2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(二)理科数学试题

合集下载

2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案

2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。

意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回。

第一部分选择题（共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合C u A= （）A．[-1,0] B．（-1,0）C．（-∞，-1] [0,+）D．[0,1]2．曲线y= x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（）A．y= x－2 B．y= -3x+2 C．y=2x－3 D．y=-x3．已知数列{a n}是等差数列，a2=2，a5=8，则公差d的值为（）A．B．C．2 D．-24．某几何体的正视图和侧视图均如左图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．47, 45, 56 B．46, 45, 53C．46, 45, 56 D．45, 47, 536．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+ 3y的最小值为A．6 B．7 C．8 D．237、两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A．5海里B．10海里C．5海里D．5海里8．已知点A（1，0），若曲线G上存在四个点B，C，D，E．使△ABC与△ADE都是正三角形，则称曲线G为“双正曲线”．给定下列四条曲线：①4x+3y2=0；②4x2+4y2=1；③x2+2y2=2；④x2－3y2=3其中，“双正曲线”的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3第二部分非选择题（共1 1 0分）二、填空题（本大题分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。

理科数学-2021年高三5月全国大联考(新课标Ⅱ卷)含答案解析

1绝密★启用前2021年高三5月大联考（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集2{|0}x U x x-=<，集合{|2,0}x A y y x ==<，则U A = A ．[1,)+∞B ．[1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞2．已知复数23i z =+（i 为虚数单位），则2||z z +在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列命题为真命题的是 A ．2,||10x x x ∀∈-+≤R B ．1,11cos x x∀∈-≤≤R C ．200,(ln )0x x ∃∈≤RD ．00,sin 3x x ∃∈=R4．中国某科研团队研制的重组新冠疫苗获批启动开展临床试验后，计划在某地区招募志愿者，经过电话沟通、核实情况，要从符合条件的16名男性和8名女性中选出9名志愿者参加试验，如果按照性别分层抽样来确定男女人数，并且甲、乙两名男性因身体素质优异为确定人选，则不同的抽样方法数是A ．63168C CB ．44148C C C ．43168C CD ．43148C C5．海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾.不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为2m 的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为（棱台体积公式：1()3V h S S S S ''=++棱台，S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高）A ．1423m B ．2823m C ．1433m D ．2833m 6．已知向量,,a b c 满足|4|++=a b c ，且||||||2,6===a b c ，向量a 与,b a 与c 的夹角都是23π，则b 与c 的夹角为A ．0B ．3π C ．23π D ．65π 7．曲线1e 2sin()2x y x -π-=在点(1,)1-处的切线方程为A ．0x y -=B ．e e 10x y --+=C ．e e 10x y ---=D ．20x y --= 8．如图所示的程序框图的功能是求函数()f x 的函数值，若2()(1)g x x =-，则不等式()()f x g x >的解集为A ．(1,2)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(2,)+∞9．已知抛物线2:(0)E y ax a =≠的焦点为F ，准线为l ，一圆以F 为圆心且与l 相切，若该圆与抛物线E 交于点00(,)M x y ，则0y x 的值为A ．2a -或2aB ．2aC ．2-或2D ．2-10．已知3(,)2α∈ππ，且123sin 2sin cos 225ααα++=-，则tan α=A ．43或34B ．23或32C ．1D ．13或3 11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+ππ(0,)44ωϕ>-<<的零点为x 轴上的所有整数，则函数()f x 的图象与函数2()5g x x =的图象的交点个数为 A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知(0,)4x π∈，且22cos sin 2cos 2cos 1cos 1sin 1,,e e e x x xx x x a b c +++===，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．c a b <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则AB =（） A. {}3,2--B. {}2,3C. {}3,2,3--D. {}3,2,2,3--【答案】C【解析】【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i -- 【答案】A【解析】【分析】通过分母实数化，求出z 即可.【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ，∴z ＝512i i +＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题.3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（） A. 6B. 9C. 12D. 15 【答案】B【解析】【分析】先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果.【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0.∵a 1＝1，a 3＝a 2+2，∴q 2＝q +2⇒q ＝2. ∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题. 4.若夹角为120︒的向量a 与b 满足2a b b +==，则a =（） A. 1 B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的应用，把2a b +=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论. 【详解】解：∵2a b +=， ∴2224a a b b +⋅+=，即24cos12044a a ++=，则2a =，或0a =（舍），故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 67πB. πC. 76πD. 2π【答案】C【解析】【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解.【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（）A. 32B. 127C. 53D. 85【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15 此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85. 故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（）A. 52B.C. 54D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求.【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ，由题意可得，M （1﹣r ，0），设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1），联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0. 由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r -. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54. ∴M （﹣14，0），N （14，1），则|MN |. 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题. 8.若直线y x =与曲线ln y x ax =+相切，则a =（） A. 1e B. 1e - C. 11e - D. 11e- 【答案】D【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x +=，即可求出a 的值.【详解】解：设切点为（x ，y ），由题意1y a x'=+. ∴ln 11x ax x a x+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11a e =-. 故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题. 9.抛物线上任意两点A ､B 处的切线交于点P ，称PAB △为“阿基米德三角形”.当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB △具有以下特征：①P 点必在抛物线的准线上；②PAB △为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（）A. 210x y --=B. 220x y +-=C. 210x y +-=D. 220x y --= 【答案】A【解析】【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程.【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，∴点P （﹣1，4），∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2，又∵PF ⊥AB ，∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0，故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（）A. 1mB. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤- 【答案】D【解析】【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出.【详解】解：函数()33f x x x =+， f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数.f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1]. ∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18. 故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =过该棱锥高的中点且平行于底面ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 20πB. 203πC. 4πD. 43π 【答案】A【解析】【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB =设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2，所以△P AC 是等腰直角三角形.因为截面A 1B 1C 1D 1过PM 的中点N ，所以N 为截面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，且PM ⊥截面A 1B 1C 1D 1. ∴PN ＝MN ＝A 1N ＝1，设球心为O ，球的半径为R ，则A 1O ＝AO ＝R .在直角三角形A 1ON 中，ON ==，∴11OM ON =-=.在直角三角形AOM 中，OA 2＝AM 2+OM 2，即224(1R =+，解得R 2＝5，故S ＝4πR 2＝20π.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R 的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O 为圆心，半径为1千米，现规划在OCD 区域种荷花，在OBD 区域修建水上项目.若AOC COD ∠=∠，且使四边形OCDB 面积最大，则cos AOC ∠=（）A. 171-B. 331-C. 1716D.3316 【答案】B【解析】【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值.【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1，∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+. 则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-.由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得01cos 8θ= 又cos θ在（0，2π）上单调递减， ∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈（18，1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减，当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0，18）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增， ∴当cos ∠AOC时，四边形OCDB 的面积最大. 故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x +≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可）【解析】【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1，带入.【详解】解：当0x >时，12x x +≥，当且仅当1x =取等号，当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可.例如x ＝－1时12x x+=-. 故答案为：－1（任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b -=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【答案】5 【解析】【分析】设P 的坐标，求出OP ，OF 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率.【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF ＝（c ，0），由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e ＝22c a＝222a ba +＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有36C 种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P 点的概率为______.【答案】35【解析】【分析】共有n ＝36C ＝20种不同的路线，其中该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p 点的概率.【详解】解：一个质点从A 点沿单位正方形的边以最短路径运动到B 点，共有n ＝36C ＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p 点包含的基本事件有m ＝6×2＝12种，该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =，又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确；又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3- x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225【解析】【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ，在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点，所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =，因为D 为1CC 中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形，所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ，所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -，设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B ，()003A ,,，()10,4,3A ，()1,2,0D -，所以()1,0,3BA =-，()2,2,0BD=-，()11,4,3BA =-，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则10BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()1,1,3n =-，设AB 与平面1A BD 所成角为θ，()()()()()2222221,0,31,1,3sin 103113BA n BA nθ-⋅-⋅==⋅-++++-255=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大. 【解析】【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元），所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+. （1）求A ；（2）从三个条件：①a =②b =③ABC求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值. （2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+，由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===，即ABC的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭3sin B B =++6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即ABC周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B=，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 2sin B B l a b c B B B +=++=++=26cos 224sincos 22B B B=+32tan2B =+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC 周长的取值范围是()+∞.选择③ABCS =.因为3A π=，1sin 24ABC S bc A ===△4bc =，由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC 的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】【分析】（1）求导，令'0fx得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可；（2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x+-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>，因为0a >，由'0fx得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>，所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；②若2a =，则21a，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >，所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x f x =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2a g a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-，设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-，则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程；（2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=.（2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39ty x =+，直线2A P 的方程为()33ty x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y .由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+.由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以43y m m =+≥，故244S m m =≤+.当且仅当m =t =12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 极坐标方程；（2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明. 【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩，解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=. 所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++≤【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。

2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析

2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】试题分析：复数，所以复数为虚数单位）的共轭复数是，其对应的点位于第一象限，故选A.考点：1、复数的运算；2、复平面；3、共轭复数.2.已知集合，，则集合的子集的个数为（）A． B． C． D．【答案】C考点：1、集合的概念；2、子集.3.设变量满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：作出约束条件对应的可行域如下，，其中表示可行域内的点到直线的距离，由上图可知，点到直线的距离最大，最大为，所以的最大值为故选A.123-1-2-3-1-212xyOABC(-2,2)x-y=0x=-2x+3y-4=0x-3y=0考点：线性规划．4.设且，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】考点：充分条件与必要条件．5.在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：因为，又因为，所以，由于三点共线，所以，从而的值为，故选A.考点：平面向量．6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的（）A． B．C． D．【答案】D【解析】考点：程序框图．7.若函数为奇函数，则的解集为（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【思路点晴】本题是一个关于函数的奇偶性、单调性方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．8.一个盒子里装有标号为的张标签，随机地选取张标签，则取出的张标签的标号的平均数是的概率为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：问题等价于“取出的张标签的标号的和是”，又等价于“选出两张并且和为”，而这样的选法有共种，而所有的取法有，从而所求概率是，故选A. 考点：古典概型．9.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若对满足的，有，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由条件可知，再根据题意可知,由于，所以不妨设1122332,222424x x x x ππππϕϕ=⇒=-=⇒=+，那么，故选D. 考点：三角变换．【思路点晴】本题是一个关于三角函数的变换以及三角函数的最大值、最小值方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：首先应根据三角函数的基本变换原理，由的解析式进而得到的解析式，再根据题目条件得出关于参数的式子，并从中解得参数的值，问题得到解决.10.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离不大于，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B考点：1、抛物线及焦点；2、双曲线及渐近线、离心率.【方法点晴】本题是一个关于抛物线及其焦点、双曲线以及其渐近线、离心率方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先求出抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，根据题意进而得到关于的一个不等式，再结合，即可求得双曲线的离心率的取值范围，并最终使问题得以解决.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.函数的定义域为______.【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案填.考点：1、函数的定义域；2、无理不等式及对数不等式.12.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得回归直线方程为，后来因工作人员不慎将下表中的实验数据丢失.天数（天） 3 4 5 6 7 繁殖个数y（千个） c 3 4 4.5 6则上表中丢失的实验数据的值为______.【答案】考点：回归分析.13.已知不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】试题分析：由于不等式的解集不是空集，所以，而，所以即，故答案填.考点：1、绝对值不等式；2、极端不等式.14.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为_____.【答案】【解析】考点：1、三视图；2、棱锥的体积.【思路点晴】本题是一个关于三视图方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先由三视图要正确的作出其对应的立体图形，一般的，如果一个几何体的三视图中，其正视图、左视图、俯视图都是三角形时，那么这个几何体应该是三棱锥.再结合本题三视图中的已知数据，即可求得该几何体的体积.15.已知函数，若存在互不相等的实数满足，则的取值范围是_____.【答案】【解析】考点：1、分段函数；2、函数图象.【方法点晴】本题是一个关于分段函数的图象方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先要根据分段函数在各部分上的解析式，正确的作出其图象，其次再根据，可作出一条水平直线，然后再根据这条水平直线的上下变化区间，即可求得的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）如图，在中，点在边上，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、三角形正弦定理；2、三角形面积.17.（本小题满分12分）小王创建了一个由他和甲、乙、丙共人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙人每次抢得红包的概率相同.（Ⅰ）若小王发次红包，求甲恰有次抢得红包的概率；（Ⅱ）若小王发次红包，其中第，次，每次发元的红包，第次发元的红包，记乙抢得所有红包的钱数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】（Ⅱ）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件. 则，.由题意知的所有可能取值为，（5分）由事件的独立性和互斥性，得 .（6分）278)32(312)()5(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（7分） 9231)32(32)31()()10(22321321=⨯+⨯=+==B B B B B B P X P .（8分）27432)31(2)()15(2321321=⨯⨯=+==B B B B B B P X P .（9分）.（10分）所以的分布列为所以乙抢得所有红包的钱数之和的数学期望3202712027415921027852780)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E .（12分）考点：1、事件的互斥性和独立性；2、随机变量的期望及分布列. 18.（本小题满分12分）如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成的角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】因为平面，所以.（6分）在中，，在中，，又因为，所以，所以为等腰直角三角形，所以的面积.设点到平面的距离为，由，得，得.（10分）设直线与平面所成的角为，则.（11分）所以直线与平面所成的角的正弦值为.（12分）考点：1、线线垂直；2、线面角.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】考点：1、通项公式及前项和公式；2、错位相减法及裂项相消法. 20.（本小题满分13分）已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点.（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，若直线轴，且与曲线交于另一点，直线与直线交于点. （1）证明：点恒在曲线上；（2）求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）.【解析】（Ⅱ）（1）设，则，且，所以直线，即①.（5分）直线，即.②（6分）联立①②，解得，（7分）所以点的坐标是. 则222222222)52(4936648025)52(3)52(4)85(34--++-=-+--=+m m m m m n m m y x B B 所以点恒在椭圆上.（9分）（2）设直线，，考点：1、椭圆；2、导数在函数（三角形的面积）研究中的应用.【方法点晴】本题是一个关于椭圆的概念以及直线与其位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件并结合椭圆的定义，即可求得动点的轨迹的方程；（Ⅱ）（1）根据（Ⅰ）的结论设出的坐标，并表示出的坐标，进而表示出直线与直线的交于点的坐标，即可证明点恒在曲线上；（2）根据（Ⅰ）及（Ⅱ）（1）的结论，再结合构造函数以及函数的单调性，即可求得面积的最大值.21.（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，都有成立（其中是函数的导函数），求实数的最小值；（Ⅲ）证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】所以，即当时，满足题设条件.（8分）2）当，即时，设是方程的两个实根，且，由，可知，由题设可知，当且仅当，即，即，即时，对任意有，即在上恒成立，所以在上为增函数，所以.所以时，也满足题设条件.（9分）综上可知，满足题设的的取值范围为，所以实数的最小值为.（10分）考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极端不等式的恒成立为题；3、裂项相消法及不等式的放缩.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（Ⅰ）根据题目条件以及导数的几何意义，即可求得的值；（Ⅱ）先根据（Ⅰ）的结论确定函数的解析式，再结合构造函数并对其求导以及分类讨论研究函数的单调性，进而可求得在上恒成立时实数的最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论并结合裂项相消法以及不等式的放缩法即可证得所需结论.922514 57F2 埲36356 8E04 踄\24747 60AB 悫=h31082 796A 祪$33230 81CE 臎h36440 8E58 蹘22237 56DD 囝25362 6312 挒38142 94FE 链。

