数学建模第三章详解
数学建模第三章线性代数方法建模--3.3 Hill密码的数学模型
A
， 由
的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文 字母。 以上 4 步即为 Hill 密码的加密过程。
例 明文为 YI CHU FA。
1 A 0 2 3 ，
求这段明文的 Hill 密码。 将明文相邻 2 个字母分为一组：YI CH UF AA。 最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数 为 2 而添加的，无实际意义。查出每对字母的表值， 并构造 2 维列向量：
A
=3 没有 2 与 13 这两个素数因子， 所以 A 模 26 可逆。
A
1
(mod 26 ) 2 (mod 26 ) 1 2 (mod 26 ) 1 18 1 9 0 8 9
3 3 0
1
3 9 0 27 0
（2）
在反查这 4 个向量对应的字母时，遇到了问题：第 1 个向量与第三个向量中的 43 与 33 不是表值，处理的 办法是加减 26 的整数倍，使其化为 0—25 之间的一 个整数，这称为模 26 运算，记为：
43 27 17 (mod 26 ) , 1 33 7 (mod 26 ) 18 18
R 18 3 C 2 A 2 2 S 19 15 O
在模 26 意义下，
det ( 1 , 2 ) 21 3 18 19 (mod 26 ) 345 (mod 26 ) 7
27 26 52 (mod 26 ) E 27
定义 2 对 Z 的一个整数 a，若存在 Z 的一个整数 b， 使得 ab=1（mod m） ，称 b 为 a 的模 m 倒数，记作
章绍辉数学建模第三章
第三章10.考虑3.4.3小节的“人口预报”案例，用前差公式计算美国人口的年增长率r k 与美国人口的数量x k 成二次函数关系，即21-10k k k k k kx x r ax bx c x +==++，k=1,2,…通过Matlab 编程并代入实际数据拟合出二项式的系数，代码如下：fun=@(a,x)a(1).*x.^2+a(2).*x+a(3);x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; r=(x(2:22)-x(1:21))./(10.*x(1:21)); a=polyfit(x(1:21),r,2)输出结果为 a=7.0393e-07 -2.7030e-04 3.6840e-02即a=7.0393⨯10-7b=-2.7030⨯10-4c=3.6840⨯10-2则该假设模型为21-10()k k k k k x x x ax bx c +=++，k=1,2,…即3211010(101)k k k k x ax bx c x +=+++，k=1,2,…代入a,b,c 的值得734217.039310 2.703010 1.3684k k k k x x x x --+=⨯⨯-⨯⨯+，k=1,2,…利用Matlab 统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit 计算参数，代码如下： M 文件fun.mfunction y=fun(a,x) SizeX=size(x); y=zeros(SizeX); y(1)=a(4);for i=2:SizeX(2)y(i)=a(1).*y(i-1).^3+a(2).*y(i-1).^2+a(3).*y(i-1);end脚本t=1790:10:2000;x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,...92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];[b1,resd1]=nlinfit(t,x,@ fun,[7.0393e-7 -2.7030e-4 1.3684 3.9])sse1=sum(resd1.^2)x1=fun(b1,[t,2010,2020])(x1(23:24)-x1(22:23))./x1(22:23)./10.*100subplot(2,1,1);plot(t,x,'k*',t,x1(1:end-2),'ks',[2010 2020],x1(end-1:end),'kp');axis([1780,2030,0,350]);legend('统计值','模拟值','预测值',2);xlabel('年份');ylabel('人口数量x_k（百万）');title('非线性拟合美国人口增长效果图');subplot(2,1,2);plot(t,resd1,'k.',[1780 2030],[0 0],'k');axis([1780,2030,-10,10]);xlabel('年份');ylabel('模拟误差');title('非线性拟合美国人口增长模拟误差图');输出结果b1 =5.2615e-06 -0.0021 1.3239 4.9976resd1 =Columns 1 through 7-1.0976 -1.2651 -1.4034 -1.6394 -1.7244 -1.8325 -1.1541 Columns 8 through 140.3169 -0.6966 1.0726 2.2642 2.2108 3.5401 2.0489 Columns 15 through 211.6519 -7.8844 -7.8103 0.8436 4.1938 3.1885 1.0698 Column 22-1.9798sse1 =203.0297 x1 =Columns 1 through 74.9976 6.5651 8.6034 11.2394 14.6244 18.9325 24.3541 Columns 8 through 1431.0831 39.2966 49.1274 60.6358 73.7892 88.4599 104.4511 Columns 15 through 21121.5481 139.5844 158.5103 178.4564 199.8062 223.3115 250.3302 Columns 22 through 24 283.3798 327.5773 395.0407 ans =1.55972.0595即计算结果为63321 5.261510 