弹性力学第四章应力应变[研究材料]
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
弹性力学第四章应力和应变关系.
弹性⼒学第四章应⼒和应变关系.第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程,⼏何⽅程和变形协调⽅程。
由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的,因此,必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。
应⼒和应变是相辅相成的,有应⼒就有应变;反之,有应变则必有应⼒。
对于每⼀种材料,在⼀定的温度下,应⼒和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性,因此称为物理⽅程或者本构关系。
对于复杂应⼒状态,应⼒应变关系的实验测试是有困难的,因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。
分别讨论⼴义胡克定理;具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式;各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。
⼆、重点1、应变能函数和格林公式;2、⼴义胡克定律的⼀般表达式;3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系;4、各向同性材料的本构关系;5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形,因此外⼒在变形过程中作功。
同时,弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。
借助于能量关系,可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化,因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。
本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式,并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。
根据能量关系,容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能,即应变能函数。
探讨应变能的全微分,可以得到格林公式,格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的,则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理,可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。
弹性力学与材料的应变与应力关系研究
弹性力学与材料的应变与应力关系研究材料科学是一门研究物质的性质和结构的学科，而弹性力学是其中重要的一个领域。
弹性力学的研究主要关注材料在受力作用下的变形以及变形所产生的应力。
这种变形和应力之间的关系在材料的设计和使用中起着至关重要的作用。
首先，我们可以从一个简单的弹簧模型开始，了解应变与应力之间的关系。
考虑一根弹簧，我们可以通过施加一个外力来使其发生变形。
这个外力会产生一个内部力，即弹性力，使弹簧恢复到原始的形状。
弹簧的变形程度可以用应变来描述，而内部的弹性力可以用应力来表示。
弹簧的应变与应力之间存在线性关系，即应力等于弹性模量乘以应变。
这个关系被称为胡克定律。
然而，材料的力学性质往往比弹簧更为复杂。
在实际应用中，材料常常需要承受更大的力和变形。
由于这种情况下，材料不再服从线性的胡克定律，因此弹性力学的研究也就更为复杂。
材料科学家通过实验和理论分析，发现了不同材料在不同应力状态下的应变与应力之间的关系，并提出了一系列描述这种关系的模型。
其中最常用的模型之一是线弹性模型。
线弹性模型假设材料在小应力范围内呈现线性弹性，即应变与应力之间存在线性关系。
这在实际应用中是非常有用的，例如在建筑结构中，我们可以通过线弹性模型来估计材料的变形和承载能力，从而保证结构的安全性。
然而，当应力超过一定范围时，线弹性模型就无法准确描述材料的力学性质了。
这时，材料会发生塑性变形，即不可逆的变形。
塑性变形与应力之间的关系可以通过简单的拉伸试验来确定。
拉伸试验是一种将材料加以拉伸直至破裂的试验，通过测量材料在不同应力下的应变，可以得到材料的应力-应变曲线。
这个曲线描述了材料在不同应力下的塑性行为，可以帮助工程师选择合适的材料设计和制造产品。
除了线弹性和塑性变形，还存在一些特殊的力学性质。
例如，某些材料在受力时会发生形状记忆效应，即经历过变形后能够恢复到原来的形状。
这种材料被称为形状记忆合金，具有广泛的应用前景。
还有一些材料如液晶，具有流变性质，即受到剪切力时会出现非线性的变形行为。
弹性力学平面应力平面应变问题
用矩阵形式表示为：
u u (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σ b 0
(在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σ Dε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσ t
