01用1.1.1集合的含义与表示

-2、-1、0、1、2
（3）方程x2-3x+2=0的所有实数根；1、2
（4）平面上到定点O的距离等于定长1的所有点；
以点O为圆心，以1为半径的圆.
思考：上述每个问题的研究对象是什么？
元素(element): 我们把研究的对象统称为元素. 集合(set): 把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集.
一、集合和元素的概念
序如何，描述方式有何不同，我们就称这两个集合是
相等的. 小于“2”的自然数组成的集合.
这两个集合是 相等的.
由数“0”和“1”组成的集合.
二、集合中元素的性质:
有三个性质
⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的。 ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同的。
⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的。 三、集合相等：
1、兴趣是最好的老师
3、听从老师的指导
2、善于总结解题方法
4、要有顽强的毅力
5、用好课堂笔记本和错题好题整理本
数学学习要求
两本： 课堂笔记本和错题好题整理本 课前： 预习 课上： 耳到、眼到、心到、口到、手到 课后： 先整理后作业（独立完成）
良好的开端是成功的一半！
第一章 集合与函数概念
1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示
知识探究（三）
思考以下问题：
集合中的元素有什么特征？
1.一个三口之家构成一个集合：爸爸李平，妈妈曹荣，孩子李冰。能否 说这个集合中有四个元素，这四个元素分别是李平、曹荣、李冰、李冰。 不能！因为李冰重复了计算了一次。 2.单词banana 中所有的字母构成一个集合，这个集合中有几个元素？ 请你把它们表示出来。 分析：单词banana 中的字母自左而右依次是b、a、n、a、n、a。
∅
练习：下列指定的对象，能否构成一个集合；若能，请 判断其是有限集、无限集还是空集？ ①很小的数 不能 ②不超过 30的非负实数 能 有限集 ③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点 能 无限集 ④高一年级优秀的学生 不能 ⑤所有无理数 能 无限集 ⑥大于2的整数 能 无限集 能 无限集 ⑦正三角形全体 能 空集（ ∅ ） 2 ⑧方程x -2x+3=0的根
一般的，我们把研究对象统称为元素（element)。
['elimənt]
[set] 把一些元素组成的总体叫做集合（set）或简称集。
集合和元素是两个描述性定义 形象地理解：集合就是一个班级，元素就是班级中的学生。 集合用大写拉丁字母表示，如：A、B、C，M，N，…， 元素用小写拉丁字母表示，如：a、b、c，m，n，… 。
描述法基本模式为{x|p(x)}，其中x为代表元素，p(x)为x的所具 有的特征。
即：{代表元素|代表元素满足的共同特征}
集合的表示方法----描述法：
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
以下集合的写法是错误的：
全体实数的集合：{全体实数} 正确的写法是：{实数}=R
所有正三角形：{所有正三角形} 正确的写法是：{正三角形}
这是一节概念课，是今后学习函数的基 础，概念比较多，需要理解记忆的知识 点比较多，需要同学们认真听讲，做好 笔记，用心识记！
1.1.1 集合的含义与表 示 我们以前已经接触过的集合：
1.到角的两边的距离相等的所有点的集合： 是角平分线 2.到线段的两个端点距离相等的所有点的集合： 是线段垂直平分线
集合的表示方法----列举法：
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来。元 素之间用“，”分开；列举时与元素的次序无关。 列举法表示集合的基本模式是：
{a, b, c,
}
列举法既可以表示有限集，也可以表示无限集。
练习 用列举法表示下列集合： （1）小于1０的所有自然数组成的集合；
｛０，１，２，３Байду номын сангаас４，５，６，７，８，９｝
知识探究五
问题：如果用A表示高一6班全体学生组成的集合， 用a表示高一6班的一位同学， a是集合A中的元素， 用b是高一3班的一位同学， 那么a，b与集合A分别有什么关系？ b不是集合A中的元素。 如果a是集合A的元素（自然语言），就说a属于集合A（数学语言），记 作a∈A（符号语言）； 如果a不是集合A的元素（自然语言），就说a不属于集合A（数学语言）， 记作a∉A（符号语言）。
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称 这两个集合是相等的 .