2021年全国高考数学仿真模拟试卷(理科)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2021年全国高考数学仿真模拟试卷（理科）（全国Ⅱ卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(2021·全国·模拟题)若集合M={x|y=1√1−x}，N={x|x2−x<0}，则M∪N=()A. {x|x<1}B. {x|x>0}C. {x|0<x<1}D. {x|x≥1}2.(2021·全国·模拟题)若复数z满足(1+i)z=2−i(i为虚数单位)，则z的实部为()A. 1B. −3C. 12D. −323.(2021·山东省·其他类型)某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.(2021·全国·模拟题)下列双曲线的渐近线方程为y=±2x的是()A. x24−y2=1 B. x2−y24=1 C. y22−x2=1 D. y2−x22=15.(2020·河北省衡水市·月考试卷)已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则t为()A. ±1B. 1C. −1D. 06.(2021·全国·模拟题)已知某函数的部分图象大致如图所示，则下列函数中最合适的函数是()A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )7. (2021·全国·模拟题)若实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0，且ax +y +1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−45,+∞)B. (−∞,−45)C. (−54,−1)D. (1,54)8. (2021·全国·模拟题)若执行如图所示的程序框图，则输出a 的值为( )A. 20B. 25C. 30D. 359. (2021·全国·模拟题)若a =5log 232，b =(15)log 323，c =(√5)log 232，则( )A. c >a >bB. b >a >cC. a >c >bD. a >b >c10. (2021·福建省福州市·期中考试)若△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ，则A =( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π611. (2021·全国·模拟题)已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，经过点F 的直线l 的倾斜角为45°，且直线l 交该椭圆于A ，B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该椭圆的离心率为( )A. √33B. √22C. √23D. √3212. (2019·山东省济南市·期末考试)如图，四棱锥P −ABCD的底面ABCD 为平行四边形，CE =2EP ，若三棱锥P −EBD的体积为V1，三棱锥P−ABD的体积为V2，则V1的值为()V2A. 12B. 13C. 14D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·全国·模拟题)函数y=1的图象在x=4处切线的斜率为______ ．2√x(x∈[0,2π])实数根的个数为______ ．14.(2021·全国·模拟题)方程sinx=1+cos2x315.(2021·全国·模拟题)如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则直线BC1与直线D1E所成角的正切值是______ ．16.(2021·全国·模拟题)已知数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2018项的和为5928，则x=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·全国·模拟题)某校的1000名高三学生参加四门学科选拔性考试，每门学科试卷共有10道题，每题10分.规定：学科选拔性考试，每门错x(0≤x≤1,x∈N)题成绩记为A，错x(2≤x≤4,x∈N)题成绩记为B，错x(5≤x≤7,x∈N)题成绩记为C，错x(8≤x≤10,x∈N)题成绩记为D；在录取时，A记为90分，B记为80分，C记为60分，D记为50分.设某校的1000名高三学生参加某一门学科选拔性考试成绩统计如表：答错012345678910题数频数109010015015020010010050500(1)若以四门学科中任一门选拔性考试成绩估计考生的平均成绩，求学生选拔性考试的平均成绩；(2)若以四门学科中任一门学科选拔性考试成绩为参考数据，求“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率．18.(2021·全国·模拟题)已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且a3=5，S7=49．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=2a n+a n，数列{b n}的前n项和为T n，且T n≥1000，求n的取值范围．19.(2021·全国·模拟题)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中点，E在棱BB1上，点F在棱CC1上，且点E，F均不是棱的端点，AB=AC，BB1⊥平面AEF，且四边形AA1B1B与四边形AA1C1C的面积相等．(1)求证：四边形BEFC是矩形；(2)若AE=EF=2，BE=√3，求平面ABC与平面AEF所成角的正弦值．320.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=13x3−a(x2−x+1)．(1)若a=−2，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意的a∈R，f(x)只有一个零点．21.(2021·全国·模拟题)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为√22．(1)求实数p的值；(2)求直线l的方程．22.(2021·全国·模拟题)已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+√2costy=√2sint(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0．(1)求曲线C1的普通方程以及曲线C2的直角坐标方程；(2)判断曲线C1与曲线C2公共点的个数，并说明理由．23.(2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=|2x−2|−|x−2|．(1)求不等式f(x)<0的解集；(2)若存在x∈R，使得f(x)<a成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【知识点】并集及其运算【解析】解：∵M={x|x<1}，N={x|0<x<1}，∴M∪N={x|x<1}．故选：A．可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为(1+i)z=2−i，所以z=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，所以z的实部为12．故选：C．利用复数的除法运算法则求出复数z的代数形式，即可得到答案．本题考查了复数的除法运算法则的运用，复数基本概念的理解和应用，属于基础题．3.【答案】A【知识点】折线图、频率分布直方图【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：x24−y2=1的渐近线方程为：y=±12x，所以A不正确；x2−y24=1的渐近线方程为：y=±2x，所以B正确；y22−x2=1的渐近线方程为：y=±√2x，所以C不正确；y2−x22=1的渐近线方程为：y=±√22x，所以D不正确．故选：B．求出双曲线的渐近线方程，判断选项的正误即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．5.【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算、向量的模、向量的数量积【解析】解：根据题意，a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,t)，则a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得：t=−1；故选：C．根据题意，由向量的坐标计算公式可得a⃗+b⃗ =(3,2+t)，a⃗−b⃗ =(−1,2−t)，又由向量模的计算公式可得9+(2+t)2=1+(2−t)2，解可得t的值，即可得答案．本题考查向量的坐标计算，涉及向量模的计算，属于基础题．6.【答案】D【知识点】函数图象的作法【解析】解：根据题意，函数的图象关于y轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项：对于A，y=sin(e x+e−x)，有f(0)=sin2>0，A错误；对于B ，y =sin(e x −e −x )，有f(0)=sin0=0，B 错误；对于C ，y =cos(e x −e −x )，有f(0)=cos0=1，C 错误；对于D ，y =cos(e x +e −x )，有f(−x)=cos(e x +e −x )=f(x)，为偶函数，有f(0)=cos2，有−1<f(0)<0，D 正确；故选：D ．根据题意，可得函数的图象关于y 轴对称且−1<f(0)<0，据此依次分析选项，即可得答案．本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7.【答案】A【知识点】简单的线性规划【解析】解：作出不等式组{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0表示的平面区域如图所示， ∵ax +y +1≥0，∴ax ≥−y −1．讨论：当x =0时，y =2，此时ax ≥−y −1对任意a ∈R 成立；当x >0时，a ≥−y−1x，即−a ≤y+1x，y+1x的几何意义为可行域内的动点与定点P(0,−1)连线的斜率，联立{x +y −8=0x −5y +10=0，解得A(5,3)，∵k PA =3−(−1)5−0=45，∴(y+1x)min =45，则−a ≤45，得a ≥−45．综上，所求实数a 的取值范围是[−45,+∞). 故选：A ．画出不等式满足的平面区域，由ax +y +1≥0恒成立，可得−a ≤y+1x恒成立，求出y+1x的最小值，则答案可求．本题考查了简单线性规划，考查化归与转化、数形结合思想，是中档题．8.【答案】B【知识点】程序框图【解析】解：根据程序框图分析可知：a=20，b=80，s≠100；a=21，b=79，s≠100；a=22，b=78，s≠100；a=23，b=77，s≠100；a=24，b=76，s≠100；a=25，b=75，s=100，此时满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为25．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【知识点】对数函数及其性质【解析】解：∵b=(15)log323=5log332，c=(√5)log232=5log432，∵lg 3 2lg2>lg32lg3>lg32lg4，即log232>log332>log432，∴a>b>c，故选：D．利用指数幂的运算先化简为同底数，再根据换底公式和指数函数的单调性即可求解．本题考查对数的运算法则，换底公式的应用，指数函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【知识点】正弦定理【解析】解：∵asinC=√3ccosA，又∵由正弦定理可得，asinA =csinC，∴sinAsinC=√3sinCcosA，∴tanA=√3，又∵0<A <π， ∴A =π3，故选：A ．解：根据已知条件，以及正弦定理，可得tanA =√3，结合A 的取值范围，即可求解．本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于基础题．11.【答案】C【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：由题意知，F(c,0)，直线AB 的方程为y =x −c ，其中c 为椭圆C 的半焦距，联立{y =x −c b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，得(a 2+b 2)x 2−2a 2cx +a 2c 2−a 2b 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2a 2c a 2+b2，x 1x 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，∵AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(c −x 1,−y 1)=2(x 2−c,y 2)，即2x 2+x 1=3c ， ∴x 1=a 2c−3b 2c a 2+b 2，x 2=a 2c+3b 2c a 2+b 2，∴x 1⋅x 2=a 2c−3b 2c a 2+b 2⋅a 2c+3b 2c a 2+b 2=a 2(c 2−b 2)a 2+b 2，化简得a 4c 2−9(a 2−c 2)2c 2=a 2(2c 2−a 2)(2a 2−c 2)， ∵e =ca，∴e 2−9(1−e 2)2e 2=(2e 2−1)(2−e 2)，令t =e 2>1，可将上式整理为9t 3−20t 2+13t −2=0，即(t −1)2(9t −2)=0，解得t =1或29， ∴e 2=29，即e =√23，∴所求椭圆的离心率为√23．故选：C ．将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，借助韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得到关于离心率e 的方程，解之即可．本题考查椭圆的几何性质，离心率的求法，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2=V P−ABD=13×12Sℎ=16Sℎ，∵CE=2EP，∴PE=13PC，∴V1=V P−EBD=V E−PBD=13V C−PBD=13V P−BCD=13×16Sℎ=118Sℎ．∴V1V2=118Sℎ16Sℎ=13．故选：B．设四棱锥P−ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，由棱锥体积公式求得三棱锥P−ABD的体积，再由CE=2EP，借助于等体积法求得三棱锥P−EBD的体积，则答案可求．本题考查利用等体积法求多面体的体积，考查计算能力，是中档题．13.【答案】−132【知识点】导数的几何意义【解析】解：函数y=12√x ，可得y′=−14x−32，所以函数y=12√x 的图象在x=4处切线的斜率为：f′(4)=−14×4−32=−132．故答案为：−132．求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．本题考查函数的导数的应用，切线的斜率的求法，是基础题．14.【答案】2【知识点】函数的零点与方程根的关系、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵sinx=1+cos2x3，∴sinx=2cos2x3，得2sin2x+3sinx−2=0，∴sinx=−2(舍)或sinx=12，又∵x∈[0,2π]，∴x=π6或x=5π6．∴方程sinx=1+cos2x3(x∈[0,2π])实数根的个数为2．故答案为：2．利用二倍角公式变形，化为关于sin x的方程求解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角方程的解法，是基础题．15.【答案】√24【知识点】异面直线所成角【解析】解：分别延长D1E、C1B，延长线交于点M，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则MC1=2√2，由正方体的结构特征可知，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥MC1，∴tan∠D1MC1=12√2=√24．故答案为：√24．由已知求得MC1，再求解直角三角形得答案．本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】3【知识点】数列求和方法【解析】解：当n≥2时，前n个1之间共有n+[1+2+3+...+n−1]=n(n+1)2(项)，当n=63时，有2016项，所以在第63个1后面的第二个x就是第2018项，所以前2018项中含有63个1，其余的都均为x，故该数列前2018项的和为63×1+(2018−63)x=5928，解得x=3．故答案为：3．直接利用数据的规律和数列的求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的求和，规律性数据的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)根据题设知，学生选拔性考试的平均成绩成绩为：90×10+90100+80×100+150+1501000+60×200+100+1001000+50×50+50+01000=70(分)．(2)根据题意得P(A)=10+901000=110，P(B)=100+150+1501000=25， P(C)=200+100+1001000=25， P(D)=50+50+01000=110，∴某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，∴“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率为：P =C 41×(110)×(25)3+C 43×(110)3×(25)=17625．【知识点】众数、中位数、平均数、基本事件【解析】(1)由考试成绩统计表能求出学生选拔性考试的平均成绩成绩．(2)分别求出P(A)=110，P(B)=25，P(C)=25，P(D)=110，某一个学生录取时，选拔性考试成绩为330分，则该生四门学科成绩为一门90分，另三门均为80分或一门60分，另三门均为90分，由此能求出“某一个学生录取时选拔性考试成绩为330分”的概率．本小题主要考查平均数、古典概率等基础知识，考查运算求解、数据处理能力，体现基础性、创新性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注，是基础题． 18.【答案】解：(1)在等差数列{a n }中设首项为a 1，公差为d ，S n 为其前n 项和，且a 3=5，S 7=49．故{a 1+2d =57a 1+7×62d =49，整理得{a 1=1d =2，故a n =2n −1．(2)由(1)得：b n =22n−1+2n −1，所以T n =21+1+23+3+...+22n−1+2n −1=(21+23+...+22n−1)+(1+3+5+...+2n −1)=2×(4n −1)4−1+n 2=22n+1−23+n 2，由于T n ≥1000，所以22n+1−23+n 2≥1000，所以n ≥6，所以n 的取值范围为：n ≥6，n ∈N +．【知识点】数列求和方法、等差数列的求和【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式；(2)利用分组法的应用求出数列的和，进一步利用不等式的应用求出n 的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．19.【答案】(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BB 1//CC 1，BB 1⊥平面AEF ，所以CC 1⊥平面AEF ，则∠AEB =∠AFC =90°，又因为平行四边形AA 1B 1B 与平行四边形AA 1C 1C 的面积相等，BB 1=CC 1，所以AE =AF ，又因为AB =AC ，所以△AEB≌△AFC ，则EB =FC ，故四边形BEFC 为平行四边形，又因为BB 1⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，则BB 1⊥EF ，所以四边形BEFC 是矩形； (2)解：取EF 的中点G ，连结AG ，由(1)可知，AE =AF ，则AG ⊥EF ，因为BB 1⊥平面AEF ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，则平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ，又平面AEF ∩平面BB 1C 1C =EF ，所以AG ⊥平面BB 1C 1C ，以G 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则平面AEF 的一个法向量为n⃗ =(0,0,1)，因为AE =EF =2，G 为EF 的中点，AG ⊥EF ，所以AG =√3，故A(0,√3,0)，又BE =√33，所以B(−1,0,√33),C(1,0,√33)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3,√33)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√33)，设平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x −√3y +√33z =0x −√3y +√33z =0，令y =1，则x =0，z =3，故m⃗⃗⃗ =(0,1,3)，所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=1×√10=√10 则平面ABC 与平面AEF 所成角的正弦值为√1−(√10)2=√1010．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角【解析】(1)利用线面平行的性质可得CC 1⊥平面AEF ，可证明△AEB≌△AFC ，得到EB =FC ，即四边形BEFC 为平行四边形，通过线面垂直的性质，进一步证明四边形BEFC 是矩形；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABC 的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的性质定理的应用以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)当a =−2时，f(x)=13x 3+2(x 2−x +1)，则f′(x)=x 2+4x −2，令f′(x)>0，解得x <−2−√6或x >−2+√6，令f′(x)<0，解得−2−√6<x <−2+√6，∴f(x)的单调增区间为(−∞,−2−√6),(−2+√6,+∞)，单调减区间为(−2−√6,−2+√6)；(2)证明：令f(x)=13x 3−a(x 2−x +1)=0，则x 3x 2−x+1−3a =0，设k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，则k′(x)=x 2(x 2−2x+3)(x 2−x+1)2=x 2[(x−1)2+2](x 2−x+1)2≥0，∴k(x)单调递增， ∴k(x)至多有一个零点，又f(3a +1)=6a 2+2a +13>0,f(3a −1)=−13<0， ∴对任意的a ∈R ，f(x)只有一个零点【知识点】利用导数研究函数的单调性【解析】(1)将a =−2代入，求导，判断导函数与0的关系即可求得单调区间； (2)令f(x)=0，可构造函数k(x)=x 3x 2−x+1−3a ，对k(x)求导后可判断其在R 上单调递增，再结合零点存在性定理得证．本题考查里利用导数研究函数的单调性及零点问题，涉及了零点存在性定理的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)据题意，得−p2=−1,p =2．(2)据题设知，抛物线的焦点为F(1,0)．据题意设直线l 的方程为x =my +1，联立直线方程与抛物线方程可得：y 2−4my −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，所以x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，所以线段AB 的中点M 坐标为(2m 2+1,2m)．又因为O 为坐标原点，直线OM 的斜率为√22，所以2m1+2m 2=√22，解得m =√22，所以所求直线l 的方程为x =√22y +1，即√2x −y −√2=0．【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】(1)由题意得到关于p 的方程，解方程可得p 的值；(2)设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理得到关于m 的方程，解方程即可确定直线方程．本题主要考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+√2costy =√2sint(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=2；曲线C 2的极坐标方程为2ρcosθ−ρsinθ−4=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转化为直角坐标方程为2x −y −4=0．(2)利用圆心(1,0)到直线2x −y −4=0的距离d =√(−1)2+22=2√55<√2，所以直线与圆相交，故圆与直线有两个交点．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式的应用和直线与圆的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)<0，∴|2x−2|−|x−2|<0，∴|2x−2|<|x−2|，∴(2x−2)2<(x−2)2，∴3x2−4x<0|∴0<x<4，3).所求不等式的解集为(0,43(2)f(x)=|2x−2|−|x−2|，当x≤1时，f(x)=2(1−x)−(2−x)=−x，当1<x≤2时，f(x)=2(x−1)−(2−x)=3x−4，当x>2时，f(x)=2(x−1)−(x−2)=x，即f(x)min=−1，∵存在x∈R，使得f(x)<a成立，∴a>−1，∴实数a的取值范围(−1,+∞)．【知识点】不等式的恒成立问题、不等式和绝对值不等式【解析】(1)由题意可知f(x)<0，即|2x−2|−|x−2|<0，可得|2x−2|<|x−2|，对两边平方，即可求解．(2)对绝对值不等式分类讨论，结合含参方程的解法，即可求解．本题考查了绝对值不等式的求值，以及含参方程恒成立问题，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．。