(在 t 上)
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为
X Y
nx x ny xy nx yx ny y
nz nz
xz yz
Z
nx zx
ny zy
nz z
其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
n n0x
0 ny
0 0
ny nx
0 nz
nz 0
0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、v、w ，
则有
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
弹性力学平面应力平面应变问题
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
平面应力问题的定义
平面应力问题的基本假设
假设弹性体是连续的，没有空隙或裂缝。
假设弹性体的材料性质在空间中是均匀的，即各向同性。
假设弹性体的材料性质在不同方向上相同。
假设弹性体的变形是微小的，即变形前后的形状和尺寸变化不大。
连续性
均匀性
各向同性
小变形
解析法
01
通过数学公式和定理求解弹性力学问题的精确解。适用于简单形状和边界条件的平面应力问题。
平面问题的定义
02
CHAPTER
平面应力问题
在弹性力学中，平面应力问题是指应变场和应力场在二维平面上变化的问题。这类问题通常涉及到薄板、薄壳等二维结构，其厚度相对于结构的尺寸较小，可以忽略不计。
平面应力问题
平面应力问题具有对称性，即应变和应力在垂直于平面的方向上为零。同时，由于结构厚度较小，平面应力问题通常只考虑平面内的应变和应力分量，忽略垂直于平面的分量。
弹性力学简介
平面问题是指弹性物体在平面内的变形问题，其中物体与平面平行或与平面垂直。
平面应变问题是指物体在平行于平面的方向上发生变形，而垂直于平面的方向上变形较小或忽略不计。
平面问题可以分为平面应变问题和平面应力问题两类。
平面应力问题是指物体在垂直于平面的方向上发生变形，而平行于平面的方向上变形较小或忽略不计。
03
CHAPTER
平面应变问题
平面应变问题
模拟 aword/noun like "bleepileysing前进 on how toilet b. The first time you feel that there is a word-like "bleepilexamples the first time you具有重要的 first time you feel that there is a word's a word-like "bleepilexamples[c. The first time you feel that there is a word's a word-like b. The first time you feel that there is a word's a word's a word-like "bleepilexamples the first time you's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a way toilet's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's a word's
第四章应力应变关系
4 应力应变关系4.1弹性变形时应力和应变的关系当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即1()1()1()111222x x y z y yx zz z x yxy xy yz yz zx zxE E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ⎧=--⎪⎪⎪=--⎪⎨⎪=--⎪⎪⎪===⎩，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足()21E G ν=+关系。
由上式可得11212()()33m x y z x y z m E E ννεεεεσσσσ--=++=++= （4.2） 于是11()'2x m x m x E G νεεσσσ+-=-= 或1112''22x m x x m G G Eνεεσσσ-=+=+ 类似地可以得到1112''22y m y y m G G E νεεσσσ-=+=+ 1112''22z m z z m G G Eνεεσσσ-=+=+于是，方程（4.1）可写成如下形式1212'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即'1122ij ij m ij ij m G Eνεεεσδσ-'=+=+ （4.3）显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。
前者与球应力分量成正比，即12m m E νεσ-= （4.4）后者与偏差应力分量成正比，即''12''12''12111222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zxG G G εεεσεεεσεεεσετετετ⎧=-=⎪=-=⎪⎨=-=⎪⎪===⎩，，或简写为2ij ij G σε''= （4.5）此即为广义Hooke 定律。