2.110 1.3239k k k k x x x x --+=⨯⨯-⨯⨯+，且x 1=4.9976误差平方和为203.0297，预测2010年美国人口为327.5773百万，2020年美国人口为395.0407百万，经过计算得知预测2000年至2010年和2010年至2020年的年增长率分别为1.5597%和2.0595%，计算结果以及模拟效果图和模拟误差图表明（1）模拟效果基本令人满意，本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和不算大；（2）预测值基本合理，可能偏高，按照美国最近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口增长率大约是1%，甚至更低，该模型得到的2000年的模拟值比实际值大 1.9798百万，预测2000年至2020年的年增长率约为 1.8096%，所以该模型对2010年和2020年的人口预报有可能偏高了一点。
数学建模 杨桂元 第三章习题解答
第三章、层次分析法模型及应用习题3-11.（1）13240.480.46150.52170.41/311/220.160.15380.13040.21/22130.240.30770.26090.31/41/21/310.120.07690.0870.1A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1.86330.46580.64430.16111.10860.27710.38390.0960⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭权重向量为0.46580.16110.27710.0960W ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭13240.4658 1.88721/311/220.16110.64691/22130.2771 1.12011/41/21/310.09600.3853AW ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ max 1 1.88720.64691.12010.3853 4.031040.46580.16110.27710.096λ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭max 0.01031nCI n λ-==-，0.0110.1CICR RI==<,通过一致性检验 Matlab 求解程序见程序XT3-1-11。
（2）143520.43800.29630.58060.49020.23531/411/31/520.10950.07410.06450.01960.23531/331230.14600.22220.19350.19610.35291/551/211/20.08760.37040.09680.09800.05881/21/21/3210.21900.03700.06B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭450.19610.1176⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2.04040.40810.50300.10061.11080.22220.71160.14230.63430.1269⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 权重向量为0.40810.10060.22220.14230.1269W ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 143521/411/31/521/331231/551/211/21/21/21/321BW ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0.4081 2.44220.10060.55880.2222 1.32520.14230.90140.12690.7399⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭max 1 2.44220.5588 1.32520.90140.7399 5.934350.40810.10060.22220.14230.1269λ⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭max 0.23361nCI n λ-==-，0.20850.1CICR RI==>,未通过一致性检验。
数学建模 第三章
本节将简单地介绍常用的一维插值方法的分段线性插值和三次样条插值。
3.1.1分段多项式插值
先介绍分段线性插值。从数学的角度，分段线性插值的提法如下：
问题：设函数f(x)在n+1个节点x0,x1,…,xn处的函数值已知，为y0,y1,…,yn。
要求：求一个分段( 共n段)线性函数q(x)，使其满足：q(xi)=yi,i=0,1,…,n.
25.6
40-50
37.3
28.8
27.8
37.2
40.3
41.7
46.2
39.9
35.9
40.3
38.2
43.4
50-60
48.2
36.6
35.5
40
37.6
35.4
35
34.7
35.7
39.5
40
41.9
60-70
25.6
24.2
25.5
24.6
21.1
22.2
20.2
21.2
22.6
28.5
25.3
1） 产生peaks 的粗糙近似：
[x,y,z]=peaks(10);%从MATLAB提供的双变量正态分布曲线获取数据
mesh(x,y,z)%画出三维网格图
2）通过插值作出更加精细的山顶曲面：
[xi,yi]=meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);
%生成x-y平面的自变量"格点“矩阵
zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)
还有其它的插值函数，如interp1q, interpft, spline, interp2, interp3, interpN.
