第4章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法

Ω快/速Ωc减>1小时。， ( Ω/Ωc)2N 》1, Ω增加， A(Ω2)
Ω，=Ω相c当, 于A3(dB2 )衰 12减点，。 H j
1 2
,幅度衰减
来自百度文库
振幅平方函数的极点：
Ha(S)• Ha(S) 1 (
1 S
)2N
jc
令分母为零，得
1
SP (1) 2N ( jc )
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 ai 和 bi
通过不断地迭代运算，改变
满足要求为止。
a、i bi ，直到
4.2 常用模拟低通滤波器特性
模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟 系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。 因果系统中
Ha ( j)
0
ha
(t
)e

jt
(1 ci z1)
H(Z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi zi
(1 di z1)
i 1
i 1
一般M N
分类: 按结构：
递归系统 非递归系统 按功能分： 高通(HP) 低通(LP) 带通(BP) 带阻(BS)
按实现方法： IIR(infinite impulse response) FIR(finite impulse response)
课程：数字信号处理(A)
Mar., 2019
大连科技学院 陈晓静
第4章 无限长单位脉冲响应（IIR） 滤波器设计
4.1 滤波器的基本原理 4.2 模拟滤波器设计方法 4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 4.4 从模拟滤波器低通原型到各种 数字滤波器的频率变换
4.5 从低通数字滤波器到各种数字 滤波器的频率变换
特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特 性 A(2 ) 单调↘。
其幅度平方函数：
A(2 ) H a ( j) 2
1
2N
1
j jc

N为滤波器阶数
巴特沃思滤波器 振幅平方函数
图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带 越陡。
Ω/Ωc<1时, ( Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则
，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 | H (e j ) |
（与所要求的理想频率响应 | H d (e j ) | 的均方误 差最小，
M
2
H (e ji ) Hd (e ji )
min
i1
此外还有其他多种误差最小准则，
At 20lg
1 H e j
20lg 1
2
max
20lg 2
最小阻带衰耗
设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换
成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟
模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来 方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为 设计数字滤波器的工具。
dt
式中ha(t)为系统的冲激响应，是实函数。
∴
Ha ( j)
0
ha
(t
)cos
t

j sin tdt
不难看出
H
a
(
j)

H
a
(
j)
定义振幅平方函数
A(2 )
Ha ( j) 2

H
a
(
j)H
a
(
j)
A(2 ) Ha ( j)Ha ( j) H a(s)Ha (s) s j (1)
2S
1
如果要还原的话，则有
1 Ha (s) (s / c )3 2(s / c )2 2(s / c ) 1
补充：确定除数N及Ωc
1. 确定N(已知通带边频Ω1、通带波动δ、 阻带边频Ωr、阻带最小衰耗At)
A 10lg
1
H j 2

10
lg

1


x 1时, VN (x) 1 x 1, x ,VN (x)
切比雪夫滤波器的振幅平方特性
4.2.3 椭圆滤波器（考尔滤波器）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定
的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更 窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。
其振幅平方函数为
为了保证Ha(s)的稳定性，应选用A(-S2)在S 左半平面的极点作为Ha(s)的极点，零点可选用 任一半。
例2 设已知
A 2

2 2 1 4
，求对应的
Ha s
解：
A s2
A 2
2 s2 2s2 1 s4
Ha sHa s
的虚1）轴H应（映z射）到的Z频平响面要的能单模位仿圆Ha(es)j的上频。响，即S平面
2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变 ，即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单 位圆以内|Z|<1。
4.3.1 脉冲响应不变法
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数
字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
N
N

H (z)
AiesinT z n
Ai (esiT z 1)n
n0 i1
i1 n0
1 (esiT z 1)k 1 esiT z 1 k 必有
(esiT z1)k k 0,
H (z)
1 1
N

1
lg
100.1At 1 100.1 1
2
lg
r 1

2. 确定Ωc

1 c
2N
100.1
1
2N

r c

100.1At 1
c
1
1
100.1 1 2N
c
r
1
100.1At 1 2N
c
2N



10lg
1
H j1 2

10
lg

1


1 c
2

N



1


1 c
2N
100.1
At 10lg
1
H jr 2

10
lg

1


r c

2
N

1


1 1-δ1
δ2
0
ωc
ωr
通带
过渡带
阻带
ω
π
图 低通数字滤波器的幅频特性
1
1
A 10lg H e j 2 20lg H e j
c时
20lg 1 H e j