弹性力学中的应力与应变理论
弹性力学中的应力与应变理论弹性力学是研究物体在受力作用下的变形与恢复的力学分支。
应力与应变理论是弹性力学的重要组成部分，它描述了物体在受到外力作用时产生的应力和应变之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨弹性力学中的应力与应变理论。
一、应力的概念与分类应力是物体在受力作用下产生的单位面积的内力。
根据受力方向的不同，应力可以分为三类：拉应力、压应力和剪应力。
1. 拉应力：拉应力是指物体在受到拉伸力作用下产生的应力。
拉应力可分为轴向拉应力和切向拉应力。
轴向拉应力是指沿物体轴线方向产生的应力，而切向拉应力则是指垂直于轴线方向产生的应力。
2. 压应力：压应力是指物体在受到压缩力作用下产生的应力。
与拉应力类似，压应力也可分为轴向压应力和切向压应力。
3. 剪应力：剪应力是指物体在受到剪切力作用下产生的应力。
剪应力沿着物体内部平面的切线方向产生。
二、应变的概念与分类应变是物体在受力作用下发生的长度、面积或体积的变化。
根据变形形式的不同，应变可分为三类：线性应变、平面应变和体积应变。
1. 线性应变：线性应变是指物体在受力作用下产生的长度变化与初始长度之比。
它是最基本的应变形式，常用符号ε表示。
线性应变假设变形产生的应力与应变之间呈线性关系。
2. 平面应变：平面应变是指物体在受到外力作用下产生的面积变化与初始面积之比。
平面应变常用符号γ表示。
3. 体积应变：体积应变是指物体在受到外力作用下产生的体积变化与初始体积之比。
体积应变常用符号η表示。
三、胡克定律与应力应变关系胡克定律是弹性力学中最基本的定律之一，它描述了由于外力作用下物体的弹性变形情况。
胡克定律可以简要表述为：应力与应变成正比。
根据胡克定律，可以得出应力与应变的数学关系，即应力等于弹性模量与应变之积。
根据具体的应力类型和应变类型，应力与应变的关系可以用不同的公式来表示。
四、应力与应变的计算方法在实际应用中，为了计算物体在受力作用下的应变情况，可以使用不同的方法来计算应力和应变。
弹性体的应力和应变
5
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
6
§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。
弹性力学第四章应力应变ppt课件
弹性体的应变能函数表达式
v 1 2 (xxyyzzxy x yyz y zxz x)z
最新课件
10
1. 极端各向异性弹§性4体.3 各向异性弹性体
利用格林公克 式定 和律 广： 义胡
v
y
yC21xC22yC23zC24yzC25xzC26xy
再对xz求偏导 : y2v xz C25
对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减 少为13个。
x C11 x C12 y C13 z C14 yz
y C 21 x C 22 y C 23 z C 24 yz
z C 31 x C 32 y C 33 z C 34 yz
yz C 41 x C 42 y C 43 z C 44 yz
程只有九个:
最新课件
1
i,j fi 0(ui),
ij
1 2(ui, j
uj,i ),
j 1,2,3 i, j 1,2,3
其中f i 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程
是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六
个方程，使得方程组封闭。
另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
新旧坐标系之间的转换关系为
最新课件
12
根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx
弹性力学第四章应力应变
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
f1 f1 f1 f1 f1 f1 xy x ( f1 )0 x y z yz xz z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。 可以证明各弹性常数之间存在关系式 cmn = c nm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy
xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
(4-2)
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
0 0 0
f3 f3 f3 f3 f3 f3 z ( f3 )0 z yz x y xz xy z 0 x 0 xz 0 y 0 yz 0 xy 0
弹性力的应力和应变
剪切形变： 剪切形变：当物体受到力偶作用使物体两个平 行截面间发生相对平行移动产生的形变
s
s 剪切应变 γ = d
d
剪切应力互等定律 作用于互相垂直的假想截面上并垂直于该两平 面交线的剪切应力是相等的
2.4.3 胡克定律
胡克定律反映了力与形变的关系 拉伸应变的胡克定律 剪切应变的胡克定律
σ = Yε τ = Gγ
2.4.1 应力
1、关于几个力的概念 外力：对弹性体整体的作用力 内力：弹性体内的相互作用力 应力是物体中各部分之间相互作用的内力，属于 被动力。 定义：作用在物体内部单位面积上的内力
