相平面

合集下载

微分方程中的相平面分析

微分方程是数学中的重要概念，它描述了变化率与状态之间的关系。

在解微分方程时，相平面分析是一种常用的方法。

相平面分析通过将微分方程转化为相平面上的轨迹，来揭示方程的性质与解的行为。

相平面是指由自变量和因变量组成的平面。

在微分方程中，自变量通常表示时间，因变量表示系统的状态。

将微分方程转化为相平面上的轨迹，实际上是将微分方程转化为一条或多条曲线，这些曲线反映了系统状态随时间变化的规律。

相平面分析的一般步骤如下：首先，将微分方程化为一阶形式。

多数微分方程可以化为 dx/dt = f(x, t) 的形式，其中 x 表示系统的状态，t 表示时间。

然后，找到微分方程的关键点。

关键点是使得 dx/dt = 0 的点，也即是在相平面上函数曲线的极值点或交点。

接下来，画出函数曲线的大致形状。

可以通过选取几个具体的 x 值，代入微分方程中计算对应的 dx/dt 值，从而得到曲线在相平面上的走向。

在画曲线时，需要特别关注关键点的性质。

分析关键点的稳定性是相平面分析的核心。

对于关键点，可以计算 dx/dt 的导数在该点处的值，从而得到关键点的稳定性。

当 dx/dt 导数为正时，关键点是不稳定的，曲线从该点离开；当 dx/dt 导数为负时，关键点是稳定的，曲线会向该点聚拢；当 dx/dt 导数为零时，需要进一步进行分析。

通过分析关键点的稳定性，可以得到微分方程在相平面上的稳定区域和不稳定区域。

在稳定区域内，系统的状态会从任意初始条件下趋向于关键点，而在不稳定区域内，系统的状态则会趋向于无穷远。

相平面分析不仅可以揭示微分方程的稳定性，还可以帮助我们理解方程的解的行为。

通过观察曲线在相平面上的轨迹，我们可以得到方程解的大致形态和变化规律。

例如，考虑一个简单的线性微分方程 dx/dt = -kx，其中 k 是常数。

这个方程描述了一个稳定的减衰过程。

通过相平面分析，我们可以得到关键点 x = 0，该点稳定且吸引系统状态趋于零。

曲线在相平面上的轨迹是一组从正数推向零的曲线。

相平面法

1 的情况相同，只是运动方向相反。
<3>正反馈二阶系统：
n2 x 0 x 2 n x
s 1 .2 n n 2 1
则 s 1 0 , 而 s 2 0。
相轨迹存在的两条特殊的等倾线也是相轨迹，其斜率分
k 1 s 1 , k 2 s 2，同时它别为：
初条下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇。而
由一簇相轨迹所组成的图形——相平面图。二、相轨迹的绘制：（1）解析法、（2）作图法、（3）实验法（一）解析法：求出相轨迹的解，再画出相轨迹。
相轨迹的绘制（续）
适用场合：（1）运动方程比较简单（2）可以分段线性化例1、如图所示，弹簧—质量运动系统， m 为物体质量，k 为弹性系数。若初条为
2 n x dx dx x
dx n2 x d x 则有x
2 x 2 x 2 A2 n
其中A是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。
2、 0 1:
由第三章知： x ( t ) A e n t s in( d t ), d n 1
由x— 2、相轨迹
组成的直角坐标平面——相平面。 x
0 )起，相变量从初始时刻 t0 对应的状态点 ( x 0， x
随着时间的推移，在相平面上运动形成的曲线
基本概念（续）
——相轨迹。
3、相平面图：根据微分方程解的存在和唯一性定理，对于任一给定的初条，相平面上有一条相轨迹与之对应，多个
由初始条件求得。
相轨迹的绘制（续）
可见：直线c=r[在此r=1]
将相平面分成两个
区域I和II。 1）若初始条件处于A点(II内):

相平面分析实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解相平面的概念及其在控制系统中的应用；2. 掌握相平面分析方法，通过分析相轨迹图，了解系统的动态特性；3. 分析饱和非线性环节对控制系统性能的影响。

