浙教版-数学-九年级上册-计算旋转扫过的面积

计算旋转扫过的面积

我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题. 例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若

90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 .

解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的, ∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030, ∴∠A AB '=∠C '+∠A '=0001203090=+，∴.3

1636041202ππ=⨯⨯='

A A

B S 扇形

例2 (08甘肃兰州)如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，.将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为 .

解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.

例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O

按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 .

解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB,

图2 A C

B

C '

A ' 图1

'

图3

∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21

∠AOC=030,∴AD=2

121=AO ,根据勾股

定理得,OD=22AD OA -=2

3

,∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030

∴∠B BO '=，090 ∴()

OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=

21360130360

3

9022

ππ阴影

=3121

1243⨯⨯--ππ=23π32

-.

例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，

30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将

ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋

转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A.77

π338

-

B.47π338

+ C.π

D.4

π33

+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB

∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32

111==AC H C , ∴BH=()7322

2211211=+=+=H C BC BH ,

易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即

360

1202BH S π=阴影3601202BO π-=ππ

π=-3437.

图4

A

H B

O

C 1O 1H

1A

1C