第九章差错控制编码
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第9章 差错控制编码习题解答
1
解：
(1) 检测e个随机错误,则要求d0 ≥ e +1 (2) 纠t个随机错误,则要求d0 ≥ 2t +1 (2) 纠t个,同时检测e个(e > t)随机错误,则要求d0 ≥ t + e +1 由上述公式得 : (5,1)重复码d0 = 5,故能检4位错,纠2位错, 并同时能纠1位错和检3位错.
x11 + x10 + x9 + x6 + x +1
x11 + x10 + x9 + x7 + x3
x7 + x6 + x3 + x +1
得余多项式为x7 + x6 + x3 + x +1
由于余多项式不为0, 故码字在传输过程中有错, 故需要重发.
9-10 设（7,3）线性分组码的监督矩阵为
⎡1 0 1 1 0 0 0 ⎤
接收码字为T (x) = x14 + x5 + x +1
x8 + x7 + x6 + x4 +1 x14 + x5 + x +1
x6 + x5 + x3
x14 + x13 + x12 + x10 + x6
x13 + x12 + x10 + x6 + x5 + x +1
x13 + x12 + x11 + x9 + x5
H
=
⎢⎢1 ⎢1
1 1
1 0
0 0
1 0
0 1
第9章-差错控制编码
28
9.5 循环码 9.5.1 循环码原理
• 循环码是一种重要的线性分组码,易于实 现,性能较好.
• 循环码除具有线性码的一般性质外,还具 有循环性,即循环码中任一码组循环一位 以后,仍为该码中的一个码组.
• 一长为n的码组可表示成码多项式
T (x) a xn1 a xn2 a x a
n1
（2）改写为：
a6
a2
a 1
a0
=
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1
a5
a4
1 a3
21
或
1 1 1
a 2
a 1
a 0
a 6
a 5
a 4
a 1
3 1
1 0
0 1
0 1 1
a6 a5 a4 a3 Q
Q PT k r阶 G IkQ 生成矩阵
a 6
a 5
a 4
a 3
11
1P 0
01
0 1 1
1 0 0
0
1Ir
0
0
a 4
0
a 3
a 2
1
a 1
=
0 0
20
a 0
简记为 HAT 0T 或 AH T 0
• H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督 位和信息位的关系就完全确定了。
P为r × k 阶 Ir为 r × r 阶单位方阵
具有[ P Ir ]形式的H矩阵称为典型阵。
nk
nk 1
0
在循环码中，除全0码外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度 最多只能k-1位。因此g（x）必须是一个 常数项不为“0”的n-k次多项式
32
9.5 循环码 9.5.1 循环码原理
• 循环码是一种重要的线性分组码,易于实 现,性能较好.
• 循环码除具有线性码的一般性质外,还具 有循环性,即循环码中任一码组循环一位 以后,仍为该码中的一个码组.
• 一长为n的码组可表示成码多项式
T (x) a xn1 a xn2 a x a
n1
（2）改写为：
a6
a2
a 1
a0
=
1 1 1
1 1 0
1 0 1
0 1
a5
a4
1 a3
21
或
1 1 1
a 2
a 1
a 0
a 6
a 5
a 4
a 1
3 1
1 0
0 1
0 1 1
a6 a5 a4 a3 Q
Q PT k r阶 G IkQ 生成矩阵
a 6
a 5
a 4
a 3
11
1P 0
01
0 1 1
1 0 0
0
1Ir
0
0
a 4
0
a 3
a 2
1
a 1
=
0 0
20
