相平面法ppt课件
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相平面法
1 的情况相同，只是 运动方向相反。
<3>正反馈二阶系统：
n2 x 0 x 2 n x
s 1 .2 n n 2 1
则 s 1 0 , 而 s 2 0。
相轨迹存在的两条特殊的等 倾线也是相轨迹，其斜率分
k 1 s 1 , k 2 s 2，同时它 别为：
初条下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇。而
由一簇相轨迹所组成的图形——相平面图。 二、相轨迹的绘制： （1）解析法、（2）作图法、（3）实验法 （一）解析法：求出相轨迹的解，再画出相轨迹。
相轨迹的绘制（续）
适用场合：（1）运动方程比较简单 （2）可以分段线性化 例1、如图所示，弹簧—质量运动系统， m 为物体质 量，k 为弹性系数。 若初条为
2 n x dx dx x
dx n2 x d x 则 有x
2 x 2 x 2 A2 n
其中A是初条决定的积分常数，此为同心椭圆。
2、 0 1:
由第三章知： x ( t ) A e n t s in( d t ), d n 1
由x— 2、相轨迹
组成的直角坐标平面——相平面。 x
0 )起 ， 相变量从初始时刻 t0 对应的状态点 ( x 0， x
随着时间的推移，在相平面上运动形成 的曲线
基本概念（续）
——相轨迹。
3、相平面图： 根据微分方程解的存在和唯一性定理，对于任一给 定的初条，相平面上有一条相轨迹与之对应，多个
由初始条件求得。
相轨迹的绘制（续）
可见：直线c=r[在此r=1]
将相平面分成两个
区域I和II。 1）若初始条件处于A点(II内):
相平面法
7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。
该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。
也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。
下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。
即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。
从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。
显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。
用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。
在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。
在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。
相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。
相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。
对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。
对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。
对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。
首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。
相平面法
x2
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
0
x2
0
x1
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
17
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
1, 2
a d (a d )2 4(ad bc ) 2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。
x2
0
x1
图8-32
纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系 统的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部 平面两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不 能。
将（4）式代入（2）式整理得
( 4)
1
23
r r (1 r 2 ) 1
有r 0和1 r 2 0两种情况