二、实验原理相平面分析是一种研究非线性系统动态特性的方法。

它通过将系统的状态变量绘制在二维平面上，形成相轨迹图，从而直观地观察系统的运动规律。

在相平面上，系统的状态变量可以是系统的位置和速度，也可以是系统的其他两个相互独立的变量。

本实验主要研究带有饱和非线性环节的控制系统。

饱和非线性环节具有上限和下限，当输入信号超出这个范围时，系统的输出将不再改变。

在相平面上，饱和非线性环节表现为相轨迹的折线。

三、实验设备1. PC机一台；2. MATLAB软件；3. Simulink模块库。

四、实验步骤1. 建立控制系统模型根据实验要求，建立带有饱和非线性环节的控制系统模型。

首先，建立系统的传递函数，然后添加饱和非线性环节模块。

2. 设置仿真参数设置仿真参数，包括仿真时间、采样时间等。

3. 运行仿真运行仿真，观察系统输入饱和非线性环节前后的相轨迹图。

4. 分析相轨迹图对比有无非线性环节的相轨迹图，分析饱和非线性环节对系统性能的影响。

5. 求解超调量在输入单位阶跃信号的情况下，计算系统的超调量。

五、实验结果与分析1. 相轨迹图分析在饱和非线性环节的影响下，系统的相轨迹图发生了明显的变化。

当输入信号超出饱和非线性环节的上下限时，相轨迹图出现折线。

这表明饱和非线性环节限制了系统的运动范围，影响了系统的动态性能。

2. 系统性能分析通过对比有无非线性环节的相轨迹图，可以发现饱和非线性环节对系统的超调量和上升时间有一定影响。

当饱和非线性环节存在时，系统的超调量增大，上升时间变长。

这是因为饱和非线性环节限制了系统的运动范围，导致系统在达到稳定状态之前需要更多的能量。

3. 超调量计算在输入单位阶跃信号的情况下，系统的超调量为：超调量 = (终值 - 原始值) / 原始值其中，终值为系统稳定后的输出值，原始值为输入信号的幅值。

相平面法

x2
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )

相平面

对于线性二阶系统的自由运动（无外作用）对于线性二阶系统的自由运动（无外作用），奇点就是相平面的原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、稳定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。中心点不是奇点
•
x > 0 轨迹向右移
•
线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动的微分方程为
T x+ x = 0
相轨迹方程为：相轨迹方程为：设初始条件为：设初始条件为：
•
1 x = − x T x (0) = c
•
1 x (0) = − c T
•
•
T <0
发散
•
x x
x
T >0
收敛
x
线性二阶系统的相轨迹
线性系统相平面的图解法
一．基本概念相平面及相轨迹相平面有关概念举例说明
二．线性系统的相轨迹线性一阶系统的相轨迹奇点与普通点三.相轨迹的绘制积分法等倾线法线性二阶系统的相轨迹
四.由相轨迹求时间解
非线性系统的相平面分析
本质非线性系统的线性化非线性系统的极限环
用相平面表现运动
d2y dy +4 + 3y = 0 2 dt dt
相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点 ( x = 0 x = 0) 。是一个收敛的运动。对应的平衡点是稳定的焦点。
•
ζ =1时，线性二阶系统的相轨迹时
k
存在两个相同的负实根 s1, 2 = −ζωn 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，不同初始条件的相轨相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，稳定的节点。迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。平衡点为稳定的节点。

