相平面分析

§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
dc
1
(II) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
dc
1
3 2
2 3

1 0 1 3 1 2
§7.2
相平面法（17）
极限环 —— 对应二阶非线性系统的周期运动
各
类
极
稳定的极限环
限
环
不稳定的极限环
半稳定的极限环
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
§7.2
相平面法（9）
例5 设系统方程为 x sin x 0，求系统的平衡点xe，
并判定平衡点附近相轨迹的性质。
解 令 x x 0 sin x 0 xe k
当
xe

2k

(2k

1)
sin x sin(2k x) sinx x sin x sinx x

x
x
x

0
x0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 0 xe2 0
特征 I
方程
II
s2 s 1 0 s2 s 1 0
极点

s1,
2

s1,
2

0.5 j0.866

0.62 1.62
稳定焦点 鞍点
开关线
§7.2

1 s2
s
c c u
非线性部分 u
1
ee
来自百度文库

h h,
e 0
1
ee

h h,
e
0
比较点 e r c
整理
c c u
1
cc

h h,
c
0
1
cc

h h,
c 0

1 21 3 0 1 3
I 1 (1 ) 2 3 2 1 1 2 0 1 2
s1, 2

s1,
2


j1 j1
中心点 中心点
开关线
—— 划分不同线性区域的边界线
平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生
§7.2
相平面法（9）
(3) 非线性控制系统的相平面分析
例3
系统如右，已知 cr ((0t ))

0 4
1(t
),确定开关线方程,奇点位置和
e 1 e&2 2e CI
( II ) e Te 0
e 1 e&2 2e CII
相轨迹图
开关线
Te

0 0
Te02.5e
§7.2
相平面法（15）
例5 系统如右，在 ( c ~ c) 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)
c e
0 e 2 (I)
e c u 2 e e 2 (II)
2 e e 2 (III)
§7.2
相平面法（10）
区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质
奇 点 类
I e 0
e1
s2 0
s0
II e e - 2 0 e2 2 s2 1 0 s j 中心点
类型,绘制相轨迹 (e, e&) 图。
解
线性部分
C(s) 1 U(s) s2
c(t) u(t)
0 e 2 (I)
非线性部分 u e 2 e 2 (II)
e 2 e 2 (III)
开关线方程
ee

2 2
综合点
e rc 4c
cc
4e e
型 III e e 2 0 e3 -2 s2 1 0 s j 中心点
( I ) e 0 e C 水平线
相轨迹 (II) 以 e2 2 为中心的圆
(III) 以e3 2 为中心的圆
c(t )响应
e r c
c re 4e
§7.2
相平面法（11）
§7.2
相平面法（18）
例6 系统如右，在 ( c ~ c) 平面上分析系统的自由响应运动。
解
线性部分
C(s) U(s)

1 s2
s
c c u
1 eh (I) 非线性部分 u e e h ( II )
1 e h (III)
比较点 e r c c
1 c h ( I )
§7.2 相平面法
课程回顾（1）
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
§7.2 相平面法
7.2.1 相平面的基本概念 7.2.2 相轨迹的性质
（相平面、相轨迹和相平面图） （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）
7.2.3 相轨迹的绘制
（解析法 ，图解法）
7.2.4 由相轨迹求时间解
（增量法）
7.2.5 二阶系统的相轨迹 （极点分布，奇点性质，相轨迹）
7.2.6 非线性系统相平面分析 （非本质/本质非线性，控制系统）
课程回顾（2）
(3) 二阶系统的相轨迹
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点
相迹图
中心点
鞍点
相平面法（11）
例2 系统方程为 x x signx 0，分析系统的自由响应。
解
x x 1 0

x
x

1

0
x 0 I x 0 II
奇点
I II
xe1 1 xe2 1
特征 I
方程
II
s2 1 0 s2 1 0
极点
例4 系统如右，r(t) 1(t) ，T 0, 0.5 ，分别讨论系统运动。
解 线性部分 c(t) u(t)
非线性部分 u 1 e Te 0 ( I )
1 e Te 0 (II)
比较点 e r c 1 c
整理
e
1 e Te 0 ( I ) 1 e Te 0 (II)
自动控制原理
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 相平面法 §7.3 描述函数法 §7.4 改善非线性系统性能的措施
自动控制原理
（第 37 讲）
§7 非线性控制系统分析
整理
c c u c c h ( II)
1 c h (III)
§7.2
相平面法（19）
§7.2
相平面法（20）
例7 系统方程为 x sin x 0，绘制相轨迹图；
分析系统的自由响应运动。
解 x d x d x d x x d x sin x
角
相平面法 45 26.6 14 0 14 26.6 45 （21）
90
1
1
2
4
4 2 1
0
系统方程 &x& sin x 0
等倾斜线 x& 1 sin x

课程小结
§7.1概述
7.1.1 非线性现象的普遍性 7.1.2 典型非线性特性 7.1.3 非线性系统运动的特殊性 7.1.4 非线性控制系统的分析方法
线化
x x
x x

0 0
特征 s2 1 0 s j1
方程

s
2
1

0

s

1
中心点 鞍点
§7.2
相平面法（10）
(2) 本质非线性系统的相平面分析
例1 系统方程为 x x x 0 ，分析系统的自由响应。
解
x x x 0
dt dx dt
dx
令 d x x 1 sin x
dx

值

1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
角 45 26.6 14 0 14 26.6 45 90
1 1 2 4 4 2 1 0

值
1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
§7.2
自动控制原理
本次课程作业(37)
7 — 5, 6, 7, 8
(全部选做)
§7.2 II -1 (1 ) 2相平3 面2 法1（161） 2 0 1 2
3 2 2 2
1 2 1 3 0 1 3 2
3 2
( I ) &c& c& dc& c& 1 c& 等倾斜线 c 1
开关线方程 e 1 e T
在 I 区：
e dede ede 1
de dt de
同理在 II 区：

e&2 2e CI e&2 2e CII
当T

00.5
时，开关线为：ee
0 2e
抛物线方程
§7.2
系统方程
相平面法（12）
( I ) e Te 0