可线性化的回归分析(作业)
第7章 回归分析与相关分析(3)-可线性化的非线性回归
第二篇回归分析与相关分析第7章可线性化的非线性回归线性模型在现实中其实是较少出现的，大量的规律都表现为非线性模型。
线性模型的价值与其说在于处理线性问题，毋宁说在于处理线性化的非线性模型，或者说近似拟合相互作用不太强烈非线性系统。
在实际工作中，我们会遇到许多简单而又实用的非线性模型，这些模型都可以通过某种数学变换转换为线性关系，从而利用最小二乘技术进行回归运算。
比较常见的有指数模型、对数模型、幂指数模型、双曲线模型、抛物线模型、正态分布模型，等等。
下面逐一举例说明。
§7.1 线性与非线性非线性是相对于线性关系而言的。
当变量数目一定的时候，线性关系只有一种，而非线性关系各式各样，千变万化。
传统的科学理论主要是基于线性理论建立起来的，非线性科学的兴起历史并不长久。
虽然非线性理论年龄尚幼，但简单的非线性关系的应用却历史悠久。
首先需要区别函数y=f(x)对自变量x的依赖关系。
对于一个变量而言，线性形式为=,bxy+a这是只有一个自变量的一次多项式表达，式中a、b为参数，表现为常数形式。
如果多项式出现大于1的幂次，就是非线性函数。
最简单的非线性函数之一是抛物线，这是一种二次多项式=2,cy++axbx式中a、b、c为参数。
一般函数为f=,yμ(x),式中μ为参量集。
我们可以从如下方面理解线性关系和非线性关系的区别。
第一，线性是简单的比例关系，而非线性则是对简单比例关系的偏离。
有位学者打了一个通俗的比方，线性就是水涨船高，多多益善；非线性就是过犹不及，物极必反。
以三次曲线为例，该曲线是对线性关系的局部偏离，科学上称之为“微扰”或者“摄动”。
第二，线性关系表明各个变量之间互不相干，独立贡献，非线性关系则意味着相互作用。
线性关系暗示各个变量可以相互叠加，对于非线性而言，暗示整体不等于部分之和。
因此，线性回归要求各个自变量彼此独立，因为最小二乘技术主要是基于线性思想发展的一种参数求解方法。
第三，线性关系意味着信号的频率成分不变，而非线性关系则暗示频率结构发生变化。
回归分析(5)
而知。 为此，研究者选用二元二次多项 式回归模型 2 y 0 1 x1 2 x2 11 x1
2 22 x2
12 x1 x2
并检验交互效应和风险反感度的二次 效应。
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序号
x1
x2
y
1
2 3 4
66.29
40.964 72.996 45.01
7
5 10 6
196
63 252 84
5
6
57.204
26.852 38.122 35.84
4
5 4 6
126
14 49 49
数 据 表
7 8
9
10 11 12
75.796
37.408 54.376 46.186
9
5 2 7
266
49 105 98
13
14 15 16
第10章 非线性回归
线性回归的理论较为成熟，应用 也较为广泛。但当被解释变量与解释 变量之间呈某种曲线关系时，就必须 用非线性回归。 本章首先介绍可线性化的非线性 回归，然后介绍多项式回归，最后简 要介绍了一般的非线性回归模型。
2016/5/10 2
§1 可线性化的非线性回归
1. 线性化的含义及途径 因为线性回归的“线性”是针对 参数而言，而不是针对自变量而言， 所以有些非线性回归模型可以通过变 量代换转化为线性回归模型。 例如， bx y 0 1e (b已知)
首先做三元线性回归，结果如下:
2016/5/10 37
线性回归
2016/5/10
38
显然，回归效果极差。 可将所有项选入，然后选择逐步 回归法，结果如下：
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
线性回归方程(人教A版)(含答案)
线性回归方程（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.人的年龄与人体脂肪的百分数的回归方程为：，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A.一定是B.在附近的可能性比较大C.无任何参考数据D.以上解释均无道理答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析2.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析3.已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析4.对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得到它们的回归直线方程为，则的值为( )A.1B.1.5C.2D.2.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析5.某单位为了解办公楼用电量与气温之间的关系，随机统计了四个用电量与当地平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性归回方程，当气温为时，预测用电量为( )A.68度B.52度C.12度D.28度答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析6.根据如下样本数据：得到回归方程，则( )A.，B.，C.，D.，答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析7.某样本数据如下表所示：假设根据表中数据所得线性回归直线方程为，某同学根据表中的两组数据和求得的直线方程为，根据散点图的分布情况，判断以下结论正确的是( )A.，B.，C.，D.，答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析8.实验测得四组的值分别为，，，，则与间的线性回归方程是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：可线性化的回归分析。
线性回归分析练习题
§1 回归分析1．1 回归分析1．2 相关系数一、基础过关1．下列变量之间的关系是函数关系的是 ( ) A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩施用肥料量和粮食产量2．在以下四个散点图中，其中适用于作线性回归的散点图为 ( )A．①② B．①③ C．②③ D．③④3．下列变量中，属于负相关的是 ( ) A．收入增加，储蓄额增加B．产量增加，生产费用增加C．收入增加，支出增加D．价格下降，消费增加4．已知对一组观察值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，＝61.75，＝38.14，则线性回归方程为 ( )A．y＝0.51x＋6.65 B．y＝6.65x＋0.51C．y＝0.51x＋42.30 D．y＝42.30x＋0.515．对于回归分析，下列说法错误的是 ( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全相关D．样本相关系数r∈(－1,1)6．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的回归方程必过 ( )x1234y1357A.点(2,3) B．点(1.5,4)C．点(2.5,4) D．点(2.5,5)7．若线性回归方程中的回归系数b＝0，则相关系数r＝________.二、能力提升8．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：尿汞含量x246810消光系数y64138205285360若y与x具有线性相关关系，则线性回归方程是____________________．9．若施化肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的线性回归方程为y＝250＋4x，当施化肥量为50 kg时，预计小麦产量为________ kg.10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：零件的个2345数x/个加工的时2.534 4.5间y/小时若加工时间y与零件个数x之间有较好的相关关系．(1)求加工时间与零件个数的线性回归方程；(2)试预报加工10个零件需要的时间．11．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：12345价格x 1.4 1.6 1.82 2.2需求量y1210753已知x i y i＝62，x＝16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的线性回归方程；(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．12．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：次3033353739444650数x成3034373942464851绩y(1)作出散点图；(2)求出回归方程；(3)计算相关系数并进行相关性检验；(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．三、探究与拓展13．从某地成年男子中随机抽取n个人，测得平均身高为＝172 cm，标准差为s x＝7.6 cm，平均体重＝72 kg，标准差s y＝15.2 kg，相关系数r ＝＝0.5，求由身高估计平均体重的回归方程y＝β0＋β1x，以及由体重估计平均身高的回归方程x＝a＋by.答案1．A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C7．0 8.y＝－11.3＋36.95x9．45010．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得＝＝3.5，＝＝3.5，x i y i＝52.5，x＝54，b＝＝＝0.7，a＝－b＝1.05，因此，所求的线性回归方程为y＝0.7x＋1.05.(2)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．11．解 (1)散点图如下图所示：(2)因为＝×9＝1.8，＝×37＝7.4，x i y i＝62，x2i＝16.6，所以b＝＝＝－11.5，a＝－b＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，故y对x的线性回归方程为y＝28.1－11.5x.(3)y＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t.12．解 (1)作出该运动员训练次数x与成绩y之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．