2021年高三第二次高考模拟试题数学理含答案

2021年高三第二次高考模拟试题数学理含答案注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第I卷时．选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效，第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．定义运算(a，b)※((c，d) =ac－bd，则符合条件(z，1+2i)※(1+i，1－i)=0的复数z所对应的点在A.第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．一算法的程序框图如图，若输出的y=，则输入的x的值可能为A. －1B.0C．1 D．53．把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为A. y=5cosx B．y=5cos4xC．y=－5 cosx D．y=－5 cos4x4．已知直线a，b，平画，且a⊥，，则“a⊥b”是“∥”的A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．三个实数a、b、c成等比数列，若a+-b+c=l成立，则b的取值范围是A．(0，] B．[-1，] c．[－，0) D．6．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(0，－1)，B(，－1)，C （，1），D(0，1)，正弦曲线和余弦曲线在矩形ABCD内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 A ． B ． C ． D ． 7．设为非零向量，，两组向量和均由2个和2个排列而成．若．的所有可能取值中的最小值为，则与的夹角为 A ． B ． C ． D ． 8．已知点E 、F 、G 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1、CC 1、 DD 1的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、AG 、BE-、C 1B 1上．以 M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥P-MNQ 的俯视图不可能是9．对于任意的x ∈R ，不等式恒成立．则实数a 的取值范围是 A. a<2 B ．a≤2 C ．a≤3D ．a<310.已知O 为坐标原点，向量.若平面区域D 由所有满足(22,11)OC OA OB λμλμ=+-≤≤-≤≤的点C 组成，则能够把区域D 的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是 A ． B. C ． D ．11.已知双曲线是实轴顶点，F 是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得△P i A 1A 2 (i=l ，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．12.斜率为k （k≠0）的两条直线分别切函数的图象于A ，B 两点．若直线AB 的方程为y=2x －l ，则t 十k 的值为 A.8 B ．7 C ．6 D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2021年高三下学期二模考试数学(理)试题含解析

2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是（） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记，则下列结论正确的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为【答案】【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为【答案】【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是【答案】【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且满足（1）求角B 的大小；（2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分设的中点为，则，因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2），【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为：，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。

2021年河北省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．31010．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．411．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕 B．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕D．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．cos〔n+1〕π，数列{b n}的前16．数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n，b n=a n a n+1n项和为T n，假设T n≥tn2对n∈N*恒成立，那么实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC ﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．18．〔12分〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．〔12分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．20．〔12分〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．〔12分〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z〔1+i〕=1+3i，得，应选：A．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题．2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解集合B，∁U A，∁U B．根据集合的根本运算即可求〔∁U A〕∩〔∁U B〕．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={2，4，5，6}集合B={|x=log2〔a+1〕，a∈A}，当a=1时，B={x|x=log2〔2+1〕=1，当a=3时，B={x|x=log2〔3+1〕=2，当a=7时，B={x|x=log2〔7+1〕=3，∴集合B={1，2，3}，∴∁U B={4，5，6，7}，故得〔∁U A〕∩〔∁U B〕={4，5，6}应选C．【点评】此题主要考查集合的根本运算，比拟根底．3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，那么p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，应选：A．【点评】此题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道根底题．4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，由此利用条件概率计算公式求得P〔B/A〕的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P〔B/A〕===．应选：C．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，那么sin〔2θ+〕=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==应选：A．【点评】此题主要考查了正余弦函数的定义的运用和两角和与差的公式以及二倍角公式的化简和计算能力，属于中档题．6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，从而得到g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，∴f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，∴g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕=﹣log33=﹣1．应选：A．【点评】此题考查函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】根据平移变换的规律求解出g〔x〕，根据函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g〔x〕取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到g〔x〕=sin[ω〔x〕]=sin〔ωx﹣〕，函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g〔x〕取得最大值，即〔ω×﹣〕=，k∈Z，ϖ＞0．当k=0时，解得：ω=2．应选：C．【点评】此题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于根底题．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下列图所示：由图可知，由可得C〔，﹣〕，由：，可得A〔﹣4，4〕，由可得B〔2，1〕，当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．应选：D．【点评】此题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法〞解题是解答此题的关键．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．310【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+C101，k=2，满足进行循环的条件，v=22+2C101+C102，…∴v=210+29C101+…+C1010=310，故输出的v值为：310，应选D．【点评】此题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ．【解答】解：如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ．连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD ==．应选：B ．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．椭圆C ：=1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，那么的取值范围是〔〕A ．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C ．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 D ．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】取特殊点P 〔0，2〕，P 〔0，﹣2〕，求出，利用排除法，可得结论．【解答】解：取特殊点P〔0，2〕，那么PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q〔﹣，〕，∴k PB=﹣1，k QF==﹣，∴=．同理取P〔0，﹣2〕，=﹣．根据选项，排除A，B，C，应选D．【点评】此题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]【考点】函数恒成立问题．【分析】设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，求出g〔x〕的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于〔m，n〕，求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a 的范围．【解答】解：设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，由题意可得g〔x〕=xe x在直线f〔x〕=2ax﹣a下方，g′〔x〕=〔x+1〕e x，f〔x〕=2ax﹣a恒过定点〔，0〕，设直线与曲线相切于〔m，n〕，可得2a=〔m+1〕e m，me m=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1〔舍去〕或﹣，那么切线的斜率为2a=〔﹣+1〕e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g〔﹣1〕=﹣e﹣1，f〔﹣1〕=﹣3a，由f〔﹣1〕=g〔﹣1〕，可得a=，由直线绕着点〔，0〕旋转，可得≤a＜，应选：B．【点评】此题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．【考点】根本不等式．【分析】利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，那么+==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】此题考查了“乘1法〞与根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=1．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据向量的根本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C〔λ﹣4，〕，∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的根本运算求出C的坐标是解决此题的关键．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= π〔e ﹣1〕．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积．【解答】解：由曲线y=2lnx ，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π〔e ﹣1〕，故答案为：π〔e ﹣1〕．【点评】此题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决此题的关键．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，假设T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，那么实数t 的取值范围是〔﹣∞，﹣5] ．【考点】数列递推式．【分析】n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n =2n +1．b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π，n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．对n 分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出．【解答】解：n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+2n ﹣[〔n ﹣1〕2+2〔n ﹣1〕]=2n +1．n=1时也成立，∴a n =2n +1．∴b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π， n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．因此n 为奇数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+〔2n +1〕〔2n +3〕=3×5+4×〔7+11+…+2n +1〕=15+4×=2n 2+6n +7．T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立， ∴2n 2+6n +7≥tn 2，t ≤++2=，∴t ＜2．n 为偶数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣〔2n +1〕〔2n +3〕=﹣4×〔5+9+11+…+2n +1〕=﹣2n 2﹣6n ．∴T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴﹣2n 2﹣6n ≥tn 2，t ≤﹣2﹣，∴t ≤﹣5．综上可得：t ≤﹣5．故答案为：〔﹣∞，﹣5]．【点评】此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•宁城县一模〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理、两角和的正弦公式化简的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；〔Ⅱ〕由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…〔2分〕2sinAcosC﹣sinC=2sin〔A+C〕=2sinAcosC+2cosAsinC，∴﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又A∈〔0，π〕，∴A=；…〔6分〕〔Ⅱ〕在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，由正弦定理得，∴sin∠ADB===，…〔8分〕由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2〔〕=，∴∠ACB==，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=2+2﹣2×=6，∴a=…〔12分〕【点评】此题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．〔12分〕〔2021•河北二模〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．〔2〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，∴该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．〔2〕由〔1〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，P〔ξ=0〕=〔〕3=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕=〔〕3=，∴ξ的分布列为：ξ01 2 3P∴Eξ=3×=1.8．【点评】此题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．〔12分〕〔2021•河北二模〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD ⊥平面BFED．〔Ⅱ〕以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…〔Ⅱ〕∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，P〔0，λ，〕，=〔﹣1，，0〕，=．取平面EAD的一个法向量为=〔0，1，0〕，设平面PAB的一个法向量为=〔x，y，z〕，由=0，•=0得：，取y=1，可得=〔〕．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…〔12分〕【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．〔12分〕〔2021•河北二模〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；〔2〕设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：〔1〕由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P〔﹣2，1〕代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；〔2〕证明：A，B，Q是P〔﹣2，1〕分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，即有△=4t2﹣4〔2t2﹣4〕＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，那么k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=2〔y2﹣y1〕﹣〔x1y2+x2y1〕+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣〔x1x2+tx1+tx2〕+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t〔x1+x2〕﹣4=﹣〔2t2﹣4〕+2t2﹣4=0，那么直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•河北二模〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔1〕f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；〔2〕利用韦达定理，可得=lna﹣a﹣1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的最小值．【解答】解：〔1〕由题设知，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根x1，x2，〔x1＜x2〕那么，∴a＞4，〔0，x1〕，f′〔x〕＞0，〔x1，x2〕，f′〔x〕＜0，〔x2，+∞〕，f′〔x〕＞0，∴x1，x2是f〔x〕的两个极值点，符合题意，∴a＞4；〔2〕f〔x1〕+f〔x2〕=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a〔lna﹣a﹣1〕，∴=lna﹣a﹣1，令y=lna﹣a﹣1，那么y′=﹣，∵a＞4，∴y′＜0，∴y=lna﹣a﹣1在〔4，+∞〕上单调递减，∴y＜ln4﹣3，∵不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，x1+x2＞0，∴是λ的最小值ln4﹣3．【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕〔2021•河北二模〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔Ⅰ〕利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为为〔t为参数〕，代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．…〔4分〕〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为〔t为参数〕代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=…〔10分〕【点评】此题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2021•河北二模〕关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】〔Ⅰ〕利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．〔Ⅱ〕构造柯西不等式即可得到结论．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值为1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕a+b+c=1．由柯西不等式：〔 ++1〕〔4a2+9b2+c2〕≥〔a+b+c〕2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．【点评】此题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．。

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二)数学

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合,}{0,,{02,4}A x B ==，若A B ，则实数x 的值为 (A)0或2 (B)0或4 (C)2或4 (D)0或2或42．若复数z 满足zi ＝2＋5i (i 为虚数单位)，则z 在复平面上对应的点的坐标为(A)(2，5) (B)(2，-5) (C)(-5，2) (D)(5，-2)3．命题“∃x0∈R，x02－x0＋1≤0的否定是(),A x∃∈R x02－x0＋1＞0 (B)∀x∈R，x2－x＋1≤0()C x∃∈R，x02－x0＋1≥0(D) ∀x∈R，x2－x＋1＞04．如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是5．已知函数2(2)f x x x--＝,则()2log3f=(A)2 (B)83(C)3 (D)1036．已知实数x,y满足10,20,50xxx y-≥⎧⎪-≥⎨⎪+-⎩则z＝2x＋y的最大值为(A)4 (B)6 (C)8 (D)107．在等比数列{a n}中，已知19nn na a+=，则该数列的公比是（A）-3 (B)3 （C）±3 (D)98．已知函数f(x)＝x3－3x，则“a>-1”是“f(a)＞f(－1)”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9．已知F1，F2是双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左，右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且1264F AFππ∠，则该双曲线离心率的取值范围是()A[5,13] ()B[5,3] (C) [3,13] (D)[7,3]10．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m，圆心角为π4的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示则观赛场地的面积最大值为（A）200m2 ()B400(2－2)m2(C)400(3－1)m2(D)400(2－1)m211．在三棱锥P ABC —中,,AB BC P ⊥在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ， DP = DC= 1, 有下列结论： ①三棱锥 P — A B C 的三条侧棱长均相等； ②∠P AB 的取值范围是(π4，π2)③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为2π3④若 A B = B C ，E 是线段PC 上一动点，则+DE BF 的最小值为6＋22其中正确结论的个数是(A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 12．已知函数()sin 10,01, )4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭（588f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且f (x )在区间30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为2．若对任意的x 1，x 2∈[0，t ]，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是(A)3π4 (B)2π3 （C)712π (D)π2第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上 13．已知向量(1,),(2,3),λ==a b 且,⊥a b 则实数λ的值为 ▲14．某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为,y bx a ＝＋若下一次实验中x ＝170，利用该回归直线方程预测得117,y =则b 的值为 ▲15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1.S 5=35,112(211n n n S S S n n n n -+=+-+且且n +N ,∈则12231011111a a a a a a +++的值为 ▲ 16．已知点F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，经过点F 且倾斜角为02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭的直线与抛物线相交于A ，B 两点,(OAB O ∆为坐标原点)的面积为2sin 2α，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则|FM|的值为 ▲三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2021年高三二模数学理试题