a 0
简记为 HAT 0T 或 AH T 0
• H称为监督矩阵，H确定，则编码时监督 位和信息位的关系就完全确定了。
P为r × k 阶 Ir为 r × r 阶单位方阵
具有[ P Ir ]形式的H矩阵称为典型阵。
nk
nk 1
0
在循环码中，除全0码外，再没有连续k 位均为“0”的码组，即连“0”的长度 最多只能k-1位。因此g（x）必须是一个 常数项不为“0”的n-k次多项式
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第九章 差错控制编码(循环码)
整数的模运算
多项式的模运算（长除法）
多项式的模运算示例
循环多项式的模运算
定理
【例】
循环码的生成多项式g(x)
定义
【例】
g(x)的特性
g(x)的特性
【例1】
【例2】
g(x)的特性
【例1】每一个码多项式，都是
系统循环码的生成
系统循环码的生成示例
检错
纠错
循环码的检错能力
作业
【P263】9－5（9－8） 生成多项式、生成矩阵、典型生成矩阵、 监督多项式、监督矩阵、典型监督矩阵、 系统码字（由生成多项式、生成矩阵得到）
（2）监督矩阵H和n位系统码相乘，生成r位监督码，因此是r×n阶。
循环码的监督矩阵示例
循环码的典型监督矩阵
对于系统循环码而言，其监督矩阵必然是典型形式。即
若已知典型生成矩阵
则典型监督矩阵
【注】 可以通过矩阵的初等变换，把非典型形式的生成矩阵 和监督矩阵，变换成典型形式。变换时注意是模2运算。
循环码的检错和纠错
循环码的生成矩阵
【定理】
生成矩阵
循环码的典型生成矩阵
【例】P249 例9－1
由生成矩阵得到许用码字
【注】 由典型生成矩阵得到的许用码字，才是系统循环码。
【例】P249 例9－1 （7，4）循环码，许用码字共有16组。
【示例】
【例】
循环码的监督多项式
【例】
循环码的监督矩阵
【助记法】
（1）生成矩阵G和k位信息码相乘，生成n位系统码，因此是k×n阶。
第九章 差错控制编码 ——循环码
主讲人：穆 帅 中南大学信息科学与工程学院
Central South University College of Information Science and Engineering
多项式的模运算（长除法）
多项式的模运算示例
循环多项式的模运算
定理
【例】
循环码的生成多项式g(x)
定义
【例】
g(x)的特性
g(x)的特性
【例1】
【例2】
g(x)的特性
【例1】每一个码多项式，都是
系统循环码的生成
系统循环码的生成示例
检错
纠错
循环码的检错能力
作业
【P263】9－5（9－8） 生成多项式、生成矩阵、典型生成矩阵、 监督多项式、监督矩阵、典型监督矩阵、 系统码字（由生成多项式、生成矩阵得到）
（2）监督矩阵H和n位系统码相乘，生成r位监督码，因此是r×n阶。
循环码的监督矩阵示例
循环码的典型监督矩阵
对于系统循环码而言，其监督矩阵必然是典型形式。即
若已知典型生成矩阵
则典型监督矩阵
【注】 可以通过矩阵的初等变换，把非典型形式的生成矩阵 和监督矩阵，变换成典型形式。变换时注意是模2运算。
循环码的检错和纠错
循环码的生成矩阵
【定理】
生成矩阵
循环码的典型生成矩阵
【例】P249 例9－1
由生成矩阵得到许用码字
【注】 由典型生成矩阵得到的许用码字，才是系统循环码。
【例】P249 例9－1 （7，4）循环码，许用码字共有16组。
【示例】
【例】
循环码的监督多项式
【例】
循环码的监督矩阵
【助记法】
（1）生成矩阵G和k位信息码相乘，生成n位系统码，因此是k×n阶。
第九章 差错控制编码 ——循环码
主讲人：穆 帅 中南大学信息科学与工程学院
Central South University College of Information Science and Engineering
信息基础与编码理论-第九章..