(2)列表计算：次数x i成绩y i x2i y2i x i y i30309009009003334 1 089 1 156 1 1223537 1 225 1 369 1 2953739 1 369 1 521 1 4433942 1 521 1 764 1 6384446 1 936 2 116 2 0244648 2 116 2 304 2 2085051 2 500 2 601 2 550由上表可求得＝39.25，＝40.875，x2i＝12 656，y2i＝13 731，x i y i＝13 180，∴b＝≈1.041 5，a＝－b＝－0.003 88，∴线性回归方程为y＝1.041 5x－0.003 88.(3)计算相关系数r＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系．(4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y＝1.041 5x－0.003 88作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y＝49和y＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.13．解 ∵s x＝，s y＝，∴＝r·＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝＝＝1，β0＝－β1＝72－1×172＝－100.故由身高估计平均体重的回归方程为y＝x－100.由x，y位置的对称性，得b＝＝＝0.25，∴a＝－b＝172－0.25×72＝154.故由体重估计平均身高的回归方程为x＝0.25y＋154.1.3 可线性化的回归分析一、基础过关1．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其线性回归方程可能是 ( )A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200 C．y＝－10x－200D．y＝10x－2002．在线性回归方程y＝a＋bx中，回归系数b表示 ( ) A．当x＝0时，y的平均值 B．x变动一个单位时，y的实际变动量C．y变动一个单位时，x的平均变动量 D．x变动一个单位时，y的平均变动量3．对于指数曲线y＝a e bx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为 ( )A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx4．下列说法错误的是( )A．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系B．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法C．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系D．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决5．每一吨铸铁成本y c(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y c＝56＋8x，下列说法正确的是 ( )A．废品率每增加1%，成本每吨增加64元 B．废品率每增加1%，成本每吨增加8%C．废品率每增加1%，成本每吨增加8元 D．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元6．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是 ( )A．直线l1和l2有交点(s，t) B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行 D．直线l1和l2必定重合二、能力提升7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.下列哪个方程可以较恰当的拟合 ( )A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x8．已知x，y之间的一组数据如下表：x 1.08 1.12 1.19 1.25y 2.25 2.37 2.43 2.55则y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必过点________．9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521（1）建立y与x之间的回归方程．（2）当时，大约是多少11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：年123456次x利润11.3511.8512.4413.0713.5914.41总额y由经验知，年次x与利润总额y(单位：亿元)有如下关系：y＝ab x e0.其中a、b均为正数，求y关于x的回归方程．(保留三位有效数字)三、探究与拓展12．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：x9.511.513.515.517.5y6 4.64 3.2 2.8x19.521.523.525.527.5y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y决定于商品的零售额x，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y＝a＋.试根据上表数据，求出a与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．答案1．A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7.B8．(1.16,2.4) 9.11.6910．解 画出散点图如图(1)所示，观察可知y与x近似是反比例函数关系．设y＝ (k≠0)，令t＝，则y＝kt.可得到y关于t的数据如下表：t4210.50.25y1612521画出散点图如图(2)所示，观察可知t和y有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：b＝≈4.134 4，a＝－b≈0.791 7，所以y＝4.134 4t＋0.791 7，所以y与x的回归方程是y＝＋0.791 7.11．解 对y＝ab x e0两边取对数，得ln y＝ln a e0＋x ln b，令z＝ln y，则z与x的数据如下表：x123456z 2.43 2.47 2.52 2.57 2.61 2.67由z＝ln a e0＋x ln b及最小二乘法公式，得ln b≈0.047 7，ln a e0≈2.38，即z＝2.38＋0.047 7x，所以y＝10.8×1.05x.12．解 设u＝，则y≈a＋bu，得下表数据：u0.105 30.087 00.074 10.064 50.057 1y6 4.64 3.2 2.8u0.051 30.046 50.042 60.039 20.036 4y 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1进而可得n＝10，≈0.060 4，＝3.21，－102≈0.004 557 3，y i－10 ≈0.256 35，ib≈≈56.25，a＝－b·≈－0.187 5，所求的回归方程为y＝－0.187 5＋.当x＝30时，y＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.。
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2019/8/21
zhaoswallow
7
由电网的拓扑结构，线路上的有功潮流由机 组出力决定。又根据功率的叠加原理，各线路 上有功潮流应为各发电机组出力的线性组合， 考虑对所有实验数据采用最小二乘法进行线性 拟合，从而得到各线路有功潮流关于各发电机 组出力的近似表达式。
• 在回归模型中，若变量之间的关系是线性关系， 称为线性回归模型，否则，称为非线性回归模 型。
• 当自变量只有一个，称为一元线性回归， 如果 自变量有多个，称为多元线性回归。
2019/8/21
zhaoswallow
12
1、一元线性回归
一元线性回归模型为
No y 0 1x
（1）
其中x是自变量，y是因变量，
81.1
90
120
83.848 180
80
125
125
81.1
90
120
73
231.39 80
125
125
81.1
90
120
73
198.48 80
125
125
81.1
90
120
73
212.64 80
125
125
81.1
90
120
73
190.55 80
125
125
81.1
90
120
73
180
75.857 125
Q
1
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
数学建模案例分析回归分析
为剩余方差（残差的方差），
ˆ
2 e
分别与
ˆ0
、
ˆ1
独立.
ˆ e 称为剩余标准差.
2020/6/15
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7
三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验
对回归方程Y 0 1x 的显著性检验，归结为对假设 H 0 : 1 0; H1 : 1 0
进行检验.
假设 H0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
其中 r1
1
1 n 2 F1 1, n 2
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数学建模
10
2．回归系数的置信区间
0 和 1 置信水平为 1-α的置信区间分别为
ˆ
0
t1 2
(n
2)ˆ e
1 n
x2 Lxx
, ˆ0
t1 2
(n
2)ˆ e
1
x2
n Lxx
ห้องสมุดไป่ตู้
和
ˆ1
t
1 2
(n
2)ˆ e
/
Lxx
,
ˆ1
t
1
(n
1．用试验值（样本值）对 0 、 1 和 作点估计；
2．对回归系数 0 、 1 作假设检验；
3．在 x= x0 处对 y 作预测，对 y 作区间估计.
2020/6/15
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4
二、模型参数估计
1．回归系数的最小二乘估计
有 n 组独立观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
第11章 多重线性回归分析思考与练习参考答案
第11章多重线性回归分析思考与练习参考答案一、最佳选择题1.逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（D）。
A.回归平方和与残差平方和均增大B.回归平方和与残差平方和均减小C.总平方和与回归平方和均增大D.回归平方和增大，残差平方和减小E.总平方和与回归平方和均减小2.下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（E）。