2021年高三二模数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（xx•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．解答：解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．故选B．点评：本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．（5分）（xx•海淀区二模）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（）A．3B．2C．3或﹣2 D．3或﹣3考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1•a3=4，a4=8，得，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．当q=2时，代入②得，a1=1．当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．所以a1+q的值为3或﹣3．故选D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．3．（5分）（xx•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．解答：解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=×a2=．故选C．点评：本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．4．（5分）（xx•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（xx•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．解答：解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．也就不得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．故选B．点本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，评：能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．6．（5分）（xx•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（）A．32 B．36 C．42 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．解答：解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有2=12种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有2×2×=8种情况．因此所有的排法总数为12+12+8=32种．故选A点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．7．（5分）（xx•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解答：解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．故选B．点本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．评：8．（5分）（xx•海淀区二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n 成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（）A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列考点：命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明．解答：解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（xx•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为2．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．解答：解：直线ρcosθ=2 即x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故答案为2．点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．10．（5分）（xx•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为c＞b＞a．考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断．解答：解：∵a=ln＜ln1=0，0＜b=sin≈sin＜sin30°=，c===＞，∴c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．11．（5分）（xx•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．解答：解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为y﹣0=（x+2），即x﹣3y+2=0．直线l2过的斜率等于=﹣，由点斜式求得它的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即x+y﹣2=0．由，解得，故直线l1与直线l2的交点坐标为，故答案为．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．12．（5分）（xx•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=2；S△ABC=．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，∴由正弦定理，得b===2∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°∴S△ABC=absinC==故答案为：2，点评：本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题．13．（5分）（xx•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．14．（5分）（xx•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．（Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是②③；（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为．考点：轨迹方程；命题的真假判断与应用．分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．解答：解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=∴|xy|+x+y﹣1=0∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=故答案为：②③；点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．考点：二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（I）∵sin（x﹣）≠0，∴x﹣≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，又注意到x≠kπ+，则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（13分）（xx•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．解答：解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1﹣0.52=0.75…（4分）（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）故ξ的分布列为ξ 5 0 ﹣45 ﹣145P 50% 50%﹣2%﹣p 2% p…（8分）所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p…（11分）所以当1.6﹣145p＞0时，即…（12分）所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）点评：本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）（xx•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．考用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，﹣3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE 与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，∴AC=4，∠CAB=60°，∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分∴HE∥PC…3分同理可证EF∥PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴平面EFH∥平面PBC；…5分（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分因为E（0，﹣1，），=（0，﹣1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），∵=（，1，0），=（0，0，2），∴，即，令x=，则y=﹣3，∴=（，﹣3，0）…8分cos＜，＞===…10分∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．18．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数f（x）=e x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a ﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；解答：解：（I）因为，其中t≠a…（2分）当a=0，，其中t≠0当t＞0时，，，所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）当t＜0时，，，令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减…（7分）综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）（II）因为，其中t≠a当a＞2，t∈[0，2]时，因为∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，所以当t=2时，S（t）取得最大值令，解得，所以a≥3…（10分）当a﹣1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a﹣1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a﹣1，2）成立，S（t）单调递减，所以当t=a﹣1时，S（t）取得最大值，令，解得a≥ln2+2，所以ln2+2≤a＜3…（12分）综上所述，ln2+2≤a…（13分）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．19．（14分）（xx•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O 为原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，∵≤=，∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=…8分所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②代入①，得到0＜t＜4，…10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1﹣x2|=•，所以S△AOB=|AB||d|=••，化简得：S△AOB=…12分∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．综上，S△AOB取得最大值为…14分点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．20．（13分）（xx•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（Ⅰ）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1表1（Ⅱ）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；a a2﹣1 ﹣a ﹣a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2表2（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．考点：切变变换．专题：计算题；图表型．分析：解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；（III）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．解答：解：（I）法1：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第4列得：1 2 3 7 ﹣2 1 0 ﹣1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法2：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 ﹣1 改变第4列得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法3：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第1列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1改变第4列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1（写出一种即可）…（3分）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，则a a2﹣1 a ﹣a22﹣a 1﹣a2﹣a+2 a2则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得a=1，a=2．…（6分）②如果操作第一行﹣a ﹣a2+1a a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2解得a=1 …（9分）综上a=1 …（10分）（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…（13分）点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．x 29131 71CB 燋•29300 7274 牴{20732 50FC 僼29747 7433 琳34127 854F 蕏35998 8C9E 貞? 38954 982A 頪8。

2021年高三下学期第二次高考模拟考试数学理试题含答案

2021年高三下学期第二次高考模拟考试数学理试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合，，则A．B．C．D．2．设命题：若，，则；命题：若函数，则对任意都有成立．在命题①；②；③；④中，真命题是A．①③B．①④C．②③D．②④3．已知复数，则A．1B．C．D．4．口袋中有5个小球，其中两个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则在取到的两个球同色的条件下，取到的两个球都是白球的概率A．B．C．D．5．已知，满足约束条件则目标函数的最大值为A ．B ．C ．D ． 6．如图，给出的是求……的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是 A ． B ． C ． D ．7．方程为A ．B ．C ．D ．或8．已知函数（）的图象过点，如图，则的值为 A ． B ． C ．或 D ．或9．等腰直角中，，轨迹是（虚线为各段弧所在圆的半径）10．已知数列为等差数列，且公差，数列为等比数列，若，，则A ．B ．C ．D ．与大小无法确定11．四棱锥的底面是边长为的正方形，高为1，其外接球半径为，则正方形的中心与点之间的距离为A ．B ．C ．或1D ．或12．已知点为函数的图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．xx 哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．若，则二项式的展开式各项系数和为． 14．点在的边所在直线上，且满足（），则在平面直角坐标系中，动点的轨迹的普通方程为． 15．数列中，，前项和为，且，则数列的通项公式为．16．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题，共7017．（本小题满分12分）已知．（Ⅰ）若，求的值域；（Ⅱ）在中，为边所对的内角，若，，求的最大值． 18．（本小题满分12分）某汽车公司为调查4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A ，B ，C ，D ，E 五座城市的4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：（Ⅰ）根据该统计数据进行分析，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）现要从A ，B ，E 三座城市的9家4S 店中选取4家做深入调查，求A 城市中被选中的4S 店个数X 的分布列和期望．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．正视图侧视图俯视图19．（本小题满分12分）正方体中，沿平面将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线的平面与线段交于点．（Ⅰ）当与重合时，求证：；（Ⅱ）当平面平面时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．A1A MB1C1C B20．（本小题满分12分）已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知动圆的圆心在抛物线上，且过定点，若动圆与轴交于、两点，求的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数（为常数），函数，（为常数，且）．（Ⅰ）若函数有且只有1个零点，求的取值的集合；（Ⅱ）当（Ⅰ）中的取最大值时，求证：．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲等腰梯形中，∥，、交于点，平分，为梯形外接圆的切线，交的延长线于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，求的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线、的直角坐标方程；（Ⅱ）若、分别为曲线、上的任意点，求的最小值．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．xx 年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案一、选择题DDADC BBADC BC 二、填空题13． 14． 15． 16． 17．（Ⅰ）， -------------3分，的值域为；-------------6分（Ⅱ），，，-------------9分22121AB AC AB AC AB AC ∴=+-≥-，11cos 22AB AC AB AC A AB AC ∴⋅==≤．的最大值为． -------------12分 18．（Ⅰ），22222(34)(2830)(44)(3030)(64)(3530)(54)(3130)(24)(2630)ˆ 2.1,(34)(44)(64)(54)(24)b--+--+--+--+--∴==-+-+-+-+--------------3分，y 关于x 的线性回归方程为：．-------------6分（Ⅱ）的可能取值为：．，，，． -------------9分．-------------12分19．（Ⅰ）连接，在正方形中，，正方体中，平面，平面，，平面，，即；-------------4分（Ⅱ）正方体中，、、两两垂直，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设，，，设，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，平面的法向量为，平面的法向量为，平面平面，，得，，--------8分设平面与平面所成锐二面角为，则．-------------12分20．解：(1) 设抛物线的焦点为，则直线，由，得 -------------2分，，，抛物线的方程为 ------------4分 (2) 设动圆圆心，则，且圆，令，整理得：，解得：，-------------4分1A 1A（M ）B C 1CB A 1A设32816132832816)4(16)4(||||0200020*******++-=+++-=+++-==x x x x x x x x x DB DA t ，当时，，①当时，，，，，且，②综上①②知， -------------8分在单调递减， 22121121||||||||=-+-≤+=+∴t t DA DB DB DA ，当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为． -------------12分 21．（1）解：，----------------------------------------------------------------1分 ①时，，则在上单调递增．而()()011112222<-≤--=+--=---k k k e k kek ef ，，故在上存在唯一零点，满足题意； -------------------------3分 ②时，令得，则在上单调递增；令得，则在上单调递减；若，得，显然满足题意； -------------------------------4分若，则，而，又122ln 2142ln 242+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛k k k k k f ，令，则，令，得，故在上单调递增；令，得，故在上单调递减；故，则，即，则01122ln 2142ln 242<-<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛k k k k k f ．故在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意．综上，的取值的集合为． -----------------------6分（2）由（1）知，，当且仅当时取，而，故，则时，()()>-+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22ln 214ln 2x x x a a axe x f x ag x22ln 222ln 24---=-+--x x axe x x x a a axe x x-------------8分记，则()()()2121-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='x xaxe xx x ae x x F ，令，则，故在上单调递增．而，，故存在，使得，即． -------------10分则时，，故；时，，故．则在上单调递减，在上单调递增，故()()()000000ln 22ln 220x x x x eax x F x F x +-=---=≥．故． -------------12分22． (1) 为圆的切线，平分PAD DAC BAC ABC PAQ AQP ∴∠+∠=∠+∠∴∠=∠为圆的切线．-------------6分(2) ，．-------------12分23．(1) ．-------------6分(2)设，则AB ==，当且仅当时．-------------12分24．(1) 或．-------------6分 (2)当时，，原式恒成立；当时，原式等价转换为恒成立，即．，当且仅当即时取等，．-------------12分22363 575B 坛33888 8460 葠 26382 670E 朎 )20215 4EF7 价31209 79E9 秩u37991 9467 鑧39330 99A2馢30485 7715 眕24680 6068 恨-37544 92A8 銨。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理科)