若 (000) 、(111) 传输后有两个以上错误 , 则接收端 无法将 (011) 、(101) 、(110)正确地译码 ；
若传输后(000)错成(111)或(111)错成(000) ,则接收端 无法检测其错误 。
结论: 最小码距为3时，能检测2个随机错误 , 能纠正 1个随机错误。
推 小结：以上使用的编码方式为——重复码 。
重量的最小值称为码 C 的最小Hamming重量 , 或码C最小
重量记为Wmin 。
Wmin minW (Ci )
推论 设Ci ,Cj 为二元分组码C的任意两个码字 , 则
W(Ci + ) = d (Ci , Cj )。
证明：Ci ,Cj 的对应码元相同时,则Ci + Cj 对应的码元为0；
差错控制机制分类：反馈纠错，前向纠错，及所派生出的 混合纠错。
a）反馈纠错 发信端采用某种能发现一定程度传输差错的简单编码
方法对所传信息加入少量监督码元进行编码，在接收端则 根据编码规则对收到的编码信号进行检查，当检测出错码 时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到 询问信号时，立即重发已发生传输差错的那部分信息，直 到正确收到为止。
在收信端，根据信息码元与监督码元的特定关系，实 现检错或纠错，输出原信息码元，完成这个任务的过程称 误码控制译码(或解码)。
注：无论检错和纠错，都有一定的误差范围。
9.2 纠错编码的基本概念及其本质
（1）差错控制码的分类 a）按照误码控制的不同功能 检错码：仅具备识别错码功能 而无纠正错码功能。 纠错码：不仅具备识别错码功能，同时具备纠正错码 功能。 纠删码：不仅具备识别错码和纠正错码的功能，而且 当错码超过纠正范围时可把无法纠错的信息删除。 b）按照误码产生的原因不同 纠正随机错误的码：主要用于产生独立的局部误码的 信道。 纠正突发性错误的码：主要用于产生大面积的连续误 码的情况，如磁带数码记录中磁粉脱落而发生的信息丢
若传输后(000)错成(111)或(111)错成(000) ,则接收端 无法检测其错误 。
结论: 最小码距为3时，能检测2个随机错误 , 能纠正 1个随机错误。
推 小结：以上使用的编码方式为——重复码 。
重量的最小值称为码 C 的最小Hamming重量 , 或码C最小
重量记为Wmin 。
Wmin minW (Ci )
推论 设Ci ,Cj 为二元分组码C的任意两个码字 , 则
W(Ci + ) = d (Ci , Cj )。
证明：Ci ,Cj 的对应码元相同时,则Ci + Cj 对应的码元为0；
差错控制机制分类：反馈纠错，前向纠错，及所派生出的 混合纠错。
a）反馈纠错 发信端采用某种能发现一定程度传输差错的简单编码
方法对所传信息加入少量监督码元进行编码，在接收端则 根据编码规则对收到的编码信号进行检查，当检测出错码 时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到 询问信号时，立即重发已发生传输差错的那部分信息，直 到正确收到为止。
在收信端，根据信息码元与监督码元的特定关系，实 现检错或纠错，输出原信息码元，完成这个任务的过程称 误码控制译码(或解码)。
注：无论检错和纠错，都有一定的误差范围。
9.2 纠错编码的基本概念及其本质
（1）差错控制码的分类 a）按照误码控制的不同功能 检错码：仅具备识别错码功能 而无纠正错码功能。 纠错码：不仅具备识别错码功能，同时具备纠正错码 功能。 纠删码：不仅具备识别错码和纠正错码的功能，而且 当错码超过纠正范围时可把无法纠错的信息删除。 b）按照误码产生的原因不同 纠正随机错误的码：主要用于产生独立的局部误码的 信道。 纠正突发性错误的码：主要用于产生大面积的连续误 码的情况，如磁带数码记录中磁粉脱落而发生的信息丢
第九章 差错控制编码PPT课件
数字信号在传输过程中，加性噪声、码间串扰等都会产生 误码。为了提高系统的抗干扰性能，可以加大发射功率，降低 接收设备本身的噪声，以及合理选择调制、解调方法等。此外， 还可以采用信道编码技术。
2005-2-15
通信工程教研室
2
9.1.2 差错控制方式
前向纠 错
发端
FEC
东北大学秦皇岛分校
纠错码
收端
检错重 发
2005-2-15
通信工程教研室
11
东北大学秦皇岛分校
码的最小距离d0直接关系着码的检错和纠错能力；任 一(n,k)分组码，若要在码字内:
(1) 检测e个随机错误，则要求码的最小距离d0≥e+1; (2) 纠正t个随机错误， 则要求码的最小距离d0≥2t+1; (3) 纠正t个同时检测e(>t)个随机错误，则要求码的最小 距离d0≥t+e+1。
东北大学秦皇岛分校
第九章 差错控制编码
9.1 概述 9.2 常用的几种简单分组码 9.3 线性分组码 9.4 循环码 9.5 卷积码 *9.6 网格编码调制
2005-2-15
1
第九章 差错控制编码
东北大学秦皇岛分校
9.1 概 述
9.1.1 信道编码
在数字通信中，根据不同的目的，编码可分为信源编码和 信道编码。信源编码是为了提高数字信号的有效性以及为了使 模拟信号数字化而采取的编码。信道编码是为了降低误码率， 提高数字通信的可靠性而采取的编码。
2005-2-15
通信工程教研室
10
东北大学秦皇岛分校
2.