A.残差平方和（SS残差）缩小B.确定系数（R）增大2C.残差的均方（MS残差）缩小D.调整确定系数（Rad）增大2E.Cp统计量增大3.多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为（C）。
A.复相关系数B.简单相关系数C.确定系数D.偏回归系数E.偏相关系数4.多重线性回归分析中的共线性是指（E）。
A.Y关于各个自变量的回归系数相同B.Y关于各个自变量的回归系数与截距都相同C.Y变量与各个自变量的相关系数相同D.Y与自变量间有较高的复相关E.自变量间有较高的相关性5.多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K,则有（D）。
A.截距和该偏回归系数值均不变B.该偏回归系数值为原有偏回归系数值的K 倍C.该偏回归系数值会改变，但无规律D.截距改变，但所有偏回归系数值均不改变E.所有偏回归系数值均不会改变二、思考题1.多重线性回归分析的用途有哪些？答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。
2.多重线性回归模型中偏回归系数的含义是什么？答：偏回归系数的含义是：在控制其他自变量的水平不变的情况下，该自变量每改变一个单位，反应变量平均改变的单位数。
3.请解释用于多重线性回归参数估计的最小二乘法的含义。
答：最小二乘法的含义是：残差的平方和达到最小。
4.如何判断和处理多重共线性？答：如果自变量之间存在较强的相关，则存在多重共线性。
一元线性回归模型习题和答案解析
一元线性回归模型一、单项选择题1、变量之间的关系可以分为两大类__________;AA 函数关系与相关关系B 线性相关关系和非线性相关关系C 正相关关系和负相关关系D 简单相关关系和复杂相关关系 2、相关关系是指__________;DA 变量间的非独立关系B 变量间的因果关系C 变量间的函数关系D 变量间不确定性的依存关系 3、进行相关分析时的两个变量__________;AA 都是随机变量B 都不是随机变量C 一个是随机变量,一个不是随机变量D 随机的或非随机都可以 4、表示x 和y 之间真实线性关系的是__________;CA 01ˆˆˆt tY X ββ=+ B 01()t t E Y X ββ=+ C 01t t t Y X u ββ=++ D 01t t Y X ββ=+5、参数β的估计量ˆβ具备有效性是指__________;B A ˆvar ()=0βB ˆvar ()β为最小C ˆ()0ββ－＝ D ˆ()ββ－为最小 6、对于01ˆˆi i iY X e ββ=++,以σˆ表示估计标准误差,Y ˆ表示回归值,则__________;B A i i ˆˆ0Y Y 0σ∑＝时，（－）＝B 2iiˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）＝0 C ii ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）为最小 D 2iiˆˆ0Y Yσ∑＝时，（－）为最小 7、设样本回归模型为i 01i iˆˆY =X +e ββ+,则普通最小二乘法确定的i ˆβ的公式中,错误的是__________;DA ()()()i i 12iX X Y -Y ˆX X β--∑∑＝B ()i iii122iin X Y -X Y ˆn X -X β∑∑∑∑∑＝C ii122iX Y -nXY ˆX -nX β∑∑＝ D i i ii12xn X Y -X Y ˆβσ∑∑∑＝8、对于i 01i iˆˆY =X +e ββ+,以ˆσ表示估计标准误差,r 表示相关系数,则有__________;D A ˆ0r=1σ＝时， B ˆ0r=-1σ＝时， C ˆ0r=0σ＝时， D ˆ0r=1r=-1σ＝时，或 9、产量X,台与单位产品成本Y,元/台之间的回归方程为ˆY356 1.5X -＝,这说明__________;DA 产量每增加一台,单位产品成本增加356元B 产量每增加一台,单位产品成本减少元C 产量每增加一台,单位产品成本平均增加356元D 产量每增加一台,单位产品成本平均减少元10、在总体回归直线01ˆE Y X ββ+（）＝中,1β表示__________;B A 当X 增加一个单位时,Y 增加1β个单位 B 当X 增加一个单位时,Y 平均增加1β个单位 C 当Y 增加一个单位时,X 增加1β个单位 D 当Y 增加一个单位时,X 平均增加1β个单位11、对回归模型i 01i i Y X u ββ+＝＋进行检验时,通常假定i u 服从__________;CA 2i N 0) σ（， B t(n-2) C 2N 0)σ（， D t(n)12、以Y 表示实际观测值,ˆY表示回归估计值,则普通最小二乘法估计参数的准则是使__________;Di i 2i i i i 2i i ˆA Y Y 0ˆB Y Y 0ˆC Y Y ˆD Y Y ∑∑∑∑ （－）＝ （－）＝ （－）＝最小 （－）＝最小13、设Y 表示实际观测值,ˆY表示OLS 估计回归值,则下列哪项成立__________;D ˆˆA YY B Y Y ˆˆC YY D Y Y ＝ ＝ ＝ ＝14、用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋,则样本回归直线通过点_________;DˆA X Y B X YˆC X YD X Y （，） （，） （，） （，）15、以Y 表示实际观测值,ˆY表示OLS 估计回归值,则用OLS 得到的样本回归直线i 01iˆˆˆY X ββ+＝满足__________;A ii2i i 2i i 2i i ˆA Y Y 0B Y Y 0ˆC Y Y 0ˆD Y Y 0∑∑∑∑ （－）＝ （－）＝ （－）＝ （－）＝16、用一组有30个观测值的样本估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋,在的显著性水平下对1β的显著性作t 检验,则1β显著地不等于零的条件是其统计量t 大于__________;D A 30 B 30 C 28 D 2817、已知某一直线回归方程的判定系数为,则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为__________;BA B C D18、相关系数r 的取值范围是__________;DA r ≤-1B r ≥1C 0≤r ≤1D －1≤r ≤1 19、判定系数R 2的取值范围是__________;CA R2≤-1B R2≥1C 0≤R2≤1D －1≤R2≤120、某一特定的X 水平上,总体Y 分布的离散度越大,即σ2越大,则__________;AA 预测区间越宽,精度越低B 预测区间越宽,预测误差越小C 预测区间越窄,精度越高D 预测区间越窄,预测误差越大 22、如果X 和Y 在统计上独立,则相关系数等于__________;C A 1 B －1 C 0 D ∞23、根据决定系数R 2与F 统计量的关系可知,当R 2＝1时,有__________;D A F ＝1 B F ＝-1 C F ＝0 D F ＝∞24、在C —D 生产函数βαK AL Y =中,__________;A A.α和β是弹性 和α是弹性 和β是弹性 是弹性25、回归模型i i i u X Y ++=10ββ中,关于检验010=β：H 所用的统计量)ˆ(ˆ111βββVar -,下列说法正确的是__________;DA 服从）（22-n χ B 服从）（1-n t C 服从）（12-n χ D 服从）（2-n t26、在二元线性回归模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中,1β表示__________;A A 当X2不变时,X1每变动一个单位Y 的平均变动; B 当X1不变时,X2每变动一个单位Y 的平均变动; C 当X1和X2都保持不变时,Y 的平均变动;D 当X1和X2都变动一个单位时,Y 的平均变动;27、在双对数模型i i i u X Y ++=ln ln ln 10ββ中,1β的含义是__________;DA Y 关于X 的增长量B Y 关于X 的增长速度C Y 关于X 的边际倾向D Y 关于X 的弹性26、根据样本资料已估计得出人均消费支出Y 对人均收入X 的回归模型为i i X Y ln 75.000.2ln +=,这表明人均收入每增加1％,人均消费支出将增加__________;CA 2％B ％C ％D ％28、按经典假设,线性回归模型中的解释变量应是非随机变量,且__________;A A 与随机误差项不相关 B 与残差项不相关 C 与被解释变量不相关 D 与回归值不相关29、根据判定系数R 2与F 统计量的关系可知,当R 2=1时有__________; C =1 =－1 =∞ =0 30、下面说法正确的是__________; DA.内生变量是非随机变量B.前定变量是随机变量C.外生变量是随机变量D.外生变量是非随机变量31、在具体的模型中,被认为是具有一定概率分布的随机变量是__________;A A.内生变量 B.外生变量 C.虚拟变量 D.前定变量 32、回归分析中定义的__________;B A.解释变量和被解释变量都是随机变量B.解释变量为非随机变量,被解释变量为随机变量C.解释变量和被解释变量都为非随机变量D.解释变量为随机变量,被解释变量为非随机变量33、计量经济模型中的被解释变量一定是__________;C A ．控制变量 B ．政策变量 C ．内生变量 D ．外生变量 二、多项选择题1、指出下列哪些现象是相关关系__________;ACDA 家庭消费支出与收入B 商品销售额与销售量、销售价格C 物价水平与商品需求量D 小麦高产与施肥量E 学习成绩总分与各门课程分数2、一元线性回归模型i 01i i Y X u ββ+＝＋的经典假设包括__________;ABCDEA ()0t E u =B 2var()t u σ=C cov(,)0t s u u =D (,)0t t Cov x u =E 2~(0,)t u N σ3、以Y 表示实际观测值,ˆY表示OLS 估计回归值,e 表示残差,则回归直线满足__________;ABEii2i i 2i i i i A X Y ˆB Y YˆC Y Y 0ˆD Y Y 0E cov(X ,e )=0∑∑∑∑ 通过样本均值点（，） ＝ （－）＝ （－）＝ 4、ˆY 表示OLS 估计回归值,u 表示随机误差项,e 表示残差;如果Y 与X 为线性相关关系,则下列哪些是正确的__________;ACi 01ii1ii 01i i i1iii 01i A E Y X ˆˆB Y X ˆˆC Y X e ˆˆˆD YX e ˆˆE E(Y )X ββββββββββ+++++++ （）＝ ＝ ＝＝＝5、ˆY表示OLS 估计回归值,u 表示随机误差项;如果Y 与X 为线性相关关系,则下列哪些是正确的__________;BEi 01i i 01i ii1iii 01i ii1iA Y XB Y X u ˆˆC Y X u ˆˆˆD Y X u ˆˆˆE YX ββββββββββ+++++++ ＝ ＝＋ ＝＝＝6、回归分析中估计回归参数的方法主要有__________;CDE