相平面赵凯华

§4-3 相平面法相平面法是一种直观的几何方法, 它适用于系统的一维运动. 以位置x 、速度x为坐标建立坐标系, 通常也称此坐标平面为相平面 (广义相平面). 相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态, 称为相点. 相点连续变化形成的轨道则描述了系统的运动过程, 称为相轨道 (简称轨线), 这种图形也称相图.一、相轨道方程一维系统的运动微分方程一般可写成),(x x f x= 这时f 中不显含时间t , 这种情况的系统称为自治系统. 下面仅讨论自治系统.为了便于数值计算, 必须把1个二阶常微分方程化为2个一阶方程,==),(y x f y y x 2式相除即得相轨道方程y y x f x y ),(d d =尤其当原方程求解析解有困难时, 若能利用上述方程近似求出相轨道, 就可对系统的运动进行几何的、定性的研究.二、轨线的作法不管系统是保守的还是耗散的, 运用计算机进行数值计算作相轨线是一种普遍使用的方法.对保守系统, 可利用势能曲线作相图. 这种情况, 相点的运动微分方程可写为−===x V y x f y y x d d ),( 其中V 为单位质量的势能, 系统能量守恒E x V y =+)(212 式中E 为单位质量的总能量, 而T V E =−为单位质量的动能. 于是))((2x V E y x−±== 下面说明如何利用势能曲线作出相轨道. 上图为势能曲线图, 下图为与之对应的相图.在势能曲线的图上作一条高度等于总能E 的水平线,此线与势能曲线的交点确定了质点的运动范围[]21,x x ,x 处的势能)(x V 可从图上求出, 进而求得)(x V E −和相应的两个y 值, 得到对x 轴对称的两个相点. 其他相点可同样得出. 连接所有相点得到与总能E 对应的轨线. 与此势能曲线对应的轨线是一条闭合曲线. 改变总能量的取值, 可得不同的轨线.例题1 求简谐振动的相图.解这种情况, 相图可以解析地得出, 由于势能函数已知, 能量守恒方程为E kx x m =+222121 可直接得出相轨道方程1222222= + k E x m E x相轨道是闭合的椭圆, 运动是周期性的. 相应于质点在势阱中运动. 一条相轨道是一条等能线.例题2 求线性阻尼振动相图.解相轨道方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ由于系统是耗散的, 能量随时间不断减少, 所以它的相轨道应是不断向内收缩的螺旋形状的曲线, 最后趋近于原点. 用数值计算方法求出的相图如图所示.三、轨线的普遍性质1. 对于自治系统, 轨线不随时间改变, 互不相交. 若相轨道是一条闭合曲线, 则系统做周期运动.2. 轨线的方向即相点沿轨线运动的方向, 由相点位置确定, 若相点处于相平面的上半部, 即相点的纵坐标,0>=xy 则运动方向向右; 若相点处于相平面的下半部, 则运动方向向左. 3.),(y x是相点运动速度矢量v 的两个分量.在相平面上各点作出这个速度矢量, 就构成速度场, 因此可以把相平面想像为流体力学中的流场, 故把相点的运动称为相流.对于保守系统, 由相点的运动微分方程−===x V y x f y y x d d ),( 可知这个速度场的散度为0=∂∂+∂∂=⋅∇=yy x x v v div表明在流动过程中相体积 (对于二维情况, 体积退化为面积) 守恒, 如图所示, 在相同时间内流过的面积 (如abcd 和d c b a ′′′′所围面积) 保持不变.对于耗散系统, 我们以线性阻尼振动为例说明它的相体积是不断减少的,相点运动微分方程为−−==x y ty y t x 202d d d d ωβ 速度场的散度为β2−=∂∂+∂∂=yy x x v div 这个结论是普遍正确的.四、奇点及其附近的轨线在相平面上, 满足0,0==y x的点称为奇点, 对此点有,00d d =x y 即相轨道方向是不确定的.从力学角度看, 奇点即平衡点, 表明系统处于平衡态, 故又称不动点.了解奇点的性质 (类型) 及奇点附近相轨道的情况, 就可以了解系统在平衡点受微扰后的发展情况.对于保守系统, 奇点有3种类型. 奇点的条件除要求速度为零外, 还要求加速度为零, 即要求,0d d =x V 因而奇点必与势能曲线的极大点、极小点和拐点3种情况对应, 分别形成奇点的3种类型. 常见的是前两种, 根据势能曲线情况容易作出这两种奇点附近的轨线, 如图所示. 与势能极小值相应的奇点称为中心, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后仍在平衡位置附近围绕它做周期运动, 则此平衡为稳定的; 与势能极大值相应的奇点称为鞍点, 从它附近的轨线情况说明质点在平衡位置受微扰后最终将偏离平衡点很远, 则此平衡为不稳定的.利用相图对非线性系统行为进行研究是很重要的, 相图给出轨线形态的类型及其拓扑结构的稳定性[赵凯华. 从单摆到混沌. 现代物理知识, 1993,5(4):14].。

《自动控制原理》相平面法

(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2

第2章相平面分析201-资料

(x,x)
x
(x,x)
0
x
相轨迹对称于原点
f( x ,x ) f( x , x )
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程 d xd x 可f( 知x ,,相x )平x 面上的点
只要不(同x,时x)满足
,则x 该点0 ,相f轨(x 迹,x 的) 斜0 率是唯一确定
的。
这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。
用xf来(x表)示。
x(t)
x
t
x
方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和作x为平面的直角坐标，则
系统在每一时刻的 (x,均x)相应于平面上的一点。当 t 变化时，这一点在平面x上将x 绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。
它描述系统的运动过程。
2.相平面: x x平面称为相平面。对于一个系统，初始条件
f(x,x) xf(x,x)
x 给定一个 α值 ,可由上式求得一条等倾线 ; 给定一组 α值 ,则可求得一组等倾线族 ,它们确定了相平面中相轨迹斜率的分布 .
设系统方程为: x 2x 2x 0
上式改写为:
x dx 2x 2x 0
一、相轨迹的共同特性
1.相轨迹的对称性
相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。设二阶系统的方程为：
改写为：
xfx,x0
x = d x = d x d x = x d x , x d x fx ,x
d t d xd t d x d x
两边除以 dx 可x得： dt
dx f x,x----相轨迹的
dx
x 斜率方程