1 20 lg
1 1

20 lg 1 1
m in
通带波动
r 时
H a (s)
N i 1
Ai s si
其拉氏反变换为：
N
ha (t) Aiesitu(t),
u (t )
i 1
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
N
N
h(n) ha(nT ) AiesinT u(n) Ai (esiT )n u(n)
i 1
i 1
振幅平方函数为
A(2 )

H a ( j) 2

1
1


2VN2
(
c
)
c —有效通带截止频率 —与通带波纹有关的参量， 大 ，波纹大。
0 < <1 VN（x）—N阶切比雪夫多项式，定义为
VN
(
x)

cos(N cos1 x)
cosh(N
cos
h1
x)
x 1 x 1
左半部分的极点（SP1，SP2，SP3）组成的，它们分别为：
j 2
j 2
Sp1 ce 3 , Sp2 c , Sp3 ce 3
系统函数为：
Ha
(s)

(S

S p1)(S
3c S
p2
)(S

S p3 )
令 c 1，得归一化的三阶BF：
Ha (s)

S3

1 2S 2
器的冲激响应ha(t)的采样值，即
h(n)=ha(nT),
T为采样周期。
如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即
Ha(s)=L[ha(t)] , H(z)=Z[h(n)]
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟
滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式；
4.1 滤波器的基本原理
许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预 测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理 中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理 的重要基础。
数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数 字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字 序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和 计算机软件。
一般，相同指标下，椭圆滤波器阶次最 低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的 灵敏度则恰恰相反。
以上讨论了由A（Ω2 ）→Ha (s),下面讨 论由Ha(s)→H(Z)的变换设计法。
4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的 模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H （z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换， 这种映射变换应遵循两个基本原则：
SP
1
(e j2k1 ) 2N
j
(e 2 c )
j 2k 1
e 2N 2 c
1 k 2N
Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极 点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
三阶A(-S2)的极点分布
考虑到系统的稳定性，知AF的系统函数是由S平面
j Ims
1 j
1 j
2
2
2
O
2 Res
1 j
1 j
2
2
H s
s 2
s 1 j s 1 j

2 2
s 2 s2 2s 1
三种模拟低通滤波器的设计： 4.2.1 巴特沃思(Butterworth)滤波器 (巴特沃兹逼近)
数字滤波器——线性时不变系统。
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。
确定系数 ai 、 bi 或零极点 ci 、 d，i 以使滤波器
满足给定的性能要求——第四章、五章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包
式中 Ha(s)—模拟滤波器 系统函数 Ha(jΩ)—滤波器的频率响应 |Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应
又 S=jΩ，Ω2=-S2
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
问题：由A(-S2)→Ha(S)
对 于 给 定 的 A(-S2) ， 先 在 S 复 平 面 上 标 出 A(-S2)的极点和零点，由(1)式知，A(-S2)的极点 和零点总是“成对出现”，且对称于S平面的 实轴和虚轴，选用A(-S2)的对称极、零点的任 一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到Ha(s)。
N i 1
Ai 1 esiT z 1
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
Hˆ a (s)
A(2 )

H a ( j) 2
1
1 2RN2 (, L)
RN（Ω，L）—雅可比椭圆函数 L—表示波纹性质的参量
下图为典型的椭圆滤波器振幅平方函数
Ωr
Ωr
椭圆滤波器的振幅平方函数 图中ε和A的定义 同切比雪夫滤波器
上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波 器的特性和设计方法，设计时按照指标要求 ，合理选用。
若已知衰减为3dB的频率点，此频率点即为Ωc
4.2.2 切比雪夫（chebyshev）滤波器 (切比雪夫多项 式逼近)
特点：误差值在规定的频段上等幅变化。
。 切比雪夫滤波器的 H ( j) 2 在通带范围内是等幅 起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤 波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动 范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。
i 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第六 章)。
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
N
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
2)系统函数
M
M
ai z i
r c
2N
100.1At

1 c
2 N
100.1
1

r c
2 N
100.1At
1

r 1
2 N

100.1At 100.1
1 1
2N
lg
r 1


lg
100.1At 100.1