(1) r 0
x1 0, x2 0 系统的平衡点（奇点）
b P ( x1 , x 2 ) 1 x 2 ( 0,0 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通 过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同， 称之为等倾线。如果取不同的值 1 , 2 ,则可 在相平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
x1
3
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。
P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) P ( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) Q( x1 , x2 ) x1 x2 x1 x 2 ( 0,0 ) ( 0,0 )
相平面
对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） 对于线性二阶系统的自由运动（无外作用） ，奇点就是相平面的 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 原点。按系统极点的分布，奇点分为：稳定或不稳定的焦点、 稳 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 定或不稳定的节点、鞍点。注意中心点不是奇点。 中心点不是奇点
•
x > 0 轨迹向右移
•
线性一阶系统的相轨迹
线性一阶系统自由运动的微分方程为
T x+ x = 0
相轨迹方程为： 相轨迹方程为： 设初始条件为： 设初始条件为：
•
1 x = − x T x (0) = c
•
1 x (0) = − c T
•
•
T <0
发散
•
x x
x
T >0
收敛
x
线性二阶系统的相轨迹
线性系统相平面的图解法
一．基本概念 相平面及相轨迹 相平面有关概念举例说明
二．线性系统的相轨迹 线性一阶系统的相轨迹 奇点与普通点 三.相轨迹的绘制 积分法 等倾线法 线性二阶系统的相轨迹
四.由相轨迹求时间解
非线性系统的相平面分析
本质非线性系统的线性化 非线性系统的极限环
用相平面表现运动
d2y dy +4 + 3y = 0 2 dt dt
相轨迹为向心螺旋线最终趋于原点 ( x = 0 x = 0) 。是一个收敛的运 动。对应的平衡点是稳定的焦点。
•
ζ =1时，线性二阶系统的相轨迹 时
k
存在两个相同的负实根 s1, 2 = −ζωn 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根，不同初始条件的相轨 相轨迹包含一根特殊的等倾线，斜率等于根， 稳定的节点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。 迹最终将沿这条特殊的等倾线趋于原点。平衡点为稳定的节点。
第7章_2相平面法
12
极限环的分类 稳定极限环 当 t → ∞ 时，在极限环邻域内的所有轨迹都收敛 于该极限环， 这样的极限环称为稳定极限环 稳定极限环。 稳定极限环 它表示系统的运动是一种稳定的带固有周期的 自持振荡。 在系统设计时，应尽可能减小极限环， 以满足稳态精度的要求。
13
& x
极限环外部稳定 极限环内部不稳定
5
4 负阻尼情形
−1 < ζ < 0
jω
& x
λ1
0
σ
λ2
0
x
不稳定焦点
λ1,2 = −ζωn ± jωd
6
ζ < −1
jω
& x
λ1 λ2
0
σ
0
x
不稳定节点 正实特征根 −ζωn ± ωn ζ 2 − 1
7
5 给定二阶线性系统的微分方程
2 && + 2ζωn x − ωn x = 0 & x
I区
II区
27
& e
a=0
KM
−e0
0
e0
e
a=0
II区
28
− KM
III区 I区
& e
KM
−e0
0
e0
e
− KM
III区 I区 II区
29
2 输入信号为 r (t ) = R + vt 时 a）v > KM ， M = e0 ） 稳态误差为无穷大！
& e
v + KM
A
v − KM
−e0
0
e0
2
1 无阻尼情形（ζ = 0 ）
相平面
6.0 Introduction
本章开始学习二维非线性系统: 首先，我们将学习非线性系统的一般性质，在 第五章线性系统知识的基础上对不动点进行分类 。关于这些理论的进一步探究将通过在生物及物 理方面的相关应用的例子来进行。在本章结尾， 将会讨论指数理论和提供相平面全局信息的拓扑 方法。 本章主要讨论的是系统二维系统相平面问题， 而关于极限环和分岔的讨论将在七，八章进行讨 论。
