光电子技术第二章第二节
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1 T S S dt T 0 将S表达式代入， 进行积分，可得：
1 n 2 1 2 2 I S E0 E0 E0 2 0 c 2 0
n 20c
/ 0
2
由此可见，光强与电场强度振幅的平方成正比。 通过测 量光强，便可计算出光波电场的振幅E0。
平面光波的能量沿z方向以波动形式传播。光的频率很高， S的大小随时间的变化很快。光探测器的响应时间较慢，例 如光电二极管仅为10-8~10-9 s，远远跟不上光能量的瞬时变化， 只能给出S的平均值。所以，在实际应用中都利用能流密度 的时间平均值〈S〉表征光电磁场的能量传播，并称〈S〉为 光强，以I表示。假设光探测器的响应时间为T，则：
z 2 ( z ) 0 1 z0
1/ 2
这里，w0 为基模高斯光束的束腰 半径； 0 为高斯光束的共焦参数或 z 瑞利长度；R(z) 为与传播轴线相 交于z点的高斯光束等相位面的曲 率半径； w(z)为与传播轴线相交 于z点的高斯光束等相位面上的光 斑半径。
例如，一束105 W的激光，用透镜聚焦到1×10-10 m2的面积上， 则在透镜焦平面上的光强（功率密度）约为
105 I 10 1015 W/m2 10
相应的光电场强度振幅为
2 cI E0 0 n
1/ 2
0.87 109 V/m
这样强的电场，能够产生极高的温度，足以将目标烧毁。 在有些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只关 心光强的相对值，因而往往省略比例系数，把光强写成： I=〈E2〉=E20 如果考虑的是不同介质中的光强， 比例系数不能省略。
A0 0 w 2 ( z ) 2 表达式 E ( , z ) e exp jkz jk j ( z ) w( z ) 2 R( z )
2
式中，E0为常数，其余符号的意义为：
x y
2 2
2
k
2
z0 2 R( z ) z 1 z
2 2 t 2
应用： 对于高频低电导无源材料，得到 2 2 2 2 2 2 E n E 0， H n H 0
除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为
折射率表示为： n
c
r r
μr≈1。折射率也描述光在介质中传播的快慢， 是表征介质光
S sz E0 H0 cos2 (t kz)
式中的ex、hy是电场、磁场振动方向上的单位矢量。
E0 H 0
1
利用 0 r， 0 r，c S可写为
0 0
，r 1，n r
n 2 S sz E0 cos 2 (t kz ) 0 c
2.2 麦克斯韦方程 电介质 波动方程 2.2.1麦克斯韦电磁方程
麦 克 斯 韦 微 分 方 程
物 质 方 程
D、E、B、H分别表示电位移矢量、 电场强度、 磁感应 强度、磁场强度；ρ是自由电荷体密度； J是电流密度。这种 微分形式的方程组将任意时刻、空间任一点的电、 磁场的时 空关系与同一时空点的场源联系在一起。 ε=ε0εr为介电常数，描述介质的电学性质；μ=μ0μr为介质磁 导率，描述介质的磁学性质；σ为电导率，描述介质的导电特 性。
2.2.2 电介质 电极化：形成宏观束缚电荷的现象。 电介质：能产生电极化的物质。 1. 电介质的特性 极化强度： 与E 的关系不同，介质就呈现不同的特性。 P
1 P 与 E 是线性关系 p 0 E 0 E
(1) 线性特性 介质折射率
(2)均匀性 P 与 E 的关系与位臵无关，在任何一处的极化率都是常数
w ( z ) w0 1 f
w
2 0
f
2
1
可见，基模高斯光束的光斑半径随着坐标z按双曲线的规律
扩展，光斑半径最小处称为光腰。
光束半径
发散角
发散角：基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的 发散度采用远场发散角表征。远场发散角定义为z →∞时，强
度为中心的1/e2点所夹角的全宽度， 即
E E E0 e
E0 e
E0
任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，采用复数 形式只是数学上运算方便的需要。 对复数形式的量进行线性 运算，只有取实部后才有物理意义。此外， 由于对复数函数 exp［-i(ωt-kz)］与exp［i(ωt-kz)］两种形式取实部得到相同的 函数，因而对于平面简谐光波，采用exp［-i(ωt-kz)］和exp ［i(ωt-kz)］两种形式完全等效。因此，可以采取其中任意一 种形式。
亦为平面；
