习过去的数据来发现饮食和运动计划中的模式，然后根据这些模式预测减肥计划的效果。

4. 支持向量机模型支持向量机模型是一种分类模型，可以将减肥计划中的元素分为不同的类别。

该模型可以帮助确定哪种类型的饮食和运动计划最适合哪种类型的人。

一些人可能更适合热量控制的饮食计划，而另一些人可能更适合高蛋白质的饮食计划。

5. 决策树模型决策树模型是一种基于树结构的分类模型，可以将减肥计划中的元素分成不同的类别。

该模型可以通过将饮食和运动计划中的元素组合起来，来帮助制定更有效的减肥策略。

6. 聚类模型聚类模型是一种无监督机器学习模型，用于将整个数据集分成互不重叠的群体。

该模型可以帮助确定哪些饮食和运动计划可以分成互不重叠的组，哪些可以放在一起。

7. 马尔科夫链模型马尔科夫链模型是一种数学方法，用于描述状态连续性的随机变量序列。

该模型可以用来建立减肥计划中饮食和运动计划的状态转移概率，并根据当前状态预测未来的状态。

8. 随机森林模型随机森林模型是一种决策树集合的分类模型，可以用于减肥计划和身体指标之间的关系建模。

该模型可以通过学习过去的数据，来确定饮食和运动计划中的哪些元素对减肥最有帮助，以及可以量化这些因素的重要性。

mathematica建立减肥模型

减肥模型摘要本文讨论了关于减肥问题的模型建立与解决，共提出两种解决方案，分别通过节食来减少热量吸收，通过消耗大于吸收来达到减肥目的，另通过运动来增加热量的消耗，以加快减肥速度。

通过对两种方式所需时间的比较，选出较优方案。

将所用的Mathematica程序附于文末。

关键词：减肥体重吸收消耗减少增加热量运动问题提出对一个人是否肥胖，联合国世界卫生组织颁布所谓体重指数（简记BMI）。

BMI定义为体重（kg）除以身高（m）的平方。

并规定BMI在[18.5 , 25]为正常，超出25为超重，超出30为肥胖。

现某男子身高1.75m，体重120kg。

其BMI=39，该男子为肥胖。

目前该男子每周吸收的热量为25 000kcal。

该男子现欲进行减肥，使体重达到80kg，他该采取什么样的方法，可以尽快地实现减肥目标？问题分析每个人每天既要吃饭，吸收热量，使体重增加，同时又有新陈代谢，消耗热量，也可能还有比较剧烈的运动消耗热量。

我们的减肥可以通过控制饮食，减少人对热量的吸收，也可以通过运动，增大对热量的消耗达到目的。

模型假设根据人的生理资料，我们可以做以下假定：1．体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kca可增加1kg。

2．正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200~320kcal，因人而异。

3．运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。

4．为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不小于10 000kcal。

变量说明1．记第k周体重为w（k），第k周吸收的热量为c（k）。

2．人每天要吸收热量增加体重，同时又会有代谢使体重减少。

这里热量转换系数a=1/8 000 kg/kcal.3．代谢消耗指数为b，跟人有关。

4．当增加运动hi，可将b修改为b+r，r为跟运动有关的消耗指数5．运动每小时每千克消耗的体重记为u模型建立与求解我们根据是否采取运动减肥分为两种情况。

方案1：控制饮食减肥。

数学建模之减肥计划

一、问题背景随着生活水平的不断提高，肥胖症和减肥问题越来越引起人们的广泛关注。

联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI ）为体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，固定BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。

据悉，我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24,30改为29。

在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。

目前各种减肥食品或药物数不胜数，各种减肥新法也纷纷登场。

可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。

许多医生和专家意见是只有通过控制饮食和运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

模型分析二、模型分析1 体重变化由体内能量守恒破坏引起；2 饮食（吸收热量）引起体重增加；3 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少；4 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标。

三、模型假设1体重增加正比于吸收的热量————每8000千卡增加体重1千克；2 代谢引起的体重减少正比于体重，每天每公斤体重消耗28.75千卡~45.71千卡（因人而异）；3 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4 为了安全与健康，每天体重减少不宜超0.2千克，每天吸收热量不要小于p 千卡(p 因体重而异)。

四、模型建立k ：表示第几天 ω（k ）：表示第k 天的体重 C(k)：表示第k 天吸收的热量α：表示热量转换系数[千卡）千克 /(80001=α] β:表示代谢消耗系数（因人而异）则在不考虑运动的情况下体重变化的基本方程： )()1()()1(k w k c k w k w βα-++=+一、以甲为例：1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。