数学建模第三单元
第三章应用积分思想建模1 源头问题：十七世纪，四类问题促成了微积分的诞生：1、求隔时速度的问题2、求曲线的切线问题3、求函数的最大（小）问题4、求曲线长曲线围成的面积曲面围成的体积物体的重心一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．第四类问题就是产生积分思想的源头问题第四类问题的现代提法为：问题1、一维情形：一根长度为l的细的直杆.它在取定的坐标轴x上占据闭区间[0, l]. 设其密度为ρ = ρ(x)，求此杆的质量问题2、二维情形：物体是一薄的平板，它在取定的坐标系xy平面上占据区域Ω，设其密度ρ = ρ(x, y) ／=常数.求此板的质量．问题3、三维情形：如果物体占据xyz空间区域G, 其密度为ρ = ρ(x, y, z)，求其质量2积分思想建模方法通过回答上述三个问题来介绍积分思想．1、问题1的解答：对区间作任意分割：∆ : 0 = x0 < x1 < ···< x K = l并任意取介点ξi ∈[x i−1, x i]，在每个区间[x i−1, x i]上，以“常（密度）代变（密度）”，计算出质量的近似值，然后通过一个极限过程，使得此杆的质量：这样，计算直杆的质量引出一元函数的定积分．推广：计算直线上变速运动的路程曲边梯形的面积都可以引出定积分概念．2、问题2的解答：物体是一薄的平板，不妨认为它在取定的坐标系xy 占据区域Ω，设其密度ρ = ρ(x, y) ／=常数. 将Ω分割为K个彼此没有公共内点的闭子域：Ω1, ···, ΩK，并任取点(x i, y i) ∈Ωi，求得此板的质量：其中∆A i表示Ωi的面积，而1∆1表示Ωi中直径最大者.所谓点集E的直径，是指E中任意两点的距离所构成的数集的上确界．3、问题3的解答：如果物体占据xyz空间区域G, 其密度为ρ = ρ(x, y, z)，并取任意点(x i, y i, z i) ∈G i其质量就是：其中∆V i表示分割区域G所得的闭子域G i的体积，而1∆1表示G i中直径最大者3 案例分析案例一：已知某种物理量的分布求该物理量的总量问题背景：设一根长度为l的直线段上分布着某种物理量（如质量、热量、电荷量等等），将其平放在x轴的正半轴上，使它的一头与原点重合，若它在x处的密度（称为线密度）可由某个连续的分布函数ρ(x)表示．试由分布函数求该物理量的总量．解：由微元法该物理量在[x, x + dx]上具有dQ为dQ = ρ(x)dx 对等式两边在[0, l]上积分，就得到由分布函数求总量的公式推广1：假定物理量分布在一个平面区域上，x的变化范围为区间[a, b]．如果过x(a ≤x ≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交的物理量的密度可以用f (x)表示，或者说该平面区域在横坐标位于[x, x + dx] 中的部分上的物理量可以表示为f (x)dx．这个区域上的总的物理量是多少？推广2：给定平面曲线的参数方程，分布函数为f (x)．则这段曲线上的总的物理量是多少？进一步推广到空间中的曲线上．推广3：这种类型的问题不只局限于物理量，无论自然科学还是社会科学，只要给出某变量的分布“密度”，比如人口问题中的人口出生密度、交通问题中的车流密度，都能用上述方法求总量．案例二：消费者剩余与生产者剩余问题背景：消费者剩余是经济学中的重要概念，是指消费者对某种商品所愿意付出的代价超过他实际付出的代价的金额，即：消费者剩余可用来衡量消费者所得到的额外满足．用公式表示为：消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额解：【模型构建】假定消费者愿意为某种商品所付出的价格p是由其需求曲线p = D(q)决定的，其中q为需求量它是需求量的减函数，如图所示．这表明，某消费者对价格p∗的某商品的购买量为q∗时，由于价格不断变化，所愿意付出的金额为曲边梯形的面积而实际付出金额为矩形面积A0，则消费者剩余CS = A −A0，所以当价格为p∗时，消费者剩余的计算公式为第三章第二小节：应用导数思想建模1 源头问题十七世纪，四类问题促成了微积分的诞生：1、求隔时速度的问题2、求曲线的切线问题3、求函数的最大值和最小值问题4、求一一曲线长一一曲线围成的面积一一曲面围成的体积一一物体的重心一一一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力第一类和第二类问题就是产生导数思想的源头问题1、第一类问题的现代提法可以写为：变速直线运动物体的隔时速度设想有一个在运动着的物体，用t表示从某一起始时刻算起所经过的时间，用S表示经过时间t以后物体所走过的路程，那么S应该是t的函数，记为S = S(t).现在随便指定一个时刻t0，问应怎样描述在时刻t0 物体运动的快慢？即问应该怎样理解物体在时刻t0的运动速度?．2、第二类问题的现代提法可以写为：曲线在其上一点处的切线方程设曲线C是函数y = f (x)(a < x < b)的图象，(x0, y0) = (x0, f (x0))是曲线C上的一定点，L是C在这一点处的切线．我们怎样来确定L的方程式呢?2 导数思想建模方法通过回答上述问题介绍导数思想．