直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值(共32张PPT)
1 2 3＝ 2
3
知1－练
(3) 2 sin 45° + sin 60° — 2 cos 45°.
2
2 23
2
解：原式＝
2
× 2 ＋ 2 －2× 2
1 ＝2
＋ 3－ 2
2
＝ 1 3 2 2 . 2
知1－练
知1－练
3 某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°,高为7 m.扶 梯的长度是多少？
解：如图，BC＝7 m，∠BAC＝30°，
及tan α 的值，然后代入计算即可．
知3－讲
解：由sin2α＋cos2α＝1，sin α＞0，得sin α＝ 1－cos2 ,
而cos α＝
1, 3
所以sin α＝
1
1 3
2
22 3
.
因为
sin cos
＝tan α，所以tan α＝
2 212 33
2.
故
tan
cos 1 sin
2
2
1 3
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1709:39:1809:39Sep-2117-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。09:39:1809:39:1809:39Friday, September 17, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.1721.9.1709:39:1809:39:18September 17, 2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月17日星期五上午9时39分18秒09:39:1821.9.17 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午9时39分21.9.1709:39September 17, 2021
直角三角形边角关系1.2§1-2 30度,45度,60度角的三角函数值
解：扶梯的长度为
7 7 =14(m)， sin 30 1 2
所以扶梯的长度为 14 m. Ⅳ.课时小结 本节课总结如下： (1)探索 30°、45°、60°角的三角函数值. sin30°＝
1 2 3 ，sin45°＝ ，sin60°＝ ； 2 2 2
cos30°＝
3 ，cos45°＝ 2 3 ，tan45° 3
2 ， 3 ，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
[师]再来看第二列函数值，有何特点呢? [生]第二列是 30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分 子从大到小分别为 3 ， 2 ， 1 ，余弦值随角度的增大而减小. [师]第三列呢? [生]第三列是 30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三 角形中的一个锐角，所以 tan45°=1 比较特殊. [师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了 .下面同桌之间可互相检查 一下对 30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例 1]计算： (1)sin30°+cos45°； 2 2 (2)sin 60°+cos 60°-tan45°. 分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明， 2 用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin 60 °表示 2 2 (sin60°) ，cos 60°表示 2 (cos60°) . 解：(1)sin30°+cos45°=
1 . 2
60°)=sin30°=
[师生共析]我们一同来 求 45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为 a，则另一条直角 边也为 a，斜边 2 a.由此可求得 sin45°=
30度,45度,60度角的三角函数值精选教学PPT课件
这一握之下，却见那黑气从扩散中 蓦然倒 卷凝聚 ，在这 不断地 凝聚下 ，于王 林的手 心内， 缩成了 一个拳 头失小 的气团 这气团的颜sè，不是黑，而是九sè缭绕， 极为美 丽”一界 本源… …”“王 林看着 手心内 的气团 ，目中 不再平 静，而 是露出 了ji动 ，他深 吸口气 ，左手 虚空一 挥，顿 时一具 棺木出 现在了 他的面 前
c
c
b
a
B
sin B b , cosB a , tan B b , cot B a .
c
c
a
b
sinA和cosB,tanA和cotB有什么关系? A
c
a
┌
b
C
sinA=cosB,tanA=cotB.
想一想 2
本领大不大
悟心来当家
驶向胜利 的彼岸
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
A
┐ BC
驶向胜利 的彼岸
独立 作业
3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为 5m,那么这棵树大约有多高?
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
下课了!
• 在数学领域中,提出问题的艺术比解 答的艺术更为重要.
•
——康托尔
所以，他想要夺舍，他要夺舍王林 在他看来，这仙罡大陆一切众生都 是虚假 的，唯 有王林 是真实 的，有 真实的 身躯， 所以， 他要夺 舍，且 在他分 析一旦 自己夺 舍成功 ，具备 了王林 的肉身 ，他将 会完整 的成为 踏天境 之修到 了那个 时候， 他就可 以真正 的自由
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值
∴EM＝EG＋GM＝12＋ 3.
答：篮板底部点 E 到地面的距离是12＋
3米．
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19．在△ABC 中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以 AC 为一边作等边三角形 ACD， 连接 BD.请画出图形，并直接写出△BCD 的面积．
解： 有两种情况：①如图 1，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E.