第一阶段：每天减肥0.1429千克，每天吸收热量逐渐减少，直至达到下限（1429千卡）；第二阶段：每天吸收热量保持下限，减肥达到目标。

数学建模减肥计划

天津农学院系别：园艺系班级：果树班姓名：潘丽红学号：1002044116减肥计划—节食与运动一、了解日常食品的热量1、主食米饭 1160 kcal /1kg 馒头 2330 kcal / 1kg面条 2850 kcal / 1kg 玉米 1060 kcal / 1kg烧饼 3260 kcal / 1kg 油条 3860 kcal / 1kg煎饼 3330 kcal/ 1kg 土豆粉 3370 kcal/ 1kg汉堡 2630 kcal/ 1kg 方便面 4700 kcal / 1kg豆腐脑 100 kcal/ 1kg 粉丝 3550 kcal/ 1kg面包 3120 kcal / 1kg 炸糕 2800 kcal / 1kg年糕 1540 kcal / 1kg 蛋糕 3780 kcal / 1kg小米粥 460 kcal/ 1kg 豆浆 140 kcal/ 1kg麦片粥1220 kcal/1kg 牛奶 570 kcal/1kg酸奶 720 kcal/ 1kg 豆奶 300 kcal/ 1kg黑芝麻糊 5310 kcal/ 1kg 白粥 3400 kcal / 1kg奶粉 5100 kcal/ 1kg 果料酸奶 670 kcal / 1kg2、蔬菜类土豆 808 kcal/ 1kg 茄子 278 kcal/ 1kg西红柿 196 kcal/ 1kg 菠菜 270 kcal/ 1kg豆角 313 kcal/ 1kg 菜花 293 kcal/ 1kg圆白菜 256 kcal/ 1kg 豆芽 180 kcal/ 1kg西葫芦 247 kcal/ 1kg 黄瓜 193 kcal/ 1kg苦瓜 222 kcal/ 1kg 芹菜 299 kcal/ 1kg3、水果类苹果 563 kcal/ 1kg 桃 466 kcal/ 1kg梨 696 kcal/ 1kg 杏 395 kcal/ 1kg香蕉 1542 kcal/ 1kg 橘子 550 kcal/ 1kg葡萄 489 kcal/ 1kg 菠萝 603 kcal/ 1kg樱桃 575 kcal/ 1kg 花生 5620 kcal/ 1kg鲜枣 1040 kcal/ 1kg 柠檬 530 kcal/ 1kg橙子 635 kcal/ 1kg 西瓜子 13325 kcal/ 1kg4、肉类猪肉（肥）8160kcal / 1kg 猪肉（瘦）5938 kcal / 1kg羊肉 2150 kcal / 1kg 牛肉 1060 kcal / 1kg烧鸭 3960 kcal / 1kg 烤鸡 3287 kcal / 1kg羊肉串 2340 kcal / 1kg 扒鸡 3257 kcal / 1kg火腿肠 2120 kcal / 1kg 腊肉 1810 kcal / 1kg鱿鱼干 3193 kcal / 1kg 带鱼 1671 kcal / 1kg桂鱼 1198 kcal / 1kg 鲤鱼 2000 kcal / 1kg鲫鱼 2000 kcal / 1kg 河蟹 2452 kcal / 1kg鲈鱼 1724 kcal / 1kg 河虾 976 kcal / 1kg海虾 1549 kcal / 1kg 牡蛎 730 kcal / 1kg5、蛋类鸡蛋 1600 kcal / 1kg 鸭蛋 2046 kcal / 1kg鹅蛋 2253 kcal / 1kg 松花蛋 2144 kcal / 1kg鹌鹑蛋 1860 kcal / 1kg 鸡蛋黄 3280 kcal / 1kg鸡蛋白 470 kcal / 1kg6、其它食物巧克力 5860 kcal / 1kg 冰激淋 1260 kcal / 1kg橘汁 1190 kcal / 1kg 啤酒 350 kcal / 1kg二、减肥计划—营养配餐方案1、减肥计划的提出某人身高1.7m，体重100kg，BMI达34.6，每周吸收20000kcal的热量，体重长期不变，现在要为他制定一个减肥计划，使其体重减至75kg并维持不变：1）在基本不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