1、问题1的解答：设想物体从时刻t0 继续运动了一(小)段时间L::t，这时物体所走过的路程也相应增加了一段L::S，L::S = S(t0 + L::t) − S(t0)于是在从t0到t0 + L::t这段时间内，物体运动的平均速度应为，如果物体是作匀速运动的，这个比值不因L::t的变化而改变，这个不变的比值就是物体在时刻t0的运动速度．但如果物体的运动是变速的，即物体的运动是时快时慢的，则这个比值就会随L::t的变化而变化，它反映的只是在从t0到t0 + L::t 这段时间中，物体运动的平均快慢，它并不能代表在t0时刻物体运动的情况．这个平均速度就会随L::t而变的，因此应看作L::t的一个函数如果| L:: t|比较大，在这段时间中，物体运动的快慢已有很大的变化，它当然不能说明在t0时刻物体的运动情况．但是如果| L:: t|很小，在这段时间中物体运动的快慢变化不大，则f (L::t)的大小在相当大的程度上反映了在t0时刻物体的运动情况的．一般说来，| L:: t|愈小，f (L::t)也就愈能反映在t0时物体的运动情况．这说明如果要用一个数量来描述物体在t0时刻的运动状况，这个数量应该是它通常称为在t0时刻这个运动的物体的隔时速度，记为v(t0)．即有了函数S = S(t)，为了求隔时速度v(t0)，先作出一个新的函数自变量是L::t.然后再去考虑这个新的函数在L::t → 0时的极限，即：也可以t为自变量的新函数然后再考虑当t → t0时g(t)的极限2、问题2的解答：在C上邻近(x0, y0)点另取一点(x1, y1) = (x1, f (x1))，过(x0, y0)和(x1, f (x1))，作一割线L t，其方程式是其斜率是由于L t随(x1, y1)点的变动而变动，所以m也随(x1, y1)的变动而变动，即m应看成x1的函数。
数学模型-第03章(第五版)
存在恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小.
分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形.
B
分析B(t)比较困难, 转而讨论单位时间 烧毁面积 dB/dt (森林烧毁的速度).
第三章
材料强度最大
简单优化模型
利润最高 风险最小
优化——工程技术、经济管理、科学研究中的常见问题. 运输费用最低
用数学建模方法解决优化问题的过程 优化目标与决策 模型假设与建立 数学求解与分析
简单优化模型归结为函数极值问题，用微分法求解. 属于数学规划的优化模型在第四章讨论.
第 三 章 简 单 优 化 模 型
3.2 森林救火
问题
森林失火后，要确定派出消防队员的数量. 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小. 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.
分析
记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定.
啤酒杯重心s(x)只与质量比a有关 对于每个a, s(x) 有一最小点. a=0.3, x=0.35左右 s最小, 即重心最低.
0.5
s
0.45 a=1 0.4 a=0.5 0.35 a=0.3 0.3
0.25 a=0.1 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
建立啤酒杯重心模型一
啤酒杯重心模型一
x
s=s(x) ~ 液面高度x的啤酒杯重心
第三章理论模型建模方法
第三章理论模型建模方法1.理论模型的概念理论模型是对现实世界中其中一问题的描述和解释，它由一系列的概念、变量、假设和关系组成，用来指导研究和分析。
理论模型旨在对复杂的现实问题进行抽象和简化，从而更好地理解和解决问题。
2.理论模型的作用-理论模型可以帮助研究者对复杂的现实问题进行简化和抽象，从而更加系统地理解问题的本质和相关规律。
-理论模型可以指导具体研究的设计和实施，提供研究方向和方法。
-理论模型可以为研究者提供新的视角和思考框架，从而挖掘问题的深层次内涵。
-理论模型可以为学术界和实践界提供共识和交流的平台，促进学科的发展和应用的推广。
3.理论模型的构建方法-归纳法：通过对已有研究和实践现象的归纳总结，提炼出概念和变量，构建理论模型。
归纳法侧重于对观察和实践中的规律进行总结和抽象，为理论模型的构建提供基础。
-演绎法：从已知的假设和前提出发，通过逻辑推理和推断，建立理论模型。
演绎法侧重于从前提出发，推导出相关结论和理论，为理论模型的构建提供逻辑基础。
-统计法：通过对相关数据进行统计和分析，发现变量之间的关系和规律，建立理论模型。
统计法可以通过对大量数据的收集和处理，揭示出隐藏的关系和规律。
-数学建模法：通过数学工具和方法，将问题转化为数学模型和方程，进而建立理论模型。
数学建模法可以通过对问题的抽象和形式化，为理论模型的建立提供数学基础。
4.理论模型的有效性评价-内部一致性：理论模型应该具有内部一致性，即概念、变量、假设和关系之间应该相互匹配和协调。
只有内部一致的理论模型才能提供真实和有效的解释。
-可操作性：理论模型应该具有可操作性，即能够为具体的研究和实践提供指导和方法。
只有可操作的理论模型才能真正发挥其应用的效果。
-预测能力：理论模型应该具有一定的预测能力，即能够通过对现有数据和关系的分析，预测未来的发展趋势和结果。
只有具有一定预测能力的理论模型才能具备研究和实践的价值。