若分组码码字中的监督元在信息元之后，而且是信息元的 简单重复， 则称该分组码为重复码。它是一种简单实用的检错 码， 并有一定的纠错能力。例如(2,1)重复码，两个许用码组是 00 与 11，d0=2，收端译码，出现 01、10 禁用码组时，可以发 现传输中的一位错误。如果是(3,1)重复码，两个许用码组是 000 与111, d0=3; 当收端出现两个或三个 1 时，判为 1，否则判 为 0。此时，可以纠正单个错误，或者该码可以检出两个错误。
第九章 差错控制编码.
数字通信原理
2018年8月4日星期六
（7，3）循环码示例
数字通信原理
2018年8月4日星期六
循环码的特点
封闭性:
码中任意两许用码组之和(逐位 模2和)仍为一许用码组。 码组集合中的最小码距，等于该码组中非 零码的最小码重。 循环性：码组中任一许用码字经循环移位 后得到的码字，仍为该码组中的一个码字。
数字通信原理
2018年8月4日星期六
循环码的生成矩阵
【定理】
生成矩阵
【例】P248 所有码多项式必定是g(x)的倍式。
数字通信原理 2018年8月4日星期六
生成矩阵G(X)说明
数字通信原理
2018年8月4日星期六
循环码的典型生成矩阵
数字通信原理
2018年8月4日星期六
由生成矩阵得到许用码字
【注】由典型生成矩阵得到的许用码字，才是系统循环码。 【例】P249 例9－1 （7，4）循环码，许用码字共有16组。
数字通信原理
2018年8月4日星期六
水平奇偶校验码
数字通信原理
2018年8月4日星期六
水平垂直奇偶校验码
数字通信原理
2018年8月4日星期六
群计数码
数字通信原理
2018年8月4日星期六
等比码（等重码、恒比码）
数字通信原理
2018年8月4日星期六
正反码
数字通信原理
2018年8月4日星期六
§4 线性分组码
3 3
发现错误
1
2
发端在Tw时间内送出一个码组，收端收到后检查 如果未发现错误，则发回一个认可信号（ACK）给发送端， 发送端收到ACK信号再发下一个码组 若检测到错误，则发回一个否认信号（NAK），发送端收到 NAK信号后重发前一码组，并再次等候ACK信号或NAK信号 发送两个码组之间有停顿时间Ti，影响了传输效率
第9章-差错控制编码
突发错误
接收方检验是否满足LRC
交织编码： 针对突发性错误 n位的LRC可以检测一个n位突发错误。
2019/10/17
通信原理
11
第9章 差错控制编码
9.3.3 水平垂直奇偶校验（二维） 信 息码元
0 1 011011 00 0 1 01010 010 0 0 110000 11 1 1 0001110 0 0 0 1111111 1 0 0 0100111 1 1 1 101100 00
111001 100 信息位 监督位
功能：发现所有奇数个错误，以及一些偶数个错误，除“0” 变“1”，和“1”变“0”成对出现。
2019/10/17
通信原理
13
第9章 差错控制编码
9.3.5 等重码（恒比码）
等重码是从特定码长的码组中，选取固定个数的“1”作为码组 的许用码组，这种码de码重相同，或“1”与“0”之比保持恒定。
正子S1、 S2，于是： S1 S2
0 0 －－无错
2019/10/17
0 1
1 0可指示一个错码可能出现的22 -1=3个位置
1 1
通信原理
15
第9章 差错控制编码
推广： 一个督元 对应一个监督方程 对应一个校正子:S1 r个督元 对应 r个监督方程 对应 r个校正子:S1、S2、…、Sr
例：
采用1位二进制码 采用2位二进制码
采用3位二进制码
许用码组 禁用码组 许用码组 禁用码组
A0 B1
00
01
11
10
000 001 010 100 111 101 110 011
可以用来检测一位错误 可纠正一位错误或检测两位错误
2019/10/17
九差错控制编码PPT课件
分组码：每组信息码附加若干监督码的编 码集合。在分组码中，监督码元仅监督本 码组中的信息码元。用(n，k)表示 。
an-1
an-2
…
ar ar-1
…
a0
k
r
n
码重：码组中非零码元的数目。
码距：两码组中对应码位上具有不同二进制码
元的位数。
2019年6月21日
5
最小码距的有关结论：
在一个码组内检测e个误码，要求最小码距 dmin e 1
k 2r 1 r 1 r 1 r
n 2r 1
2r 1
n
2019年6月21日
16
三、监督矩阵
分组码的监督方程
aa66
码。其中的监督位数目=信息位数目。监
督码元与信息码元相同或者相反，由信息
码中“1”的个数而定。
2019年6月21日
10
（1）当信息位中有奇数个“1”时，监督码为正码。 （2）当信息位中有偶数个“1”时，监督码为反码。
接收端译码方法：
（1）信息位+监督位=合成码组（产生校验码组）。
（2）接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合成 码组=校验码组；接收码组的信息位中有偶数个 “1”，则合成码组的反码=校验码组；
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3
a0 a6 a4 a3
给定信息位，可直接按上式计算出监督位（P289表9-