数学建模之减肥问题的数学模型

东北大学秦皇岛分校数学模型课程设计报告减肥问题的数学建模学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117姓名楚文玉指导教师张尚国刘超成绩教师评语：指导教师签字：2016年01月09日摘要肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥.本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.关键字：微分方程模型能量守恒能量转换系数1 问题重述1.1 课题的背景随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω，当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足，这种减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称1ω为减肥的临界指标.另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为10<R R <，当能量的摄取量高于体重0ω时，这是体重不会从0ω减少，所以可以看到单一的措施达不到减肥效果.1.2 具体的问题和相关数据现有五个人，身高、体重和BMI 指数分别如下表1.1所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：表1.1 身高，体重和BMI 指数表题目具体要求如下：（1）在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量如下表1.2所示：表1.2 每小时每kg体重的热量消耗（3）给出达到目标后维持体重的方案.2 模型假设与符号说明2.1 问题分析本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量. 因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标. 因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志. 已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为8000kcal，称D为脂肪的能量转换系数.肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，可以将人体的体重看成是时间t的函数()tω.在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程,所以认定()tω是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的，而不同的活动对能量的消耗是不同的. 所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量. 记r为某一种活动每小时所消耗的能量，记b为1kg体重每小时所消耗的能量.2.2 模型假设1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.2．假设体重随时间的变化()tω是连续而且充分光滑的.3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.4．假设人体每天摄入的能量是一定的.记为A.5．正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为28.75~45.71kcal，且因人而异.6．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异对减肥的影响.7．人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal.8．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.2.3 符号说明D：脂肪的能量转化系数.：人体的体重关于时间t的的函数..()tkcal kg h.r：每千克体重每小时运动所消耗的能量(/)/kcal kg h.b：每千克体重每小时所消耗的能量(/)/A：每天摄入的能量.1W ：五个人理想的体重目标向量.A ：五个人每天分别摄入的能量..W ：五个人减肥前的体重.B ：每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.3 模型建立与求解3.1 一般模型建立如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应=24(/)B b kcal d ，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动h 小时，则每天由于运动所消耗的能量应为=(/)R rh kcal d . 按照假设2，体重随时间的变化()t ω是连续而且充分光滑的，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化.按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差. 我们选取某一段时间(, )t t t +∆，在时间段(, )t t t +∆内考虑能量的改变:设体重改变的能量变化为W ∆,则有=[(+)()]W t t t D ωω∆∆- （3.1）设摄入与消耗的能量之差为M ∆，则有[()()]M A B R t t ω∆=-+∆ （3.2）根据能量平衡原理有M W ∆=∆ （3.3）得：[()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+∆-=-+∆ （3.4）取0t ∆→，可得 0d d (0) a d t ωωωω⎧=-⎪⎨⎪⎩= （3.5）其中/a A D =，()/d B R D =+，0t =（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型模型求解得()(1)dt dt at e e dωω--=+- （3.6） /a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）.3.2 针对实际问题的模型建立1. 由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗B ，因为没有运动，所以有0R =，根据式（3.6）式，得A B W= （3.7）从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由()t ω (五人的理想体重)，W （五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg （脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有001/ln ln /a d D B A t d a d B B Aωωωω--=-=--- （3.8）将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示表3.1 达到理想体重所需天数表Matlab源程序：R = 0;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量W = [100 112 113 114 124 ]; %每人的体重n = length( W );B = A./W %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗a = A./Dd = (B + R)./Dfori = 1:nt(i) = -(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0)); %减肥所需要的时间end2. 