显然，高斯光束的发散角由束腰半径w0决定。采用透镜对 光束聚焦，可以得到较小的光斑，但发散角相应增大。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近可以看作是一
种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，
振幅和强度在横截面内保持高斯分布。
1 / e
2
w( z ) lim z z w0
（3） 基模高斯光束场的相位与波前半径 高斯光束的等相位面近似为以R(z)为半径的球面，R(z)随z 2 z0 的变化规律为 R( z ) z
z
当z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等相位面为平面； 当z→±∞时，|R(z)|≈z→∞，表明离束腰无限远处的等相位面
(3)各向同性 E P 与 E 的关系与矢量 E (r , t ) 的取向无关， 与 P 平行
2 电介质的分类
(1)简单电介质 线性，均匀，各向同性，非色散。
(2)非均匀介质 只是非均匀， P与 E 的关系与 r 有关。不同 r 处的极化率不 同，折射率n不同。 (3)各向异性介质 P 与 E 的方向不一致。 与E 的关系与 E 的取向有关。不 P 同方向的极化率不同，折射率不同。这种介质中某些方向容 易极化些，另一些则较难极化。
A i (t kr ) E e r
A *Hale Waihona Puke BaiduI EE r
2
如果观察点远离光源，且在小范 围内，球面波可视为平面波。
球面光波示意图
3. 柱面光波 一个各向同性的无限长线光源，向外发射的波是柱面光 波， 其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐 渐扩展的同轴圆柱面， 如图所示。 当 r 较大(远大于波长)时， 其单色柱面光波场解的表示式 为
c 1 / 0 0 (2.99793458 0.000000012) 108 m/s
2. 频域波动方程 在时谐条件下：
E ( x , y, z , t ) E ( x , y, z )e it
j t
H ( x , y, z , t ) H ( x , y, z )e it
学性质的一个很重要的参量。 此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，εr 或n都是频率的
函数， 具体的函数关系取决于介质的结构。
2.2.4 光波的能流密度 为了描述电磁能量的传播，引入能流密度——玻印亭矢量 S，它定义为单位时间内，通过垂直于传播方向上的单位面积 的能量，表达式为 S E H 对于沿z方向传播的平面光波，光场表示为： E=exE0cos(ωt-kz), 光波的能流密度S为 因为平面光波场有： H=hyH0cos(ωt-kz)
2. 球面光波 一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波， 等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同 心球面。 由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与r有关，与坐标θ、 φ无关，因而球面光波的振幅只随距离r变化。若忽略场的矢量 性，可将波动方程表示为： A E cos(t kr ) r
2.3 光波的表示 2.3.1光波的电磁表示 根据光场解的形式的不同，光波可分类为平面光波， 球 面光波，柱面光波或高斯光束。 首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的 传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相 互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作 用远比电场弱，甚至不起作用。实验证明，使照相底片感光 的是电场，不是磁场；对人眼视网膜起作用的也是电场，不 是磁场。 因此，通常把光波中的电场矢量E称为光矢量，把电场E 的振动称为光振动，在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢 量E即可。
2 2 2 0 I ( , z ) A0 e xp 2 (z) (z)
2
轴上的光强随着z的增加而减小，即
2 0 A0 2 I (0, z ) A0 1 ( z / z )2 (z) 0 2
（2）光束半径与发散角： 光束半径：由中心振幅值下降到1/e点所对应的宽度，定义为 2 光斑半径 ： w 2 (z) z 2 z