5）。根据监督位可判断错码情况。如：收到码组为0000011；
因为s1s2s3=011，故a3位有错码。
（7，4）汉明码的最小码距d0=3，所以能纠正一位错码 或检测两个错码。汉明码是一种高效码。
在一个码组内纠正t个误码，要求最小码距 dmin 2t 1
an-1
an-2
…
ar ar-1
…
a0
k
r
n
码重：码组中非零码元的数目。
码距：两码组中对应码位上具有不同二进制码
元的位数。
2019年6月21日
5
最小码距的有关结论：
在一个码组内检测e个误码，要求最小码距 dmin e 1
k 2r 1 r 1 r 1 r
n 2r 1
2r 1
n
2019年6月21日
16
三、监督矩阵
分组码的监督方程
aa66
码。其中的监督位数目=信息位数目。监
督码元与信息码元相同或者相反，由信息
码中“1”的个数而定。
2019年6月21日
10
（1）当信息位中有奇数个“1”时，监督码为正码。 （2）当信息位中有偶数个“1”时，监督码为反码。
接收端译码方法：
（1）信息位+监督位=合成码组（产生校验码组）。
（2）接收码组的信息位中有奇数个“1”，则合成 码组=校验码组；接收码组的信息位中有偶数个 “1”，则合成码组的反码=校验码组；
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3
a0 a6 a4 a3
给定信息位，可直接按上式计算出监督位（P289表9-
5）。根据监督位可判断错码情况。如：收到码组为0000011；
因为s1s2s3=011，故a3位有错码。
（7，4）汉明码的最小码距d0=3，所以能纠正一位错码 或检测两个错码。汉明码是一种高效码。
在一个码组内纠正t个误码，要求最小码距 dmin 2t 1
第九章差错控制技术
第九章 差错控制编码
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 基本概念 纠错编码原理 线性分组码 循环码 卷积码
本章教学基Leabharlann 要求掌握： 1.差错控制编码的基本概念 2.纠错编码原理 3.线性分组码的G、H矩阵 理解：卷积码
9.1 基本概念
数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编 码与信道编码二大类。 信源编码：提高数字信号的有效性，如，PCM编码， △M编码，图象数据压缩编码等。 信道编码：提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠 错编码。 从差错控制角度看，信道分三类：（信道编码技 术） ① 随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是 随机的，错码间统计独立。 ② 突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。 ③ 混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码， 那一种都不能忽略不计的信道。
下式：
（9-11）
式中,Q为一K×r阶矩阵，它为P的转置
（9-12） 上式表明，信息位[a6a5a4a3]给定后，用信息位的 行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。 将Q的左边加上一k×k阶单位方阵就构成一新的矩阵G:
（9-13）
G称为生成矩阵，可以由此产生整个码组，即
所以如果给出码的生成矩阵，则编码方法就完全确 定了。具有[IkQ] 形式的生成矩阵称为典型生成矩阵， 得到的码组 信息位不变，监督位附加其后，这种码称 为系统码。 线性码具有封闭性，因此线性码的最小距离即是码 的最小重量（除全“0”外）。
9.3 线性分组码
1.基本概念 分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干 监督码的编码称为分组码，用符号(n,k) 表示，k是信 息码的位数，n是编码组总位数，又称为码长，r=n-k 为监督位数。 代数码：建立在代数学基础上的编码称为代数码。 线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程 构成的。线性码是一种代数码。 线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码 由一些线性代数方程联系着的编码称为线性分组码。 编码效率：指码组中的信息码元个数与码组长度的比 值。
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 基本概念 纠错编码原理 线性分组码 循环码 卷积码
本章教学基Leabharlann 要求掌握： 1.差错控制编码的基本概念 2.纠错编码原理 3.线性分组码的G、H矩阵 理解：卷积码
9.1 基本概念