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（二）数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.全集U =R ，(){}ln 1A x y x ==+，{}220B x x x =--<，则() UBA =（）A. ()2,+∞B. (),2-∞C. ∅D. ()1,2-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件先求出集合A 和集合B ，再求出集合A 的补集，再运用集合的并集运算即可. 【详解】因为{}1A x x =>-，{}12B x x =-<<，所以{} 1UA x x =≤-，故(){} 2UB A x x ⋃=<.故选：B【点睛】本题主要考查了集合并集运算，属于容易题.2.欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数432i z e iπ=+的模为（）A.3B.5 C. 22 D. 2【答案】B 【解析】【分析】由题意可得42222ie i π=+，代入432i z e i π=+并对其化简，再代入模长计算公式即可.【详解】因为42222ie i π=+，所以4323112i z e i i i iπ=+=-++=-，从而5z =. 故选：B【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.3.空气质量AQI 指数是反映空气质量状况指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 [)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[)200,300 [)300,+∞空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图所示的是某市11月1日至20日AQI 指数变化的折线图：下列说法不正确的是（）A. 这20天中空气质量为轻度污染的天数占14B. 这20天中空气质量为优和良的天数为10天C. 这20天中AQI 指数值的中位数略低于100D. 总体来说，该市11月上旬的空气质量比中旬的空气质量好【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件对每个选项进行判断即可.【详解】对于A ，20天中AQI 指数值高于100，低于150的天数为5，即占总天数的14，故A 正确；对于B ，20天中AQI 指数值有10天低于100，故B 正确；对于C ，20天中AQI 指数值有10天低于100，10天高于100，根据图可知中位数略高于100，故C 错误；对于D ，由图可知该市11月上旬的空气质量的确比中旬的空气质量要好些，故D 正确. 故选：C【点睛】本题考查了统计列表中的折线图来解决问题，属于较易题.4.已知5cos 57πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则7cos 104tan 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A. 57-B. 7-C.D.57【答案】D 【解析】【分析】先利用诱导公式对要求的式子进行化简，再结合已知条件即可.【详解】7cos cos sin 255105cos 457tan tan tan 555ππππαααπαπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭===-= ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查了已知一个三角函数值，求另一个式子的值，考查了利用诱导公式化简并求值，属于较易题.5.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的斜率2k ≥，则C 的离心率的取值范围是（）A. 51,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭C. (1,5⎤⎦D. )5,⎡+∞⎣【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得2bk a=≥，再利用双曲线中的222c a b =+的关系进行求解即可. 【详解】因为2b k a =≥，所以215b e a ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率以及双曲线中的222c a b =+的关系，属于较易题.6.下图是为了统计某班35名学生假期期间平均学习时间而设计的程序框图，其中i A 表示第i 位学生的学习时间，则判断框中可以填入的条件是（）A. 37?i ≤B. 36?i ≤C. 35?i ≤D. 34?i ≤【答案】C 【解析】【分析】由题意可得到流程图的功能是求35位学生的平均学习时间，再根据流程图来判断循环结束条件即可.【详解】读取流程图可知，当计算了前34位学生的学习时间的和后，再执行1i i =+后，得35i =，此时应满足判断框的条件；当计算了前35位学生的学习时间的和后，再执行1ii =+后，得36i =，此时应不满足判断框的条件.故应填入“35?i ≤”. 故选：C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图中的循环条件的判断，属于一般题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AD 的中点，F 为正方形11B C CB 的中心，则异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为（） A. 30-B.30 C. 0D.12【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系D xyz -，写出相关点的坐标，代入数量积的夹角公式即可. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,0,0E ，所以()1,2,1AF =-，()11,0,2A E =--，故11130cos ,65AF A E AF A E AF A E⋅===-⨯.因为异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线AF 与1A E 所成角的余弦值为30.故选：B【点睛】本题考查了利用空间向量求异面直线的夹角，考查了学生的计算能力，属于一般题.8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+()0,ωπϕπ>-<<的部分图象如图所示，为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()222cos2sin 22xxg x ωω=-的图象向右平移()0m m >个单位长度，则m 的最小值为（）A.12πB.6πC.4π D.3π 【答案】A 【解析】【分析】根据题中给的图像，可求出2ω=和3πϕ=，再根据三角函数的图像变换即可得.【详解】由图可知43124T πππ=-=，即T π=，所以2ππω=，2ω=，故()()2sin 2f x x ϕ=+，因为2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()262k k Z ππϕπ+=+∈，因为πϕπ-<<，所以3πϕ=，即()2sin 22cos 22cos 23612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为()222cos 2sin 2cos2g x x x x =-=，所以为了得到函数()f x 的图象，需要将函数()g x 的图象向右平移12π个单位长度.故选：A【点睛】本题考查了三角函数图像以及图像变换，属于一般题.9.已知函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，且满足()()33f x f x -=-+，且当11x -≤≤时，()()ln 2f x x x =+，则()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++=（）A. ln3B. ln3-C. 4ln 2ln3-D. 4ln 2ln3+【答案】A 【解析】【分析】根据函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数且满足()()33f x f x -=-+，可得到函数的周期，再计算出一个周期的和，即可得到答案.【详解】因为函数()1y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称. 因为()()33f x f x -=-+，所以()y f x =的图象关于点()3,0对称，所以()f x 是以8为周期的周期函数.又()10f -=，()00f =，()1ln3f =，()()200f f ==，()()310f f =-=，()()420f f =-=，()()51ln3f f =-=-，()()600f f =-=，所以()()()()101...60f f f f -++++=，故()()()()()()10123...2020f f f f f f -++++++()()()()()()101234ln3f f f f f f =-+++++=.故选：A【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性，对称性，周期性，考查了学生的计算能力，属于一般题. 10.中国古典文学四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》和《红楼梦》的作者分别为罗贯中、施耐庵、吴承恩和曹雪芹.某次考试中有一道四大名著与作者的连线题，连对一个得一分，则同学甲随机连线得分为零的概率为（） A.13B.14C.38D.124【答案】C 【解析】【分析】先随机连线对应有4424A =种，再找出全都没连对的情况有9种，代入概率计算公式即可.【详解】随机连线对应有4424A =种，全都没连对的情况有：第一个连线错了有13C 种，再由第一个选的那个对应的再去选有13C 种，剩余2个连错有1种，所以共有113391C C ⨯⨯=，所以所求概率93248P ==. 故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，考查了特殊要求的排列问题，属于一般题.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，圆()22:11F x y -+=，过F 作直线l ，与上述两曲线自上而下依次交于点,,,P M N Q ，当196PM QN+=时，直线l 的斜率为（）A. B.C. 1D. 【答案】A 【解析】【分析】先设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-，再根据抛物线的性质知1121m n p+==，利用基本不等式求出最小值且等号成立条件可求出43m =，4n =，从而可得到13P ⎛ ⎝，即可得到直线l 的斜率.【详解】设PF m =，QF n =，则1PM m =-，1QN n =-.∵24y x =，∴2p =，由抛物线的性质知1121m n p+==， ∴1m nmn+=，则m n mn +=， ∴()1919910910111m n m n PM QN m n mn m n +-+=+==+----++.又∵()()1199199110m n m n m n m n n m ⎛⎫+⋅=++=+++≥+⎪⎝⎭得916m n +≥，∴9106m n +-≥，当且仅当229n m =时，196PM QN+=，此时3n m =，∴43m =，∴4n =，∴13P ⎛ ⎝，又∵()1,0F ，故13k ==-.故选：A【点睛】本题考查了抛物线性质，以及基本不等式求最值时等号成立的条件，考查了学生的计算能力，属于较难题.12.已知函数()f x 的定义域为()1,+∞，其导函数为()f x '，()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦对()1,x ∈+∞恒成立，且()14525f =，则不等式()()233210x f x x ++>+的解集为（） A. ()1,2 B. (),2-∞C. ()2,3-D. ()2,2-【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件构造一个函数()()2g x G x x =+，再利用()G x 的单调性求解不等式即可. 【详解】由()()()()22x f x xf x xf x '++<⎡⎤⎣⎦，可得()()()2222x f x xf x x f x x '+<+，即()()()222x f x x f x x '<+，令()()2g x x f x =，则()()()()()2022g x g x g x x g x x x '-+'<-=++. 令()()2g x G x x =+，()()()()()()22022g x g x x g x G x x x ''+-⎛⎫'==< ⎪++⎝⎭，所以()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数.不等式()()233210x f x x ++>+，等价于()()23325x f x x ++>+，即()()3325g x G x x ++=>+，()()()52555277g f G ===，所求不等式即()()35G x G +>，由于()G x 在1∞+（，）上是单调递减函数，所以35x +<，解得2x <，且31x +>，即2x >-，故不等式()()233210x f x x ++>+的解集为()2,2-.故选：D【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式，考查了利用导数判断函数单调性的方法，考查了分析问题的逻辑思维能力，属于困难题.二、填空题13.若非零向量,a b ，满足3a b =，()3a b b -⊥，则a 与b 的夹角的余弦值为______. 【答案】19【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据数量积的运算即可. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，由()3b b a -⊥，可得()233cos 0a a b b b b θ-⋅=-=，又因为3a b =，所以229cos 0b bθ-=，解得1cos 9θ=. 故答案为：19【点睛】本题考查了数量积的运算，考查了向量垂直的转化，属于较易题.14.若实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则x y +的最大值为______.【答案】10 【解析】【分析】先由已知条件画出约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩可行域，根据可行域即可求出x y +的最大值.【详解】因为实数,x y 满足约束条件22024034120x y x y x y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则由题意可得当经过A 点时x y +有最大值，联立22034120x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得46x y =⎧⎨=⎩，即()4,6A ，所以()max 10x y += 故答案为：10【点睛】本题考查了简单线性规划，利用可行域求目标函数的最大值，属于较易题. 15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若)3cos cos cos A A B C -=，6a c +=，4b =，则ABC 的面积为______. 53【解析】【分析】先由)cos cos cos A A B C -=可得3B π=，再由余弦定理可得203ac =，代入面积公式即可.【详解】因为)cos cos cos A A B C -=，所以)()()cos cos cos cos cos sin sin A A B A B A B A B -=-+=--，cos sin sin 0A B A B -=.又sin 0A ≠，所以tan B =3B π=.因为6a c +=，4b =，所以()22222cos 236316b a c ac B a c ac ac ac =+-=+--=-=，解得203ac =，所以1120sin 22323ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：3【点睛】本题考查了三角函数的化简，余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于一般题. 16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为4π.记点M 的轨迹长度为α，则tan α=______；当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为______.【答案】 (1). (2). 8π【解析】【分析】先根据已知条件判断出点M 的轨迹为圆弧，再求此时的α，即可求出tan α=P ABM -的体积最小时即点M 位于F 时，此时三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点，所以半径为PF 的一半，从而可得外接球的表面积.【详解】如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以4PMA π∠=.因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，记点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF =. 因为1AB =，3AD =，所以6AFB FAE π∠=∠=，则弧EF 的长度263ππα=⨯=，所以tan 3α=.当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，又2PAF PBF π∠=∠=，∴三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点. 因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()2428S ππ==.38π【点睛】本题考查了由线面垂直得到线面角，判断出动点轨迹，外接球的半径及表面积的计算，属于较难题.三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足93,,24n n a S 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设31323log log ...log n n b a a a =+++，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：119n T <.【答案】（1）13n n a +=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)由题意可得3922n n a S =+，再根据已知n a 与n S 的关系求{}n a 通项公式； (2)把(1)的{}n a 求通项公式代入31323log log ...log n n b a a a =+++求出{}n b 通项公式，再利用裂项求和求出数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T 即可证明．【详解】（1）解：由题意有3922n n a S =+，当1n =时，113922a a =+，所以19a =. 当2n ≥时，3922n n S a =-，113922n n S a --=-，两式相减得113322n n n n n a S S a a --=-=-，整理得13n n a a -=，所以{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列，所以{}n a 的通项公式为11933n n n a -+=⨯=.（2）证明：因为()()313233log log ...log 23 (12)n n n n b a a a n +=+++=++++=，所以()12211333n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 21111111111...3142536473n T n n ⎛⎫=-+-+-+-++- ⎪+⎝⎭2111111...3123123n n n ⎛⎫=+++--- ⎪+++⎝⎭ 21111136123n n n ⎛⎫=--- ⎪+++⎝⎭. 因为1110123n n n ++>+++，所以119n T <. 【点睛】本题考查了n a 与n S 的关系求通项公式以及裂项求和方法，考查了学生的计算能力，属于一般题． 18.今年1月至2月由新型冠状病毒引起的肺炎病例陡然增多，为了严控疫情传播，做好重点人群的预防工作，某地区共统计返乡人员100人，其中50岁及以上的共有40人.这100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占310. （1）请将下面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关；（2）为了研究新型冠状病毒的传染源和传播方式，从10名确诊人员中随机抽出5人继续进行血清的研究，X表示被抽取的5人中50岁以下的人数，求X的分布列以及数学期望.参考表：参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）填表见解析；有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关（2）详见解析【解析】【分析】(1)由题意补充22⨯列联表，再代入()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++可求出2K即可判断；(2)根据题意先确定X的值可能为0,1,2,3，然后分别求出它们的对应的概率，根据求出的概率列出分布列以及求出期望值.【详解】解：（1）列联表补充如下：()2210075733325 4.1673.841109040606K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有95%的把握认为是否确诊患新冠肺炎与年龄有关. （2）根据题意，X 的值可能为0,1,2,3.()575101012C P X C ===，()41735105112C C P X C ===，()32735105212C C P X C ===，()23735101312C C P X C ===，故X 的分布列为X0 1 2 3P112 512 512 112故()551123 1.5121212E X =⨯+⨯+⨯=人. 【点睛】本题考查了独立性检验的计算以及随机变量的分布列和期望的计算，考查了学生的计算能力，属于一般题.19.如图，在直五棱柱，11111ABCDE A B C D E -中，//AB ED ，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，BC CD =，1BC C D ⊥.（1）证明：CD ⊥平面11BB C C ；（2）求平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3010【解析】【分析】(1)先由题意可得1BC CC ⊥且1BC C D ⊥，从而有BC ⊥平面1C CD ，即有BC CD ⊥，再结合1CD CC ⊥即可证明CD ⊥平面11BB C C ；(2) 以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，然后写出相关点的坐标，求出相关平面的法向量，代入数量积求夹角公式即可. 【详解】(1)证明：因为五棱柱11111ABCDE A B C D E -为直五棱柱，所以1BC CC ⊥，又1BC C D ⊥，且111CC C D C ⋂=，所以BC ⊥平面1C CD .因为CD ⊂平面1C CD ，所以BC CD ⊥.因为BC CD ⊥，1CD CC ⊥，1CC BC C ⋂=，所以CD ⊥平面11BB C C .（2）解：因为BC CD =，所以BCD 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，又AB CD ∥，AB AE ⊥，1AB ED ==，12AE AA ==，所以2BC CD ==1,,EA ED EE 两两垂直.以E 为原点，以1,,EA ED EE 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()12,0,2A ，()11,2,2C ，()2,1,0B ，()0,1,0D ， ()11,1,2BC =-，()2,0,0BD =-，()12,0,2EA =，()2,1,0EB =.设平面1A BE 的法向量为()111,,n x y z =，则11111220,20,EA n x z EB n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令11x =，得平面1A BE 的一个法向量为()1,2,1n =--. 设平面1BC D 的法向量为()222,,m x y z =，则1222220,20,BC m x y z BD m x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令21z =，得平面1BC D 的一个法向量为()0,2,1m =-. 设平面1A BE 与平面1BC D 所成锐二面角为ϕ，则cos cos ,10m n m n m nϕ⋅====. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，考查了学生的计算能力，属于较难题.20.已知动点P 到定直线:4l x =的距离与到定点()1,0F 的距离之比为2.（1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）已知点()2,0A -，在y 轴上是否存在一点M ，使得曲线C 上另有一点B ，满足MA MB =，且2516NA NB ⋅=-？若存在，求出所有符合条件的点M 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在；0,4M ⎛± ⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】(1)设(),P x y 2=，化简即可得到P 点的轨迹C 的方程；(2) 假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，分三种情况讨论直线的斜率即：斜率不存在；斜率为零；斜率不为零；求出满足条件点M 的坐标即可.【详解】解：（1）设(),P x y2=，化简得223412x y +=，即22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=.（2）假设在y 轴上存在符合题意的点M ，则点M 在线段AB 的中垂线上，由题意知直线AB 的斜率显然存在. 当直线AB 的斜率为0时，则()2,0A -，()2,0B . 设()0,M t ，则()2,MA t =--，()2,MB t =-. 由225416MA MB t ⋅=-+=-，解得t =，此时0,M ⎛ ⎝⎭. 当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =+.联立()222,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616120k x k x k +++-=，则221612234B k x k --⋅=+，解得226834B k x k -=+，即2226812,3434k k B k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. AB 的中点为22286,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 线段AB 的中垂线为2226183434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0x =，得2234k y k -=+，即220,34k M k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以222,34k MA k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，2226814,3434k k MB k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，所以()4222642836251634k k MA MB k +-⋅==-+.由形式可以猜想()223416k +=，故而2344k +=，得214k =，经验证可知满足上式. 下边验证是否还有别解：令2x k =，上式可化为()()21664251628252425916360x x ++⨯+⨯+⨯-⨯=，利用韦达定理知此方程有一个正根与一个负根，所以214k =，此时10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭.综上，可得0,4M ⎛±⎝⎭或10,4M ⎛⎫± ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，以及存在性问题的求解，考查了学生的计算能力，属于较难题. 21.已知函数()xf x ae b =+的图象在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=.（1）讨论函数()()F x f mx x m =--的单调性.（2）是否存在正实数t ，使得函数()()()ln 2g x f x t x t =--+-的定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；12t = 【解析】【分析】(1)先对函数()xf x ae b =+进行求导，根据已知条件在()()0,0f 处的切线方程为20x y -+=可求出1a =，1b =，即得到()1xf x e =+，再对()1mxF x ex m =+--进行求导，对参数m 进行讨论即可.(2)先假设存在符合题意的正实数t ，再对()()ln 1x tg x e x t -=-+-进行求导，可得到它的单调性以及单调区间，从而可求得()()ln 1x tg x ex t -=-+-的最小值大于或等于零即可.【详解】解：（1）∵()xf x ae '=，∴()001f a e a '=⋅==. 又∵()02f a b =+=，∴1b =，∴()1xf x e =+.∴()1mxF x ex m =+--，∴()1mx F x me '=-.当0m ≤时，()10mxF x me'=-<，()F x R 上单调递减；当0m >时，令()10mx F x me'=->，得ln m x m >-. 令()10mx F x me'=-<，得ln m x m <-，故()F x 在ln ,m m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,m m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减. （2）假设存在符合题意的正实数t ，由()()ln 1x t g x e x t -=-+-，得()1x t g x e x t-'=-+. ∵x t y e -=在[)0,+∞上单调递增，1y x t =+在[)0,+∞上单调递减， ∴函数()1x t g x ex t -'=-+在()0,∞+上单调递增. ∵()1100t g e t'=-<，且当x →+∞时，()g x '→+∞， ∴存在唯一的实数0x ，使得()00010x t g x e x t -'=-=+，即001x t e x t-=+①， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.∴()()()000min ln 1x t g x g x ex t -==-+-. 由001x t e x t-=+，得()00ln x t x t -=-+， ∴()()()00000min 0011ln 1121x t x g x g x ex t t x t t x t x t -==---=+--=++--++2112t t ≥-=-. 当且仅当01x t +=时取等号，由120t -=，得12t =，此时0102x =>，把12t =，012x =代入①也成立. 故存在正实数12t =，使得()g x 定义域为[)0,+∞时，值域也为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数求函数的最小值，考查了学生的计算能力，属于较难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()1,0-，且斜率为12，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线,OM ON 的极坐标方程分别为()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈. （1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知直线OM 与直线l 的交点为P ，直线ON 与曲线C 的交点为O ，Q ，求OQOP 的值.【答案】（1）4cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；cos 2sin 10ρθρθ-+=（2）4OQ OP =-【解析】【分析】(1)先把参数方程转化为普通方程，再由普通方程转化为极坐标方程即可；(2)把()6R πθρ=∈，()4R πθρ=-∈代入对应的极坐标方程求出OP ，OQ 代入即可.【详解】解：（1）∵曲线C的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩∴曲线C的普通方程为((224x y ++=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，整理得0ρθθ-+=，即曲线C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. ∵直线l 过点()1,0-，且斜率为12， ∴直线l 的方程为210x y -+=，∴直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=.（2）当6πθ=时，142sin cos 66OP ππ==+-；当4πθ=-时，4cos 444OQ ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故4OQ OP ==-【点睛】本题考查了参数方程，普通方程转化为极坐标方程，极坐标方程的几何意义，属于一般题.23.已知函数()3131f x x x =-+-.（1）若()f x m ≤有解，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，实数m 的最小值为N ，若,,a b c 为正数，且a b c N ++=，证明：84222abc ab a b c+≥++-. 【答案】（1）[)2,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用三角不等式即可；(2)利用分析法和基本不等式证明不等式.【详解】（1）解：()()()313131312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当()()31330x x --≤，即113x ≤≤时取等号，所以()min 2f x =. 因为()f x m ≤有解，所以()min 2m f x ≥=，故m 的取值范围是[)2,+∞.（2）证明：由（1）可知，2N =，所以2a b c ++=，将84222abc ab a b c +≥++-变形为84222abc ab a b c+--≥-，即()()()2228a b c abc ---≥.因为2a b c -=+≥2b a c -=+≥2c a b -=+≥所以()()()2228a b c abc ---≥，当且仅当23a b c ===时等号成立，所以84222abc ab a b c+≥++-. 【点睛】本题考查了三角不等式求最值，利用分析法和基本不等式证明不等式，属于一般题.。