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16．如图，永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层 木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在 A 处测得∠CAD＝30°，在 B 处 测得∠CBD＝45°，并测得 AB＝52 米，那么永定塔的高 CD 约是_7_4__米( 2≈1.4， 3 ≈1.7，结果保留整数)．
位：m)的范围是( B )
A．3<h<5
B．5<h<10
C．10<h<15
D．15<h<20
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13．【高频】如图，已知公路 l 上 A、B 两点之间的距离为 50 m，小明要测量点 C 到河对岸公路 l 的距离，测得∠ACB＝∠CAB＝30°，则点 C 到公路 l 的距离为( C )
解：
∵BC＝
7，AC＝
21，∴tan A＝ABCC＝
7＝ 21
33，
tan B＝ABCC＝
21＝ 7
3，∴∠A＝30°，∠B＝60°.
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8．已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足 33－tan A2＋sin B－ 22＝0，∠A、∠B
都是锐角，求∠C 的度数．
解：由题知
tan
A＝
33，sin
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九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系230°,45°,60°角的三角函数值教学课件(新版)北师大版
【解析】如图所示,BC=7m，
B
∠A=30°
BC 7 1， sinA=
AB AB 2
C
A
∴AB=14 m.
即扶梯的长度为14 m.
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. c
求证:sin2A+cos2A=1.
A
b
【证明】在Rt△ABC中，a2 b2 c2，
∵E,F分别是AB,DC的中点，
∴EF= 1 ( AD BC ) 1 (8 16)=12.
2
2
【规律方法】 1.记住30°，45 °，60 °角的三角函数值及推导方 式，可以提高计算速度. 2.会构造直角三角形，充分利用勾股定理的有关知识结 合三角函数灵活运用.
c 直角三角形三边的关系.
A
D
B
C
【解析】（1）∵∠B＝60°，
∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA， ∴∠DCA=∠BCA.
∴∠ACB=30°. cos∠ACB=cos 30°= 3. 2
（2）∵AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BCA
b
直角三角形边与角之间的关系.
特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.
互余两角之间的三角函数关系.
同角之间的三角函数关系
45°
B
a ┌
C
30°
45° ┌ 60° ┌
真理的大海，让未发现的一切事物躺卧在 我的眼前，任我去探寻。
——牛顿
C．1 2
D． 2 2
【解析】选B.
3．（眉山·中考）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，
度北师大版九年级数学下册30°,45°,60°角的三角函数值课件
D.
【解析】由三角函数的定义知cos30°=
课堂小测
B
sin
课堂小测
A
【解析】作AE∥DC，
30° B
ห้องสมุดไป่ตู้
可得∠AEB=30°，∠BAE=90°, EC=AD=4，
D
60° C
利用AB的长和∠B=30°这一条件，再利用勾股定理，即可解题.
课堂小测
4．计算：
cos
sin
【解析】原原式式 2 (2 2 3 ) 2 6 22 4
九年级数学北师版·下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
授课人：X
教学目标
1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理， 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小.
所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
新知探究
【跟踪训练】 1.计算:
(1)sin 60°- cos 45°. (2)cos 60°+ tan 60°.
sin
sin
cos
新知探究
【解析】（1）
，
（2）
，
（3）
，
新知探究
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯的长度是多少?
【解析】如图所示,BC=7m，
∠A=30° sinA= ∴AB=14 m，
B
C
A
即扶梯的长度为14 m.
新知探究
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c. 求证 : sin2A+cos2A=1.
1.2北师大版九年级数学下册课件第一章第二节特殊角30度45度60度角的三角函数值
回顾与思考
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个 角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.
a b a si nA , cos A , tan A , c c b a b b si nB , cos B , tanB , c c a
知识技能
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两 岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹角 ∠BCA=600.求B,C间的距离(结果精确到 1m). A D
B
3.如图,SO等腰△SAB的高，已知∠ASB=120°， AB=54，求SO的长。
┐
C
知识技能
4.如图,身高1.75m的小明用一个两锐角分别是30°和60° 的三 角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离为5m,那么这 棵树大约有多高?（精确0.1m）
1 2 3 3 2 2 3 ( 4) 6
1 3 2 2 ( 5) 2
66 tan2 300
3 sin600 2 cos450.
( 6)
2 7 sin2 300 cos2 600 2 cos2 450. 2
1 2 2 2 26 (7) 8
随堂练习
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的 长度是多少?