A 相关系数法 B 方差分析法 C 最小二乘估计法 D 极大似然法 E 矩估计法7、用OLS 法估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋的参数,要使参数估计量为最佳线性无偏估计量,则要求__________;ABCDEA i E(u )=0B 2i Var(u )=σC i j Cov(u ,u )=0D i u 服从正态分布E X 为非随机变量,与随机误差项i u 不相关;8、假设线性回归模型满足全部基本假设,则其参数的估计量具备__________;CDE A 可靠性 B 合理性 C 线性 D 无偏性E 有效性9、普通最小二乘估计的直线具有以下特性__________;ABDE A 通过样本均值点(,)X YBˆii Y Y =∑∑C 2ˆ()0iiY Y-=∑ D 0ie =∑E (,)0i i Cov X e =10、由回归直线i 01iˆˆˆY X ββ+＝估计出来的i ˆY 值__________;ADE A 是一组估计值 B 是一组平均值C 是一个几何级数D 可能等于实际值YE 与实际值Y 的离差之和等于零11、反映回归直线拟合优度的指标有__________; A 相关系数 B 回归系数C 样本决定系数D 回归方程的标准差E 剩余变差或残差平方和12、对于样本回归直线i 01i ˆˆˆY X ββ+＝,回归变差可以表示为__________;ABCDE A 22i i i iˆY Y -Y Y ∑∑ （－） （－） B 221iiˆX X β∑（－） C 22ii R Y Y ∑（－）D 2iiˆYY ∑（－） E 1iiiiˆ X X Y Y β∑（－（）－） 13对于样本回归直线i 01iˆˆˆY X ββ+＝,ˆσ为估计标准差,下列决定系数的算式中,正确的有__________;ABCDEA 2i i 2iiˆY Y Y Y ∑∑（－）（－） B 2i i 2iiˆY Y 1Y Y ∑∑（－）－（－）C 221ii 2iiˆX X Y Y β∑∑（－）（－） D 1i ii i2i iˆX X Y Y Y Y β∑∑（－（）－）（－）E 22iiˆn-2)1Y Y σ∑（－（－）14、下列相关系数的算式中,正确的有__________;ABCDE A X YXY XYσσ－BiiiiX YX X Y Y n σσ∑（－（）－）C X Ycov (X,Y)σσDX X Y Y （－（）－） E2X Y -nX Y∑15、判定系数R 2可表示为__________;BCEA 2RSSR =TSS B 2ESS R =TSSC 2RSS R =1-TSS D 2ESS R =1-TSS E 2ESS R =ESS+RSS16、线性回归模型的变通最小二乘估计的残差i e 满足__________;ACDEAi e 0∑＝ B i i e Y 0∑＝C i iˆe Y0∑＝ D i ie X 0∑＝E i i cov(X ,e )=017、调整后的判定系数2R 的正确表达式有__________;BCDA 2i i 2iiY Y /(n-1)ˆY Y /(n-k)∑∑（－）1-（－） B 2ii2iiˆY Y /(n-k-1)1Y Y /(n-1)∑∑（－）－（－）C 2(n-1)1(1-R )(n-k-1)- D 22k(1-R )R n-k-1-E 2(n-k)1(1+R )(n-1)- 18、对总体线性回归模型进行显著性检验时所用的F 统计量可表示为__________;BC AESS/(n-k)RSS/(k-1) B ESS/(k-1)RSS/(n-k)C 22R /(k-1)(1-R )/(n-k)D 22(1-R )/(n-k)R /(k-1) E 22R /(n-k)(1-R )/(k-1)三、名词解释函数关系与相关关系 线性回归模型总体回归模型与样本回归模型 最小二乘法高斯－马尔可夫定理 总变量总离差平方和 回归变差回归平方和 剩余变差残差平方和 估计标准误差 样本决定系数 相关系数 显著性检验 t 检验 经济预测 点预测 区间预测 拟合优度 残差 四、简答1、在计量经济模型中,为什么会存在随机误差项答：①模型中被忽略掉的影响因素造成的误差；②模型关系认定不准确造成的误差；③变量的测量误差；④随机因素;这些因素都被归并在随机误差项中考虑;因此,随机误差项是计量经济模型中不可缺少的一部分;2、古典线性回归模型的基本假定是什么答：①零均值假定;即在给定x t 的条件下,随机误差项的数学期望均值为0,即t E(u )=0;②同方差假定;误差项t u 的方差与t 无关,为一个常数;③无自相关假定;即不同的误差项相互独立;④解释变量与随机误差项不相关假定;⑤正态性假定,即假定误差项t u 服从均值为0,方差为2σ的正态分布;3、总体回归模型与样本回归模型的区别与联系;答：主要区别：①描述的对象不同;总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系,而样本回归模型描述所观测的样本中变量y 与x 的相互关系;②建立模型的不同;总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的,样本回归模型是依据样本观测资料建立的;③模型性质不同;总体回归模型不是随机模型,样本回归模型是随机模型,它随着样本的改变而改变;主要联系：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式,之所以建立样本回归模型,目的是用来估计总体回归模型;4、试述回归分析与相关分析的联系和区别;答：两者的联系：①相关分析是回归分析的前提和基础；②回归分析是相关分析的深入和继续；③相关分析与回归分析的有关指标之间存在计算上的内在联系;两者的区别：①回归分析强调因果关系,相关分析不关心因果关系,所研究的两个变量是对等的;②对两个变量x 与y 而言,相关分析中：xy yx r r =；但在回归分析中,01ˆˆˆt ty b b x =++和01ˆˆˆt t xa a y =++却是两个完全不同的回归方程;③回归分析对资料的要求是：被解释变量y 是随机变量,解释变量x 是非随机变量;相关分析对资料的要求是两个变量都随机变量;5、在满足古典假定条件下,一元线性回归模型的普通最小二乘估计量有哪些统计性质答：①线性,是指参数估计量0ˆb 和1ˆb 分别为观测值t y 和随机误差项t u 的线性函数或线性组合;②无偏性,指参数估计量0ˆb 和1ˆb 的均值期望值分别等于总体参数0b 和1b ;③有效性最小方差性或最优性,指在所有的线性无偏估计量中,最小二乘估计量0ˆb 和1ˆb 的方差最小; 6、简述BLUE 的含义;答：在古典假定条件下,OLS 估计量0ˆb 和1ˆb 是参数0b 和1b 的最佳线性无偏估计量,即BLUE,这一结论就是著名的高斯－马尔可夫定理;7、对于多元线性回归模型,为什么在进行了总体显著性F 检验之后,还要对每个回归系数进行是否为0的t 检验答：多元线性回归模型的总体显著性F 检验是检验模型中全部解释变量对被解释变量的共同影响是否显著;通过了此F 检验,就可以说模型中的全部解释变量对被解释变量的共同影响是显著的,但却不能就此判定模型中的每一个解释变量对被解释变量的影响都是显著的;因此还需要就每个解释变量对被解释变量的影响是否显著进行检验,即进行t 检验;五、综合题X:年均汇率日元/美元 Y:汽车出口数量万辆 问题：1画出X 与Y 关系的散点图; 2计算X 与Y 的相关系数;其中X 129.3＝,Y 554.2＝,2X X 4432.1∑（－）＝,2YY 68113.6∑（－）＝,()()X X Y Y ∑－－＝16195.43若采用直线回归方程拟和出的模型为ˆ81.72 3.65YX =+ t 值 R 2= F=解释参数的经济意义; 解答：1散点图如下：30040050060070080100120140160180X Y2()()XY X X Y Y r --===3截距项表示当美元兑日元的汇率为0时日本的汽车出口量,这个数据没有实际意义；斜率项表示汽车出口量与美元兑换日元的汇率正相关,当美元兑换日元的汇率每上升1元,会引起日本汽车出口量上升万辆;2、已知一模型的最小二乘的回归结果如下：i iˆY =101.4-4.78X 标准差 n=30 R 2=其中,Y ：政府债券价格百美元,X ：利率%; 回答以下问题：1系数的符号是否正确,并说明理由；2为什么左边是iˆY 而不是Yi ； 3在此模型中是否漏了误差项u i ；4该模型参数的经济意义是什么;答：1系数的符号是正确的,政府债券的价格与利率是负相关关系,利率的上升会引起政府债券价格的下降;2 34常数项表示在X 取0时Y 的水平,本例中它没有实际意义；系数－表明利率X 每上升一个百分点,引起政府债券价格Y 降低478美元;3、估计消费函数模型i i i C =Y u αβ++得i i ˆC =150.81Y +t 值 n=19 R 2= 其中,C ：消费元 Y ：收入元已知0.025(19) 2.0930t =,0.05(19) 1.729t =,0.025(17) 2.1098t =,0.05(17) 1.7396t =; 问：1利用t 值检验参数β的显著性α＝； 2确定参数β的标准差； 3判断一下该模型的拟合情况;答：1提出原假设H 0：0β=,H1：0β≠统计量t ＝,临界值0.025(17) 2.1098t =,由于>,故拒绝原假设H 0：0β=,即认为参数β是显著的;2由于ˆˆ()t sb ββ=,故ˆ0.81ˆ()0.043318.7sb t ββ===; 3回归模型R 2=,表明拟合优度较高,解释变量对被解释变量的解释能力为81%,即收入对消费的解释能力为81％,回归直线拟合观测点较为理想;4、已知估计回归模型得i iˆY =81.7230 3.6541X + 且2X X 4432.1∑（－）＝,2Y Y 68113.6∑（－）＝,求判定系数和相关系数; 答：判定系数：22122()()b X X R Y Y -=-∑∑=23.65414432.168113.6⨯==相关系数：0.9321r == 5、、有如下表数据1设横轴是U,纵轴是P ,画出散点图; 2对下面的菲力普斯曲线进行OLS 估计;1P u U αβ＝＋＋已知P3计算决定系数; 答：1散点图如下：27、根据容量n=30的样本观测值数据计算得到下列数据：22XY 146.5X 12.6Y 11.3X 164.2Y ＝，＝，＝，＝，＝134.6试估计Y 对X 的回归直线;8、表2-4中的数据是从某个行业5个不同的工厂收集的,请回答以下问题： 表2-4 总成本Y 与产量X 的数据Y80 44 51 70 61 X12 4 6 11 81估计这个行业的线性总成本函数：i 01iˆˆˆY =b +b X 201ˆˆb b 和的经济含义是什么3估计产量为10时的总成本;9、有10户家庭的收入X,元和消费Y,百元数据如表2－5; 表2－5 10户家庭的收入X 与消费Y 的资料X 20 30 33 40 15 13 26 38 3543 Y7 9 8 11 5 4 8 10 9 101建立消费Y 对收入X 的回归直线; 2说明回归直线的代表性及解释能力; 3在95%的置信度下检验参数的显著性;4在95%的置信度下,预测当X ＝45百元时,消费Y 的置信区间; 10、已知相关系数r ＝,估计标准ˆ8σ＝误差,样本容量n=62; 求：1剩余变差；2决定系数；3总变差; 