∆f d f σ = lim = ∆S →0 ∆S dS
可分解为法向和切向，法向为正应力， 可分解为法向和切向，法向为正应力，切向为剪 切应力
其中Y---杨氏模量，G---切变模量，弹性模量反映 了材料对形变的抵抗能力
有形变就能够储存弹性势能
材料正应变的势能
1 YS 1 2 (∆l ) = YVε 2 EP = 2 l0 2
势能密度
1 2 eP = Yε 2 1 2 eP = Gr 2
课后思考题： 1、为什么一本书比一张纸更不容易弯曲？ 、为什么一本书比一张纸更不容易弯曲？ 2、为什么短而粗的物体更难以扭动？ 、为什么短而粗的物体更难以扭动？ 一题为弯曲部分 二题为扭转部分
正应力：垂直作用于假想截面S上的拉伸或压缩应 力 N
σ⊥ =
S
剪切应力：切向分力与截面面积的比
T σ // = S
单位：Pa 帕斯卡 量纲：ML-1T-2
2.4.2 应变 直杆的线应变 应变：弹性体内产生相应的形变
线应变：绝对伸长与原长之比 ∆l ∆b ε ε= 纵向应变 横向应变 l0 b0 横向应变一般比纵向应变小3-4倍
弹性力学中的应变与应力关系
弹性力学中的应变与应力关系弹性力学是物理学中的一个重要分支，主要研究物质体积和形状在外力作用下所发生的变化及其原因。
具体来说，就是通过研究应力（反映外力作用效果的物理量）和应变（反映物质形状和体积改变的物理量）之间的关系，来理解和解释物质的弹性行为。
本文将详细阐述应力和应变在弹性力学中的相关内容。
首先，我们需要明确应力和应变的概念，以便更好地理解二者之间的关系。
应力是弹性力学研究的基本物理量，它可以反映物质内部的力的大小和方向。
根据力的分布特点和作用方式，可以将应力分为正应力和剪应力等类型。
与此同时，应变是描述物体位形变化的物理量，它可以反映物体形状和体积的变化情况。
在弹性力学中，应力和应变之间的基本关系通常用应力--应变法则或哈肋定律来描述。
具体来说，对于同一物体，存在一个比例系数（即弹性模量），当其应力不超过一定值（即弹性限度）时，应力和应变之间达到正比关系，即应力等于弹性模量乘以应变。
这就是典型的线性弹性行为。
当然，应力和应变的关系并不总是线性的。
当物体受到的应力超过一定值后，应变可能导致物体的永久性形变，这就涉及到弹性物质的塑性行为。
塑性行为是弹性力学的另一个重要研究方向，对于理解材料的力学行为有着特别重要的意义。
在实际应用中，不同的应力类型和物质性质可能会引起不同的应变特性。
因此，为了更具体、精确地描述和理解应力和应变之间的关系，出现了多种理论和模型，如弹塑性理论、粘弹性理论、破坏理论等。
这些理论和模型都在一定程度上解释了应力和应变之间的复杂关系，并为理解和控制各种物质的弹性行为提供了重要的理论工具。
总的来说，弹性力学中的应力与应变关系是一个复杂而重要的主题，只有深入理解和掌握应力与应变的特性，才能准确地分析和预测物质在受力情况下的弹性行为。
而对于这些知识的理解和应用，在工程技术、材料科学等领域有着广泛的应用前景。
弹性力学 第四章应力和应变的关系
vI t
x
x
t
y
y
t
z
z
t
yz
yz
t
xz
xz
t
xy
xy
t
若固定x,y,z的值，则得在dt时间内vI 的增量为，即在上式两边乘以dt
dvI xd x yd y zd z yzd yz xz d xz xyd xy
由于内能密度 vI 是状态的单值函数，dvI 必须是全微分，因此
所以
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
xz xz
zy zy )
张量表示
v
1 2
ij
ij
弹性体应变能 V v dV V
§4－3 各向异性弹性体
（一）极端各向异性弹性体
理论具有36个弹性常数
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx
的值，根据无初始应力假设，( f1)0为0。均匀材料，函数 f1
对应变的一阶偏导数为常数。这是因为对物体内各点来说，
承受相同的应力，必产生相同的应变；反之，物体内各点
有相同的应变，必承受同样的应力。
经过上面的处理后，小变形情况就可简化为
广义胡克定律
x C11 x C12 y C13 z C14 xy C15 yz C16 xz y C21 x C22 y C23 z C24 xy C25 yz C26 xz z C31 x C32 y C33 z C34 xy C35 yz C36 xz xy C41 x C42 y C43 z C44 xy C45 yz C46 xz yz C51 x C52 y C53 z C54 xy C55 yz C56 xz xz C61 x C62 y C63 z C64 xy C65 yz C66 xz
弹性力学 第04章应力和应变关系
第四章应力与应变关系§4-1 应力和应变的最一般关系式§4-2 弹性体变形过程中的功和能§4-3 各向异性弹性体§4-4 各向同性弹性体§4-5 弹性常数的测定§4-6 各向同性体应变能密度的表达式显然有5225C C =同理可证nmmn C C =这样就证明了极端各向异性体，只有6+30/2=21个独立的弹性常数。
⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ66564636266156554535255146454434244 136353433233 126252423222 16 15 14 13 12 111②具有一个弹性对称面的各向异性弹性体如果物体内的每一点都具有这样一个平面，关于该平面对称的两个方向具有相同的弹性，则该平面称为物体的弹性对称面，而垂直于弹性对称面的方向，称为物体的弹性主方向。