5.理论模型的应用-学术研究：理论模型可以为学术研究提供思考框架和分析方法，促进学术界的发展和进步。
高一上数学必修一第三章《3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点》知识点梳理
2/4
下面只要根据实际情况确定 f(x)，x=h(t)，g(t)的表达式即可。 为了简化，我们假设：f(x)和 g(t)都是一次函数，x=h(t)是二次函数，即： f(x)=k1x+l1,(k1＜0),g(t)=k2t+l2,(k2＞0).x=h(t)=at2+bt+c,(a≠0) 则：z=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2。 【设计意图】 数学建模的过程是锻炼学生对现实对象进行分析、提炼、归纳、抽象的结果，是以数学语言来精 确地描述现实对象的内在特征，以便于通过数学上的演绎推理和分析，求解深化对所研究实际问题的 认识。 三、确定参数，计算求解 交 流 与 讨 论 4 ： 如 何 确 定 函 数 模 型 f(x)=k1x+l1 ， (k1 ＜ 0) ， g(t)=k2t+l2,(k2 ＞ 0),x=h(t)=at2+bt+c,(a≠0)中的参数？ 通过调查，收集实际数据，来确定参数.例如，收集了如下数据：
3/4
四、思考反思. 上面建立的模型可能会与实际情况有所偏差，因为在建模的过程中，我们假设 f(x)和 g(t)都是 一次函数等于就已经把问题做了简化，如果条件允许，可以在收集尽可能多的数据的基础上，通过分 析数据来最终建立函数的模型，这样也能优化最终建立的模型。 本次数学建模活动是针对一个地区的苹果的最佳出售时间，这个问题在很多偏远地区具有广泛的 应用前景，特别是国家对于贫困地区进行大力扶持脱贫攻坚阶段，如果运用我们所学到的数学知识， 帮助农民伯伯实现丰产又丰收，这样我们所学到的知识的意义将更加重大。如果同学们有条件的话， 可以把自己的模型和当地种植苹果的农民伯伯来进行验证，从而让数学在生产实践中发挥更大的作用。
数学建模,第三章-微分方程模型
8小时20分－2小时57分＝5小时23分
即死亡时间大约在下午5:23，因此张某不能被 排除在嫌疑犯之外。
理学院
3.2 目标跟踪模型
例1 饿狼追兔问题 黑 龙 现有一直兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处，假 江 科 设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的 技 巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度 学 是兔子的2倍。兔子能否安全回到巢穴? 整理得到下述模型： 院 解：设狼的行走轨迹为y=f(x),则有：
理பைடு நூலகம்院
本章将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系 较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较 为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
数 学 建 模
B
60
2 2xf' ' x 1 f' x y' x 0 , y 0 100 x 100 解得狼的行走轨迹为： 100 0 100 (0,h) 0, f' f 假设在某一时刻，兔子跑到 处，而狼在 (x,y)处，则有：
理学院
y y0 g e
g
车间空气中CO2浓度y 与时间t的数学模型
黑 龙 江 科 技 学 院 数 学 建 模
3.4 学习模型
一般认为，对一项技术工作，开始学得较快，但随着学 得越来越多时，内容也越来越复杂，学员学得就会越来越慢。
员学习的速度，则随y的增长而下降。
dy 设y%表示已经掌握了这项工作的百分数， dt
数学建模第三章
数学建模第三章第三章⾮线性最优化⽅法§3.1 最优化问题与建模⼀. 基本概念：因为⼈类所从事的⼀切⽣产或社会活动均是有⽬的的，其⾏为总是在特定的价值观念或审美取向的⽀配下进⾏的，经常⾯临求解⼀个可⾏的甚⾄是最优的⽅案的决策问题。
可以说，最优化思想是数学建模的灵魂。
⽽最优化⽅法作为⼀门特殊的数学学科分⽀有着⼴泛的实际应⽤背景。
典型的最优化模型可以被描述为如下形式：其中表⽰⼀组决策变量，通常在实数域内取值，称决策变量的函数为该最优化模型的⽬标函数；为维欧⽒空间的某个⼦集，通常由⼀组关于决策变量的等式或不等式刻画，形如：这时，称模型中关于决策变量的等式或不等式、为约束条件，⽽称满⾜全部约束条件的空间中的点为该模型的可⾏解，称，即由所有可⾏解构成的集合为该模型的可⾏域。
称为最优化模型的（全局）最优解，若满⾜：对均有，这时称处的⽬标函数值的为最优化模型的（全局）最优值；称为最优化模型的局部最优解，若存在，对，均有。
（全局）最优解⼀定是局部最优解，但反之不然，其关系可由下图得到反映：上图为函数在区间上的⼀段函数曲线（由Mathematica绘制），如果考察最优化问题，从图中发现它有三个局部最优解、、，其中是全局最优解，最优值为“”。
⼆. 最优化问题的⼀些典型的分类：优化⽅法涉及的应⽤领域很⼴，问题种类与性质繁多，根据不同的原则可以给出不同的分类。
从数学建模的⾓度，对最优化问题的⼀些典型分类及相关概念的了解是有益的。