7-2相平面法

为自变量，为因变量的一阶微分方程。以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系统常微分方程方程的解既可用x与的关系来表示方程的解既可用的关系来表示，统常微分方程方程的解既可用与t的关系来表示，也可的关系来表示。实际上，用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动方程，则x1(t)代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。方程，代表质点的位置，代表质点的速度。代表质点的位置代表质点的速度
或பைடு நூலகம்
等倾线是过相平面原点的一些直线。等倾线是过相平面原点的一些直线。当ζ = 0.5、ωn = 1 、时的等倾线分布图 :
9
a= −1
x
−1.2 B −1.4 −2 −3 −6
2 ɺ ωn x =− x α + 2ξω n = −1/(a +1)
A
C
a= −1，k = −∞ ， a= −2，k = 1 ， a= −3，k = 1/2 ，
2
描述二阶系统常微用x1、x2描述二阶系统常微分方程方程的解方程的解，分方程方程的解，也就是用质点的状态来表示该质点的运动。点的状态来表示该质点的运动。在物理学中，状态又称为相在物理学中，状态又称为相。把由x 把由 1—x2所组成的平面坐标系称为相平面相平面，坐标系称为相平面，系统的一个状态则对应于相平面上的一个点。个点。变化时，当t变化时，系统状态在相变化时相轨迹。平面上移动的轨迹称为相轨迹平面上移动的轨迹称为相轨迹。
x 0 x
0
x
x
14
2。线性二阶系统。描述线性二阶系统自由运动的微分方程为
ɺɺ + bx + cx = 0 ɺ x

非线性系统的分析-相平面1PPT课件

ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量，
因为
，
2021
45
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
的位置，可以有以下几种情况：
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根每条相轨迹都以
态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中
两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称为鞍点。
2021
16

