第4章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
数字信号处理滤波器设计
逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求 的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性 尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后
脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器
的脉冲响应在采样点上完全一样。即： hn ha nT
单位脉冲响应不变法的设计思想：使 数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。
H a s L1 ha t 采样 ha nT hn Z变换 Hz
2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应
E
H e jwi H d e jwi
2 最小
i 1
第二步：进行迭代运算，确定最优系数
N
ai z i
H z
i0 N
1 bi z i
i 1
DF的传递函数
通过改变 Hz的系数 ai、 bi，分别计算均方误差E ， 经过多次迭代运算，寻找一组系数 ai、 bi，使得均方误差
利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果， 在S平面设计出符合要求的模拟滤波
器的传递函数H a s ，再通过一定的
映射关系，得到数字滤波器的传递
函数 Hz 。
二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法
在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器， 模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示 模特性。
即要求
② 是因果稳定的映射
指 H a s 的因果稳定性通过映射后， Hz 仍应保持因果
稳定。
§4.2 脉冲响应不变法
实验四IIR数字滤波器的设计(1)(2)课案
实验四 IIR 数字滤波器的设计及网络结构一、实验目的1．了解IIR 数字滤波器的网络结构。
2.掌握模拟滤波器、IIR 数字滤波器的设计原理和步骤。
3．学习编写数字滤波器的设计程序的方法。
二、实验内容数字滤波器：是数字信号处理技术的重要内容。
它的主要功能是对数字信号进行处理，保留数字信号中的有用成分，去除信号中的无用成分。
1．数字滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。
（1）按处理的信号划分：模拟滤波器、数字滤波器 （2）按频域特性划分；低通、高通、带通、带阻。
（3）按时域特性划分：FIR 、IIR2．IIR 数字滤波器的传递函数及特点数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。
它的输入和输出均为离散的数字信号，借助数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输入信号的波形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。
如果加上A/D 、D/A 转换，则可以用于处理模拟信号。
设IIR 滤波器的输入序列为x(n)，则IIR 滤波器的输入序列x(n)与输出序列y(n)之间的关系可以用下面的方程式表示：1()()()M Ni j i j y n b x n i a y n j ===-+-∑∑（5-1）其中，j a 和i b 是滤波器的系数，其中j a 中至少有一个非零。
与之相对应的差分方程为：10111....()()()1....MM NN b b z b z Y z H Z X z a z a z ----++==++ （5-2）由传递函数可以发现无限长单位冲激响应滤波器有如下特点： （1） 单位冲激响应h(n)是无限长的。
（2） 系统传递函数H(z)在有限z 平面上有极点存在。
（3） 结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的。
3．IIR 滤波器的结构IIR 滤波器包括直接型、级联型和并联型三种结构：① 直接型：优点是简单、直观。
但由于系数bm 、a k 与零、极点对应关系不明显，一个bm 或a k 的改变会影响H(z)所有零点或极点的分布，所以一方面，bm 、a k 对滤波器性能的控制关系不直接，调整困难；另一方面，零、极点分布对系数变化的灵敏度高，对有限字长效应敏感，易引起不稳定现象和较大误差。
无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计方法MATLAB
有源模拟带通滤波器的设计 (10)数字信号处理实验指导实验四、 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法（一） 实验目的加深对无限冲激响应（ IIR ）数字滤波器的常用指标和设计过程的理解。
（二） 实验内容常用函数介绍：1、Matlab 信号处理工具箱中提供了设计巴特沃思模拟滤波器的函数buttord 、buttap 和butter ，格式如下：（1）[,](,,,,C P S P S N W buttord W W R R s ='')用于计算巴特沃思模拟低通滤波器的阶N 和3dB 截止频率Wc (即本书中的符号c Ω)。
其中，Wp 和Ws 分别是滤波器的通带截止频率p Ω和阻止截止频率s Ω，单位为rad/s ；Rp 和Rs 分别是通带最大衰减系数p α和阻带最小衰减系数s α，单位为dB 。
