第1章 作业答案
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数字信号处理作业答案
班级_________ _ 学号_____ __ 姓名_____________
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1、用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示图1所示的序列。
图1
解：
()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)
0.5(4)2(6)
x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-
2、判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1）3()cos()7
8
x n A n π
π=-，A 是常数；
（2）1
()8
()j n x n e π-=。
解：
（1）3214,73w w ππ=
=，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w w
π
π==，这是无理数，因此是非周期序列。
3、设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。(要求有一定的分析过程) （1）()()2(1)3(2)y n x n x n x n =+-+-； （2）0()()y n x n n =-，0n 为整常数； （3）2
()()y n x n =；
（4）0
()()n
m y n x m ==∑。
解：
（1）令：输入为0()x n n -，输出为
'000'
0000()()2(1)3(2)
()()2(1)3(2)()
y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=
故该系统是时不变系统。
12121212()[()()]
()()2((1)(1))3((2)(2))
y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+-
1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+- 1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+
故该系统是线性系统。
（2）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为1()x n n -，输出为'
10()()y n x n n n =--，因为
'110()()()y n n x n n n y n -=--=
故延时器是一个时不变系统。又因为
12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+
故延时器是线性系统。
（3） 2
()()
y n x n = 令：输入为0()x n n -，输出为'2
0()()y n x n n =-，因为
2'00()()()y n n x n n y n -=-=
故系统是时不变系统。又因为
212121222
12[()()](()()) [()][()] ()()
T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+
因此系统是非线性系统。
（4） 0
()()n
m y n x m ==
∑
令：输入为0()x n n -，输出为'
()()n
m y n x m n ==
-∑，因为
0'
00
()()()n n m y n n x m y n -=-=
≠∑
故该系统是时变系统。又因为
1212120
[()()](()())[()][()]n
m T ax n bx n ax m bx m aT x n bT x n =+=+=+∑
故系统是线性系统。
4、给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
（1）1
1
()()N k y n x n k N
-==
-∑；
（2）00
()()n n k n n y n x k +=-=
∑
；
（3）()
()x n y n e
=。
解：
（1）只要1N ≥，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果()x n M ≤，则()y n M ≤，因此系统是稳定系统。 （2）如果()x n M ≤，0
0()()21n n k n n y n x k n M +=-≤
≤+∑
，因此系统是稳定的。系统是非因
果的，因为输出还和x(n)的将来值有关.
（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果()x n M ≤，则
()
()()x n x n M y n e e
e =≤≤，因此系统是稳定的。
5、设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入序列()x n 如图2所示，要求画出输出输出()y n 的波形。