常微分方程的相与相平面

常微分方程的相与相平面相与相平面是研究常微分方程的重要工具之一。

它通过可视化的方式，使我们能够更好地理解和分析微分方程的解的行为和性质。

本文将介绍相与相平面的基本概念、构造方法以及在解析解和稳定性分析中的应用。

1. 相与相平面的基本概念相与相平面（Phase Plane）是指以自变量 t 作为横坐标，因变量 y 及其导数 y' 作为纵坐标的平面。

在相与相平面上，我们可以用轨线表示微分方程的解的变化情况。

轨线上的每一个点代表解在某一时刻的取值。

通过观察轨线的形状和演化趋势，我们可以得到关于微分方程的重要信息。

2. 相与相平面的构造方法构造相与相平面的方法有很多种，下面将介绍两种常见的方法。

（1）零等值线法零等值线法是最常见的构造相与相平面的方法之一。

它通过在相平面上画出方程 y' = 0 的零等值线，即表示导数为零的点，来确定轨线的方向。

简单来说，零等值线是指在平面上使得 y' = 0 的曲线。

轨线上的点的导数与零等值线的斜率有关。

在零等值线的两侧，轨线向上或向下的趋势也是不同的，从而可以通过观察零等值线和轨线的交叉情况来判断解的行为。

（2）向量场法向量场法是另一种常见的构造相与相平面的方法。

它通过在相平面上画出方程 y' 的向量场，即在不同点上的导数值对应的向量，来表示解在不同点上的趋势。

向量场法允许我们更直观地理解解的变化规律。

在相平面上，向量场的方向和长度都与导数的值有关。

根据向量的方向和长度，我们可以判断解的趋势和稳定性。

3. 相与相平面的应用相与相平面的优点在于能够提供对微分方程解的直观理解。

它在解析解和稳定性分析中有着广泛的应用。

（1）解析解通过相与相平面的分析，我们可以得到微分方程解的形状、周期性和稳定性等信息。

在解析解的求解过程中，相与相平面可以帮助我们更好地理解解的行为，并优化求解的方法。

（2）稳定性分析相与相平面也是稳定性分析中的重要工具。

通过观察相平面上的轨线，我们可以判断解的稳定性和收敛性。

《相平面分析》课件

傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是对信号进行频谱分析的重要工具，它们可以将信号分解成一系列频率成分。
RC、RL、RCL电路的相平面分析
相平面分析可以应用于分析RC、RL和RCL等电路，帮助理解电路的频率响应、稳定性和传递函数。
线性时不变系统的相平面分析
相平面分析是研究线性时不变系统的常用方法，通过分析系统的零极点分布和频率响应，可以了解系统的特性。
相平面分析的未来发展趋势
相平面分析作为一种重要的信号处理和控制系统分析方法，随着科学技术的发展，将继续发展并得到更广泛的应用。
极性和共轭
复数的极性表示复数的模和角度，共轭用于表示复数的共轭对称性质，在相平面分析中有重要的应用。
大角度相位移
大角度相位移是相平面分析中的一个重要概念，描述了信号在复平面上的相位偏移，可以用于分析系统的稳定性。
时域和频域之间的转换
相平面分析提供了在时域和频域之间转换的方法，可以将信号从时域表示转换为频域表示，或者反之。
Karnaugh图和相平面分析的关系
相平面分析和Karnaugh图是两种不同的分析方法，可以互补使用，帮助理解逻辑电路和时域系统的行为。
相平面分析的局限性和不足
相平面分析虽然是一种重要的分析工具，但它也有一些局限性，例如无法分析非线性和时变系统，以及对大规模系统的分析需要较高的计算复杂度。
相平面坐标系概述
相平面坐标系通过使用实部和虚部来表示复数，以一种直观的方式将信号和系统表示在平面上。
欧拉公式和复参数
欧拉公式是描述复数的重要公式，它将复数表示为指数和三角函数的关系，复参数在相平面分析中起着重要作用。
相平面上的运算
在相平面上，可以进行复数的加减乘除运算，这些运算在相平面分析中用于计算信号的频谱和系统的响应。

第7章--相平面法

若输出的一次谐波分量为
y1 (t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1 )
输入的正弦量为 X sin t
则描述函数的数学表达式如式（7-75）所示：
返回子目录
N

Y1 X

e
e e0 e e0
e r c
得到 Te e Ku Tr r
假定
1 1 1
2 KT
2 kKT
54
（1）阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
Te e Ke 0
Te e kKe 0
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
55
（2）输入信号r(t)=Vt+R
• 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关系
d
•
y(t) c(t) dt
•
• 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变量。显然，相变量也不唯一
• 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
2
c
o
a)
c(t)
c
o
t b)
o
c(t)
t
c)
3
• 图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性的“相轨迹”曲线输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该点的导数
34
1、在 c>h的区域
系统方程为
Tc(t) c(t) KM
c(t)

k1

k e(1/T )t 2

KMt
其中 k1 c0 (c0 KM )T k2 (c0 KM )T

相平面02

7.2 相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。

它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。

相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。

7.2.1 相平面的基本概念1. 相平面和相轨迹设一个二阶系统可以用下面的常微分方程),(=+xxfx（7-1）来描述。

其中),(xxf 是x和x 的线性或非线性函数。

在一组非全零初始条件下()0(x 和)0(x不全为零)，系统的运动可以用解析解)(tx和)(tx 描述。

如果取x和x 构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面。

当t变化时，这一点在x-x 平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹（如图7-8(a)所示）。

相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。

相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程。

例如，研究以方程22=++xxxωξω（7-2）描述的二阶线性系统在一组非全零初始条件下的运动。

当0=ξ时式（7-2）变为2=+xxω（7-3）初始条件为)0(xx=，)0(xx=，方程（7-3）对应有一对虚根，即ωjp±=-2,1式（7-3）的解为图7-8 相轨迹)sin(ϕω+=tAx（7-4）式中，2220ωxxA+=，arctanxxωϕ=设x为描述二阶线性系统的一个变量，取x为描述系统的另一状态变量，即)cos(ϕωω+==tAdtdxx （7-5）从式（7-4）、式（7-5）中消去变量t，可得出系统运动过程中两个状态变量的关系为222)(Axx=+ω这是一个椭圆方程。