Because trajectories can't intersect, phase portraits always have a well-groomed look to them. Otherwise they might degenerate into a snarl of criss-crossed curves .
6.2 Existence, Uniqueness, and Topological Consequences
We have no guarantee that the general nonlinear system x´ = f(x) even has solutions, but the existence and uniqueness theorem given in Section 2.5 can be generalized to two-dimensional systems. We state the result for n-dimensional systems in the following part. Take this initial value problem into consideration:
x1 x x2
f1 f x f2
《自动控制原理》 相平面法
(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时，且 b 0 时，可得满
足k＝a的两条特殊的等倾线，其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时，上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=
−
ac − c
bc
令
−
ac − bc c
=
，可得等倾线方程为：
初始条件下的运动对应多条相轨迹，形成相轨迹簇，而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示，则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值，得到相轨迹上对应的点，并由此获
得一条相轨迹，如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下，也可以通过积分法，直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2
第七章相平面法2010
7.6 相平面法
一、相平面的基本概念 二、相轨迹的绘制 三、由相轨迹求系统的瞬态响应 四、奇点与极限环 五、非线性系统的相平面分析
1
一、相轨迹的基本概念
解决两个问题： 1.什么是相轨迹？ 2.相轨迹的几个重要性质。
2
（一）相轨迹的基本概念
相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。 它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的 准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统 运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。
12
等倾线与相轨迹
x n2 x 2n
设系统参数 ξ=0.5，ω＝1。求得 对应于不同α 值的等 倾线
x
－ 1.2 － 1.4
k＝ － 1
A
B
－ 1.6 － 1.8 －2
C D
－ 2.5 －3
0
－ 1.4 － 1.2
－ 0.8－ 0.6－ 0.4－ 0.20
1 0.5
－4 －6
对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：
x f (x, x) 0
设: x1 x x2 x
x1 x x2 则: x2 x f (x1 , x2 )
3
相平面、相轨迹、相平面图
x
定义：
X
(t
)
x1 x2
为状态变量。
0
x
我们将 (x , x ) 构成的直角平面叫做相平面。
－ 11 x
9 4 2
13
用等倾线法相轨迹绘制
14
三、由相轨迹求系统的瞬态响应
相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系 统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信 息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与 时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。
一、相平面的基本概念 二、相轨迹的绘制 三、由相轨迹求系统的瞬态响应 四、奇点与极限环 五、非线性系统的相平面分析
1
一、相轨迹的基本概念
解决两个问题： 1.什么是相轨迹？ 2.相轨迹的几个重要性质。
2
（一）相轨迹的基本概念