这样，物体的弹性常数从21个变为13个。
若Oyz 为弹性对称面，则（可用坐标变换公式得到）⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧xy xz yz z y x xy xzyz z y x C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C γγγεεετττσσσ665656554434244 13433233 1242322214 13 1211100000000000000如果互相垂直的3个平面中有2个式弹性对称面，则第3个平面必然也是弹性对称面。
弹性力学第四章 (5)轴对称问题
4 B f ( ) E 4 B 积分后： u f ( )d f1 ( ) （c） E 再将（b）,（c）代入第三式，整理：
u
df1 ( ) df ( ) f1 ( ) f ( )d d d
df1 ( ) f1 ( ) F （ d） d 由于 ， ρ，的任意性，
df1 ( ) f1 ( ) F 0 d
df1 ( ) f1 ( ) D d
（d）
求解： (d)为线性微分方程，可用分离变量法:
df1 ( ) d f1 ( ) D 通解为:来自f1 ( ) F D
（f）
ln d te dt
t
分步积分
te e (ln 1)
t t
u
1 E
A ( 1 ) B [( 1 3 ) 2 ( 1 ) ln ] 2 ( 1 ) C 2
3 . 几何方程：
/ G 0
0 00 恒等式
（注意：一般情况下位移与 φ 有关）
u u 1 u u u u 0
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(3 ) 2(1 ) ln ] E E
2(1 ) ln ] 2(1 )C
2(1 )C
令 e
t
则 由几何方程得：
ln t d et dt
4 B u H I sin K cos E
式中： 1 . A , B , C , H , I , K 都是任意常数 2 . H , I , K 和 2-4 节中的 , u0 , v0 一样代表 刚体的位移 ( 由位移边界来确定 ) E , *对于平面应变问题 E , 2 1 1
弹性力学第四章应力应变
弹性力学问题的求解方法
解析法
通过数学手段，将弹性力学问题转化为数学方程，如微分方程或积 分方程，然后求解这些方程得到弹性体的应力和应变。
数值法
对于一些难以解析求解的弹性力学问题，可以采用数值方法进行求 解，如有限元法、有限差分法等。
实验法
通过实验手段测量弹性体的应力和应变，如拉伸、压缩、弯曲等实验。
本构方程描述了物体内部的应力与应变之间的关系，是材料力学性质的表现。
本构方程的数学表达式因材料而异，对于线性弹性材料，本构方程为：$sigma_{ij} = lambda epsilon_{kk} + 2mu epsilon_{ij}$，其中$lambda$和$mu$分别为拉梅 常数。
04
弹性力学问题解法
01
材料性能评估
利用弹性力学理论，可以对材料的性能进行评估，包括材料的弹性模量、
泊松比、剪切模量等参数，为材料的加工和应用提供依据。
02
材料结构设计
通过弹性力学理论，可以对材料进行结构设计，通过调整材料的微观结
构和组分，优化材料的性能，提高材料的承载能力和稳定性。
03
材料失效分析
弹性力学还可以用于材料失效分析，通过分析材料的应力分布和应变状
分类
单位
根据不同的分类标准，应变可以 分为多种类型，如线应变、角应 变、剪应变等。
应变的单位是单位长度上的变形 量，常用的单位有百分数、弧度 等。
应变状态
01
02
03
单轴应变
当物体受到单向拉伸或压 缩时，只在某一方向上发 生形变，其他方向上保持 不变。
多轴应变
当物体受到多方向上的作 用力时，会在多个方向上 发生形变，形变情况比较 复杂。
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调研学习
1
i, j fi 0(ui ),
ij
1 2
(ui
,
j
u j,i ),
j 1, 2,3 i, j 1, 2,3
其中fi 是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程 是不封闭的，因此没有唯一的一组解。还需补充六 个方程，使得方程组封闭。
另外，应力与应变是相辅相成的，有应力就有应变， 反之亦然。对于每一种材料在一定温度下，它们之 间存在着确定的关系，反映了材料的固有特性。本 章的任务就是建立在弹性阶段应力与应变的关系。
xz
xz
0
f3
xy
0
xy
调研学习
5
由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 xz C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 xz C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 xz C36 xy
2v
xz y
C52
根据偏导数次序可交换原则，可证C25=C52。对于其它的
弹性常数可以作同样的分析，则 Cmn=Cnm 。
上述结论表明完全各向异性调研弹学性习 体只有21个弹性常数 。 11
2．具有一个弹性对称面的各向异性弹性体