（2）[,,]()z p G buttap N =用于计算N 阶巴特沃思归一化（c Ω=1）模拟低通滤波器系统函数的零、极点和增益因子，返回长度为N 的向量z 和p 分别给出N 个零点和极点，G 是滤波器增益。
得到的滤波器系统函数形式如下：1212()()()()()()()()()a N a a N Q s s z s z s z H s G P s s p s p s p ---==--- 其中，k z 和k p 分别是向量z 和p 的第k 个元素。
如果要从零、极点得到系统函数的分子和分母多项式系数向量B 和A ，可以调用结构转换函数（3）[,]2(,,)B A zp tf z p G =，结构转换后系统函数的形式为111111()()()M M M a N N Nb s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++其中，M 是向量B 的长度，N 是向量A 的长度，k k b a 和分别是向量B 和A 的第k 个元素。
（3）[,](,,,)C B A butter N W ftype s =''''用于计算巴特沃思模拟滤波器系统函数中分子和分母多项式系数向量B 和A ，其中N 和C W 分别是滤波器的阶和3dB 截止频率c Ω，返回向量B 和A 中的元素k a 和k b 分别是上面的()a H s 表示式中的分母和分子系数。
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
由第1章1.3节已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位 脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为
y (n ) = x (n ) ∗ h(n ) =
n = −∞
∑ h(m) x(n − m)
∞
将上式两边经过傅里叶变换，可得
但极点决不会落在虚轴上这样滤波器才有可能是稳s的2n个极点中只取s左半平面的n个极点为h511第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法33这里分子系数为512一般模拟低通滤波器的设计指标由参数给出因此对于巴特沃思滤波器情况下设计的实质就是为了求得由这些参数所决定的滤波器阶次n和截止频率lg10513第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法lg10514由式513和式514解出n和10lg10515a一般来说上面求出的n不会是一个整数要求n是一个整数且满足指标要求就必须选lg10515b第5章无限长单位脉冲响应iir数字滤波器的设计方法35这里运算符x的意思是选大于等于x的最小整数例如455
虽然给出了通带的容限δ1及阻带的容限δ2，但是，在具体技 术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹）Ap 和阻带应达 到的最小衰减As描述，Ap及As的定义分别为：
| H (e j 0 ) | jω Ap = 20 lg = −20 lg | H (e p ) |= −20 lg(1 − δ 1 ) （5-3a） jω | H (e p ) | | H (e j 0 ) | Ap = 20 lg = −20 lg | H (e jω s ) |= −20 lg δ 2 | H ( e jω s ) |
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器
第一章纲要本设计采纳脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器，所以在依据脉冲响应不变法设计出来的IIR数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频次特征；数字滤波器的单位脉冲响应完整模拟模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特征迫近好，但简单产生频谱混叠现象，只合适低通和带通滤波器的设计，不合适高通和带阻滤波器的设计。
重点词：数字滤波器；脉冲响应不变法；频次混叠第二章前言数字滤波器能够知足滤波器对幅度和相位特征的严格要求，精准度高，有高度的可编程性，灵巧性好，而且它没有电压飘移、温度漂移及噪声等问题，基本不受环境影响，稳固性好等。
正是因为数字滤波器的以上长处，使得数字滤波器宽泛应用于语音办理、图像办理、模式辨别、频谱剖析、医学仪器等领域。
第三章设计原理3.1 数字滤波器数字滤波器是一种用来过滤时间隔散信号的数字系统，经过对抽样数据进行数学办理来达到频域滤波的目的。
能够设计系统的频次响应，让它知足必定的要求，进而对经过该系统的信号的某些特定的频次成分进行过滤，这就是滤波器的基来源理。
假如系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。
假如系统是一个失散系统，则滤波器称为数字滤波器。
数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算办理。
输入数字信号（数字序列）经过特定的运算转变成输出的数字序列，所以，数字滤波器实质上是一个达成特定运算的数字计算过程，也能够理解为是一台计算机。
描绘失散系统输出与输入关系的卷积和差分方程不过给数字信号滤波器供给运算规则，使其依据这个规则达成对输入数据的处理。
时域失散系统的频域特征:此中Ye j、Xe j分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特征（或称为频谱特征）,He j是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。