相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。 它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系统的 准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统 运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。
12
等倾线与相轨迹
x n2 x 2n
设系统参数 ξ=0.5，ω＝1。求得 对应于不同α 值的等 倾线
x
－ 1.2 － 1.4
k＝ － 1
A
B
－ 1.6 － 1.8 －2
C D
－ 2.5 －3
0
－ 1.4 － 1.2
－ 0.8－ 0.6－ 0.4－ 0.20
1 0.5
－4 －6
对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：
x f (x, x) 0
设: x1 x x2 x
x1 x x2 则: x2 x f (x1 , x2 )
3
相平面、相轨迹、相平面图
x
定义：
X
(t
)
x1 x2
为状态变量。
0
x
我们将 (x , x ) 构成的直角平面叫做相平面。
－ 11 x
9 4 2
13
用等倾线法相轨迹绘制
14
三、由相轨迹求系统的瞬态响应
相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系 统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信 息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与 时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。
7-2相平面法
为自变量， 为因变量的一阶微分方程。 以x1为自变量，以x2为因变量的一阶微分方程。二阶系 统常微分方程方程的解既可用x与 的关系来表示 方程的解既可用 的关系来表示， 统常微分方程方程的解既可用 与t的关系来表示，也可 的关系来表示。实际上， 用x2与x1的关系来表示。实际上，看作一个质点的运动 方程，则x1(t)代表质点的位置，x2(t)代表质点的速度。 方程， 代表质点的位置， 代表质点的速度。 代表质点的位置 代表质点的速度
或பைடு நூலகம்
等倾线是过相平面原点的一些直线。 等倾线是过相平面原点的一些直线。当ζ = 0.5、ωn = 1 、 时的等倾线分布图 :
9
a= −1
x
−1.2 B −1.4 −2 −3 −6
2 ɺ ωn x =− x α + 2ξω n = −1/(a +1)
A
C
a= −1，k = −∞ ， a= −2，k = 1 ， a= −3，k = 1/2 ，
2
描述二阶系统常微 用x1、x2描述二阶系统常微 分方程方程的解 方程的解， 分方程方程的解，也就是用质 点的状态来表示该质点的运动。 点的状态来表示该质点的运动。 在物理学中，状态又称为相 在物理学中，状态又称为相。 把由x 把由 1—x2所组成的平面 坐标系称为相平面 相平面， 坐标系称为相平面，系统的一 个状态则对应于相平面上的一 个点。 个点。 变化时， 当t变化时，系统状态在相 变化时 相轨迹。 平面上移动的轨迹称为相轨迹 平面上移动的轨迹称为相轨迹。
x 0 x
0
x
x
14
2。线性二阶系统 。 描述线性二阶系统自由运动的微分方程为
ɺɺ + bx + cx = 0 ɺ x
自控 第8章-2 相平面法
12
8.2.3 二阶系统的相轨迹
二阶系统的运动方程为
c ac bc 0
当 b 0 ，可以表示为
c f (c, c) ac bc
其中 n b ,
c 2n c c 0
2 n
a 2 b
a a 2 4b 其特征根为 s1, 2 2 相轨迹微分方程为 dc f (c, c) ac bc dc c c
17
2）b＝0
系统特征根为 s1 0, s2 a
dc c 相轨迹微分方程为 a dc c 用积分法求得相轨迹方程为
s1, 2
a a 2 4b 2
c ac bc
c(t ) c0 a(c(t ) c0 )
a>0时，系统收敛 a<0时，系统发散
系统零输入响应为非振荡衰减 存在两条特殊等倾线，斜率为
k1 s1 0, k2 s2 k1
当初始点落在特殊等倾 线上时，将沿直线趋于 原点，除此之外，相轨 迹沿着s1c(t)的方向收敛 于原点。
20
（3）ξ＝1
特征根为两个相等的负实根
s1, 2 n n 1
2
s1, 2 n
0.5 x 2 x x 2 0 x
试求系统奇点，并绘制相平面图 解： f ( x, x) (0.5x 2 x x 2 ) x 所以系统相轨迹微分方程为 dx (0.5 x 2 x x 2 ) dx x 令
dx 0 dx 0
0.5x 2x 0 x
得特征根
s1, 2 0.25 j1.39
故奇点(0,0)为稳定奇点 (焦点)
非线性系统的分析-相平面1PPT课件
ii.作等倾线分布图 iii.从初始点出发,沿相邻等倾线间的
ai
ai
ai1 2
平均斜率依次作短直线便可画得。
