高考数学全国卷导数压轴题《极值点偏移问题》
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极值点居中
极值点偏移
例: 已知函数 f(x)xex
(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值 (2)若 x1x2,f(x1)f(x2), 求证：x1x2 2
解: (1) f'( x ) e x x ( e x ) ( 1 x ) e x
x 1 f'( x ) 0 , x1 f'(x)0 f (x) 在(,1)单调递增，在 (1, )单调递减
又 x 1 f'( x ) 0 , f( x ) 极 大 值 = f( 1 ) 1 e
要 证 x1x22
f(x1)f(x2)
只 需 证 x12x2 不妨设 x11x2,
只 需 证 f(x 1 ) f(2 x 2 ) x1,2x2 ,1
只 需 证 f(x 2 ) f( 2 x 2 )
x 1 1 ,2 x 2 1 , 而 f ( x ) 在(,1)上单调递增
x 1 2 x 2 , x 1 x 2 2
极值点偏移问题的求解步骤
1. 构造函数 F ( x ) f( x 0 x ) f( x 0 x )； 2. 求导判断函数 F ( x ) 单调性； 3. 根据 F(0)0判断 f(x0x),f(x0x)大小； 4. 结合 f(x1)f(x2)及 f ( x ) 单调性，判断
原 始 型 差 函 数 构造
对 称 型 差 函 数
ห้องสมุดไป่ตู้
F (x ) f(x ) f(2 x )
F (x ) f( 1 x ) f( 1 x )
例: 已知函数 f(x)xex (2)若 x 1x2,f(x 1 )f(x2), 求证：x1x2 2 解: 令 F ( x ) f ( 1 x ) f ( 1 x ) ( 1 x ) e ( 1 x ) ( 1 x ) e x 1
则 F '(x)x[ex 1 e (1 x)],当 x 0 时，F'(x)0
F(x)在 0， + 上单调递增，又F(0)0F(x)0
f(1 x )f(1 x ),不妨设 x11x2, 令 1xx2
f ( x 2 ) f ( 2 x 2 ) f ( x 1 ) f ( 2 x 2 )
f (x0 x)与 f (x0 x) 大小，从而确定
x 1 与 2x0 x2 大小.
极值点偏移
例: 已知函数 f(x)xex
(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间和极值 (2)若 x1x2,f(x1)f(x2), 求证：x1x2 2
解: (1) f'( x ) e x x ( e x ) ( 1 x ) e x
x 1 f'( x ) 0 , x1 f'(x)0 f (x) 在(,1)单调递增，在 (1, )单调递减
又 x 1 f'( x ) 0 , f( x ) 极 大 值 = f( 1 ) 1 e
要 证 x1x22
f(x1)f(x2)
只 需 证 x12x2 不妨设 x11x2,
只 需 证 f(x 1 ) f(2 x 2 ) x1,2x2 ,1
只 需 证 f(x 2 ) f( 2 x 2 )
x 1 1 ,2 x 2 1 , 而 f ( x ) 在(,1)上单调递增
x 1 2 x 2 , x 1 x 2 2
极值点偏移问题的求解步骤
1. 构造函数 F ( x ) f( x 0 x ) f( x 0 x )； 2. 求导判断函数 F ( x ) 单调性； 3. 根据 F(0)0判断 f(x0x),f(x0x)大小； 4. 结合 f(x1)f(x2)及 f ( x ) 单调性，判断
原 始 型 差 函 数 构造
对 称 型 差 函 数
ห้องสมุดไป่ตู้
F (x ) f(x ) f(2 x )
F (x ) f( 1 x ) f( 1 x )
例: 已知函数 f(x)xex (2)若 x 1x2,f(x 1 )f(x2), 求证：x1x2 2 解: 令 F ( x ) f ( 1 x ) f ( 1 x ) ( 1 x ) e ( 1 x ) ( 1 x ) e x 1
则 F '(x)x[ex 1 e (1 x)],当 x 0 时，F'(x)0
F(x)在 0， + 上单调递增，又F(0)0F(x)0
f(1 x )f(1 x ),不妨设 x11x2, 令 1xx2
f ( x 2 ) f ( 2 x 2 ) f ( x 1 ) f ( 2 x 2 )
f (x0 x)与 f (x0 x) 大小，从而确定
x 1 与 2x0 x2 大小.