输入序列的频谱Xe j经过滤波后Xe j He j,所以，只需依据输入信号频谱的特色和办理信号的目的，适入选择He j，使得滤波后的Xe j He j知足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
无限长单位脉冲响应IIR滤波器的设计
无限长单位脉冲响应IIR 滤波器的设计一．设计目的1．掌握数字滤波器的设计过程；2．了解IIR 的原理和特性；3．熟悉设计IIR 数字滤波器的原理和方法；4．学习IIR 滤波器的DSP 实现原理；5．学习使用CCS 的波形观察窗口观察输入/输出信号波形和频谱变化情况。
二．设计内容1．通过MATLAB 来设计一个低通滤波器，对它进行模拟仿真确定IIR 滤波器系数。
2．用DSP 汇编语言及C 语言进行编程，实现IIR 运算，对产生的合成信号，滤除信号中高频成分，观察滤波前后的波形变化。
三．设计原理IIR 滤波器与FIR 滤波器相比具有相位特性差的特点，但它的结构简单，运算量小，具有经济高效的特点，并且可以用较少的阶数获得很高的选择性，因此也得到了广泛的应用。
IIR 数字滤波器系统的传递函数为：H(z)= NN N N z a z a z b z b b z X z Y ----+⋯⋯+++⋯⋯++=111101)()( 它具有N 个极点和N 个零点，如果任何一个极点在单位圆外，则系统不稳定。
如果系数a j （j=1，… ，N ）全部为0，则滤波器变成非递归的FIR滤波器，系统总是稳定的。
对于IIR滤波器，有系数量化敏感的缺点。
由于系统对序列施加的算法是由加法、乘法和延时的基本运算的组合，所以可以用不同结构的数字滤波器来实现而不影响系统总的传输函数。
四．MATLAB设计IIR滤波器的方法我们所用滤波器设计方法为巴特沃夫Butterworth滤波器设计和切比雪夫Chebyshev滤波器设计。
MATLAB的butter函数可以设计低通、带通、高通和带阻数字滤波器，其特征可以使通带内的幅度响应最大限度的平坦，但会损失截止频率处的下降斜度，使幅度响应衰减较慢，因此butter函数主要用于设计通带平坦的数字滤波器。
如果期望幅度响应下降斜度大，衰减快，可以使用Elliptic(椭圆)或Chebyshev(切比雪夫)滤波器。
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真一、概述在现代数字信号处理领域中，数字滤波器扮演着至关重要的角色。
其通过对输入信号的特定频率成分进行增强或抑制，实现对信号的有效处理。
无限脉冲响应（IIR）数字滤波器因其设计灵活、实现简单且性能优良等特点，得到了广泛的应用。
本文旨在基于MATLAB平台，对IIR数字滤波器的设计与仿真进行深入研究，以期为相关领域的研究与应用提供有益的参考。
IIR数字滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这使得其在处理信号时能够展现出优秀的性能。
与有限脉冲响应（FIR）滤波器相比，IIR滤波器在实现相同性能时所需的阶数更低，从而减少了计算复杂度和存储空间。
在需要对信号进行高效处理的场合，IIR滤波器具有显著的优势。
MATLAB作为一款功能强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱，使得数字滤波器的设计与仿真变得简单而高效。
通过MATLAB，我们可以方便地实现IIR滤波器的设计、分析和优化，从而满足不同应用场景的需求。
本文将首先介绍IIR数字滤波器的基本原理和特性，然后详细阐述基于MATLAB的IIR数字滤波器的设计方法和步骤。
接着，我们将通过仿真实验验证所设计滤波器的性能，并对其结果进行分析和讨论。
本文将总结IIR数字滤波器设计与仿真的关键技术和注意事项，为相关领域的研究人员和工程师提供有益的参考和启示。
1. IIR数字滤波器概述IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是数字信号处理中常用的一类滤波器，它基于差分方程实现信号的滤波处理。
与FIR （Finite Impulse Response）滤波器不同，IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这意味着其输出不仅与当前和过去的输入信号有关，还与过去的输出信号有关。
这种特性使得IIR滤波器在实现相同的滤波效果时，通常具有更低的计算复杂度，从而提高了处理效率。
IIR滤波器的设计灵活多样，可以根据不同的需求实现低通、高通、带通和带阻等多种滤波功能。
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法
2. 最优化设计法
第一步要选择一种最优准则，然后在此准则下 ， 确定系 统函数的系数。
例如，选择最小均方误差准则,最大误差最小准则等。它
是指在一组离散的频率｛ωi｝(i=1, 2, …, M)上，所设计 出的实际频率响应幅度|H(ejω)|与所要求的理想频率响
的特点 掌握从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器
的频率变换。 掌握从数字滤波器到各种数字滤波器的频率变
换
引言
1、数字滤波器的定义 用有限精度算法实现的时域离散的线性时不
变系统，用于完成对信号的滤波处理 。
低频系 列滤波
器
说明：
1）许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、 预测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信 号处理中使用得最广泛的一种线性系统，是数 字信号处理的重要基础。
1. 借助模拟filter的设计方法
1）首先，设计一个合适的模拟滤波器；然后，变换成满足 预定指标的数字滤波器。这种方法很方便，因为模拟滤波 器已经具有很多简单而又现成的设计公式，并且设计参数 已经表格化了，设计起来既方便又准确。