2021
7
说明：等倾线未必都是直线，另外，为保证精 度，等倾线分布要有适当密度，密度可不一样。
例如 x2 nxn2x0 令 0.5, n1
i.等斜线方程:
y n2 x 1 x
i.等斜线分布图.
止条件。
2021
43
(1) 具有死区特性的非线性控制系统
2021
44
取
作为状态变量，
因为
，
2021
45
给定参数T=1, K k =1，根据二阶线性系统相
轨迹分析结果，可得奇点类型
区域 I：奇点(-△，0)为稳定焦点，相轨迹为向心
螺旋线(
);
区域 II：奇点(x，0)，x∈(-△, △)为稳定焦点，
x+axbx0
则该线性化系统的奇点的性质取决于特征根在复平面
上的位置。设特征根为 1 , 2 ，根据 1 , 2 在复平面
的位置，可以有以下几种情况：
2021
12
①一对具有负实部的共轭复根 每条相轨迹都
以震荡方式无限地“卷向”平衡点，这种类型的 奇点称为稳定焦点。
②一对具有正实部的共轭复根 每条相轨迹都以
态，系统的相轨迹是围绕平衡点的一组封闭曲线。这 种奇点称为中心点。
2021
15
⑥特征根为两个符号相反的实根。此时每条相轨迹都 是先趋近平衡点，随后在尚未达到平衡点之前又 远离平衡点而去，只有4条孤立的相轨迹除外，其中
两条趋于平衡点，另两条从平衡点散出，这时奇点称 为鞍点。
2021
16
《相平面分析》课件
傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是对信号进行频谱分析的重要工具，它们可以将信号分解成一系列频率成分。
RC、RL、RCL电路的相平面分 析
相平面分析可以应用于分析RC、RL和RCL等电路，帮助理解电路的频率响应、 稳定性和传递函数。
线性时不变系统的相平面分析
相平面分析是研究线性时不变系统的常用方法，通过分析系统的零极点分布 和频率响应，可以了解系统的特性。
相平面分析的未来发展趋势
相平面分析作为一种重要的信号处理和控制系统分析方法，随着科学技术的发展，将继续发展并得到更 广泛的应用。
极性和共轭
复数的极性表示复数的模和角度，共轭用于表示复数的共轭对称性质，在相平面分析中有重要的应用。
大角度相位移
大角度相位移是相平面分析中的一个重要概念，描述了信号在复平面上的相位偏移，可以用于分析系统 的稳定性。
时域和频域之间的转换
相平面分析提供了在时域和频域之间转换的方法，可以将信号从时域表示转 换为频域表示，或者反之。
Karnaugh图和相平面分析的关 系
相平面分析和Karnaugh图是两种不同的分析方法，可以互补使用，帮助理解 逻辑电路和时域系统的行为。
相平面分析的局限性和不足
相平面分析虽然是一种重要的分析工具，但它也有一些局限性，例如无法分析非线性和时变系统，以及 对大规模系统的分析需要较高的计算复杂度。
相平面坐标系概述
相平面坐标系通过使用实部和虚部来表示复数，以一种直观的方式将信号和 系统表示在平面上。
欧拉公式和复参数
欧拉公式是描述复数的重要公式，它将复数表示为指数和三角函数的关系，复参数在相平面分析中起着 重要作用。
相平面上的运算
在相平面上，可以进行复数的加减乘除运算，这些运算在相平面分析中用于 计算信号的频谱和系统的响应。
第7章--相平面法
若输出的一次谐波分量为
y1 (t) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1 )
输入的正弦量为 X sin t
则描述函数的数学表达式如式 （7-75） 所示：
返回子目录
N
Y1 X
e
e e0 e e0
e r c
得到 Te e Ku Tr r
假定
1 1 1
2 KT
2 kKT
54
（1）阶跃输入 r(t)=R
• 系统方程变为
Te e Ke 0
Te e kKe 0
图7-51 阶跃输入下得相轨迹
55
（2）输入信号r(t)=Vt+R
• 其中y(t)与c(t)两个状态变量之间满足导函数关 系
d
•
y(t) c(t) dt
•
• 将相变量定义为满足导函数关系的一组状态变 量。显然，相变量也不唯一
• 相平面法仅适用于研究二阶或一阶系统
2
c
o
a)
c(t)
c
o
t b)
o
c(t)
t
c)
3
• 图c是响应的时域曲线，图b是它的导函数曲 线，图a是以t为参变量,将输出响应特性及其导 函数特性绘在相平面上的曲线--输出响应特性 的“相轨迹”曲线 输出特性上既包含输出量大小的信息，也包含 它的导函数信息，特性上点的切线斜率就是该 点的导数
34
1、 在 c>h的区域
系统方程为
Tc(t) c(t) KM
c(t)
k1
k e(1/T )t 2
KMt
其中 k1 c0 (c0 KM )T k2 (c0 KM )T
相平面02
7.2 相平面法相平面法是一种在时域中求解二阶微分方程的图解法。
它不仅能分析系统的稳定性和自振荡，而且能给出系统运动轨迹的清晰图像。
相平面法一般适用于二阶非线性系统的分析。
7.2.1 相平面的基本概念1. 相平面和相轨迹设一个二阶系统可以用下面的常微分方程),(=+xxfx（7-1）来描述。
