定积分计算技巧

1. 定积分的几何意义

例1.

⎰

=_________．

解法1 由定积分的几何意义知，0

⎰

等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)

与x 轴所围成的图形的面积．故0

⎰

=

2

π． 2. 利用积分不等式 例1.求sin lim

n p

n

n x

dx x

+→∞⎰

, ,p n 为自然数． 解法 利用积分不等式 因为

sin sin 1ln

n p

n p n p n

n n x x n p

dx dx dx x x x n

++++≤≤=⎰

⎰⎰, 而limln

0n n p

n

→∞

+=,所以 sin lim 0n p

n

n x

dx x

+→∞=⎰

．

例2. 求1

0lim 1n

n x dx x

→∞+⎰．

解法 因为01x ≤≤，故有

01n

n x x x

≤≤+．

于是可得

1

100

01n

n x dx x dx x ≤≤+⎰⎰．

又由于

1

1

0()1

n x dx n n =

→→∞+⎰

． 因此

1

0lim 1n

n x dx x

→∞+⎰=0． 3.利用被积函数的奇偶性求定积分．

例1. 计算

21

-⎰

．

分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解

21

-⎰

=

21

1

--+⎰

⎰

．由于

2是偶函数，而

是奇函数，有

1

0-=⎰

, 于是

21

12211x x dx x -++-⎰=2

1

02411x dx x +-⎰=221

20(11)

4x x dx x --⎰=11200441dx x dx --⎰⎰ 由定积分的几何意义可知

1

20

14

x dx π

-=

⎰

, 故

21

1

1

2

24444

11x x dx dx x

π

π-+=-⋅

=-+-⎰

⎰．

例2. 计算.

解 虽然在上即不是奇函数，也不是偶函数，更不能直接求出原函数，但我们可

以利用得

原式

.

4.设f(x)为周期函数且连续，周期为T ，则

. 事实上

由于

于是

例1.设表示距离x 最近整数的距离，计算

解 由且为周期函数，周期为1，于是

5.利用积分中值定理

例1. 求sin lim

n p

n

n x

dx x

+→∞⎰

, ,p n 为自然数．

解法 利用积分中值定理 设 sin ()x

f x x

=

, 显然()f x 在[,]n n p +上连续, 由积分中值定理得 sin sin n p n x dx p x ξ

ξ

+=⋅⎰, [,]n n p ξ∈+, 当n →∞时, ξ→∞, 而sin 1ξ≤, 故

sin sin lim lim 0n p

n

n x dx p x

ξξ

ξ+→∞→∞=⋅=⎰

．

例2. 求1

0lim 1n

n x dx x

→∞+⎰．

解法 由积分中值定理

()()()()b

b

a

a

f x

g x dx f g x dx ξ=⎰

⎰可知

1

01n x dx x +⎰=

1

1

1n x dx ξ

+⎰

，01ξ≤≤．

又

1

1

lim lim

01n n n x dx n →∞→∞==+⎰且11121ξ

≤

≤+， 故

1

0lim 01n n x dx x

→∞=+⎰． 6.利用适当变量变换求定积分

例1. 设f(x)在[0，1]上连续，计算

解 设于是

得

例2.设函数f(x)在

内满足

且

，计算

解法一

解法二当时，于是

例46 设

解原式

7.利用定积分公式

公式1：设f(x)在[0,1]上连续，则

事实上

移项两边同除以2得.

公式2：

记

于是

由于递推公式每次降2次，要讨论n为奇偶数的情形，由

公式3：

证

由，知的周期为，当然也是它的周期，利周期函数定积分的性质，有而

由于2n是偶数，故

公式4

. 证

例54 证明.

证

公式5设f(x)在[0,1]上连续，则.