2）将DF的技术指标转换成AF的技术指标；
3）按转换后技术指标、设计模拟低通filter的 系统函数 Ha (s) ； 将 Ha (s) H (z)
滤波器。
模拟滤波器的理想幅频特性
LPAF
H ( j)
c HPAF
c
BPAF
c
H ( j)
H ( j) c
BSAF
c
c
H ( j)
c2 c1 c1 c2
数字滤波器的理想幅频特性
《IIR滤波器设计》PPT课件
数字滤波器的设计
IIR滤波器设计主要内容包括： 巴特沃思、切比雪夫模拟低通滤波器设计； 脉冲响应不变法和双线性变换法的数字化变 换方法； 数字高通、带通和带阻滤波器的设计。 而FIR滤波器是直接采用的数字式设计方法。 针对FIR滤波器特征，首先介绍了其线性相 位的实现条件，然后介绍了窗函数法和频率 抽样法的设计方法。
IIR滤波器及FIR滤波器的系统函数
有限冲激响应滤波器的传输函数为
H z hnz n
n 1 N 1
无限冲激响应滤波器的传输函数为
r b z r M
H z
1 ak z k
k 1
r 0 N
a k不全为零
4.数字滤波器的性能要求
一个理想滤波器，要求所在通频带内幅频响 应是一常数；相位频率相应为零或是频率的 线性函数。但一个实际的滤波器要是不可能 得到上述幅频和相频响应。以低通滤波器为 例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范 围。
x(n)
？
数字信 号处理
y(n)
IIR系统与FIR系统
从系统函数的构造来区分
0 H ( z ) mN m b z m k a z k k 0 M
1 ak z k
k 1
m0 N
m b z m
M
1.
2.
IIR系统：至少有一个极点。包括全极点系统（分 子只有常数项）和零极点系统（分子不止常数 项）；有反馈环路，采用递归型结构。 FIR系统：收敛域内无极点，是全零点系统。无反 馈环路，多采用非递归结构。
p / 10
Nmin应取向上取整。
2)如技术指标未给出 c ，则可由下式计算：
c p (10
或
第4章无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法详解
2
H j
1 2
,幅度衰减
振幅平方函数的极点：
1 H a ( S ) H a ( S ) S 2N 1 ( ) j c
令分母为零，得
S P (1)
1 2N
( jc )
2 k 1 j 2 N 2
SP (e
j 2 k 1
r 100.1 At 1 2 N lg lg 100.1 1 1
100.1 At 1 lg 1 100.1 1 N 2 r lg 1
2. 确定Ωc
1 c
2N
10
2N
0.1
H j
H j
c O c
c O c
模拟低通滤波器AF LP
H j
模拟高通滤波器AF HP
H j
1 2 O 2
1
1 2 O 2
1
模拟带通滤波器AF BP
模拟带阻滤波器AF BS
H e j
H e j
4.1 滤波器的基本原理
滤波：滤除信号中不需要的分量，保留有用的分量。
离散系统的数字模型： yn bi yn i ai xn i
i 1 i 0 N M
离散系统的系统函数：
H z
i a z i i 0
M
1 bi z i
i 1
N
)
1 2N
(e 2 c ) e
j
c 1 k 2N
Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极 点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
IIR滤波器设计解读
H (e
j
)
1 T
k
H
a
j
2k
T
(1-2)
❖ 这就是说，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器
频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，
只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限
于折叠频率以内时，即
Ha ( j) 0
| | s
T2
(1-3)
❖才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现 模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，即
2 e e j1T / 2
j1T / 2
j T e j1T / 2 e j1T / 2
❖ 将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s， jΩ1=s1，则得
s 2 T
es1T / 2 es1T / 2
es1T / 2 es1T / 2
2 T
tanh s1T 2
双线性变换法优缺点
❖双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点 是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平 面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对 应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。 这个关系如式（1-8）所示，重写如下：
2 tan
T 2 ❖ 上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关
无限冲击响应滤波器 IIR 设计
❖ IIR数字滤波器在很多领域中都有着广阔的应用。 与FIR数字滤波器相比，IIR数字滤波器可以用 较低的阶数获得较高的选择性，而且所用存储单 元少。经济效率高。
❖ 但相位非线性，且选择性越好，相位非线性越严 重。
❖ IIR滤波器的设计方法有：脉冲响应不变法，双 线性变换法、MATLAB求系数法。