11、在相关和回归分析中,已知下列资料：222X Y i 16,10,n=20,r=0.9,(Y -Y)=2000σσ∑＝＝1计算Y 对绵回归直线的斜率系数;2计算回归变差和剩余变差;3计算估计标准误差;12、已知：n=6,22i i i i i i X =21,Y =426,X =79,Y =30268,X Y =1481∑∑∑∑∑; 1计算相关系数；2建立Y 对的回归直线；3在5%的显著性水平上检验回归方程的显著性;13、根据对某企业销售额Y 以及相应价格X 的11组观测资料计算：22XY 117849X 519Y 217X 284958Y ＝，＝，＝，＝，＝490461估计销售额对价格的回归直线；2销售额的价格弹性是多少14、假设某国的货币供给量Y 与国民收入X 的历史如表2－6;图上;2如何解释回归系数的含义;3如果希望1997年国民收入达到15,那么应该把货币供给量定在什么水平15、假定有如下的回归结果 tt X Y 4795.06911.2ˆ-= 其中,Y 表示美国的咖啡消费量每天每人消费的杯数,X 表示咖啡的零售价格单位：美元/杯,t 表示时间;问：1这是一个时间序列回归还是横截面回归 做出回归线;2如何解释截距的意义它有经济含义吗如何解释斜率3能否救出真实的总体回归函数4根据需求的价格弹性定义： YX ⨯弹性＝斜率,依据上述回归结果,你能救出对咖啡需求的价格弹性吗如果不能,计算此弹性还需要其他什么信息解答：1这是一个时间序列回归;图略2截距表示咖啡零售价在每磅0美元时,美国平均咖啡消费量为每天每人杯,这个没有明显的经济意义；斜率－表示咖啡零售价格与消费量负相关,表明咖啡价格每上升1美元,平均每天每人消费量减少杯;3不能;原因在于要了解全美国所有人的咖啡消费情况几乎是不可能的;4不能;在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同,若要求价格弹性,须给出具体的X 值及与之对应的Y 值;16、下面数据是依据10组X 和Y 的观察值得到的：李子奈书P181110=∑i Y ,1680=∑i X ,204200=∑i i Y X ,3154002=∑i X ,1333002=∑i Y 假定满足所有经典线性回归模型的假设,求10β,1β的估计值及其标准差；2决定系数2R ；3对0β,1β分别建立95％的置信区间;利用置信区间法,你可以接受零假设：01=β吗。
第三章 1.3可线性化的回归分析
可线性化的回归分析[学习目标]1．进一步体会回归分析的基本思想．2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．[知识链接]1．有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型答首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．2．如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程答可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．（[预习导引]1．非线性回归分析对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．2．非线性回归方程曲线方程曲线图形公式变换变换后的线性函数y＝ax b·c＝ln av＝ln xu＝ln yu＝c＋bvy ＝a e bxc ＝ln a u ＝ln yu ＝c ＋bxy ＝a e b x.c ＝ln a v ＝1xu ＝ln yu ＝c ＋bvy ＝a ＋b ln xv ＝ln x u ＝yu ＝a ＋bv#要点一 线性回归分析例1 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 35 销售额y (万元)4926…3954(1)由数据易知y 与x 具有线性相关关系，若b ＝，求线性回归方程y ＝a ＋bx ； (2)据此模型预报广告费用为4万元时的销售额．解 (1)x －＝4＋2＋3＋54＝，y －＝49＋26＋39＋544＝42，∴a ＝y －－b x －＝42－×＝ ∴回归直线方程为y ＝＋. (2)当x ＝4时，y ＝＋×4＝， 故广告费用为6万元时销售额为万元．跟踪演练1 为了研究3月下旬的平均气温(x )与4月20日前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了2006年2011年的情况，得到了下面的数据：(1)对变量x，y进行相关性检验；(2)据气象预测，该地区在2012年3月下旬平均气温为27 ℃，试估计2012年4月化蛹高峰日为哪天．解制表.(1)r＝∑6i＝1xiyi－6x－y－（∑6i＝1x2i－6x－2）（∑6i＝1y2i－6y－2）≈－ 8.由|r|＞，可知变量y和x存在很强的线性相关关系．(2)b＝错误!≈－，a＝错误!－b错误!≈.所以，线性回归方程为y＝－.当x＝27时，y＝－×27＝.据此，可估计该地区2012年4月12日或13日为化蛹高峰日．"要点二可线性化的回归分析例2 在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：催化剂的量x/g15182124273033\ 36化学物质的反应速度y(g·min－1)6830277020565350解根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数y＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定的参数．令z＝ln y，则z＝ln y＝ln c1＋c2x，即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝ln c1，b＝c2)的周围．由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：x15182124!27303336z，作出z与x的散点图(如图)．由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合．由z与x的数据表，可得线性回归方程：z＝＋，所以y与x之间的非线性回归方程为y＝e－＋.*规律方法 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合．跟踪演练2 电容器充电后，电压达到100 V ，然后开始放电，由经验知道，此后电压U 随时间t 变化的规律用公式U ＝A e bt (b ＜0)表示，现测得时间t (s)时的电压U (V)如下表：t /s 0 1 2 3 4 56(7 8910U /V 100 75 55 40 30$2015101055试求：电压U 对时间t 的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)解 对U ＝A e bt 两边取对数得ln U ＝ln A ＋bt ，令y ＝ln U ，a ＝ln A ，x ＝t ，则y ＝a ＋bx ，得y 与x 的数据如下表：x.1 2345678910{y/根据表中数据作出散点图，如下图所示，从图中可以看出，y 与x 具有较强的线性相关关系，由表中数据求得x －＝5，y －≈，进而可以求得b ≈－，a ＝y －－bx －＝，所以y 对x 的线性回归方程为y ＝－.由y ＝ln U ，得U ＝e y ，U ＝－＝·e －，因此电压U 对时间t 的回归方程为U ＝·e－.要点三非线性回归模型的综合应用例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高x/cm60【708090100110体重y/kg-身高x/cm120130140150160170体重y/kg(试建立y与x之间的回归方程．解根据题干表中数据画出散点图如图所示．由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，于是令z＝ln y. *x 60708090100110120130140￥150160170z&画出散点图如图所示．由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：z＝＋，则有y＝＋.规律方法根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c1e c2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．*跟踪演练3 对两个变量x ，y 取得4组数据(1，1)，(2，，(3，，(4，，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下： 甲 y ＝＋1， 乙 y ＝－＋＋，丙 y ＝－·＋，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际． 解 甲模型，当x ＝1时，y ＝；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝； 当x ＝3时，y ＝；当x ＝4时，y ＝.观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际.1．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1，12，13，14时，变量y 的值分别为2，3，4，5，则y 与1x的回归方程为( )A ．y ＝1x ＋1B ．y ＝2x＋3C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x －1 答案 A解析 由数据可得，四个点都在曲线y ＝1x＋1上．2．某种产品的广告费支出与销售额(单位：百万元)之间有如下对应数据：广告费2~5 6 84销售额3040605070@则广告费与销售额间的相关系数为( )A． B．0.919 C． D．答案B3．根据统计资料，我国能源生产发展迅速．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：年份1996200120062011产量·根据有关专家预测，到2020年我国能源生产总量将达到亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( )A．y＝ax＋b(a≠0) B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)C．y＝a x(a>0且a≠1) D．y＝log a x(a>0且a≠1)答案A4．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是__________.x/万元)24568y/万元3040605070答案(6，50)一、基础达标1．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据．根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程是y＝＋，那么表中t的值是( )x3456，yt4A.4.5 B．4 C．3 D．答案C2．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x1$2345678910y 。