为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg 体重消耗的热量表2，再结合假设3，取1h h =，R rh r ==，根据式（4.6）有001/()ln ln /()a d D B R A t d a d B R B R Aωωωω-+-=-=--++- （3.9）将A （五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的r ，得到一组数据，在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：表3.2 不同运动强度下达到理想体重所需天数Matlab源程序：h = 1;r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ];R = h.*r;n1 = length(R);D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重n = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗for j = 1:n1for i = 1:nt = (i,j) = -(D./(B(i) + R(j)) * log((W1(i). * (B(i)+R(j)) - A0)./(W(i).*(B(i) + R(j)) - A0))); %减肥所需要的时间endend3. 要使体重稳定在一个定值，则有*A B Rω=+ （3.10）根据自己的不同理想目标和B （每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗），在不同小时下的能量消耗表：（1）在1h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.3表3.3 1h =的情况下运动所消耗的能量（2）在2h =的情况下运动所消耗的能量，如下表3.4表3.4 2h =的情况下运动所消耗的能量Matlab源程序：h = [12];r = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ];R = h*r;D = 8000; %能量转换系数W1 = [ 75 80 80 85 90 ]; %理想的体重目标A = [ 2857 2543 2734 2689 2776 ]; %每人每天摄入的能量W = [ 100 112 113 114 124 ]; %每人的体重n1 = length(W);B = A./W; %每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗for j = 1:nfor I = 1:n1A1(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(1,j)); %在h=1的时间下运动所消耗的能量A2(i,j) = W1(i).*(B(i)+R(2,j)); %在h=2的时间下运动所消耗的能量endend4 模型的分析与讨论4.1 针对一般减肥模型在式（3.6）中假设0a =，即假设停止进食，无任何能量摄入，于是有0()dt t e ωω-= （4.1）这表明在t 时刻保存的体重占初始体重的百分率由dt e -给出，特别当1t =时，e d -给出了单位时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 时间内体重的消耗率，它表明在(0,)t 内体重减少的百分率，可见这种情况下体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，如此继续下去，由lim 0t t ω→∞=()，即体重（脂肪）将消耗殆尽，可知不进食的节食减肥方法是危险的.a/d 是模型中的一个重要的参数，由于/a A D =表示由于能量的摄入而增加的体重，而()/d B R D =+表示由于能量的消耗而失掉的体重,于是/a d 就表示摄取能量而获得的补充量,综合以上的分析可知, t 时刻的体重由两部分构成, 一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分. 另一部分是摄取能量而获得的补充部分,这一解释从直观上理解也是合理的.由式（3.5）0dtd <ω即/a d ω<,体重从0ω递减, 这是减肥产生效果,另外由式（3.6）可以看到t →∞时*()//()t a d A B R ωω→==+,也就是说式（3.5）的解渐进稳定于*a/d ω=,它给出了减肥过程的最终结果,因此不妨称*ω为减肥效果指标,由*/()A B R ω=+，因为B 是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数，于是就有如下结论：减肥的效果主要是由两个因素控制的，包括由于进食而摄入的能量以及由于运动消耗的能量，从而减肥的两个重要措施就是控制饮食和增加运动量，这恰是人们对减肥的认识.人体体重的变化时有规律可循的，减肥也应科学化，定量化，这个模型虽然只是揭示了饮食和锻炼这两个主要因素与减肥的关系，但它们对人们走出盲区减肥的误区，从事减肥活动有一定的参考价值.4.2 针对具体问题从上几个表可知，普遍观察得出结论，游泳是减肥的最佳方法，无论是在长时间还是短时间内，从结果来看，游泳消耗的能量是最多的，也是达到快速减肥的最佳方法，也可从下图可知，图4.1表示每个人的能量消耗图，都是离散的，并且都是递增的，表明了游泳时能量消耗最快的，选此方法减肥是最合理有效的.Matlab源程序：x = [ 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9 ];y = [ 2667.00 2367.800 2472.800 2330.200 2735.3002376.400 2056.400 2168.400 2016.400 2448.4002495.600 2175.600 2287.600 2135.600 2567.6002600.000 2260.000 2379.000 2217.500 2676.5002644.800 2284.800 2410.800 2239.800 2725.800 ];subplot( 3, 2, 1 );plot( x, y(1,:),' g* ');title(' 第一个人 ');subplot( 3, 2, 2);plot( x, y(2,:),' ro ');title(' 第二个人 ');subplot( 3, 2, 3);plot( x, y(3,:),' g. ');title(' 第三个人 ');subplot( 3, 2, 4);plot( x, y(4,:),' c+ ');title('第四个人');subplot( 3, 2, 5);plot( x ,y(5,:),' go ');title(' 第五个人 ');图4.1 每个人的能量消耗图参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015年.[2]王敏生，王庚. 现代数学建模方法[M]. 北京: 科学出版社, 2008年.[3]罗万成. 大学生数学建模案例精选[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2007年.[4]胡良剑，孙晓君. Matlab数学实验[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006年.。