数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编 码与信道编码二大类。 信源编码：提高数字信号的有效性，如，PCM编码， △M编码，图象数据压缩编码等。 信道编码：提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠 错编码。 从差错控制角度看，信道分三类：（信道编码技 术） ① 随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是 随机的，错码间统计独立。 ② 突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。 ③ 混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码， 那一种都不能忽略不计的信道。
下式：
（9-11）
式中,Q为一K×r阶矩阵，它为P的转置
（9-12） 上式表明，信息位[a6a5a4a3]给定后，用信息位的 行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。 将Q的左边加上一k×k阶单位方阵就构成一新的矩阵G:
（9-13）
G称为生成矩阵，可以由此产生整个码组，即
所以如果给出码的生成矩阵，则编码方法就完全确 定了。具有[IkQ] 形式的生成矩阵称为典型生成矩阵， 得到的码组 信息位不变，监督位附加其后，这种码称 为系统码。 线性码具有封闭性，因此线性码的最小距离即是码 的最小重量（除全“0”外）。
9.3 线性分组码
1.基本概念 分组码：先将信息码分组，然后给每组信码附加若干 监督码的编码称为分组码，用符号(n,k) 表示，k是信 息码的位数，n是编码组总位数，又称为码长，r=n-k 为监督位数。 代数码：建立在代数学基础上的编码称为代数码。 线性码：线性码中信息位和监督位是按一组线性方程 构成的。线性码是一种代数码。 线性分组码：信息码分组后，附加的监督码和信息码 由一些线性代数方程联系着的编码称为线性分组码。 编码效率：指码组中的信息码元个数与码组长度的比 值。
第九章-差错控制编码-(1)要点
R=k/n 其中, k是信息元的个数，n为码长。
对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具 体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并 且易于实现。
25
线性分组码的基本概念
f : GF (2) GF (2)3
信息位 码字
0 000
f1 : GF (2)2 GF (2)5
33
若把监督方程补充为下列方程
34
可改写为矩阵形式
35
1000111
G
IrQ
0100110 0010101
称为生成矩阵
0001011
111
Q
110
PT
101
011
36
线性分组码的基本概念
例题3：
下面是一个（6，3）线性二元码的全部码字
x16 000000 x26 100011 x36 010101 x46 001111
10 10111 11 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
27
线性分组码的基本概念
f1 : GF (2)2 GF (2)5
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
优点：不需要反馈信道；能进行一个用户对多个用 户的同时通信，特别适合于移动通信；译码实时性 较好，控制电路也比较简单。
缺点：译码设备较复杂；编码效率较低。
6
检错重发方式
ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发 出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后， 判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测 结果告诉发端。发端把收端认为有错的消息再次传送， 直到收端认为正确接收为止。
对纠错码的基本要求是: 检错和纠错能力尽量强； 编码效率尽量高；编码规律尽量简单。实际中要根据具 体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并 且易于实现。
25
线性分组码的基本概念
f : GF (2) GF (2)3
信息位 码字
0 000
f1 : GF (2)2 GF (2)5
33
若把监督方程补充为下列方程
34
可改写为矩阵形式
35
1000111
G
IrQ
0100110 0010101
称为生成矩阵
0001011
111
Q
110
PT
101
011
36
线性分组码的基本概念
例题3：
下面是一个（6，3）线性二元码的全部码字
x16 000000 x26 100011 x36 010101 x46 001111
10 10111 11 11010
信息位k=2 码字数M=4
可见，码字的三个校验元都由其前两位线 性组合得到，即可由的线性方程组求得；
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线性分组码的基本概念
f1 : GF (2)2 GF (2)5
信息位 码字
00 00000
1(01) 1(10) 11