线性回归分析
1
在研究问题时，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变 量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关系数可记作：
行元素构成的行向量，上式对 k 1,2, , K 都成立，bk 正是被解释变量观测值Yi 的
线性组合，也就是多元线性回归参数的最小二乘估计是线性估计。 （2）无偏性：
多元线性回归的最小二乘估计也是无偏估计，即参数最小二乘估计的数学期 望都等于相应参数的真实值，最小二乘估计向量的数学期望等于参数真实值的向 量，参数真实值是参数估计量的概率分布中心。
i
bk zki )](1) 0, bk zki )](z1i ) 0,
2[Yi (b0 b1z1i bk zki )](zki ) 0
i
同时成立时，V 有最小值。对这个方程组整理，可得到如下的正规方程组：
4
b0 Y (b1z1 bK zK ), S11b1 S12b2 S1KbK S10,
(2)成立为前提)。 (4) 对应不同观测数据的误差项不相关，即
Cov(i , j ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i j 0) 对任意的 i j 都成立(假设(1) 成立为前提)。
(5) 解释变量 Xi (i 1, 2, ,r)是确定性变量而非随机变量。当存在多个解释 变量 (r 1) 时假设不同解释变量之间不存在线性关系，包括严格的线性关系和强 的近似线性关系。
Yi 0 1X1i 2 X2i 3X3i k Zki i ，其中 i 是随机误差项。
回归分析习题及答案
回归分析习题及答案回归分析习题及答案回归分析是统计学中一种常用的分析方法，用于研究变量之间的关系。
它可以帮助我们了解变量之间的相关性，并预测未来的趋势。
在本文中，我们将提供一些回归分析的习题及其详细解答，帮助读者更好地理解和应用这一方法。
习题一：某公司想要了解其销售额与广告投入之间的关系。
公司收集了过去12个月的数据，包括每个月的广告投入（单位：万元）和当月的销售额（单位：万元）。
请利用这些数据进行回归分析，并给出相关的统计结果。
解答一：首先，我们需要将数据导入统计软件，比如SPSS或Excel。
然后，我们可以使用线性回归模型来分析销售额与广告投入之间的关系。
在SPSS中，可以选择“回归”分析，将销售额作为因变量，广告投入作为自变量，进行线性回归分析。
回归分析的结果包括回归方程、相关系数、显著性检验等。
回归方程可以用来描述销售额与广告投入之间的关系。
相关系数可以告诉我们这两个变量之间的相关程度，取值范围为-1到1，越接近1表示相关性越强。
显著性检验可以告诉我们回归方程是否显著，即广告投入是否对销售额有显著影响。
习题二：某研究人员想要了解学生的考试成绩与他们的学习时间之间的关系。
研究人员随机选择了100名学生，记录了他们的学习时间（单位：小时）和考试成绩（百分制）。
请利用这些数据进行回归分析，并给出相关的统计结果。
解答二：同样地，我们需要将数据导入统计软件，然后进行回归分析。
这次，我们将考试成绩作为因变量，学习时间作为自变量。
除了之前提到的回归方程、相关系数和显著性检验之外，我们还可以通过回归分析的结果来进行预测。
例如，我们可以利用回归方程来预测一个学生在给定学习时间下的考试成绩。
习题三：某研究人员想要了解一个人的身高与体重之间的关系。
研究人员随机选择了200名成年人，记录了他们的身高（单位：厘米）和体重（单位：千克）。
请利用这些数据进行回归分析，并给出相关的统计结果。
解答三：同样地，我们将数据导入统计软件，然后进行回归分析。
回归分析习题答案
回归分析习题答案回归分析习题答案回归分析作为一种常用的统计方法，被广泛应用于各个领域。
它能够帮助研究者理解变量之间的关系，并预测未来的趋势。
在回归分析的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题，我们可以更好地掌握回归分析的原理和应用。
本文将回答一些常见的回归分析习题，帮助读者更好地理解回归分析的概念和方法。
1. 问题：某公司想要预测销售额与广告投入之间的关系，他们收集了过去12个月的数据，包括每个月的广告投入和销售额。
请用简单线性回归模型拟合数据，并预测下个月的销售额。
答案：简单线性回归模型可以表示为：销售额= β0 + β1 * 广告投入。
通过最小二乘法估计参数，可以得到回归方程。
使用软件或计算器进行计算，得到β0和β1的估计值。
然后，将下个月的广告投入代入回归方程，即可得到预测的销售额。
2. 问题：某研究人员想要研究学生的考试成绩与学习时间之间的关系。
他们随机选择了100名学生，记录了他们的学习时间和考试成绩。
请用多元线性回归模型拟合数据，并解释模型中的系数。
答案：多元线性回归模型可以表示为：考试成绩= β0 + β1 * 学习时间+ β2 *年级+ ε。
其中，学习时间和年级是自变量，考试成绩是因变量。
通过最小二乘法估计参数，可以得到回归方程。
系数β1表示学习时间对考试成绩的影响，系数β2表示年级对考试成绩的影响。
如果β1和β2的估计值显著不为零，说明学习时间和年级对考试成绩有显著影响。
3. 问题：某研究人员想要研究气温对冰淇淋销量的影响。
他们收集了每天的气温和冰淇淋销量数据，发现两者呈现正相关关系。
请用非线性回归模型拟合数据，并解释模型中的参数。
答案：非线性回归模型可以表示为：冰淇淋销量= β0 + β1 * 气温+ β2 * 气温^2 + ε。
其中，气温是自变量，冰淇淋销量是因变量。
通过最小二乘法估计参数，可以得到回归方程。
系数β1表示气温对冰淇淋销量的线性影响，系数β2表示气温对冰淇淋销量的非线性影响。
北师大版高中数学选修1-2 同步练习：第1章 1 第2课时 可线性化的回归分析
第一章 §1 第2课时A 级 基础巩固一、选择题1．由一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^,则下列说法不正确的是( B )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ,y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线2．对于指数曲线y ＝ae bx,令u ＝lny,c ＝lna,经过非线性化回归分析之后,可以转化成的形式为( A ) A ．u ＝c ＋bx B ．u ＝b ＋cx C ．y ＝b ＋cxD ．y ＝c ＋bx[解析] 对方程y ＝ae bx 两边同时取对数,然后将u ＝lny,c ＝lna 代入,不难得出u ＝c ＋bx. 3．某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01对于表中数据,A ．y ＝2x －2 B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 代入检验,当x 取相应的值时,所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的． 4．下列数据符合的函数模型为( D )x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y22.6933.383.63.844.084.24.3A ．y ＝2＋3xB ．y ＝2e xC ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋lnx[解析] 分别将x 的值代入解析式判断知满足y ＝2＋lnx. 二、填空题5．在两个变量的回归分析中,作散点图的目的是__从散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合__；相关系数是度量__两个变量之间线性相关程度__的量．6．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时,则相关系数r 的值为__0__.[解析] 若b ＝0,则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0,∴r ＝0.三、解答题7．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量,可用函数y ＝ae bx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x 的关系,求模拟函数．[解析] 设μ＝lny,c ＝lna,则μ＝c ＋bx.∑i ＝14x i ＝10,∑i ＝14μi ＝0.759 5,∑i ＝14x 2i＝30,∑i ＝14μ2i ≈0.201 2, ∑i ＝14x i μi ＝2.411,x ＝2.5,μ≈0.189 9,相关系数r ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x)2∑i ＝14μ2i －4(μ)2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52×0.201 2－4×0.189 92≈0.959 7,相关程度较强．b ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x )2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52＝0.102 4,c ＝μ－b x ≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1,所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x,y ＝e－0.066 1＋0.0102 4x.B 级 素养提升一、选择题1．我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：A ．y ＝ae kxB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝ax bD ．y ＝ae bx[解析] 画出散点图,观察可用y ＝a ＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．2．设由线性相关的样本点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),求得的回归直线方程为y ^＝bx ＋a,定义残差e i ＝y i －y ^i ＝y i －bx i －a,i ＝1,2,…,n,残差平方和m ＝e 21＋e 22＋…＋e 2n .已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁[解析] r 越接近1,相关性越强,残差平方和m 越小,相关性越强,故选D ． 二、填空题3．