(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

g专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为．133(02xy x x+=<<313x y+-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c>>>2a b+=的最小值为.2ac c cb ab+-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则＋4x4x＋y 的最大值为．yx＋y解析：由于＋==4x4x＋yyx＋y))(4()4()(4yxyxyxyyxx+++++22225484yxyxyxyx++++=1+=1+≤1+=，22543yxyxxy++345x yy x⋅++5423+⋅xyyx43当且仅当4=，即y=2x时等号成立．yxxy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b3ab a b=++a b+解析：由,得,解得,a b R+∈223(),()4()1202a bab a b a b a b+=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b+≥a b=3ab a b=++3a b==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R+∈22a b a b+=+a b+解析：因为,所以由,,a b R+∈22222()2a ba b a b a b a b++=+⇒+=+≥2()a b+-,解得(当且仅当且,即时,取等号). 2()0a b+≤02a b<+≤a b=22a b a b+=+1a b==2.设，，则的最小值为_______ 4,0>>yx822=++xyyx yx2+3.设，，则的最大值为_________Ryx∈,1422=++xyyx yx+210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为195a b+=-ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则yx,1=+yx的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a=3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =g a练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x-222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当d n ar e时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。

a 5.设实数x 、y 满足x ＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是_________26.已知，且，，求的最大值为______R z y x ∈,,1=++z y x 3222=++z y x xyz 【题型四】换元法【典例6】（南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试·13）已知函数f (x )＝ax 2＋x －b (a ，b 均为正数)，不等式f (x )＞0的解集记为P ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数t ，P ∩Q ≠ ，则－的最大值是1a 1b ．【解析】由题意可知任意正数t ，集合Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }，构成的集合的交集t Q 为，即，，令{}2-()2420,42f a b b a -=--==-21111324242a a b a a a a--=-=--，，当且仅当，等号成32a u -=211999144104182410u a b u u u u-==≤=++++1u =±立，或（舍）∵故．则－的最大值是．1,a =13a =0,b >12a >1a 1b 122．（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷·14）已知正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，则+的最小值为 ．解法一：∵正数a ，b ，c 满足b+c ≥a ，∴+≥+=（+）+﹣=+﹣≥﹣当且仅当=时取等号．故答案为：﹣解法二：由得，令，，则，a cb ≥+1b a c c +≥b x c =ay c=1x y +≥，所以1b c x c a b x y+=+++，当且()11111112121221222b c x x x c a b x y x x +=+≥+=++-≥=-++++仅当时等号成立．故．x =b a c c b ++12-练习1．（江苏省南京市2016届高三第三次模拟·14）若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则222522x yx xy y --+的最大值为．解析：由2x 2＋xy －y 2＝1可得，()()21x y x y -+=，令2x y t -=，则1x y t+=，113x t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，123y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，代入222522x y x xy y --+得2211t t t t-+，令1t m t-=，则2222111222t m m t m m t m t m -=≤=≤++++，当且仅当m =时取等号，故222522x y x xy y --+．2．设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()(6(2s t s t s t=+++-=+-.因为41141149()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥ 所以221214x y x y +≥++. 3..若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则的最大值为．x －2y 5x 2－2xy ＋2y 2244．（江苏省苏、锡、常、镇2016届高三数学教学情况调查数学试题（一）·14）若实数满足，则当取得最大值时，的值为 5 .解析：当时，取最大值8，，取得最大值，解得，故.【题型五】判别式法【典例7】南通市2015届高三第三次调研测试14．已知正实数x ，y 满足，则xy 的取值范围为 ．24310x y x y+++=【解析】设，则，代入得：，由，解得，即xy 的取值范围为.练习1. （泰州市2016届高三第一次模拟·13）若正实数满足，则的最大值为 ．【解析】令，则，因此，当时，，因此的最大值为2.设，，则的最大值为________R y x ∈,1322=++xy y x y x +21120变式1．（江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题·14）在平面直角坐标系中，设点，，，，若不等式xOy (1 0)A ，(0 1)B ，( )C a b ，( )D c d ，对任意实数都成立，则实2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r≥a bc d ，，，数的最大值是．m 解析：由题意得：，22()()(2)()a c b d m ac bd mbc -+--++≥2222++()a cb d m ac bd bc +++≥对任意实数都成立，因此2222()+(+)a mc a c b d mbd mbc -+--≥0a ，即对任2222()4(+)mc c b d mbd mbc ∆=-+--≤02222444()()d mbd c b mbc mc -++--≥0意实数都成立，即，d 222221(4)44(444)mb c b mbc m c ∆=-⨯+--≥0对任意实数都成立，即22222(4)44m b mbc c m c -+-+≤0b，222222240,(4)(4)(4)m mc m c m c -<∆=---+≤04212160,m m -+≥，即，实数26m ≤-11m -≤≤m 1-【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。