01 01101 10 10111
f (11) 11010
优点：不需要反馈信道；能进行一个用户对多个用 户的同时通信，特别适合于移动通信；译码实时性 较好，控制电路也比较简单。
缺点：译码设备较复杂；编码效率较低。
6
检错重发方式
ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发 出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后， 判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测 结果告诉发端。发端把收端认为有错的消息再次传送， 直到收端认为正确接收为止。
第九章 差错控制编码_sxq
ASK
FSK
PSK
DPSK
信 道 噪 声
解 调
解 密
译 码
信 宿
同步系统
A/D
信源编码 信道编码
数据压缩 差错控制
3
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
在通信过程中，会受到各种外来干扰，如脉冲干扰，随 机噪声干扰，人为干扰及通信线路传输性能的限制都将使信 号失真。由于以上原因，引起数据信息序列产生错误，称之 为差错。
10-1 10-2 10-3 Pe 10-4 10-5 10-6
D
编码后
C
信噪比 (dB)
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组 32
传输速率和Eb/n0的关系 对于给定的传输系统式 10-1 中，RB为码元速率。 -2 10 若希望提高传输速率， 由上式看出势必使信噪 -3 10 比下降，误码率增大。 假设系统原来工作在图 Pe 中C点，提高速率后由C 10-4 点升到E点。但加用纠 错编码后，仍可将误码 10-5 率降到D点。这时付出 的代价仍是带宽增大。 10-6
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
25
4、对纠错编码的要求
纠、检错能力强，编码效率高，码长短， 编码规律简单。
copyright 信息科学与技术学院通信原理教研组
26
5. 差错控制编码的效用
假设在随机信道中，发送“0”和“1”的错 误概率相等，都等于p，且p＜＜1，在码长为n 的码组中，发生r个错误的概率为：
20
3、分组码
对被传输的信息序列分组，每组为k个信息元，对 每组按某种关系附加(n-k) 个监督码元 (校验)，形成 为n位的码字。这种方法构成的码组称为分组码。
第9章 差错控制编码
2020/4/4
通信原理 7
第9章 差错控制编码
（5）按照纠正错误的类型不同，可以将 它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。
随着数字通信系统的发展，可以将信道 编码器和调制器统一起来综合设计，这就是 所谓的网格编码调制。
9.1.4 纠错编码的基本原理
1、分组码
表示为（n，k）, n表示码组的长度； k 信息的长度；r = n-k表示监督位长度。
1 0 1 1 0 0 1
0
上式可以记作：HAT=0T或AHT=0 ，其中
2020/4/4
通信原理 19
第9章 差错控制编码
0 0 0 0
A a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0
1 1 1 0 1 0 0
H 1 1 0 1 0 1 0 P Ir
1 0 1 1 0 0 1
也可以用矩阵形式来表示：
特点：循环码中任一许用码组经过循 环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。
描述：许用循环码A=(an-1 an-2 … a1 a0)， 可以将它的码多项式表示为：
2020/4/4
A x
a xn1 n 1
a xn2 n2
a1x a0
通信原理 23
第9章 差错控制编码
若一个整数m可以表示为:
m Q p p n Q是整数
2020/4/4
通信原理 10
第9章 差错控制编码
Ae
B
A t 1t B
At 1 e
B
d0
d0
d0
(a)
(b)
(c)
编码效率Rc可以用下式表示：
Rc k n n r n 1 r n
2020/4/4
通信原理 11
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(2) 二维奇偶校验码
11 0 0 1 1
对称出现 1 1 /0 1 0 /1 1 0
4个错码 1 0 0 1 1 1
也检不出 1 1 /0 0 0 /1 1 1
来
10 0 0 0 1
11 1 1 0 0
行监督位，
1 1 0 0 1 1 0
列监督位，
0 1 0 0 0 1 0
一般来说，若码长n，信息位数k，则监督位 rnk,汉明码n
与r满足：
n2r 1
现以（n，k）=（7，4），r=3为例的汉明码来说明如何具体构 造这些监督关系式。
设码字（n，k）= a6a5a4a0
a6 ~a3 信息位
s1,s2,s3 ～校正子
s1 a 6 a 5 a 4 a 2
s2 a 6 a 5 a 3 a 1
第九章差错控制编码.