z0 0
1/ 2
z0由激光器的结构和参数所决定， 已知 z0 ，就可以求出所有其它参数。
图 2-28 高斯光束的扩展
2. 基模高斯光束基本特征： 1.光强与光功率 任何位臵的光强都是径向距离的高斯函数，在轴上光强 最大，随着离轴距离的增加，光强按指数规律下降。 在 (z ) 处，光强下降到轴上的 1 / e 2 。
n2 2 H H 2 磁场方程： H 2 2 0 J s c t t
对于非导电、无磁性介质（大多数属于该情况）： 波动方程：
n E 2 E 2 0 2 c t
2 2
n H 2 H 2 0 2 c t
2 2
或者：
E eE0 cos(t k r )
(2) 单色平面光波的复数表示 为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。 例如 E E0e i (t kz ) 或E E0e ik r 采用这种形式，可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三 角函数运算。要确定光强，只需将复数形式的场乘以它的共 轭复数即可： * i (t kz ) i (t kz ) 2
A i (t k r ) E e r 可以看出，柱面光波的振幅与 r 成反比。式中的A是离开线光源
单位距离处光波的振幅值。
柱面光波示意图
2.3.2 高斯光束 1. 特点及表达式 高斯光束是一种非均匀波，在许多方面类似于平面波。但 是它的强度分布不均匀，主要集中在传播轴附近。它的等相 面是弯曲的，等相面上的光场振幅分布是非均匀的高斯分布。 大部分激光器输出是高斯光束。 (1)一种非均匀高斯球面波 高斯光束的特点 (旁轴情况下)： (2)传播过程中曲率中心不断改变 (3)振幅分布在横截面内为高斯分布 (4)强度集中在轴线及其附近 (5)等相面保持球面
(4)非线性介质 P 与 E 的关系不只与 E 的一次项有关，也与它的高次项有关。
2.2.3 波动方程 对于线性，均匀，各向同性的电介质：
P x 0 E，n 1 x
2 2
1. 时域波动方程
n E J s E 1 2 0 电场方程： E 2 2 0 c t t t
1. 平面光波 (1) 单色平面光波的三角函数表示 可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是 三角函数形式，即 E=Acos(ωt-kz)+Bsin(ωt+kz) 若只计沿+z方向传播的平面光波，其电场表示式为
t z z E eE0 cos(t kz ) eE0 cos t eE0 cos 2 v T
1 n 2 1 2 2 I S E0 E0 E0 2 0 c 2 0
n 20c
/ 0
2
由此可见，光强与电场强度振幅的平方成正比。 通过测 量光强，便可计算出光波电场的振幅E0。
平面光波的能量沿z方向以波动形式传播。光的频率很高， S的大小随时间的变化很快。光探测器的响应时间较慢，例 如光电二极管仅为10-8~10-9 s，远远跟不上光能量的瞬时变化， 只能给出S的平均值。所以，在实际应用中都利用能流密度 的时间平均值〈S〉表征光电磁场的能量传播，并称〈S〉为 光强，以I表示。假设光探测器的响应时间为T，则：
z 2 ( z ) 0 1 z0
1/ 2
这里，w0 为基模高斯光束的束腰 半径； 0 为高斯光束的共焦参数或 z 瑞利长度；R(z) 为与传播轴线相 交于z点的高斯光束等相位面的曲 率半径； w(z)为与传播轴线相交 于z点的高斯光束等相位面上的光 斑半径。
例如，一束105 W的激光，用透镜聚焦到1×10-10 m2的面积上， 则在透镜焦平面上的光强（功率密度）约为
105 I 10 1015 W/m2 10
相应的光电场强度振幅为
2 cI E0 0 n
1/ 2
0.87 109 V/m
这样强的电场，能够产生极高的温度，足以将目标烧毁。 在有些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只关 心光强的相对值，因而往往省略比例系数，把光强写成： I=〈E2〉=E20 如果考虑的是不同介质中的光强， 比例系数不能省略。
A0 0 w 2 ( z ) 2 表达式 E ( , z ) e exp jkz jk j ( z ) w( z ) 2 R( z )
2
式中，E0为常数，其余符号的意义为：
x y
2 2
2
k
2
z0 2 R( z ) z 1 z
2 2 t 2
应用： 对于高频低电导无源材料，得到 2 2 2 2 2 2 E n E 0， H n H 0
除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为