若一函数模型为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),则作变换t ＝__(x ＋b 2a )2 才能转为y 是t 的线性回归方程．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ,∴令t ＝(x ＋b 2a )2,则y ＝at ＋4ac －b24a,此时y 为t 的线性回归方程．4．若x 、y 满足则可用来描述__y ＝2e __. [解析] 画出散点图,形如y ＝a·e bx,其中a≈2,b≈1. ∴y ＝2e x. 5．若x 、y 满足x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5 y2096420.940.650.510.45则可用来描述x 与y 之间关系的函数解析式为__y ＝2x.[解析] 画出散点图,观察图像形如y ＝b x ,通过计算知b≈2,∴y ＝2x .三、解答题6．如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N,试建立N 对x 的回归方程,并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数 28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7 地震数14898574125[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出,震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性,随着x 的减少,所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y ＝lgN.得到的数据如下表所示．图1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 y2.1701.9911.7561.6131.398x图2从散点图2中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性,因此由最小二乘法得a≈6.704,b≈－0.741,故线性回归方程为y ＝－0.741x ＋6.704.因此,所求的回归方程为：lgN ＝－0.741x ＋6.704,故N ^＝10－0.741x ＋6.704.7．下表所示是一组试验数据：x 0.5 0.25 16 0.125 0.1 y64138205285360(1)作出散点图,并猜测y 与x 之间的关系； (2)利用所得的函数模型,预测x ＝10时y 的值．[解析] (1)散点图如图所示,从散点图可以看出y 与x 不具有线性相关关系．根据已有知识发现样本点分布在函数y ＝b x ＋a 的图像的周围,其中a,b 为待定参数．令x′＝1x ,y′＝y,由已知数据制成下表：序号i x i ′ y i ′ x′2i y′2i x′i y′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝6,y ′＝210.4,故∑i ＝15x ′2i－5(x ′)2＝40,∑i ＝15y ′2i －5y ′2＝54 649.2,r ＝779 0－5×6×210.440×54 649.2≈0.999 7,由于r 非常接近于1,∴x′与y′具有很强的线性关系,计算知b≈36.95,a ＝210.4－36.95×6＝－11.3, ∴y′＝－11.3＋36.95x′,∴y 对x 的回归曲线方程为y ＝36.95x －11.3.(2)当x ＝10时,y ＝36.9510－11.3＝－7.605.C 级 能力提高1．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109,l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1 570,y ＝23.2,l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2,a ^＝y －b ^x ＝1.816 6.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2),当x ＝150 m 2时,销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．2．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出x 与y ,流通率y 决定于商品的零售额x,体现着经营规模效益,假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据,求出a 与b 的估计值,并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．[解析] 设u ＝1x,则y≈a＋bu,得下表数据：进而可得n ＝10,u ≈0.060 4,y ＝3.21,∑i ＝110u 2i －10u 2≈0.004 557 3, ∑i ＝110u i y i －10uy ≈0.256 35,b≈0.256 350.004 557 3≈56.25, a ＝y －b·u ≈－0.187 5,所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时,y ＝1.687 5,即商品零售额为30万元时,商品流通率为1.687 5%.。
一元线性回归模型(习题与解答)
要求： ，即条件期望值； （1）对每一收入水平，计算平均的消费支出，E（Y︱Xi）
5
（2）以收入为横轴、消费支出为纵轴作散点图； （3）在散点图中，做出（1）中的条件均值点； （4）你认为 X 与 Y 之间、X 与 Y 的均值之间的关系如何？ （5）写出其总体回归函数及样本回归函数；总体回归函数是线性的还是非线性的？ 2-24．根据上题中给出的数据，对每一个 X 值，随机抽取一个 Y 值，结果如下：
•
∧
∑ ( n − xW ) y
i =1 i
n
Байду номын сангаас
1
i
这
里 Wi =
xi
∑ xi
•
2
，i=1，2，…，n。 2-15．已知两个量 X 和 Y 的一组观察值（xi，yi） 证明：Y 的真实值和拟合值有共同的均值。 因为散点图上的点 （ Ci ， Yi ） 2-16． 一个消费分析者论证了消费函数 C i = a + bYi 是无用的， 不在直线 C i = a + bYi 上。他还注意到，有时 Yi 上升但 Ci 下降。因此他下结论：Ci 不是 Yi 的函数。请你评价他的论据（这里 Ci 是消费，Yi 是收入） 。 2-17．证明：仅当 R2=1 时，y 对 x 的线性回归的斜率估计量等于 x 对 y 的线性回归的斜率 估计量的倒数。 2-18．证明：相关系数的另一个表达式是： r = 系数的估计值，Sx、Sy 分别为样本标准差。 2-19．对于经济计量模型： Yi = b0 + b1 X i + u i ，其 OLS 估计参数 b1 的特性在下列情况下 会受到什么影响： （1）观测值数目 n 增加； （2）Xi 各观测值差额增加； （3）Xi 各观测值近 似相等； （4）E（u2）=0 。 2-20．假定有如下的回归结果： Yt = 2.6911 − 0.4795 X t ，其中，Y 表示美国的咖啡的消费 量（每天每人消费的杯数） ，X 表示咖啡的零售价格（美元/杯） ，t 表示时间。
回归分析典型例题
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 参考数据：646.27,55.0)(,17.40,32.97127171≈=-==∑∑∑===i ii ii i iy y yt y参考公式：相关系数：.)()())((11221∑∑∑===----=ni ni iini i iy yt ty y t tr回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式：.ˆˆ,)())((ˆ121t b y at ty y t tbni ini i i-=---=∑∑==某互联网公司为了确定下一季的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型① y =bx +a ，② y =a e bx 分别进行拟合，得到相应回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值。
xy∑=61i ii yx∑=612i ix730 1464.24 364（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （i ）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii ）若广告投入量x =18时，该模型收益的预报值时多少？附：对于一组数据（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）, … ,（x n , y n ）,其回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y a x n xyx n yx x xy y x xbni ini i i ni ini i i-=--=---=∑∑∑∑====某公司为确定下一年度投人某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位:千元）的影响. 对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,..,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑=-812)(i ix x∑=-812)(i iw w∑=--81))((i i iy y x x∑=--81))((i iiy yw w46.6 563 6.8289.8 1.61469108.8其中：i i x w =，.8181∑==i iw w(1)根据散点图判断，bx a y +=与x d c y +=哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3) 已知这种产品的年利润z 与y x ,的关系为x y z -=2.0.根据(2)的结果回答下列问题： (i)年宣传费49=x 时，年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据),(,,),(,),(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为.ˆ,)())((ˆ121u v u uv v u uni ini i iβαβ-=---=∑∑==为了预测2018年双十一购物狂欢节成交额，建立了y 与时间变量t 的两个回归模型。
回归分析实例
2
3 4 5 6 7 8
1.8
2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8Fra bibliotek5.7
7.0 8.3 10.9 12.4 13.1 13.6