其中),(xxf 是x和x 的线性或非线性函数。
在一组非全零初始条件下()0(x 和)0(x不全为零)，系统的运动可以用解析解)(tx和)(tx 描述。
如果取x和x 构成坐标平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面。
当t变化时，这一点在x-x 平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就叫做相轨迹（如图7-8(a)所示）。
相平面和相轨迹曲线簇构成相平面图。
相平面图清楚地表示了系统在各种初始条件下的运动过程。
例如，研究以方程22=++xxxωξω（7-2）描述的二阶线性系统在一组非全零初始条件下的运动。
当0=ξ时式（7-2）变为2=+xxω（7-3）初始条件为)0(xx=，)0(xx=，方程（7-3）对应有一对虚根，即ωjp±=-2,1式（7-3）的解为图7-8 相轨迹)sin(ϕω+=tAx（7-4）式中，2220ωxxA+=，arctanxxωϕ=设x为描述二阶线性系统的一个变量，取x为描述系统的另一状态变量，即)cos(ϕωω+==tAdtdxx （7-5）从式（7-4）、式（7-5）中消去变量t，可得出系统运动过程中两个状态变量的关系为222)(Axx=+ω这是一个椭圆方程。
椭圆的参数A取决于初始条件x和x 。
选取不同的一组初始条件，可得到不同的A，对应相平面上的相轨迹是不同的椭圆，这样便得到一个相轨迹簇。
0=ξ时的相平面图如图7-9所示，表明系统的响应是等幅周期运动。
图中箭头表示时间t增大的方向。
2.相轨迹的性质相平面的上半平面中，0>x ，相迹点沿相轨迹向x轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面0<x ，相轨迹箭头向左。
相平面
dx
x
横轴上的点皆为奇点。
积分法
由于相轨迹方程表示成
dx dx
f ( x, x)
x
当 f ( x, x) ( x) 即仅是x的函数
则有 x d x ( x)dx 两边分别积分，即解出该方程的相轨迹
例：
x M
x
d
x
M
可解得
dx
x
2
2
因此
T c c Kx (1)
而 e r c (或c r e)
代入（1）式，得
T (r e) (r e) Kx (2)
e 0
T e e KM T r r
e 0
T e e KM T r r
非线性控制系统的相平面分析法
描述函数对非线性环节有限定条件，并且不能 直接分析初始条件对非线性系统的影响。也就 是说，它只能用于非线性系统的稳定性分析。
相平面以运动中的两个重要的状态量（速度和 位置）作为坐标，将运动的变迁过程表现在平 面上，不仅可直观地表现线性系统运动特点， 更为非线性系统提供了一种有效的分析手段。
II区是欠阻尼运动，相应的奇点（0，0）是
稳定的焦点。轨迹越过区域边界，运动规律
随之改变。由于两个线性方程具有共同的奇
点。且在I区内，运动最终以过 阻尼形式收
敛于该奇点。
e
II
I
II
0
e
r
e GN
xK
s(Ts 1)
M -M
C
c(s) K
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有可能出现在x轴上。
11
忽略高阶无穷小， 一般情况下令 x10 x20 0
则有
P( x1,
x2 )
P( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
P( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
Q( x1,
x2 )
Q( x1, x1
x2 )
(0,0)
x1
Q( x1, x2
x2 )
(0,0)
x2
令 a P( x1, x2 )
平面上绘制一系列的等倾线。
8
x2
1
( x10 , x20 )
2
3 x1
4
图8-27 用等倾线法绘制相轨迹
1,2 ,表3示,相轨迹通过这些等倾线时切线的斜率。
相平面中所有等倾线上的短线，组成了相轨迹的切线场。 从相轨迹起始点 ( x10, x20 ) 出发，平滑的将相邻等倾线上 的短线连起来，即得系统相轨迹。
§8.4 相平面法
相平面法是Poincare在1885年首先提出来的， 它是一种求解一、二阶常微分方程的图解 法。这种方法的实质是将系统的运动过程 形象地转化为相平面上一个点的移动，通 过研究这个点移动的轨迹，就能获得系统 运动规律的全部信息。由于它能比较直观、 准确、全面地表征系统的运动状态，因而 获得广泛应用。
1,2
2
5）纯虚根
(a d ) 0, ad bc 0
奇点称为中心点。 x2
0
x1
图8-32 纯虚根对应的相轨迹
18
2、极限环
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应系统 的自激振荡状态。极限环把相平面划分为内部平面和外部平面 两部分，相轨迹不能从环内穿越环进入环外，反之也不能。
4）共轭复根
(a d )2 4(ad bc)