【2019年整理】CH3无限长单位脉冲响应滤波器IIR的设计方法
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设计数字滤波器的步骤：
• 一般包括以下三步： • (1)按照任务的要求，确定滤波器的性能 指标任务包括：
°需要滤除哪些频率分量 °保留哪些频率分量 °保留的部分允许有多大的幅度或相位失真
• •
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(2)用一个因果稳定的离散线性时不变系 统的系统函数去逼近这一性能要求 系统函数可以分为IIR和FIR两类系统
• 该方法只适用于带限的AF。
• 高通和带阻滤波器不宜采用脉冲响 应不变法
否则要加保护滤波器，滤掉高于折叠 频率以上的分量。
阻带衰减越大，则混叠效应越小
• 带通和低通滤波器，需充分地带限
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例1 将已知传递函数的模拟滤波器数字化
图3.3 脉冲响应不变法的幅频特性
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3.1.2 双线性变换法 P105
M
一般M N
Slide 7
系统的组成
•一般，M≤N,这类系统称为N阶系统
•当 M ＞ N 时， H(z) 可看成是一个 N 阶 IIR 子系统与一个 (M-N) 阶的 FIR 子系 统的级联。
X(n)
IIR
(N阶)
FIR
(M-N阶)
y(n)
Slide 8
数字低通滤波器频率响应幅度特性的容限图
H (e j )
1＋ 1 1 1－ 1 通带 过渡带 阻带
2
o
1 1 | H (e j ) | 1 1
| H (e j ) | 2
Slide 9
|ω|≤ωc ωr≤|ω|≤π
IIR滤波器的逼近问题
• 寻找滤波器的各系数 ai 和 bi，使其逼 近一个所要求的特性。 • 通常有以下两种方法：
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数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。
确定系数 ai 、 bi 或零极点 ci 、 d，i 以使滤波器
满足给定的性能要求——第四章、五章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 ai 和 bi
通过不断地迭代运算，改变
满足要求为止。
a、i bi ，直到
4.2 常用模拟低通滤波器特性
模拟滤波器的设计就是根据一组设计规范设计模拟 系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想滤波器特性。 因果系统中
Ha ( j)
0
ha
(t
)e
jt
1 1-δ1
δ2
0
ωc
ωr
通带
过渡带
阻带
ω
π
图 低通数字滤波器的幅频特性
1
1
A 10lg H e j 2 20lg H e j
c时
20lg 1 H e j
1 20 lg
1 1
20 lg 1 1
m in
通带波动
r 时
(1 ci z1)
H(Z)
i0 N
A
i 1 N
1 bi zi
(1 di z1)
i 1
i 1
一般M N
分类: 按结构：
递归系统 非递归系统 按功能分： 高通(HP) 低通(LP) 带通(BP) 带阻(BS)
按实现方法： IIR(infinite impulse response) FIR(finite impulse response)
j Ims
1 j
1 j
2
2
2
O
2 Res
1 j
1 j
2
2
H s
s 2
s 1 j s 1 j
2 2
s 2 s2 2s 1
三种模拟低通滤波器的设计： 4.2.1 巴特沃思(Butterworth)滤波器 (巴特沃兹逼近)
若已知衰减为3dB的频率点，此频率点即为Ωc
4.2.2 切比雪夫（chebyshev）滤波器 (切比雪夫多项 式逼近)
特点：误差值在规定的频段上等幅变化。
。 切比雪夫滤波器的 H ( j) 2 在通带范围内是等幅 起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤 波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量（波动 范围）提出要求，如要求波动范围小于1db。
i 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第六 章)。
数字滤波器的数学描述： 1)差分方程
N
N
y(n) ai x(n i) bi y(n i)
i0
i 1
2)系统函数
M
M
ai z i
的虚1）轴H应（映z射）到的Z频平响面要的能单模位仿圆Ha(es)j的上频。响，即S平面
2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变 ，即S平面的左半平面 Re{S}＜0 应映射到Z平面的单 位圆以内|Z|<1。
4.3.1 脉冲响应不变法
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数
字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)正好等于模拟滤波
课程：数字信号处理(A)
Mar., 2019
大连科技学院 陈晓静
第4章 无限长单位脉冲响应（IIR） 滤波器设计
4.1 滤波器的基本原理 4.2 模拟滤波器设计方法 4.3 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 4.4 从模拟滤波器低通原型到各种 数字滤波器的频率变换
4.5 从低通数字滤波器到各种数字 滤波器的频率变换