数学建模减肥模型

有一人体重110kg，身高180cm，制定减肥计划使其BMI降到25以下目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI，定义为BMI=h/L^2其中h是体重（单位是kg），L是身高（单位是m）。

模型分析：在正常情况下，人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化，摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥，反之会使人体重降低，因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析，在适当的假设下建立模型，减肥计划应以不伤害人体健康为目标，所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制，同时增大运动量也是减肥的关键，也应加以考虑，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程来讨论。

模型假设：根据上述分析，参考有关生理数据，做出以下假设：1、体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。

（kcal是非国际单位制单位，1kcal=4.5kJ）；2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重110kg的人每天消耗约3413kcal至5029kcal之间；3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关；4、为了健康考虑，每周吸收热量不能少于10 000kcal，且每周减少量不能超过1 000kcal每周体重减少不能超过1kg；5、假设此人身体健康，没有肠胃方面的毛病；通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考（假设食物重量如表中一样重），如下表基本模型：记第k周（初）体重为w(k)（kg），第k周吸收热量为c(k)（kcal），k=1，2，……。

设热量转换（体重的）系数为α，身体代谢消耗系数为β，根据模型假设，正常情况下（不考虑运动）体重变化的基本方程为α(1)wk(k)1kcwβkw(k-+=⋯⋯)=()(+,2,1),由假设1，α=1/8000kg/kcal，当确定了个人的代谢消耗系数β后，就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。

减肥模型中使用的建模方法

减肥模型中使用的建模方法引言在如今的社会中，减肥已成为人们追求健康生活方式的一项重要任务。

为了提供科学、有效的减肥方案，建立减肥模型是至关重要的。

本文将探讨减肥模型中使用的建模方法，包括统计模型、机器学习模型和深度学习模型。

统计模型统计模型是减肥研究中常用的建模方法之一。

通过对大量的减肥数据进行统计分析，可以找到减肥与各种因素之间的关联关系，从而为制定减肥方案提供科学的依据。

线性回归模型线性回归模型是统计模型中常用的方法之一。

它假设减肥与各种因素之间存在线性关系，通过最小二乘法来求解模型参数，从而得到减肥模型。

线性回归模型在减肥研究中常用于分析身高、体重、年龄、性别等因素与减肥效果的关系。

逻辑回归模型逻辑回归模型是统计模型中常用的分类方法之一。

它假设减肥的结果是一个二元变量（如减肥成功与失败），通过最大似然法来求解模型参数，从而预测减肥的结果。

逻辑回归模型在减肥研究中常用于分析减肥方法对不同人群的影响。

生存分析模型生存分析模型是统计模型中常用的方法之一。

它假设减肥的过程是一个时间变量，通过危险比法来求解模型参数，从而预测减肥的时间。

生存分析模型在减肥研究中常用于评估不同减肥方法的效果和持续时间。

机器学习模型机器学习模型是减肥研究中新兴的建模方法。

通过对大量的减肥数据进行训练，机器学习模型可以自动学习并提取数据中的特征，从而建立准确的减肥模型。

决策树模型决策树模型是机器学习模型中常用的方法之一。

它通过构建一棵决策树来对减肥数据进行分类或回归预测。

决策树模型在减肥研究中常用于分析减肥方法对不同人群的适应性。

支持向量机模型支持向量机模型是机器学习模型中常用的分类方法之一。

它通过寻找一个最优的超平面来将减肥数据进行分类。

支持向量机模型在减肥研究中常用于分析减肥方法对不同人群的分类效果。

随机森林模型随机森林模型是机器学习模型中常用的方法之一。

它通过构建多个决策树并通过投票或平均的方式来预测减肥结果。

随机森林模型在减肥研究中常用于评估不同减肥方法的效果和稳定性。

减肥计划的数学模型

关键字：体重、吸收热量、消耗热量、体重指数
问题重述

我们知道肥胖与热量吸收有直接关系，我们将通过调整饮食和增减运动来降低某同学对热量的吸收，帮他制定减肥计划，看他在一个月内能否减肥成功。
背景与问题的分析

背景分析：1.体重指数BIM=W(kg)/L2 (m2)， 18.5<BIM<25~ 正常； BIM>25~ 超重； BIM>30~肥胖2.通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的情况下，达到减肥目标问题分析：饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型评价

此模型有利于看出减肥的趋势，合理分配生活时间起到了双赢的效果，而且计算较小。但是此模型考虑的因素不会很全面，所以会有一定的误差
现欲减肥至60公斤3为了安全与健康每周体重不宜超过15公斤每周吸收的热量不要小于10000千卡每小时每千克运动消耗的热量模型的建立每周吸收20000千卡w80公斤不变qm10000wk1wkaqk1bartwk模型求解qk1baw1a1bk8000200kqm10000取art0007即rt56bbart0032n12模型检验一个月内无法减肥成功经科学研究一周不要减肥超过15公斤再经模型求解计算出需要22周才能达到减肥目标值也就是说平均每周减肥091公斤这个数值比较符合事实又不会影响身体的健康
模型假设

减肥计划：某同学体重80公斤，身高1.6m，目前每周吸收20000 千卡热量。现欲减肥至60公斤 1）体重增加正比于吸收的热量，每8000千卡增加体重1千克 2）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关 3）为了安全与健康，每周体重不宜超过1.5公斤，每周吸收的热量不要小于10000千卡

减肥模型

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