折射率表示为： n
c
r r
μr≈1。折射率也描述光在介质中传播的快慢， 是表征介质光
S sz E0 H0 cos2 (t kz)
式中的ex、hy是电场、磁场振动方向上的单位矢量。
E0 H 0
1
利用 0 r， 0 r，c S可写为
0 0
，r 1，n r
n 2 S sz E0 cos 2 (t kz ) 0 c
2.2 麦克斯韦方程 电介质 波动方程 2.2.1麦克斯韦电磁方程
麦 克 斯 韦 微 分 方 程
物 质 方 程
D、E、B、H分别表示电位移矢量、 电场强度、 磁感应 强度、磁场强度；ρ是自由电荷体密度； J是电流密度。这种 微分形式的方程组将任意时刻、空间任一点的电、 磁场的时 空关系与同一时空点的场源联系在一起。 ε=ε0εr为介电常数，描述介质的电学性质；μ=μ0μr为介质磁 导率，描述介质的磁学性质；σ为电导率，描述介质的导电特 性。
2.2.2 电介质 电极化：形成宏观束缚电荷的现象。 电介质：能产生电极化的物质。 1. 电介质的特性 极化强度： 与E 的关系不同，介质就呈现不同的特性。 P
1 P 与 E 是线性关系 p 0 E 0 E
(1) 线性特性 介质折射率
(2)均匀性 P 与 E 的关系与位臵无关，在任何一处的极化率都是常数
w ( z ) w0 1 f
w
2 0
f
2
1
可见，基模高斯光束的光斑半径随着坐标z按双曲线的规律
扩展，光斑半径最小处称为光腰。
光束半径
发散角
发散角：基模高斯光束既非平面波，又非均匀球面波，它的 发散度采用远场发散角表征。远场发散角定义为z →∞时，强
度为中心的1/e2点所夹角的全宽度， 即
E E E0 e
E0 e
E0
任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，采用复数 形式只是数学上运算方便的需要。 对复数形式的量进行线性 运算，只有取实部后才有物理意义。此外， 由于对复数函数 exp［-i(ωt-kz)］与exp［i(ωt-kz)］两种形式取实部得到相同的 函数，因而对于平面简谐光波，采用exp［-i(ωt-kz)］和exp ［i(ωt-kz)］两种形式完全等效。因此，可以采取其中任意一 种形式。
亦为平面；
显然，高斯光束的发散角由束腰半径w0决定。采用透镜对 光束聚焦，可以得到较小的光斑，但发散角相应增大。
综上所述，基模高斯光束在其传播轴线附近可以看作是一
种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，
振幅和强度在横截面内保持高斯分布。
1 / e
2
w( z ) lim z z w0
（3） 基模高斯光束场的相位与波前半径 高斯光束的等相位面近似为以R(z)为半径的球面，R(z)随z 2 z0 的变化规律为 R( z ) z
z
当z=0时，R(z)→∞，表明束腰所在处的等相位面为平面； 当z→±∞时，|R(z)|≈z→∞，表明离束腰无限远处的等相位面
(3)各向同性 E P 与 E 的关系与矢量 E (r , t ) 的取向无关， 与 P 平行
2 电介质的分类
(1)简单电介质 线性，均匀，各向同性，非色散。
(2)非均匀介质 只是非均匀， P与 E 的关系与 r 有关。不同 r 处的极化率不 同，折射率n不同。 (3)各向异性介质 P 与 E 的方向不一致。 与E 的关系与 E 的取向有关。不 P 同方向的极化率不同，折射率不同。这种介质中某些方向容 易极化些，另一些则较难极化。
A i (t kr ) E e r
A *Hale Waihona Puke BaiduI EE r
2
如果观察点远离光源，且在小范 围内，球面波可视为平面波。
球面光波示意图
3. 柱面光波 一个各向同性的无限长线光源，向外发射的波是柱面光 波， 其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐 渐扩展的同轴圆柱面， 如图所示。 当 r 较大(远大于波长)时， 其单色柱面光波场解的表示式 为
c 1 / 0 0 (2.99793458 0.000000012) 108 m/s
2. 频域波动方程 在时谐条件下：
E ( x , y, z , t ) E ( x , y, z )e it
j t
H ( x , y, z , t ) H ( x , y, z )e it
学性质的一个很重要的参量。 此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，εr 或n都是频率的
函数， 具体的函数关系取决于介质的结构。