椭圆的参数A取决于初始条件x和x 。

选取不同的一组初始条件，可得到不同的A，对应相平面上的相轨迹是不同的椭圆，这样便得到一个相轨迹簇。

0=ξ时的相平面图如图7-9所示，表明系统的响应是等幅周期运动。

图中箭头表示时间t增大的方向。

2.相轨迹的性质相平面的上半平面中，0>x ，相迹点沿相轨迹向x轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0<x ，相轨迹箭头向左。

自动控制原理相平面法知识点总结

自动控制原理相平面法知识点总结自动控制原理相平面法是控制工程中的重要方法之一，通过将系统的转移函数映射到相平面上进行分析，可以得到系统的稳定性、动态响应等性能指标。

以下是对自动控制原理相平面法的知识点总结：1. 相平面的概念及表示相平面是用来表示系统传递函数的一种图形化工具，通常由实部和虚部组成。

相平面上的点代表传递函数在不同频率下的响应，可以通过绘制相平面上的轨迹来分析系统的动态特性。

2. 极点和零点极点和零点是传递函数中的重要概念。

极点是使传递函数分母等于零的根，影响系统的稳定性和动态响应；零点是使传递函数分子等于零的根，影响传递函数在不同频率下的响应特性。

3. 映射关系和稳定性判断相平面法中的映射关系将传递函数的极点映射到相平面上，通过分析相平面上的极点位置可以判断系统的稳定性。

一般来说，当系统的所有极点位于相平面的左半平面时，系统是稳定的；当存在极点位于右半平面时，系统是不稳定的。

4. 频率响应和幅频特性频率响应是指系统在不同频率下的输出响应情况。

相平面法可以通过绘制Bode图来分析系统的频率响应及其幅频特性。

幅频特性描述了系统的增益对频率的依赖关系，可以用来评估系统的稳定性和频率衰减特性。

5. 极点分布和动态响应传递函数的极点分布可以直接反映系统的动态响应特性。

相平面法可以通过绘制极点分布图来分析系统的阻尼比、超调量等动态性能指标。

例如，共轭复根表示系统存在振荡；实部大于零的极点会导致系统的不稳定和不良的动态特性。

6. 根轨迹分析根轨迹是描述系统极点随参数变化而形成的轨迹。

根轨迹可以通过绘制相平面上函数极点的运动轨迹来分析系统的稳定性和动态响应。

根轨迹的性质包括起点、终点、对称性等，可以提供关于系统稳定性和响应特性的重要信息。

7. 闭环稳定判据通过相平面法可以得到闭环传递函数的极点位置，进而判断闭环系统的稳定性。

常用的闭环稳定判据包括Nyquist判据和Routh-Hurwitz判据。

相平面法_HJ

dx dx dx x x f ( x, x ) d x dt dx
f ( x, x ) x
11
x 例系统方程 x x 0 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 dx x ) ( x x) x ( x x 解 dx x
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可在相平面上绘制一系列的等倾线。
9
( x10 , x20 ) 1
x2
2
3
x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
§8.4
相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的，它是一种求解一、二阶常微分方程的图解法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动，通过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统运动规律的全部信息。由于它能比较直观、准确、全面地表征系统的运动状态，因而获得广泛应用。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
28
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
系统特征方程为
I A (a d ) (ad bc ) 0
2
特征方程的根为
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：

大学物理相平面相空间

y
按C值的不同，可得到一族大小不
同的椭圆。从相轨迹中，可以看出简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态．因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动，其周期是一个有限值。在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。
相平面: 当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。如某质点作直线运动，其坐标为x、速度
§8.2 相平面相空间
一、广义坐标广义速度
在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6个变量（x， y，z，vx ，vy ，vz）描述，一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标
qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。
二、相平面相空间
相空间: 以(qi，pi)为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.
y v
以（x，y ）
为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面
相平面中的一个点M（x,y ），对应一个运动状态，M 称为相点。
y

M
相相
图，一般是一条光滑的曲线。
o
x
以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。简谐振子的位移、速度和加速度分别为
x A cos(t )

相平面

微分方程中的相平面分析

相平面法

相平面分析实验报告(3篇)

相平面法

相平面

相平面 赵凯华

《自动控制原理》 相平面法

第2章相平面分析201-资料

7-2相平面法

非线性系统的分析-相平面1PPT课件

常微分方程的相与相平面

《相平面分析》课件

第7章--相平面法

相平面02

自动控制原理相平面法知识点总结

相平面法_HJ

大学物理相平面 相空间

相平面赵凯华

《自动控制原理》相平面法

大学物理相平面相空间