根据决策变量的取值类型，可分为函数优化问题与组合优化问题，称决策变量均为连续变量的最优化问题为函数优化问题；若⼀个最优化问题的全部决策变量均离散取值，则称之为组合优化问题。
⽐⽅⼀些最优化问题的决策变量被限定只能取整数值，即为组合最优化问题，这类优化问题通常被称为整数规划问题，另外⼤多⽹络规划问题属于组合最优化问题。
当然，也有许多应⽤问题的数学模型表现为混合类型的，即模型的部分决策变量为连续型的，部分决策变量为离散型的；另外当谈论⼀个最优化问题是函数优化问题还是组合优化问题时，还需结合我们对这⼀问题的思考⽅式来进⾏确定，⽐⽅后⾯介绍的线性规划问题的求解，既有将其作为⼀个组合优化问题⽽开发的算法，也有将其作为⼀个函数优化问题⽽开发的算法；另外的⼀种分类⽅式是根据问题中⽬标、约束条件函数的形式或性质来加以划分的：若⼀个最优化问题的⽬标、约束条件函数均为决策变量的线性函数，则称之为线性规划问题，否则称之为⾮线性最优化问题。
《数学建模课程》第三章 量纲分析法
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数学建模案例分析第三章-线性代数模型
易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。
而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，
则任一个Durer方均可由这组基线性表示。
28.09.2020
数学建模
由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi, i=1,2,…,8。
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 0 0 0 0
r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 0 0 0 0
r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
0000 0000
r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 0
Q1,Q2,,Q7 线性无关。任一Durer方可由它 们线性表示。
线性代数模型
• Durer 魔方 • 植物基因的分布 • 常染色体的隐性疾病 • 森林管理问题 • 马氏链简介
28.09.2020
数学建模
线性代数模型
有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以 掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
0100
Q6= 0 0 1 0
1000 0001
0100
Q8= 0 0 0 1
0010 1000
28.09.2020
数学建模
易知 Q 1 Q 4 Q 5 Q 8 Q 2 Q 3 Q 6 Q 7 0
则 Q1,Q2,,Q8 线性相关。
而由 r 1 Q 1 r 2 Q 2 r 3 Q 3 r 4 Q 4 r 5 Q 5 r 6 Q 6 r 7 Q 7 0
数学建模 第一篇第三章
第三章 对偶线性规划问题§1-3-1对偶线性规划问题例1 某工厂生产甲、乙、丙三种产品，使用两种主要原料A 和B ，已知生产每单位产品需要原料数、现有原料树以及每单位产品价格如表1-3-1。
问：应如何安排生产，可使总产值最大？解：设321,,x x x 分别表示甲、乙、丙三种产品的产量，则可建立线性规划数学模型：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++++=0,,100542120634..354m ax 321321321321x x x x x x x x x t s x x x S （1.3.1）现工厂的决策者决定除了生产甲、乙、丙三种产品以外，如果合适的话，可以考虑将这两种原料出售，那么对于购买者来说，尽可能以较低的价格购买，又使得工厂接受，这时A 、B 的价格应分别是多少？设原料A 、B 的价格分别为21,y y ，则合理的定价应满足线性规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥++=0,356543424..100120m in 2121212121y y y y y y y y t s y y W （1.3.2）我们称线性规划问题（1.3.2）为线性规划问题（1.3.1）的对偶线性规划问题。
一般地，给定线性规划问题：（LP ） n n x c x c x c S +++=...m ax 2211⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤+++≤+++≤+++n j x bx a x a x a bx a x a x a b x a x a x a t s j mn mn m m n n n n ,,2,10 (221)12222212111212111 即（LP ）⎩⎨⎧≥≤=OX b AX t s CXS ..m ax 与线性规划问题（DLP ）m m y b y b y b W +++= 2211m in⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+++≥+++≥+++m i y cy a y a y a c y a y a y a c y a y a y a t s i n m mn n n m m m m ,,2,10 (221)12222211211221111 即（DLP ）⎩⎨⎧≥≥=OY C YA t s YbW ..min 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m b b b b 21， ),,,21n c c c C （=，),,,(21m y y y Y =。