2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(二)(4月份)

2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷（理科）（二）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2(x2−1)<1}，B={y|y=2x+2−x−12}，则A∪B=()A. (−√3,+∞)B. (32,√3)C. (−√3,−1)∪(1,+∞)D. (−√3,−1)∪[32，√3)2.已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z−的虚部为()A. −65B. 1−7i5C. −75D. −75i3.某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成年份序号x(2012年作为第1年)的函数.运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法中正确的个数为()①销售额y与年份序号x呈正相关关系；②销售额y与年份序号x线性相关不显著；③三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果；④根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元．A. 1B. 2C. 3D. 44.若实数x，y满足条件{2x−y+1⩾02x+y−2⩾0x−3⩽0，则z=43x+2y的最小值为()A. 14B. 423C. 419D. 15.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=30°，a=√3，若这个三角形有两解，则b的范围是()A. √3<b⩽2√3B. √3<b<2√3C. b<2√3D. b⩽2√36. 已知P(x,y)是圆(x −1)2+(y −2)2=r 2(r >0)上任意一点，若|x −2y|+|x −2y +7|是定值，则实数r 的取值范围是( )A. 0<r ⩽3√55B. 0<r ⩽4√55C. r ⩾3√55D. r ⩾4√557. 已知A ，B ，P 是直线l 上三个相异的点，平面内的点O ∉l ，若正实数x 、y 满足4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则2x+y xy的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 古希腊时期，人们把宽与长之比为√5−12(√5−12≈0.618)的矩形称为黄金矩形，把这个比值√5−12称为黄金分割比例.如图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若与K 间的距离超过1.5m ，C 与F 间的距离小于11m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是( )(参考数据：0.6182≈0.382，0.6183≈0.236，0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)A. 30.3mB. 30.1mC. 27mD. 29.2m9. 设F 2为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x −3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左右两支分别交于M ，N 两点若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则双曲线C 的离心率是( ) A. √153B. √53C. 13D. √52 10. 在△ABC 中，已知sinAsinBsin(C −θ)=λsin 2C ，其中tanθ=13(0<θ<π2)，若1tanA +1tanB +2tanC 为定值，则实数λ的值是( )A. √1020B. √55C. √10D. √51011. 如图，在三棱锥S −ABC 中，侧棱SA ⊥平面ABC ，AB =BC =2，∠ABC =90°，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45°，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当△BMN 的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的正弦值为( )A. 16B. √23C. √336D. √3612. 已知函数f(x)=min{x|x −2a|,x 2−6ax +8a 2+4}(a >1)，其中min(p,q)={p,p ⩽qq,p >q ，若方程f(x)=52恰好有3个不同解x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，则x 1+x 2与x 3的大小关系为( )A. 不能确定B. x 1+x 2=x 3C. x 1+x 2<x 3D. x 1+x 2>x 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知某运动员每次射击命中的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次射击恰有两次不中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示命中；7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次射击恰有两次不中的概率为______ ．14. 甲、乙、丙三人从A 、B 、C 三种型号的手环中各选一个戴在手上，各人手环的型号互不相同，乙比戴C 手环的人年龄大，丙和戴A 手环的人年龄不同，戴A 手环的人比甲年龄小，则甲、乙丙所戴手环的型号分别为______ ．15. 已知函数f(x)={xlnx −2x(x >0)x 2+1(x ⩽0)，若f(x)的图象上有且仅有2个不同的点关于直线y =−32的对称点在直线kx −y −3=0上，则实数k 的取值是______ ．16. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =BC =2，AE =CF =1.将A ，C 分别沿BE ，DF 向上翻折至A′，C′，则A′C′取最小值时，二面角A′−EF −C′的正切值是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗).数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗).b 3=5，其前9项和为63． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n=b na n +a nb n，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n−2n∈[a,b]，求b−a的最小值．18.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=2AD=4√3，将△ADC沿着AC翻折，使得点D到点P，且PB=2√6．(1)求证：平面APC⊥平面ABC；(2)求直线AB与平面BCP所成角的余弦值．19.如图，直线y=2x−2与抛物线y=x22p(p>0)交于M1，M2两点，直线y=p3与y轴交于点H，且直线y=p3恰好平分∠M1HM2．(1)求抛物线的方程；(2)设A(a,p3)是直线y=p3上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y=p3于点B(b,p3)，则ab是否是定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．20. 已知函数f(x)=xlnx x+1，g(x)=a(x −1)．(1)当x ⩾1时，f(x)⩽g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求证：ln(2n +1)⩽4×14×12−1+4×24×22−1+⋯⋯+4n4×n 2−1．21. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识+基本运动技能+专项运动技能”教学模式，立“校内竞赛一校际联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县(区)地(市)、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得一1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的数学期望；(2)若经过n 轮踢球，用p i 表示经过第i 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求p 1，p 2，p 3；②规定p 0=0，且有p i =Ap i+1+Bp i−1，请根据①中p 1，p 2，p 3的值求出A 、B ，并求出数列{p n }的通项公式．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4λ2y =4λ(λ为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=θ0(θ0∈(0,π))，将曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C ． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的取值范围．23. 已知a >0，b >0，c >0，设函数f(x)=|x −b|+|x +c|+a ，x ∈R ．(1)若b =2，c =a 2，关于x 的不等式f(x)≤4a 有解，求实数a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为1，证明：1a+b +4b+c +9c+a >18．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|0<x 2−1<2}={x|−√3<x <−1或1<x <√3}， 2x +2−x −12=2x +12x−12≥2−12=32，当且仅当2x =12x ，即x =0时取等号，B ={y|y ≥32}， ∴A ∪B =(−√3,−1)∪(1,+∞)．故选：C ．可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了对数函数的单调性及定义域，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z =3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=3−1+7i 12+22=25+75i ，则z 的共轭复数z −=25−75i ，虚部为−75，故选：C ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据图象可知，散点从左下到右上分布，销售额y 与年份序号x 呈相关关系，即①正确；因为相关系数0.936>0.75，靠近1，所以销售额y 与年份序号x 线性相关显著，即②错误；三次函数回归曲线的相关系数为0.999，回归直线的相关系数为0.936，因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果比回归直线的拟合效果好，即③正确；把x =10代入三次函数回归曲线，有y =0.168×103+28.141×102−29.027×10+6.889≈2698.719亿元，即④错误，所以正确的有①③．故选：B ．由散点从左下到右上分布，可判断①；由相关系数与1的接近程度，可判断②；由相关系数越大，拟合效果越好，可判断③；把x =10代入三次函数回归曲线，求得y 的值，即可判断④．本题考查相关系数的含义与回归方程，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =32x −y +1=0，解得A(3,7)，令t =3x +2y ，化为y =−32x +t2，由图可知，当直线y =−32x +t2过A 时，直线在y 轴上的截距最大，t 有最大值为3×3+2×7=23． ∴z =43x+2y 的最小值为423．故选：B ．由约束条件作出可行域，令t =3x +2y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入可得t 的最大值，则z 的最小值可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．5.【答案】B【解析】解：因为三角形有两解，所以bsinA <a <b ，即12b <√3<b ，所以√3<b <2√3．故选：B ．由已知三角形有两解得bsinA <a <b ，代入即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形解个数中的应用，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：圆(x −1)2+(y −2)2=r 2(r >0)的圆心(1,2)，半径为r ，由题意可知此圆夹在两直线x −2y =0和x −2y +7=0之间时，|x −2y|+|x −2y +7|是定值，所以√12+22≥r √12+22≥r，∴0<r ≤3√55．故选：A ．利用点到直线的距离公式，列出不等式组，求解r 的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是中档题．7.【答案】B【解析】解：由4OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为P ，A ，B 三点共线，所以x 2+y4=1，所以2x+y xy=(1x+2y)(x 2+y 4)=12+12+y 4x+x y≥1+2√y 4x⋅x y=1+2×12=2，当且仅当y4x =xy ，即x =1，y =2时取等号，此时2x+y xy的最小值为2，故选：B ．由已知可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y4OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由P ，A ，B 三点共线，所以x2+y4=1，然后利用基本不等式即可求解．本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的向量的性质以及基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设AB =x ，a ≈0.618，∵矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，∴|BC|=ax ，|CF|=a 2x ，|FG|=a 3x ，|GJ|=a 4x ，|JK|=a 5x ，|KM|=a 6x ，由题意可得{a 6x >1.5a 2x <11，解得26.786<x <28.796．故选：C ．利用题中的条件，可设AB =x ，又由矩形ABCD ，EBCF ，FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，分别表示出|BC|，|CF|，|FG|，|GJ|，|JK|，|KM|，即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即(F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，可得F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即有|F 2M|=|F 2N|，设|NF 2|=m ，由双曲线的定义可得|NF 1|=m +2a ，|MF 1|=m −2a ，则|MN|=4a ，取MN 的中点H ，连接HF 2，可得HF 2⊥MN ， |HF 2|=√m 2−4a 2，在直角三角形HF 1F 2中，tan∠HF 1F 2=|HF 2||HF 1|=√m 2−4a 2m=13，解得m =3√22a ，由2ccos∠HF 1F 2=|HF 1|=m =3√22a ，即有2c ⋅3√1+9=3√22a ，可得e =c a=√52．故选：D ．由向量数量积的性质，推得|F 2M|=|F 2N|，由双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及直角三角形的锐角三角函数的定义，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，以及等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为tanθ=13(0<θ<π2)，所以sinθ=13cosθ，且sin 2θ+cos 2θ=1，解得sinθ=√1010，cosθ=3√1010，因为sinAsinBsin(C −θ)=λsin 2C ，所以sinAsinB(3√1010sinC −√1010cosC)=λsin 2C ，即1λ(3√1010sinC −√1010cosC)=sin 2CsinAsinB ，1tanA+1tanB+2tanC=cosA sinA+cosB sinB+2cosC sinC=sinBcosA+sinAcosBsinAsinB+2cosC sinC=sinC sinAsinB+2cosC sinC=1sinC (sin 2CsinAsinB+2cosC)， =1sinC [1λ(3√1010sinC−√1010cosC)]+2cosC sinC，所以1λ√101λ⋅√10⋅cosCsinC +2cosC sinC=k 为定值，即3sinC −cosC +2√10λcosC =√10kλsinC ，即3sinC −cosC =2√10λ(k2sinC −cosC)恒成立，所以{3=2√10λ⋅k 2−1=−2√10λ，解得λ=√1020故选：A ．由已知结合同角基本关系可先求出sinθ，cosθ，代入已知式子后，结合同角商的关系及和差角公式进行化简，结合定值条件可求．本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，还考查了逻辑推理与运算的能力，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意知△ABC 为等腰直角三角形，因为M 为AC 的中点，所以BM ⊥AC ．又SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥BM ，所以BM ⊥平面SAC ，所以BM ⊥MN ，故△BMN 的面积S =12×BM ×MN ．由题意知AC =2√2，所以BM =12AC =√2，所以S =√22MN ，当MN 最小时，△BMN 的面积最小，此时MN ⊥SC ．当MN ⊥SC 时，过S 作SE ⊥SC ，交CA 的延长线于点E ，则SE//MN ，连接BE ，则∠BSE 为异面直线SB 与MN 所成的角或其补角．因为SA ⊥平面ABC ，所以∠SBA 为直线SB 与平面ABC 所成的角，所以∠SBA =45°，所以SA =AB =2，所以SB =2√2，SC =2√3．又tan∠SCA =SAAC =SESC ，所以SE =√6，所以AE =√2，ME =2√2，在Rt △EMB 中，由题意知BE =√10，所以由余弦定理得： cos∠BSE =SB 2+SE 2−BE 22×SB×SE=2×2√2×√6=√36， sin∠BSE =(√36)=√336．故当△BMN 的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为√336．故选：C ．