如果物体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向 具有相同的弹性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。垂 直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。
上式中 cmn(m,n=1,2…6)是弹性系数，共36个，对 于均匀材料它们为常数,称为弹性常数,与坐标无关。
调研学习
6
上式即为广义胡克定律，可以看出应 力和应变之间是线性的。
可以证明各弹性常数之间存在关系式 = cmn cnm 。对于最一般的各向异性介质，弹 性常数也只有21个。
调研学习
7
§4.2 弹性体变形过程中的功与能
0
f1
yz
0
yz
f1
xz
0
xz
f1
xy
0
xy
y
(
f2 )0
f2
x
x
0
f2
y
0
y
f2
z
z
0
f2
yz
0
yz
f2
xz
0
xz
f2
xy
0
xy
z
(
f3 )0
f3
x
x
0
f3
y
y
0
f3
z
0 z
f3
yz
0
yz
f3
x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx x' =x，y' =y，z' =z，x'y' =-xy，y'z' =yz，z'x' =-zx
根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
假设yz坐标面为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。将x轴绕 动 z 轴转动π 角度，成为新的 Ox'y'z'坐标系。
新旧坐标系之间的转换关系为
x
y
z
x’
-1
0
0
y’
0
1
0
z’
0
0
1
调研学习
12
根据对称性质:关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换 时保持不变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系 变换时取负值（也可按照转轴时的变换公式计算）。有,
10
1. 极端各向异性弹§性4体.3 各向异性弹性体
利用格林公式和广义胡克定律：
v
y
y
C21 x C22 y
C23 z
C24 yz C25 xz C26 xy
再对
xz求偏导:
2v
y
xz
C25
同理有：
v
xz
xz
C51 x
C52 y
C53 z
C54 yz
C55 xz C56 xy
x f1( x , y , z , xy , yz , zx )
y f2 ( x , y , z , xy , yz , zx ) z f3 ( x , y , z , xy , yz , zx )
(4-1)
xy f4 ( x , y , z , xy , yz , zx )
yz f5 ( x , y , z , xy , yz , zx )
zx f6 ( x , y , z , xy , yz , zx )
调研学习
4
当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x
(
f1 )0
f1
x
x
0
f1
y
y
0
f1
z
z
x
vF x
,
y
vF y
,
z
vF z
,
xy
vF xy
,
yz
vF yz
,
xz
vF xz
调研学习
9
统一的形式：
x
v x
,
y
v y
,
z
v z
,
xy
v xy
,
yz
v yz
,
xz
v xz
弹性体的应变能函数表达式
v
1 2
(
x
x
y y
zz
xy xy
yz yz
xz xz)
调研学习
yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 xz C46 xy (4-2) xz C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 xz C56 xy
xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 xz C66 xy
调研学习
2
第四章 应力和应变的关系
第一节 广义胡克定律 第二节 弹性变形过程中的能量 第三节 各向异性弹性体 第四节 各向同性弹性体 第五节 弹性常数的测定 各向同性体 应变能密度
调研学习
3
第一节 广义胡克定律
物体中一点的应力状态由6个应力分量所确定， 同一点附近的变形状态由6个应变分量所确定。应力 与形变之间的物理关系可表示为:
第四章 应力和应变的关系
在应力分析中，仅从静力学的观点出发，引入了 9个应力分量 ij ，它们满足三个平衡微分（运动方程） 剪应力互等定理，由此得到应力张量对称的结论， 因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从 物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到 三个位移分量 ui 和6个独立的应变分量 ij 。这样我们 总共引入了十五个变量 ui , ij , ij ，它们满足的方 程只有九个:
• 本节使用热力学的原理推导能量形式的物 理方程（本构关系）。
外力作用——弹性体变形 ——变形过程外力作功 ——弹性体内的能量也
x
vI x
,
y
vI y
,
z
vI z
,
xy
vI xy
,
yz
vI yz
,
xz
vI xz
等温过程：利用热力学第二定律