如何判断指定的对象是否构成集合。 判断指定的对象能不能形成集合，首先看元素的确定性， 即看对象是否确定；同时还要注意集合中元素的互异性、 无序性．
四、集合的分类
按照集合中元素的多少，分为三类：
有限集： 含有限个元素的集合。 无限集： 含无限个元素的集合。 空集： 不含任何元素的集合。 记为:
②你能用列举法表示不等式 2 x 7 3的解集吗？ 这个不等式的解为x＜5 。 不能用列举法表示 。 思考：如何用数学式子描述上述②集合的元素特征？ x R，且x 5
|x 5} 不等式 2 x 7 3的解集可以表示为： {x R
集合的表示方法----描述法：
用集合中所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
初中内容与高中内容的区别： 1.知识难度增大； 2.内容增多，比较抽象； 3.对能力的要求加大； 4.对理解要求增高； 5.课本上的内容太简单，关键是理解后灵活运用。
每一位同学必须做好初高中衔接，包括心理上、知 识上的、行为习惯上的！
数学学法指导
学习效果=50℅学习方法+40℅努力程度+10℅智商 成功=勤奋+方法+少说废话
知识探究（四）
思考下列问题：
集合中的元素有什么特征？
1.我班的全体同学组成一个集合，调整座位后的集合M与调整座位之
前的集合N是否为同一个集合？
是
M=N
2.以下两个集合是否为同一个集合？
是 A
A=B
B
C
(1,2), (3,4)
C=D D 是
(3,4), (1,2)
1，2，3，4
1，3，2，4
结论 集合的性质三（无序性） ： 集合中的元素是没有顺序的。
特别注意：用自然数言描述法表示集合时不能出现所有、 任意、全部、集等字眼。 因为：“{ }”本身就含有所有、任意、全部、集的意义，再 出现这些字眼就重复了。
＞ 0 ① x 2 解： x 1 x 3 ② 2
∵解不等式①得： x＞2， 解不等式②得： x≤8， ∴不等式组的解集为： 2＜x≤8，
这样表示集合是不 正确的！
故选D．
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； 2、3、5、7、11、13、17、19
（2）绝对值小于3的整数；
练习：判断下列例子能否构成集合
1.我们班所有的”帅哥”； × 2. 9的平方根；
√
3.我国的小河流； × 4.我们班眼睛很近视的同学；× 5.小于5的自然数；√ 6.某班所有个子高的同学；× 7.不等式2x+1＞7的整数解； √ 8.大于3小于11的偶数。 √
根据集合 中元素的 确定性， 可判定能 否构成集 合！即集 合中的元 素必须是 确定的！
3.平面内，到一个定点的距离等于定长的点的集合： 是一个圆
4.不等式的解集
＞ 0 x 2 （2013•临沂）不等式组 x 的解集 的解集 是（ 是（ ） D ） 1 x 3 2 A．x≥8 B． B． x＞ x＞ 2 2 C． C0 ． ＜ 0x ＜ ＜ x2 ＜2D．2 D＜x≤8 ．2＜x≤8
解：这个集合中有3个元素，分别是b、a、n。
结论 元素的性质二（互异性）： 集合中的元素是不重复出现的。
练习
1.若由a，b，c，d构成的集合含有四个元素，以这四个元素为边长构成一个 四边形，则这个四边形可能是（ A ） A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 2.由x-2，x2-4，0构成的集合含有三个元素，则x不能取的值是（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3.由book中的字母构成的集合含有（ B ）个元素。 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
集合相等： 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是 相等的。
元素的无序性:集合中的元素是没有先后顺序的.也 就是说, 集合中的元素可以任意互换位置。 “2，3，1”组成的集合记为A。 “3，2，1”组成的集合记为B。 “1，3，2”组成的集合记为C。 则A=B=C。
3.集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的，不论元素顺
结论：元素和集合之间的关系是：属于（记为∈）， 不属于（记为∉）。
五、集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA. 例如，集合Ａ是所有能被３整除的整数。
当a 6时，a A。 当a 8时， a A。
六、五个重要数集 思考：所有的自然数、正整数、整数、有理数、实数 能否分别构成集合？ 能 自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些 常用数集，分别用下列符号表示：
自 然 语 言 法
以上都是用自然语言描述一个集合，比较繁琐，也不直观。在 数学上，还有什么更好的表示方法。
知识探究（七）
(1) “地球上的四大洋”组成的集合表示为:{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}； (2)小于5的所有自然数组成的集合可表示为: {0，1，2，3，4}； (3)方程 x 3 x 的所有实数根组成的集合: {-1，0，1}. (4)所有的非负偶数可表示为： {0，2，4，6，8，……}；
重 要 的 数 集 需 牢 记
自然数集（非负整数集，含0）：记作 N 正整数集（不含0）：记作 N * 或 N 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
五 大 数 集
练习：用符号“∈”或“ ”填空：（口答） (1) 3.14_______Q ∈ ∈ (3) π ______R (5) 0_______N ∈ ＊ ∈ (7) (-0.5)0_______N (9) 0 (11)2 (2) π_______Q
（2）方程 x x 的所有实数根组成的集合； ｛０，１｝ （3）由1～20以内的所有素数组成的集合；
2
｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１９｝
（4）所有的负奇数；
｛-1，-３，-５，-７，-9，……｝
知识探究（八）
①你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？ 大于1小于10的偶数组成的集合。
知识探究（二）
集合中的元素有什么特征？ 思考以下问题：
1.我们班所有的高个子同学能否构成一个集合？ 不能！因为多高才算高个子，不能确定。 我们班所有的1.75米以上的同学能否构成一个集合？ 能！因为能确定 2.我们班所有的美女能否构成一个集合？ 不能！因为怎样才算是美丽，不能确定。 3.世界上所有高山能否构成一个集合？ 不能！因为多高才算是高山，不能确定。 世界上所有海拔5000米以上的山峰能否构成一个集合？能！因为能确定 4.中国所有的老人能否构成一个集合？ 不能！因为年纪多大才算是老人，不能确定。 中国所有90岁以上的老人能否构成一个集合？ 能！因为能确定 结论 元素的性质一（确定性） ： 集合中的元素必须是确定的。
∈ (4) 0 ____________ Z
(6) 0_______N ＊ ∈ (8) 2_______R
3 ____Q
_______
∈ (10) 144 ____Z ∈ (12)2 3 ____R
集合和元素实例：
1. 1~20以内的所有素数; 2. 我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星; 3. 金星汽车厂2003年生产的所有汽车; 4. 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; 5. 所有正方形; 6.到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; 7.方程 x 2 3x 2 0 的所有实数根； 8.沂水一中2014年8月31日入学的所有的高一学生.
集合和元素实例：
1. 1~20以内的所有素数; 2. 我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星; 3. 金星汽车厂2003年生产的所有汽车; 4. 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; 5. 所有正方形; 6.到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; 7.方程 x 2 3x 2 0的所有实数根； 8.沂水一中2014年8月31日入学的所有的高一学生。