推导出△ABC 为等腰直角三角形，BM ⊥AC ，SA ⊥BM ，从而BM ⊥平面SAC ，BM ⊥MN ，当MN 最小时，△BMN 的面积最小，此时MN ⊥SC ，过S 作SE ⊥SC ，交CA 的延长线于点E ，则SE//MN ，连接BE ，则∠BSE 为异面直线SB 与MN 所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB 与MN 所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：x|x −2a|={x 2−2ax,x >2a −x 2+2ax,x ≤2a，a >1，当x ≤2a 时，−x 2+2ax −(x 2−6ax +8x 2+4)=−2(x −2a)2−4<0，即−x 2+2ax <x 2−6ax +8a 2+4，当x >2a 时，x 2−2ax −(x 2−6ax +8a 2+4)=4ax −8a 2−4，若4ax −8a 2−4>0，即x >2a +1a ，则x 2−2ax >x 2−6ax +8a 2+4，若4ax −8a 2−4≤0，即x ≤2a +1a ，则x 2−2ax ≤x 2−6ax +8a 2+4，又2a +1a >2a ，∴f(x)={−x 2+2ax,x ≤2ax 2−2ax,2a <x ≤2a +1ax 2−6ax +8a 2+4,x >2a +1a，又f(a)=a 2(极大值)，f(2a)=0(极小值)，f(2a +1a )=2+1a 2(极大值)，f(3a)=4−a 2(极小值)，要使f(x)=52恰好有3个不同解，结合图象得： ①当{f(a)>52f(3a)>52，即{a 2>524−a 2>52，此时无解；②当{ f(a)<52f(3a)<52f(2a +1a )>52，即{ a 2<524−a 2<522+1a 2>52，解得√62<a <√2，此时2a <x 1<2a +1a <x 2<3a <x 3，又∵x 2与x 3关于x =3a 对称， ∴x 3−3a =3a −x 2<a <2a <x 1， ∴x 3<4a <x 1+x 2；③当{f(a)>52f(2a +1a)<52，即{a 2>522+1a2<52，解得a >√102，此时x 1，x 2是方程−x 2+2ax =52的两根， ∴x 1+x 2=2a ，而x 3>3a ，于是x 1+x 2<x 3．故选：A ．先根据题意求得f(x)，再由f(x)=52恰好有3个不同解，结合图象分类讨论得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，解题时需要有清晰的思维及严密的推理，充分锻炼了学生的算术能力及逻辑思维，培养了学生的数学综合素养，属于难题．13.【答案】320【解析】解：经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989其中该运动员三次射击恰有两次不中包含的随机数有3个，分别为： 027 488 730据此估计，该运动员三次射击恰有两次不中的概率为P =320．故答案为：320．经随机模拟产生了20组随机数中表示该运动员三次射击恰有两次不中包含的随机数有3个，由此能求出该运动员三次射击恰有两次不中的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14.【答案】B、A、C【解析】解：丙和戴A手环的人年龄不同，戴A手环的人比甲年龄小，故戴A手环的人为乙，即乙比甲的年龄小；乙比戴C手环的人年龄大，故戴C手环的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的年龄大或乙比丙的年龄大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的年龄大，即戴C手环的是丙．综上所述，甲、乙、丙所戴手环的型号分别为B、A、C．故答案为：B、A、C．容易分析出戴A手环的人为乙，然后再根据年龄大小可以判断答案．本题考查了简单的合情推理的实际应用，考查了学生分析问题的能力与逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：直线kx−y−3=0关于直线y=−32对称的直线l的方程为kx+y=0，对应的函数为y=−kx，当x=0时，y=0，由f(x)≠0，可得不符合题意；当x≠0时，令−kx=f(x)，可得−k=f(x)x，此时，令g(x)=f(x)x ={lnx−2,x>0x+1x,x<0，当x>0时，g(x)递增，且g(x)∈R；当x<0时，g(x)先递增，后递减，可得g(x)∈(−∞,−2]，结合图像，直线y=−k与y=g(x)的图像有两个交点，等价为−k=−2，即k=2．故答案为：2．求得直线kx−y−3=0关于直线y=−32对称的直线l的方程为kx+y=0，推得x=0不符题意，当x≠0时，令−kx=f(x)，可得−k=f(x)x，通过构造函数，判断单调性和取值范围，可得所求k的值．本题考查分段函数的图像和运用，以及函数方程的关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】2√65【解析】解：取BE 中点O ，DF 中点N ，连接OA′、OF ，连接NE 、NC′，过A′作A′M ⊥OF 于M ，过C′作C′H ⊥NE 于H ，建立如图所示的空间直角坐标系，设∠A′OF =α，∠C′NE =β，(α,β∈(0,π))，A′(√22cosα,0，√22sinα)，C′(√22−√22cosβ,√22,√22sinβ)，|A′C′|2=(√22−√22cosβ−√22cosα)2+(√22−0)2+(√22sinβ−√22sinα)2， =12((1−sinβ−cosα)2+1+(sinβ−sinα)2)≥12，当1−sinβ−cosα=0，且sinβ−sinα=0时|A′C′|最小，于是当α=β=π3时，|A′C′|最小， A′(√24,0，√64)，C′(√24,√22,√64)， FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，FA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√24,0，√64)，FC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√24,√22,√64)，设平面EFA′和平面EFC′的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，n ⃗ =(u,v ，w)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√22x +√22y =0FA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−√24x +√64z =0，令x =√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,√3,1)， {EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√22u +√22v =0FC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√24u +√22v +√64w =0，令u =√3，m ⃗⃗⃗ =(√3,√3,−1)，设二面角A′−EF −C′的大小为θ，由图知θ为锐角，所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=5√7⋅√7=57，tanθ=2√65．故答案为：2√65．先确定|A′C′|取最小值时A′与C′的位置坐标，再用向量数量积计算二面角余弦值，进而求解．本题考查了空间两点间距离最小值问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗)，∴S n+1n+1−S n n=12，∴数列{Snn }是等差数列，首项为1，公差为12，∴S n n=1+12(n −1)，∴S n =n(n+1)2.∴当n ≥2时，S n−1=n(n−1)2，a n =S n −S n−1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ，当n =1时也成立．∴a n =n ．∵数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗)，∴数列{b n }是等差数列，设公差为d ，∵前9项和为63，∴9(b 1+b 9)2=9b 5=63，解得b 5=7，又b 3=5，∴d =b 5−b 32=1，∴b n =b 3+(n −3)d =5+n −3=n +2，∴b n =n +2．因此：a n =n ，b n =n +2． (2)c n =b n a n+a nb n=n+2n+n n+2=2+2(1n−1n+2)，∴数列{c n }的前n 项和为T n =2n +2[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)] =2n +2(1+12−1n+1−1n+2) =3+2n −2(1n+1+1n+2)． ∴T n −2n =3−2(1n+1+1n+2)．设A n =3−2(1n+1+1n+2)，∵A n+1−A n =3−2(1n+2+1n+3)−3+2(1n+1+1n+2)=2(1n+1−1n+3)>0， ∴数列{A n }单调递增， ∴(A n )min =A 1=43．而A n <3， ∴43≤A n <3．∵对任意正整数n ，都有T n −2n ∈[a,b]， ∴∴a ≤43，b ≥3，∴b −a 的最小值=3−43=53．【解析】(1)由2nS n+1−2(n +1)S n =n(n +1)(n ∈N ∗)，变形Sn+1n+1−S n n=12，可得数列{Sn n}是等差数列，利用等差数列的通项公式可得S nn ，S n =n(n+1)2.再利用“当n ≥2时，a n =S n −S n−1，当n =1时也成立”即可得出a n .由于数列{b n }满足b n+2−2b n+1+b n =0(n ∈N ∗)，可得数列{b n }是等差数列，利用等差数列的通项公式及其前n 选和公式即可得出． (2)c n =b n a n+a n b n=n+2n+n n+2=2+2(1n −1n+2)，利用“裂项求和”可得：数列{c n }的前n 项和为T n =3+2n −2(1n+1+1n+2).设A n =3−2(1n+1+1n+2)，可得数列{A n }单调递增，得出：43≤A n <3.由于对任意正整数n ，都有T n −2n ∈[a,b]，可得a ≤43，b ≥3，即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n 项和公式及其性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18.【答案】(1)证明：由等腰梯形AB =2CD =2AD =4√3，得∠ABC =60°．又AB =2BC ，所以AC ⊥BC ，又PC =BC =2√3，PB =2√6，则CB 2+CP 2=PB 2，所以BC ⊥CP ，又AC ∩CP =C ，所以BC ⊥平面APC ，所以平面APC ⊥平面ABC ，(2)如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，由四边形AECD 为菱形，且∠DAE =60°，得AC ⊥DE ，记垂足为O ，由(1)知，平面APC ⊥平面ABC ，又PO ⊥AC ，所以PO ⊥平面ABC ，同理，EO ⊥平面APC ，所以OA ，OE ，OP 两两垂直，如图，建立以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x ，y ，z 轴正方向的空间直角坐标系．则AC =6，PO =√3，所以A(3,0，0)，B(−3,2√3,0)，C(−3,0，0)，P(0,0,√3)，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2√3,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,2√3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,0)，设平面CBP 的法向量为n ⃗ 2=(x,y,z)，所以{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2√3y =03x −2√3y +√3z =0，不妨设z =√3，得{x =−1y =0，所以平面CBP 的一个法向量为n ⃗ 2=(−1,0,√3)，设直线AB 与平面BCP 所成角为θ，sinθ=|cos〈AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ ||=|64√3×2|=√34， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1−(√34)2=√134．【解析】(1)只须证明平面APC 内直线BC 垂直于平面APC 即可；(2)用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由{y =2x −2x 2=2py，可得x 2−4px +4p =0，设M 1(x 1,y 1)，M 2(x 2,y 2)，则△=16p 2−16p >0，x 1+x 2=4p ，x 1x 2=4p ，直线y =p 3与y 轴交于点H(0,p3)，由直线y =p3恰好平分∠M 1HM 2，可得k M 1H +k M 2H =0，即为y 1−p 3x 1+y 2−p 3x 2=0，由y 1=2x 1−2，y 2=2x 2−2，可得4−(2+p3)⋅x 1+x 2x 1x 2=0，即为4=2+p3，解得p =6，满足△>0，所以抛物线的方程为x 2=12y ； (2)由(1)可得x 1+x 2=24，x 1x 2=24，设M 1(x 1,x 1212)，M 2(x 2,x 2212)，M 3(x 3,x 3212)，且A(a,2)，B(b,2)，由A ，M 2，M 3三点共线可得k M 2M 3=K AM 2，即为x 2212−x 3212x 2−x 3=x 2212−2x2−a，化为x 2+x 312=x 22−2412(x2−a)，即x 22+x 2x 3−a(x 2+x 3)=x 22−24，即为x 2x 3−a(x 2+x 3)=−24，①同理可得，由B ，M 1，M 3三点共线，可得x 1x 3−b(x 1+x 3)=−24，② ②的两边同乘以x 2，可得x 1x 2x 3−b(x 1x 2+x 2x 3)=−24x 2，即为24x 3−b(24+x 2x 3)=−24x 2，③将①代入③，可得24(x 2+x 3)=ab(x 2+x 3)，(x 2+x 3≠0)，所以ab =24为定值．【解析】(1)联立直线y =2x −2与抛物线的方程，运用韦达定理，由题意可得k M 1H +k M 2H =0，由直线的斜率公式，化简可得p ，进而得到抛物线的方程；(2)设M 1(x 1,x 1212)，M 2(x 2,x 2212)，M 3(x 3,x 3212)，求得A ，B 的坐标，由三点共线的条件：斜率相等，化简整理，结合韦达定理，可判断ab 是否为定值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵当x ⩾1时，f(x)⩽g(x)恒成立，∴xlnx x+1≤a(x −1)，∴lnx ≤a(x −1x )，设ℎ(x)=a(x −1x )−lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=a(1+1x 2)−1x ，∵ℎ(1)=0，ℎ(x)≥0对x ≥1恒成立，∴ℎ′(1)≥0，∴a ≥12，此时ℎ′(x)=ax 2−x+ax 2，令ax 2−x +a =0，又a ≥12，∴△=1−4a 2≤0，∴ax 2−x +a ≥0恒成立， ∴ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，又ℎ(1)=0，∴ℎ(x)≥0， ∴a ≥12；(2)证明：由(1)可知，ln(2n +1)−ln(2n −1)=ln(2n +12n −1)≤12(2n +12n −1−2n −12n +1) =4n 4n 2−1，∴ln(2n +1)=[ln(2n +1)−ln(2n −1)]+[ln(2n −1)−ln(2n −3)]+⋯+(ln3−ln1)+ln1 ≤4n 4n 2−1+4(n −1)4(n −1)2−1+⋯+44⋅12−1+0=4×14×12−1+4×24×22−1+⋯⋯+4n4×n 2−1，∴得证．【解析】(1)f(x)≤g(x)等价于ℎ(x)=a(x −1x )−lnx ≥0，求导判断单调性求解；(2)利用ln(2n +1)−ln(2n −1)≤12(2n+12n−1−2n−12n+1)，累加法即可证明．本题考查了导数中恒成立和数列放缩的内容，难度一般，需要学生擅于观察题目的条件，属于中档题．21.【答案】解：(1)甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，A ，B 相互独立，P(A)=12，P(B)=23，甲的得分X 的可能取值为−1，0，1，P(X =−1)=P(A −B)=P(A −)P(B)=(1−12)×23=13， P(X =0)=P(AB)+P(A −B −)=12×23+(1−12)×(1−23)=12， P(X =1)=P(AB −)=P(A)P(B −)=12(1−23)=16． ∴X 的分布列为：所以E(X)=−1×13+0×12+1×16=−16．(2)①由(1)知p 1=16，p 2=p(X =0)p(X =1)+p(X =1)[p(X =0)+p(X =1)]=12×16+16×(12+16)=736 经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：一是三轮甲各得1分，二是三轮中有两轮甲各得1分，一轮得0分，三是三轮中有一轮甲得1分，两轮各得0分，四是两轮各得1分，1轮得−1分．∴p 3=(16)3+C 32(16)2(12)+C 31(16)(12)2+C 32(16)2(13)=43216．②∵p 0=0，p i =Ap i+1+Bp i−1，∴{p 1=Ap 2+Bp 0p 2=Ap 3+Bp 1，{A =67B =17，解得p i =67p i+1+17p i−1，可得p i+1−p i =16(p i −p i−1)所以{p n −p n−1}是首项为p 1−p 0=16、公比都是16的等比数列．所以p n =p 0+(p 1−p 0)+(p 2−p 1)+⋯…+(p n −p n−1)=16(1−16n )1−16=15(1−16n )．【解析】(1)X 的可能取值为−1，0，1，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．(2)①由(1)知p 1=16，p 2=p(X =0)p(X =1)+p(X =1)[p(X =0)+p(X =1)]=736，经过三轮踢球，甲的累计得分高于乙有四种情况：求解p 3．②通过p 0=0，p i =Ap i+1+Bp i−1推出p i+1−p i =16(p i −p i−1)，{p n −p n−1}是首项为p 1−p 0=16、公比都是16的等比数列．然后求解数列和，得到通项公式．本题考查概率、离散型随机变量的分布列的求法，考查数列的通项公式的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =4λ2y =4λ(λ为参数)，转换为直角坐标方程为y 2=4x ．曲线C 1向左平移2个单位长度得到曲线C.得到y 2=4(x +2)．根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为极坐标方程为ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8=0， (2)直线l 的极坐标方程为θ=θ0(θ0∈(0,π))和曲线C 交于A 和B 点，故{ρ2sin 2θ−4ρcosθ−8=0θ=θ0，整理得ρ2sin 2θ0−4ρcosθ0−8=0，所以ρ1+ρ2=4cosθ0sin2θ0，ρ1ρ2=−8sin2θ0，故1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2|ρ1ρ2|=12√1+sin2θ0，由于θ0∈(0,π)，故sin2θ0∈(0,1]，即1|OA|+1|OB|∈(12,√22]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数的关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)依题意，|x−2|+|x+a2|+a≤4a有解，而由绝对值三角不等式有|x−2|+|x+a2|≥|(x+2)−(x+a2)|=a2+2，当且仅当(x−2)(x+a2)≤0，即−a2≤x≤2时取等号，∴只需a2+2+a≤4a即可，解得1≤a≤2，∴实数a的取值范围为[1,2]；(2)证明：f(x)=|x−b|+|x+c|+a≥|x−b−x−c|+a=a+b+c=1，当−c≤x≤b时取等号，由柯西不等式有，[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1a+b +4b+c+9c+a)≥(1+2+3)2=36，∴1a+b +4b+c+9c+a≥362=18，取等条件为a=511,b=711,c=−111<0，故1a+b +4b+c+9c+a>18．【解析】(1)依题意，由绝对值三角不等式可知只需a2+2+a≤4a即可，解该不等式即可得出答案；(2)易得a+b+c=1，再由柯西不等式直接证明即可．本题考查绝对值不等式及柯西不等式的运用，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题．。