科学计算与数学建模第三章PPT课件
Sn
ba 180
( h )4 2
f
(4) ( )
(3.2.12) （3.2.13）
[a,b]
其中
b a
f
(x，)d且x 当Chn充分 小2(9b时4，5a又) (有h2)：6 f
6 ( )
（3.2.14）
第18页/共64页
b a
f
(x)dx
Tn
1 12
h2[
f
'(b)
f
'(a)]
(3.2.15)
为 。但是在实际中是不可能精确得到的，那么怎样求出足够高精度的
b
横截面面积的近似值。
a h(x)dx
表3.1.1 湘江某处横截面不同位置的水深数据
单位：m
x
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
h(x) 4.2 5.9 5.8 5.2 4.5 5.7 5 5.5 4.8 5.9 4.1 5.1 4.6 5.7, 4.7
第7页/共64页
3.2 数值求积的Newton-Cotes（牛顿-柯特斯） 方法
在3.1 中，介绍了插值型求积公式及其构造方法。在实 际应用时，考虑到计算的方便，常将积分区间等分之，并取分点为 求积分节点。这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-柯特斯 （Newton-Cotes）公式。
本节在介绍一般牛顿-柯特斯公式的基础上，介绍几个常用的牛 顿-柯特斯公式以及这些公式在实际计算时的用法。
就应该要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。在计算方法中，
常用代数精度这个概念来描b 述。
n
定义3.1.1
若 求 积 公 式 ：a
数学建模竞赛培训教程第一章-第三章
第二章
多元线性统计模型
§1 多元线性回归数学模型
一、一般数学模型
假设正态分布的随机变量 y 可以表示成特殊的形式（只有正态分布才有这样的基本的 良好的形态：线性可加性）
⎧ y = β 0 + β 1 x1 + ... + β m x m + ε ⎨ ε ~ N (0, σ 2 ) ⎩
这个模型称之为 m 元理论线性回归模型
=⎜ ⎜
⎛ β0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝b⎠
⎛ ⎞ ⎜ε ⎟ ⎜ 1⎟ ε = ⎜ε 2 ⎟ 来自M ⎟ ⎜ ⎜ε ⎟ ⎟ ⎝ n⎠
得到 n 元线性回归模型： ⎨
⎧ y I = β 0 + β 1 xi 1 + ... + β m xi m + ε i ε i ~ N (0,σ 2 ) ⎩
（2）
用矩阵的运算关系集中可以表示成：
有了模型分析和模型假设以后，就要表示成准确的数学问题形式，形成明确完整 的数学模型，这就是模型构成。模型的构成要根据对象的内在规律、相互联系、平衡 关系、递推规律、条件限制、总和表示等构作出各个、各种量（变量和常量）的等式 及不等式关系，或者其它结构形式，有时可以把若干等式关系统一成矩阵等式或方程 组形式等。还要充分利用有关专业领域中的规律、原理、性质等来分析和建立等式及 不等式。 模型构成中更重要的是确定求解目标的形式，可以说只有明确了目标，把目标用 具体数学形式表现出来了，明确了目标：求某类状态的最大值或最小值、确定某种变 化过程的数值变化过程即函数、 对某组对象进行分类、找出某些变量之间的对应关系、 求某类对象的数目、进行因素的差异性分析、找出影响目标的主要因素、进行某种合 理性及满意度分析等等。明确了这些，我们才能选择恰当的数学模型来对应表示，进 而提出问题、形成数学模型。数学模型的构成要依赖于相关的数学概念、数学理论和 数学问题。实际上在进行模型的分析、假设时就已经确定了所要建立的的数学模型的 类型，现在要做的就是将具体数学形式表现出来。一般情况下，要用已有的概念形式 来表示，问题的表述要规范、清晰，如果遇到新问题、新现象，也需要创造性地引进 新概念、新方法。 第四步 模型计算
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无法求出 i(t),s(t)
的解析解
用MATLAB 求数值解
模型4
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/
• 提高阈值 1/ 接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
s0i0r01
群体免疫
模型4
预防传染病蔓延的手段
• 降低日接触率 • 提高日治愈率 • 提高移出比例r0
以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.