9.1引 言
• 一、信源编码与信道编码
数字通信中，根据不同的目的，编码分为 信源编码与信道编码二大类。 • 信源编码：提高数字信号的有效性，如， PCM编码，编码，图象数据压缩编码等。 • 信道编码：提高传输的可靠性，又称抗干扰编 码，纠错编码 。
从差错控制角度看：信道分三类：（信 道编码技术）
信息位段有奇数个1：1100111001 （监督位与
信息位重复）
信息位 监督位
信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是
信息位反码）
信息位 监督位
9.4 线性分组码
• 一：基本概念
可用线性方程组（代数关系）表述 码的规律性的分组码称为线性分组码 。
在代数码中，常见的是线性码，即 编码中的信息位和监督位是由一些线性 代数方程联系着，或者说可用线性代数 方程表述编码的规律性。
无错
在发端编码时，信息位 a3,a4,a5,a6 的值是随机的，监 督位a2,a1,a0 应根据信息位按监督关系来确定，即监督位
应使上面的 s1,s2,s3 监督式为零。
即要求： a 6 a 5 a 4 a 2 0
a 6 a 5 a 3 a 1 0
a6 a4 a3 a00
或写成监督码元在左边的形式：
s3 a 6 a 4 a 3 a 0
只要（s1或s2，或s3）为“1”，就表示
s1,s有2,s错3 的值与错码位置的对应关系 如下表
s1, s2, s3
001 010 100 011
错码位置 a0 a1 a2 a3
s1,s2,s3
101 110 111 000
s1,s2,s3 全为零，表示无错。
错码位置 a4 a5 a6
a2a6 a5 a4 a1a6 a5 a3 a0a6 a4 a3 信息位a6,a5,a4,a3 一旦确定后，可直接按上式计算 出监督位。 （见樊书P289 图9-5）
接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶监督关 系式，s1,s2,s3 再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。
如果 s1,s2,s3不全零，可判出在哪一位出错。
纠错码
检错误 判决信号
信息信号
信息信号Biblioteka 收 收 收9.2 纠错编码的基本原理
• 一：分组码，码重，码距 （樊书P282 表9-1）
将码组分段：分成信息位段和监督位段， 称为分组码，记为（n, k） • n~编码组的总位数，简称码长（码组的长度） • k ~ 每组二进制信息码元数目（信息位段） • n-k=r ~ 监督码元数目，（监督位段）（见樊 书P282，图9-2）
最小值称为最小码距（d0 ）。
– – –
检 纠 纠测 正 正ett个 个个错 错错同,，时检dd00测 2eet个11错
• 码长n发生r个错的概率
d0et1,et
p n (r) C n rp e r(1 p e)n r r!(n n !r)!p e r(1 p e)n r
p e 1 0 3 ,p 7 ( 1 ) 7 .* 1 0 3 ,p 7 ( 2 ) 2 .* 1 0 5
a2 a6 a5 a4 a1 a6 a5 a3 a0 a6 a4 a3
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
查 樊 书 表 9-4 ， 判错哪一位并纠 正之
二：线性分组码的一种 —— 汉明码
• 构造原理 先回顾偶校验码 在接收端实际上计算监督关系式：
s a n 1 a n 2 a 0
s0 ~ 无错
s 1 ~ 有错
s~ 称校正子
两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合： 0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。 若用1种组合表示无错,其余3种组合就可以用来表示一位错码 的3种不同位置。 同理，r个监督式能指示一位错码的 2r 1 个可能位置。
• 在分组码中，有“1”的数目称为码组的重 量，简称码重。
例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。
• 把两个码组对应位不同的数目称为这两个 码组的距离，简称码距，又称Hamming （汉明）的距离。
例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0 0 1 1）的距 离为3。
• 而码组集合中，全体码组之间的距离的
• 随机信道：由加性白噪声引起的误码，错 码是随机的，错码间统计独立。
• 突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引 起。
• 混合信道：既存在随机错误，又存在突发 错码，那一种都不能忽略不计的信道。
二：差错控制的工作方式
• 检错重发
检错重发 发
• 前向纠错，不要
前向纠错 发
反向信道
反馈校验法 发
• 反馈校验法，双 向信道
(3) 恒比码
例如，我国电传机传输阿拉伯数字时， 用5位代码表示，其中恒有3个“1”，称 为 “5中取3” 恒比码。
阿拉伯数字
保护电码
阿拉伯数字
保护电码
1
01011
6
10101
2
11001
7
11100
3
10110
8
01110
4
11010
9
10011
5
00111
0
01101
(4) 正反码
• 正反码的信息位段长与监督位段长相同， 如正反码组：
• 纠1，2个错误码率也下降几个数量级
9.3常用的简单编码
• 纠错码的分类 ： • (1) 奇偶校验码“1”的数目应为偶或奇数） • (2) 二维奇偶校验码 • (3) 恒比码 • (4) 正反码
(1) 奇偶校验码
a n 1 a n 2 a 0 0
11 0 0 1
1
信息位
偶校 验位
1 1 0 0 1 1 0