若 a d，具0 有负实部的共轭复根，奇点称为稳定焦点；
若a d，具0 有正实部的共轭复根，奇点称为不稳定焦点。
x2
x2
0
x1
0
x1
(a)稳定焦点
(b)不稳定焦点
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
17
a d (a d )2 4(ad bc)
7
相轨迹的画法——等倾线法
令 dx2 a1( x1, x2 )x2 a0( x1, x2 )x1 Q( x1, x2 )
dx1
x2
P( x1, x2 )
为一常数。
根据上式可在相平面上绘制一条线，相轨迹通
过这条线上的各点时，其切线的斜率都相同，
称之为等倾线。如果取不同的值 1,则2 ,可在相
或写成 令
则有
x a1( x, x )x a0( x, x )x 0
x1 x x2 x1 x
x1 x 2
x2 x
a1( x1,
x2
)x2
a0 (
x1dx1
a1( x1, x2 )x2 a0 ( x1, x2 )x1 x2
5
将方程组写成一般形式有
(a d )2 4(ad bc)
若 a d，两0 个相等负实根，奇点称为退化的稳定节点；
若 a d，两0 相等正实根，奇点称为退化的不稳定节点。
x2
x2
0
x1
0
x1
(a) 重负实根
(b) 重正实根
图8-30 重根对应的相轨迹
16
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
10
二、奇点与极限环
1、奇点
奇点即为系统平衡点，它由方程组
x1 x 2
P( x1, Q( x1,
x2 ) x2 )
0 0
联立求解得到 ( x10 , 。x20 )
将 P( x1,、x2 ) Q在( x平1,衡x2点)
附近(展x1开0 , x成20台) 劳级数，
以便研究该点附近相轨迹的形状及运动特性。奇点只
x1
(0,0)
b P( x1, x2 )
x2
(0,0)
c Q( x1, x2 )
x1
(0,0)
d Q( x1, x2 )
x2
(0,0)
12
则有
x1 x 2
ax1 cx1
bx2 dx2
系统特征方程为
I A 2 (a d ) (ad bc) 0
特征方程的根为
a d (a d )2 4(ad bc)
9
绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性； 由于系统的平衡点有无穷根相轨迹离开或到达，因此平衡 点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。 平衡点又称为奇点。
另一反映系统运动特性的相轨迹是极限环（奇线）。 极限环是相平面上一根孤立的封闭的相轨迹，反映了系统 的自激振荡状态，它将无穷大的相平面分为两个部分，有 利于与奇点特性一起分析系统的运动特性。
x1
(a) 稳定节点
（b）不稳定节点
图8-28 特征方程根为同号相异实根的相轨迹
14
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
2) 异号实根
ad bc 0
奇点称为鞍点。
x2
0
x1
图8-29 鞍点对应的相轨迹
15
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
3）重根
x1 x 2
P( x1, Q( x1,
x2 ) x2 )
则
dx2 Q( x1, x2 )
dx1 P( x1, x2 )
相轨迹上某点处 切线的斜率。
若 P( x1,、x2 ) Q是( x解1, x析2 )的，在以x1为横坐标轴， x2为纵坐标的平面上绘制一条x2与x1的关系曲线， 我们把这样一条轨线称为相轨迹，由一族相轨迹
1
相平面法的作用
可以用来分析一、二阶线性或非线性系统 的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精 确度及初始条件和参数对系统运动的影响。 在非线性程度严重，或有非周期输入，不 能采用描述函数法时，利用相平面法是可 行的。
2
相平面的基本概念
3
相轨迹的绘制方法
解析法 图解法 实验法
4
图解法
对于一任意二阶非线性微分方程 x f ( x, x ) 0
组成的图像称为相平面图。
6
令
P( Q(
x1 x1
, ,
x2 x2
) )
0 0
联立求解出的点 ( x10 , x称20为) 系统的平衡点。
相轨迹的特点：
1、相平面上除平衡点外的任意一点只有一根相轨迹通过。 2、由式 dx2 Q可知0 ，相轨迹在平衡点附近切线斜率不定，
dx1 P 0 意味着有无穷多根相轨迹到达或离开平衡点。
1,2
2
根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况：
13
a d (a d )2 4(ad bc)
1,2
2
1) 同号相异实根
(a d )2 4(ad bc)
当 a d时 ，0 两根同负，奇点称为稳定的节点； 当 a d时 ，0 两根同正，奇点称为不稳定的节点。
x2
x2
x1