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷(二)理科数学

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--<,{}1,0,1,2,3B =-,则AB =（）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】化简集合{}2|230A x x x =--<,根据交集定义即可求得答案. 【详解】{})(2|2301,3A x x x =--<=-又{}1,0,1,2,3B =-∴ {}0,1,2A B =故选:D.【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题. 2.已知随机变量()()22,0X N σσ>，若()40.7P X <=，则()0P X <=（）A. 0.2B. 0.3C. 0.5D. 0.7【答案】B 【解析】【分析】由随机变量()()22,0XN σσ>,当()40.7P X <=,结合()20.5P X <=,即可求得()240.2P X <<=,根据正态分布的对称性,即可求得答案.【详解】随机变量()()22,0XN σσ>当()40.7P X <= 又()20.5P X <=,可得()240.2P X <<=根据正态分布的对称性可得: ()020.2P X <<=∴ ()00.50.20.3P X <=-=故选:B.【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 3.已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（） A. a b c << B. c b a << C. a c b << D. b c a <<【答案】C 【解析】【分析】因为0.2log 0a π=<,0.21b π=>,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=<又0.21b π=>,根据0.2xy =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4.2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A. 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B. 甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C. 两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D. 2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业【答案】D 【解析】【分析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】对于A,从图可以看出, 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A 结论正确;对于B,从图可以看出,甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B 结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份,故C 结论正确; 对于D,从图可以看出,2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D 结论错误. 故选:D.【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 5.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为45，且5342a a a =+，则2a =（） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15【答案】A 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-和等比数列通项公式11n n a a q -=,结合已知即可求得答案.【详解】5342a a a =+根据等比数列通项公式11n n a a q -=∴ 4231112a q a q a q =+∴ 22q q =+ 即(2)(1)0q q -+=解得:2q或1q =-(舍去)等比数列{}n a 的前4项和为45 根据等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-可得()4141451a q S q-==-,解得13a =故: 126a a q == 故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题6.若1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A. 29- B.19 C.79D. 89【答案】C 【解析】【分析】由1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,根据2cos 212sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得答案. 【详解】1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭227cos 212sin 12499ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 2cos 229παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故选: C.【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题. 7.()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（）A. 9-B. 5-C. 7D. 8【答案】A 【解析】【分析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x-+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.8.数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数()3n n ≥时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项,则图中空白处应填入（）A. b a b =+B. b a c =+C. a b c =+D. c a c =+【答案】B 【解析】【分析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥.结合程序框图即可得出答案. 【详解】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯∴ 可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥结合程序框图可得空白处为:b a c =+ 故选:B.【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9.随机变量X 的分布列如下表所示,在()0E X >的前提条件下,不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为（）A. 112B.14 C. 13D. 12【答案】B 【解析】【分析】根据112233()E X x p x p x p =++,则()a X E b =-+,可得0a b -+> .根据1231p p p ++= 得21a b +=.要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<,即可求得答案.【详解】112233()E X x p x p x p =++∴ ()a X E b =-+,结合()0E X >可得0a b -+>根据1231p p p ++=得21a b +=故00021a b a b a b ≥⎧⎪≥⎪⎨-+>⎪⎪+=⎩ 解得:103a ≤<要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -< 解得:14a >则不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为:11134143-=故选:B.【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,熟练掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于基础题.10.已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =,则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A. (B. ()1,2C. )2 D. ()2,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意画出其几何图像,设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =则1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠,根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ=,即可求得离心率范围.【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =∴ 1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠∴BOM AFO ∠<∠,则1802θθ︒<- ∴ 60θ︒<根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ= ∴3ba< 根据双曲线C 的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴ ()221132b e a ⎛⎫<+=+= ⎪⎝⎭根据双曲线C 的离心率1e >∴ 12e <<故选:B.【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.11.已知定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()k g x f x x =-有无穷多个零点,则实数k 的取值范围是（）A. ()1,2B. (]2,4C. (]2,8 D.[]4,8【答案】C 【解析】【分析】因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,画出其函数图像,求函数()()k g x f x x=-零点个数,即求()kf x x =交点个数,即可求得实数k 的取值范围.【详解】求函数()()kg x f x x =-零点个数, 即求()y f x =与k y x=交点个数因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩令24x <≤,则211()2222xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭令48x <≤,则411()2224xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭画出8y x =和2y x =,()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩图像:∴ 由图像可知实数k 的取值范围在(]2,8时,()kf x x=交点个数是无穷多个. 故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题.12.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -,上顶点为A ,直线FA 与抛物线E :24y cx =交于M ,N 两点,则MA NA +=（）A. B. 5aC. D. 10a【答案】D 【解析】【分析】设点(),M M M x y ,(),N N N x y ,由题意可知FA k =,故)M N MA x N x A +=+,设MN 的中点坐标为()00,x y ,由中点坐标公式和点差法即可求得答案.【详解】设点(),M M M x y ,(),N N N x y由题意可知FA k =∴)M N MA x N x A +=+，设MN 的中点坐标为()00,x y ，由中点坐标公式: 0022M N M N x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩24M M y cx =┄①,24N N y cx =┄②由①-②,点差法可得:02y c =，即0y =，又FA:)y x c =+,故05x c =， ∴ 0210M N x x x c +==，∴10MA NA a +==. 故选:D.【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =- 【解析】【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】()21xy x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14.设实数x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则yz x =的取值范围是__________.【答案】,44⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域,yzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率,结合图像即可求得yzx=的取值范围.【详解】根据实数x,y满足约束条件26024020x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,作出不等式组所表示的可行域,如图:由260240x yx y+-=⎧⎨-+=⎩解得:85145xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即814,55A⎛⎫⎪⎝⎭则74OAk=由26020x yx y+-=⎧⎨--=⎩解得:8323xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即82,33B⎛⎫⎪⎝⎭则14OBk=yzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率∴yzx=的取值范围是:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为: ,44⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.15.用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为__________.（用数字作答）【答案】60 【解析】【分析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理.【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A ⋅=当05排在首位不符合题意,此时排列个数为:222312A A ⋅=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260-= 故答案为:60.【点睛】本题考查排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.16.已知梯形ABCD 中,2BC AD =,AB AD CD ==,若平面内一点P 满足：0PB PC ⋅=,PB xPA yPC =+,其0x >,0y >,则x y +的最小值为__________.【答案】3 【解析】【分析】画出其几何图像,由0PB PC ⋅=知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=,故xyPQ PA PC λλ=+,A ,Q ,C 三点共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+,结合图像即可求得x y +的最小值. 【详解】画出其几何图像:由0PB PC ⋅=知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,又0x >,0y >,∴ 点P 只能在劣弧AC 上运动（不含A ,C 两点）设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=∴xyPQ PA PC λλ=+,∴A ,Q ,C 三点共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+又而PBPQλ=,结合图形知:当点P 运动至距AC 最远时λ最小, 又DA DC =,∴ 点P 与点D 重合时λ最小,此时12PQ AD QB BC ==,可得3PB PQ λ== ∴3λ=.故答案为:3.【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-.（1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列; （2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）证明见解析（2）1122n n --+【解析】【分析】（1）由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案;（2）由（1）知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1） ()*124nn na a n N a +=∈- ∴ 1412122n n n n a a a a +-==-，则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠， ∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知1212n na --=， ∴121211222n n n a --+==+，故其前n 项和为:()11121221222nn n n n S ---=+=+-.∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为:1122n n --+. 【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n 项和公式和等差数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于基础题. 18.已知函数()()2cos sin sin f x x x ϕϕ=+-,0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()0f ϕ=.（1）求ϕ;（2）如图,在ABC 中,A ϕ=,1AC =,D 是边AB 的中点,2BC CD =,求AB . 【答案】（1）3πϕ=（2）3AB =【解析】【分析】（1）由()0fϕ=,可得2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=,结合0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得ϕ值;（2）设AD DB x ==,22CB CD y ==,在ACD 和ABC 分别使用余弦定理,即可求得AB .【详解】（1）由()0fϕ=得:2cos sin 2sin 0ϕϕϕ-=∴ ()2sin 4cos 10ϕϕ-=由0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin ,cos 0ϕϕ> ∴1cos 2ϕ=,3πϕ=.（2）设AD DB x ==,22CB CD y ==在ACD 中,由余弦定理22212cos 601y x x x x =+-︒=+-┄① 在ABC 中,由余弦定理22241422cos 60421y x x x x =+-⋅︒=-+┄②∴ 联立①②消去y 解得32x =∴23AB x ==.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19.《中国诗词大会》是由CCTV -10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否回答正确均相互独立. （1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;（2）比赛进行中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人共继续抢答了X 道题比赛结束,求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）25（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M ,M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率;（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,求出()2P X =,()3P X =和4P X ,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望.【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M .M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,∴ ()1311225255P M =⨯+⨯=∴ 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:25.（2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,则()2245225P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭=()3212332515552531C P X ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()451541251251425P X ==--= X 的分布列为:∴ ()4515440923425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.20.已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,离心率为2,且1MF F （1）求椭圆C 的方程;（2）过点(P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==,若12λλ+=-求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）4y x =±+【解析】【分析】（1）可得c a =12MF F △可得12122MF F S c b =⋅⋅=,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程;（2）设直线l:(x t y =,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）离心率为2,可得2c a =┄①又12MF F △可得12122MF F Sc b =⋅⋅=┄② 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += （2）设直线l:(x t y =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由(2214x t y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()22224240t y y t +-+-=，根据韦达定理:12y y +=,21222404t y y t -=>+,22t >，()()422844240t t t ∆=-+->，24t <，12PQ QA BQ λλ==，∴1122y y λλ==-，故)12121212y y y y y y λλ-+=-+==- ∴()222121212y y y y -=，即()222121212412y y y y y y +-=，∴()()()22422222224881612444t t t t t t ---=⋅+++，即4231180t t -+=，解得21t =（舍）或283t =， ∴ 直线l:4y x =±+【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.21.已知函数()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++--，0a >,b R ∈.（1）若1a b ==,求函数()f x 的最小值;（2）当0a >时,()0f x ≥恒成立,求b 的取值范围.【答案】（1）()min 0f x =（2）(b ∈-∞【解析】【分析】（1）将1a b ==代入()f x 可得, ()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++,求其导数()()212ln 12'x x x f x =-++,且()2101''f x x x =-+>+,即可求得函数()f x 的最小值; （2）因为()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-,求()'f x 和()''f x ,通过讨论b ≤b >:()f x 最小值,即可求得b 的取值范围.【详解】（1）()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- 当1a b ==时可得:()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++，()1,x ∈-+∞，∴ ()()212ln 12'x x x f x =-++， ∴()1''21x f x x =-++， ()212201''x x f x =++-≥>+， ∴()'f x 在()1,-+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故:()()min 00f x f ==（2） ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- ∴()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-， ∴()22''x a b af x x =++-+，①当b ≤,()2220''x a b b x a f x =++-≥≥+， ∴()f x 在(),a -+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在(),0a -上单调递减,在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ≥=满足条件;②若b >,则方程22x a b x a++=+存在两个不相等正根()0101,a a a a <，取0a a =，此时()002''2x a f x b x a =++-+，令()''0f x <,解得001a x a a <+<即100x a a <<-，∴()'f x 在()100,a a -上单调递减,又()'00f =，∴()f x 在()100,a a -上单调递减即当()100,x a a ∈-,()()00f x f <=,不符合条件;综上所述,(b ∈-∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调性和最值等求解,考查了分析能力和计算能力,难度较大请考生在第22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=. （1）求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围. 【答案】（1）1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）AB ∈ 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围. 【详解】（1）圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=,联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±, ∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ在AOB 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+,又A 、B 都要在第一象限, ∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3cos ,12θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭, ∴ ()43,3AB ∈-. 【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等. 23.已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案. 【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=，原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b ca b c ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥，当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（二）数学试卷（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设351iz ii=++，则z=（）A. B. 12C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数运算法则求得1122z i=-+，根据模长的定义求得结果.【详解】()351111222i iiz i i ii--=+=+=-++2z∴==本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【答案】 A 【解析】【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项. 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=cos ,422a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.5.已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（） A. 6 B. 8 C. 3 D. 4【答案】D 【解析】【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果. 【详解】因为抛物线2:2C x py =的准线为2p y =-，又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切，所以242p+= ，则4p =. 故选D【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（） A. 10 B. 7C. 8D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【答案】A 【解析】【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为2220.8269r π==，则 3.1419π=≈.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果.【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（） A. m p n >> B. p n m >> C. p m n >> D. n p m >>【答案】C 【解析】【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈，所以0.1421log 25log 73->>，因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（）A. 22143x y -=B. 22134x y -=C. 221169x y -= D. 221916x y -=【答案】D 【解析】【分析】先由()21210F F F A F A +⋅=得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab，进而可得出结果. 【详解】由()21210F F F A F A +⋅=，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=，所以53c e a ==，则:3:4a b =，所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（）302302747【答案】B 【解析】【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 221223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为3x ，则（） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-=函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【答案】0 【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 1 2 3 4 利润y /万元 566.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为________.【答案】ˆ0.954yx =+. 【解析】【分析】先由题中数据求出x ，y ，结合题意，列出方程组，求出ˆb 与ˆa ，即可得出结果. 【详解】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954yx =+. 故答案为ˆ0.954yx =+ 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型. 15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.【答案】8π.【解析】【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +=== 所以球的表面积为2428S ππ==.故答案为8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【答案】1 【解析】【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小；（2）若a =π3B =，求ABC ∆的面积.【答案】(1) 4A π=.(2) ABC S ∆=【解析】【分析】（1）先由正弦定理，将sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为22b c a a ⎫+=⎪⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：22b c a a ⎫+=+⎪⎭，即222b c a +-=，再由余弦定理可得2cos bc A =，即cos A =所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()sin sin 4C A B =+=由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型. 18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）69【解析】【分析】（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，则1AA CD ⊥，又CD AD ⊥，1AA AD A =，∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥，又CD ED D =，∴AE ⊥平面ECD .（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ，∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==，设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n AC n AE ⎧=⎨=⎩，即240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，不妨取()2,1,1n =--，则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446=63666n AC n AC-+-==．【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【答案】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈ 方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>（1）求C的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【答案】（1）2214x y +=；（2）①见解析；②见解析.【解析】【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ '∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b ac ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 3343xOQ xOP '=∠+∠⨯=≥ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为20ex y --=.（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x ≥-.（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且线段AB 的中点为()00,P x y ，证明：()()001f x g y <<.【答案】（1）()2xf x e =-，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用切线方程可求得()f x 的解析式，令()()11xh x f x x e x =-+=--，利用导数可求得()()00h x h ≥=，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证()()001f x g y <<成立只需证212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-；令210t x x =->，即证：2112t t t e e e t -+<<；令()22t t F t e e t -=--，利用导数研究()F t 单调性，可知()()00F t F >=，得到21tt e e t -<成立；令()112t t e tG t e -=-+，利用导数研究()G t 单调性，可知()()00G t G <=，得到112t t e e t -+<成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.【详解】（1）由题意得：()12f e a b e =++=-，即2a b +=-又()xf x e a '=+，即()1f e a e '=+=，则0a =，解得：2b =-则()2xf x e =-.令()()11xh x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-令()0h x '=，解得：0x =则函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增()()00h x h ∴≥=，则：()1f x x ≥-（2）要证()()001f x g y <<成立，只需证：1212x 24222x x x e e ek ++--<-<即证121222x x x x e k e e++<<，即：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<- 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<- 设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->令()22t t F t e et -=--，则()221102t tF t e e -⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭()F t ∴在()0,∞+上为增函数()()00F t F ∴>=，即21tt e e t -<成立；要证112t t e e t -+<，只需证明：112t t e t e -<+令()112tt e t G t e -=-+，则()()()()()()22222411*********t tttt t te e e e G t e e e -+--'=-==<+++ ()G t ∴在()0,∞+上为减函数 ()()00G t G ∴<=，即112t t e e t -+<成立 2112tt t e e e t -+∴<<，0t >成立 ()()001f x g y ∴<<成立【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、分析法证明不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，将所证不等式转变为函数最值的求解问题，构造合适的函数是解决本题的难点.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【答案】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得；（2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷(二)理科数学试题

2021年高三第二次高考模拟数学理试题 含答案

理科数学-2021年高三5月全国大联考(新课标Ⅱ卷)含答案解析

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理)试题

2021年高三第二次模拟考试理数试题 含解析

2021年全国高考数学仿真模拟试卷(理科)(全国Ⅱ卷)(附答案详解)

2021年高三第二次高考模拟试题 数学理 含答案

2021年高三下学期二模考试数学(理)试题 含解析

2021年河北省高考数学二模试卷(理科)含答案解析

2021届全国名校学术联盟新高考原创预测试卷(二)数学

2021年高三二模数学理试题

2021年高三下学期第二次高考模拟考试数学理试题 含答案

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(二)数学(理科)

2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷(理科)(二)(4月份)

2021届全国名校学术联盟新高三原创预测试卷(二)理科数学

2021年高三第二次高考模拟数学理试题含答案

2021年高三第二次模拟考试理数试题含解析

2021年高三第二次高考模拟试题数学理含答案

2021年高三下学期二模考试数学(理)试题含解析

2021年高三下学期第二次高考模拟考试数学理试题含答案