2.2.4 光波的能流密度 为了描述电磁能量的传播，引入能流密度——玻印亭矢量 S，它定义为单位时间内，通过垂直于传播方向上的单位面积 的能量，表达式为 S E H 对于沿z方向传播的平面光波，光场表示为： E=exE0cos(ωt-kz), 光波的能流密度S为 因为平面光波场有： H=hyH0cos(ωt-kz)
2. 球面光波 一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波， 等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同 心球面。 由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与r有关，与坐标θ、 φ无关，因而球面光波的振幅只随距离r变化。若忽略场的矢量 性，可将波动方程表示为： A E cos(t kr ) r
2.3 光波的表示 2.3.1光波的电磁表示 根据光场解的形式的不同，光波可分类为平面光波， 球 面光波，柱面光波或高斯光束。 首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的 传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相 互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作 用远比电场弱，甚至不起作用。实验证明，使照相底片感光 的是电场，不是磁场；对人眼视网膜起作用的也是电场，不 是磁场。 因此，通常把光波中的电场矢量E称为光矢量，把电场E 的振动称为光振动，在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢 量E即可。
2 2 2 0 I ( , z ) A0 e xp 2 (z) (z)
2
轴上的光强随着z的增加而减小，即
2 0 A0 2 I (0, z ) A0 1 ( z / z )2 (z) 0 2
（2）光束半径与发散角： 光束半径：由中心振幅值下降到1/e点所对应的宽度，定义为 2 光斑半径 ： w 2 (z) z 2 z
z0 0
1/ 2
z0由激光器的结构和参数所决定， 已知 z0 ，就可以求出所有其它参数。
图 2-28 高斯光束的扩展
2. 基模高斯光束基本特征： 1.光强与光功率 任何位臵的光强都是径向距离的高斯函数，在轴上光强 最大，随着离轴距离的增加，光强按指数规律下降。 在 (z ) 处，光强下降到轴上的 1 / e 2 。
n2 2 H H 2 磁场方程： H 2 2 0 J s c t t
对于非导电、无磁性介质（大多数属于该情况）： 波动方程：
n E 2 E 2 0 2 c t
2 2
n H 2 H 2 0 2 c t
2 2
或者：
E eE0 cos(t k r )
(2) 单色平面光波的复数表示 为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。 例如 E E0e i (t kz ) 或E E0e ik r 采用这种形式，可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三 角函数运算。要确定光强，只需将复数形式的场乘以它的共 轭复数即可： * i (t kz ) i (t kz ) 2
A i (t k r ) E e r 可以看出，柱面光波的振幅与 r 成反比。式中的A是离开线光源
单位距离处光波的振幅值。
柱面光波示意图
2.3.2 高斯光束 1. 特点及表达式 高斯光束是一种非均匀波，在许多方面类似于平面波。但 是它的强度分布不均匀，主要集中在传播轴附近。它的等相 面是弯曲的，等相面上的光场振幅分布是非均匀的高斯分布。 大部分激光器输出是高斯光束。 (1)一种非均匀高斯球面波 高斯光束的特点 (旁轴情况下)： (2)传播过程中曲率中心不断改变 (3)振幅分布在横截面内为高斯分布 (4)强度集中在轴线及其附近 (5)等相面保持球面
(4)非线性介质 P 与 E 的关系不只与 E 的一次项有关，也与它的高次项有关。
2.2.3 波动方程 对于线性，均匀，各向同性的电介质：
P x 0 E，n 1 x
2 2
1. 时域波动方程
n E J s E 1 2 0 电场方程： E 2 2 0 c t t t
1. 平面光波 (1) 单色平面光波的三角函数表示 可以采取不同的具体函数表示。最简单、最普遍采用的是 三角函数形式，即 E=Acos(ωt-kz)+Bsin(ωt+kz) 若只计沿+z方向传播的平面光波，其电场表示式为
t z z E eE0 cos(t kz ) eE0 cos t eE0 cos 2 v T