1/
s0
i0
s
im
1
0.3
0.3
0.98
0.02 0.0398 0.3449
0.6
0.3
0.5
0.98
0.02 0.1965 0.1635
0.5
0.5
1.0
0.98
0.02 0.8122 0.0200
0.4
0.5
1.25
0.98
0.02 0.9172 0.0200
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di
d
t
i (1
i)
i
i[i(11)]
i ( 0 ) i0
/
~ 日接触率 1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数.
模型3
di/dt
接触数 =1 ~ 阈值
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者.
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t).
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程.
背景 与 问题
传染病的极大危害(艾滋病、SARS、) • 描述传染病的传播过程. • 分析受感染人数的变化规律. • 预报传染病高峰到来的时刻. • 预防传染病蔓延的手段.
基本 不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理, 方法 而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.
模型1
假设 建模
时刻t已感染人数 (病人) i(t) • 每个病人每天“有效接触”
logistic 模型
1
1
i(t)
1/2
1
1 i0
1
e
t
i0
0
tm
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高峰到来时刻
tm
1
ln
1 i
0
1
t i 1×
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染. SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0 (常数)
Q (t)f0F (K (t)L ,(t))F为待定函数
1. Douglas生产函数 产值Q, 资金K, 劳动力L, 技术f0
第3章 微分方程模型
动态 模型
• 描述对象特征随时间()的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究对象特征的控制手段.
微分 方程 建模
• 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程. • 求解微分方程，并进行结果解释.
3.1 传染病模型
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t)i(t) t
di i dt i(0 ) i0
i(t) i0et
t i ×
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t) .
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
di dt ds dt
si si
i
i(0 ) i0 , s (0 ) s 0
传染病模型
模型1
模型2 (SI)
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高峰时刻, 预防蔓延手段.
3.2 经济增长模型
发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系. • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.
di i[i(11)]
dt
i
接触数 (感染期内每个
病人的有i 效接触人数)
>1
i0
>1
1
1-1/
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
i()
1
1
,
0
1
t0
1 i(t)单调下降
t
0,
1 感染期内有效接触使健康者感
>1, i0< 1-1/
染的人数不超过原有的病人数
i(t)按S形曲线增长
1
0.3
0.3
0.70
0.02 0.0840 0.1685
0.6
0.3
0.5
0.70 0.02 0.3056 0.0518
0.5
0.5
1.0
0.70 0.02 0.6528 0.0200
0.4
0.5
1.25
0.70
0.02 0.6755 0.0200
, s , im s0 (r0 ) s , im
,
2Q L2
0
0
y
1. Douglas生产函数
Q (K ,L )f0K L 1
Q K QK
~单位资金创造的产值
Q L
QL
~单位劳动力创造的产值
KQ K ,
Q
LQ L 1
静态模型 Q (K ,L )f0F (K ,L )
每个劳动力 的产值
z
Q L
每个劳动力 的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
zQ/Lf0g(y) g(y)y, 01
Qf0L(K/L)
g(y)
Q (K,L)f0KL 1 Douglas生产函数
Q, Q 0 K L
2Q K2
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病.
接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di dt
si
s(t)i(t)1
di
d
t
i (1
i)
i ( 0 ) i 0
模型2
i
di dt
i (1
i)
i ( 0 ) i 0