At 20lg
1 H e j
20lg 1
2
max
20lg 2
最小阻带衰耗
设计方法： 1）先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换
成满足预定指标的数字滤波器。 由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟
模拟滤波器有简单而严格的设计公式，设计起来 方便、准确、可将这些理论推广到数字域，作为 设计数字滤波器的工具。
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则
，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 | H (e j ) |
（与所要求的理想频率响应 | H d (e j ) | 的均方误 差最小，
M
2
H (e ji ) Hd (e ji )
min
i1
此外还有其他多种误差最小准则，
1 1
N
1
lg
100.1At 1 100.1 1
2
lg
r 1
2. 确定Ωc
1 c
2N
100.1
1
2N
r c
100.1At 1
c
1
1
100.1 1 2N
c
r
1
100.1At 1 2N
H a (s)
N i 1
Ai s si
其拉氏反变换为：
N
ha t )
i 1
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
N
N
h(n) ha(nT ) AiesinT u(n) Ai (esiT )n u(n)
i 1
i 1
4.1 滤波器的基本原理
许多信息处理过程，如信号的过滤，检测、预 测等都要用到滤波器，数字滤波器是数字信号处理 中使用得最广泛的一种线性系统，是数字信号处理 的重要基础。
数字滤波器的功能（本质）是将一组输入的数 字序列通过一定的运算后转变为另一组输出的数字 序列。实现方法主要有两种：数字信号处理硬件和 计算机软件。
器的冲激响应ha(t)的采样值，即
h(n)=ha(nT),
T为采样周期。
如以 Ha(s) 及 H（z）分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n) 的 Z 变换，即
Ha(s)=L[ha(t)] , H(z)=Z[h(n)]
计算 H(Z) : 脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数，模拟
滤波器的系统函数若只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶 数 N＞M，则可表达为部分分式形式；
x 1时, VN (x) 1 x 1, x ,VN (x)
切比雪夫滤波器的振幅平方特性
4.2.3 椭圆滤波器（考尔滤波器）
特点：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的，对于给定
的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更 窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。
其振幅平方函数为
Ω快/速Ωc减>1小时。， ( Ω/Ωc)2N 》1, Ω增加， A(Ω2)
Ω，=Ω相c当, 于A3(dB2 )衰 12减点，。 H j
1 2
,幅度衰减
振幅平方函数的极点：
Ha(S)• Ha(S) 1 (
1 S
)2N
jc
令分母为零，得
1
SP (1) 2N ( jc )
2S
1
如果要还原的话，则有
1 Ha (s) (s / c )3 2(s / c )2 2(s / c ) 1
补充：确定除数N及Ωc
1. 确定N(已知通带边频Ω1、通带波动δ、 阻带边频Ωr、阻带最小衰耗At)
A 10lg
1
H j 2
10
lg
1
N i 1
Ai 1 esiT z 1
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
Hˆ a (s)
特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f↗，幅频特 性 A(2 ) 单调↘。
其幅度平方函数：
A(2 ) H a ( j) 2
1
2N
1
j jc
N为滤波器阶数
巴特沃思滤波器 振幅平方函数
图1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带 越陡。
Ω/Ωc<1时, ( Ω/Ωc)2N《1，A(Ω2)→1。
A(2 )
H a ( j) 2
1
1 2RN2 (, L)
RN（Ω，L）—雅可比椭圆函数 L—表示波纹性质的参量
下图为典型的椭圆滤波器振幅平方函数
Ωr
Ωr
椭圆滤波器的振幅平方函数 图中ε和A的定义 同切比雪夫滤波器
上面讨论了三种最常用的模拟低通滤波 器的特性和设计方法，设计时按照指标要求 ，合理选用。
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
N
N
H (z)
AiesinT z n
Ai (esiT z 1)n
n0 i1
i1 n0
1 (esiT z 1)k 1 esiT z 1 k 必有
(esiT z1)k k 0,
H (z)
SP
1
(e j2k1 ) 2N
j
(e 2 c )
j 2k 1
e 2N 2 c
1 k 2N
Butterworth滤波器 的振幅平方函数有2N个极 点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
三阶A(-S2)的极点分布
考虑到系统的稳定性，知AF的系统函数是由S平面
式中 Ha(s)—模拟滤波器 系统函数 Ha(jΩ)—滤波器的频率响应 |Ha(jΩ)|—滤波器的幅频响应
又 S=jΩ，Ω2=-S2