3.24
5.76 9.00 12.25 15.21 19.36 23.04
32.49
49.00 68.89 118.81 153.76 171.61 184.96
10.26
16.80 24.90 38.15 48.36 57.64 65.28
9
合计
5.0
30.3
15.3
91.1
25.00
115.11
234.09
1036.65
76.50
345.09
信息分析
• 根据前表可知：
b n xy x y n x 2 ( x) 2 9 345.09 30.3 91.1 2.9303 2 9 115.11 30.3
信息分析
(3)线性化迭代方法
如：
ˆ y ab
cx
高斯—牛顿迭代方法的基本思想就是使用泰勒级 数展开或去近似地代替非线性回归模型，通过多次迭 代，多次修正系数，使回归系数不断逼近非线性回归 模型的最佳回归系数，最后使原模型的残差平方和达 到最小。
信息分析
一元线性回归预测案例研究
例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行 回归预测。
信息分析
表4显示，常数（Constant）、居民户均收入（X2）具有统计意义， 而居民新结婚户数（X1）因显著性水平值（t=0.834＞0.5）较高而 不具有统计意义。从表4中可以推出模型方程： Y=-20.771+1.387X2。若预计2006年该地区居民新婚户数为30.2千户， 居民户均收入62.5千元，根据模型方程不难推出2006年电冰箱销售 量Y=-20.771+1.387×62.5=65.92（千台）。
回归分析案例
身高0.750.850.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85体重101215172022354148505154596675Matlab 实现：h=[0.75 0.85 0.95 1.08 1.12 1.16 1.35 1.51 1.55 1.6 1.63 1.67 1.71 1.78 1.85];m=[10 12 15 17 20 22 35 41 48 50 51 54 59 66 75];plot(x,y,'*')可令：,求系数可用p=polyfit(x,y,n), 其中,n=1,结果：p=[2.3,2.823]由此a dh m =h x m y ln ,ln ==得d=16.8,a=2.3,即有经验公式：。
3..28.16hm =也直接利用Matlab 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)alpha 为置信水平，r 为残差向量，stats 为回归βˆx y -模型的检验统计量，有3个值，第一个是回归方程的决定系数，第二个是F 统计量值，第三个是与F2R 统计量对应的概率值。
p 上例可如下操作：y=log(m)';x=[ones(length(y),1),log(h)'];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,x)b =2.82282.3000stat =1 1024 0.0000残差分析：rcoplot(r,rint)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例2：施肥效果分析（1992建模赛题）磷肥施用量（吨/公顷）与土豆产量：磷肥施用量024497398147196245294342土豆产量33.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73y(0)、y(24)是病态数据，以线性插值代替：磷肥施用量024497398147196245294342土豆产量33.4634.7636.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73氮肥施用量（吨/公顷）与土豆产量：氮肥施用量024497398147196245294342土豆产量33.4634.7636.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.731)模型选择:对于磷肥-----土豆：可选择函数或威布尔函数 xbea y -+=10,≥-=-x Be A y cx对于氮肥-----土豆：可选择函数,2210≥++=x x b x b b y2)模型的参数估计:可如下操作：x=[0 34 67 101 135 202 259 336 404 471]';y=[15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75]';X=[ones(length(y),1),x,x.^2];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)b =14.74160.1971-0.0003stat =0.9863 251.79710.0000即20003.01971.07416.14x x y -+=拟合曲线图：3) 显著性检验: (仅以氮肥-----土豆模型为例说明)A):回归方程的显著性检验:检验的概率p=0,说明方程是高度显著的.B):回归系数的的显著性检验:对: 1β0:110=βH 检验统计量 2539.10825802353=T 对: 2β0:220=βH 检验统计量 -1004341.84343142=T 都有 ,所以,均应拒绝原假设,认为系数显著地不为0.8945.1)7(05.0=>t T )2,1(=i i β4)残差诊断:标准化残差图如下12345678910标准化残差基本上均匀分布于-2至2之间,可以认为模型拟合是合理的.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------案例：牙膏的销售量某牙膏制造企业要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
【分析】应用回归分析整理课后习题参考答案
【关键字】分析第二章一元线性回归分析思考与练习参考答案2.1 一元线性返回有哪些基本假定?答：假设1、解释变量X是确定性变量，Y是随机变量；假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性：E(εi)=0 i=1,2, …,nVar (εi)= 2 i=1,2, …,nCov(εi, εj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n假设3、随机误差项ε与解释变量X之间不相关：Cov(Xi, εi)=0 i=1,2, …,n假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n2.2 考虑过原点的线性返回模型Yi=β1Xi+εi i=1,2, …,n误差εi（i=1,2, …,n）仍满足基本假定。
求β1的最小二乘估计解：得：2.3 证明（2.27式），ei =0 ，eiXi=0 。
证明：其中：即：ei =0 ，eiXi=02.4返回方程E（Y）=β0+β1X的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。
答：由于εi~N(0, 2 ) i=1,2, …,n所以Yi=β0 + β1Xi + εi~N（β0+β1Xi , 2 )最大似然函数：使得Ln（L）最大的，就是β0，β1的最大似然估计值。
同时发现使得Ln（L）最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。
值得注意的是：最大似然估计是在εi~N(0, 2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。
所以在εi~N(0, 2 ) 的条件下，参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。
2.5 证明是β0的无偏估计。
证明：2.6 证明证明：2.7 证明平方和分解公式：SST=SSE+SSR证明：2.8 验证三种检验的关系，即验证：（1）；（2）证明：（1）（2）2.9 验证（2.63）式：证明：其中：2.10 用第9题证明是2的无偏估计量证明：2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y（万元）和广告费用x（万元），数据见表2.6，要求用手工计算：表2.6月份 1 2 3 4 5X 1 2 3 4 5Y 10 10 20 20 40 （1）画散点图（略）（2）X与Y是否大致呈线性关系？答：从散点图看，X与Y大致呈线性关系。
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§3 可线性化的回归分析
1.散点图在回归分析过程中的作用是（ ）
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否线性相关 2.指数曲线bx
ae y =作线性变换后得到的回归方程为x u 6.01-=，则函数a bx x y ++=2的单调增区间为（ ）
),0.(+∞A ),103.(+∞B ),2
1
.(+∞C ),1.(+∞D
3.已知线性回归方程801.05.0-=x y ，则当25=x 时，y 的估计值是
4.已知两个变量y x ,的关系可以近似地用函数bx
ax y =来表示，通过变换后得到一个线性函数.利用最小二乘法得到的线性回归方程为x u 5.02+=，则y x ,的近似函数关系式为 5.某种书每册的成本费y （元）与印刷册数x （千册）有关，经统计得到数据如下： x 1
2
3 5 10 20 30 50 100 200 y
10.15 5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数1
x
之间是否具有线性相关关系，如有，求出y 对x 的回
归方程。
6.一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程，并预测当温度为C ︒37时红铃虫的产卵数.
温度C x ︒/
21
23 25 27 29 32 35 产卵数/y 个 7
11
21
24
66
115
325
7.在彩色显像中，根据以往的经验，知道染料光学密度y 与析出银的光学密度x 之间有如下函数关系：)0(<=b ae y x
b
.
我们通过11次试验得到如下数据： x 0.05 0.06 0.07 0.10 0.14 0.20 0.25 0.31 0.38 0.43 0.47 y 0.10
0.14
0.23
0.37
0.59 0.79 1.00
1.12
1.19
1.25
1.29
试通过拟合，确定函数的参数，并预测当析出银的光学密度为0.50时形成染料的光学密度.
教师评价：
高高二二理理科科数数学学 选选修修22——33《统计案例》
编号：2G10SX0029
编写：朱月卿 审核：管育华
编写时间：2012年3月 _____ 班___________
作 业
50 100
150 200 250 300 350 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39。