∴ AE
中考链接
AB 2 BE 2 3 2 ( 3 ) 2 2 3
BE 3 又 tan EAB ，∴ EAB 30 AB 3
在 Rt△AEF 中，∠AFE=90°,∠EAF=∠EAB+∠BAC=600， ∴ EF AE sin EAF 2 3 sin 60o 2 3 答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度是 3 m ．
1.2 30°,45°,60°角的三角函数值A.ppt
解：∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥CD，∠D=45°， ∴DE=AE=0.8米， ∴CD=1.2+2×0.8=2.8米， 1 ∴梯形ABCD的面积是 2 ×（1.2+2.8）×0.8=1.6平方米， 故1.6×1500=2400（立方米）． 答：该段水渠最多能蓄水2400立方米 。
5、(问题解决T6)某阶梯的形状如图所示，其中线段 AB=BC，AB部分的坡角为45°，BC部分的坡角为 30°，AD=1.5m。如果每个台阶的高不超过20cm， 那么这一阶梯至少有多少个台阶？（最后一个台阶的 高不足20cm时，按一个台阶计算） 解：在Rt△ABD中，∠BAD=45°，∴BD=AD=1.5m
因此，B、C间的距离约为7m
6o° 3.已知tanａ= 3 ,则ａ=_____
点拨（3分钟）
实际问题数学化:构建直角三角形 2.5 利用三角函数解决。
B
O
┌C A
●
D
解:如图,根据题意可知,
1 AOB 60 0 30 0 , OB OA 2.5, 2 OC
cos 30 0
3 OC OB cos30 2.5 2.165(m). 2 ∴AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m).
0
OB
,
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
当堂训练（15分钟）
1.计算; 1 (1)tan450-sin300; 2 (2)cos600+sin450-tan300;
学生自学（3分钟后检测）
自学检测2(6分钟)
1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯 14m 的长度是______.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直 于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
30°、45°、60°角的三角函数值 直角三角形的边角关系PPT精品课件3
两块三角尺中有几个不 同的锐角？分别求出这 几个锐角的正弦值、余 弦值和正切值．
60°
45°
30°
45°
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a 30° 三角函数 sin a cos a tan a 45° 60°
例1: 求下列各式的值： （1）2sin260°+3tan30°+tan45° （2）cos245°+tan60°s30° （3）tan45°.sin45°-4sin30°.cos45°+cos230°
B
A
C
求∠A、∠B的度数．
练习3：如图,在RT△ABC 中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,已知∠B=300, 计算tan∠ACD+sin∠BCD的值.
A
D
B
C
练习4：如图,在RT△ABC中,∠C=900, 若tanA+tanB=4,S△ABC=8.求斜边AB的 长.
A
C
B
练习5：如图,△ABC中,∠C=900,BD平分 ∠ABC,BC=12,BD= ,求∠A的度数及 AD的长.
（ 4）
练习1：求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
（ 3）
例2:如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
，
B
求∠A的度数．
A C
例:如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的 倍，求 a ．
A
O
B
练习2：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
A
D
B
C
课堂小结： 牢记特殊角的三角函数值.
九年级数学上册 第二章 直角三角形的边角关系 2 30° 45° 60°角的三角函数值课件 鲁教版
B
AB 2a 2
cos45 AC a 2 ; AB 2a 2
tan 45 BC a 1. AC a
45°
A
C
⑶ 特殊角的三角函数值表
三角函 数值
三角 函数
sinα
角α
30°
1
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα
3 2
2 2
1 2
tanα
3 3
1
3
例1 计算: (1)sin30°+cos45°;(2) sin260°+cos260°-tan45°.
解: (1)sin30°+cos45°
1 2
2 2
1
2
2.
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1 44
0.
提示:
Sin260°表示(sin60°)2,
cos260°表示(cos60°)2,其 余类推.
例2 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当 秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动 角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置 时的高度之差（结果精确到0.01m）.
36 tan2 30 3 sin 60 2 cos 45.
（1）1 ；（2）3 3 2 - 2 3 ；（3）1- 2 2 .
2
6
2
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°,高为7m,扶梯的长度是多少?
14m.
如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥 两端A,B,夹角∠BCA=60°.求B,C间的距离(结果精确到1m).
《30°、45°、60°角的三角函数值》直角三角形的边角关系PPT课件3
7
求∠A、∠B的度数．
A
C
21
练习3：如图,在RT△ABC 中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,已知∠B=300, 计算tan∠ACD+sin∠BCD的值.
A
D
B
C
练习4：如图,在RT△ABC中,∠C=900,若 tanA+tanB=4,S△ABC=8.求斜边AB的长.
A
C
B
练习5：如图,△ABC中,∠C=900,BD平分
∠ABC,BC=12,BD= 8 3,求∠A的度数及
AD的长.
A
D
B
C
课堂小结： 牢记特殊角的三角函数值.
1、不要做刺猬，能不与人结仇就不与人结仇，谁也不跟谁一辈子，有些事情没必要记在心上。 2、相遇总是猝不及防，而离别多是蓄谋已久，总有一些人会慢慢淡出你的生活，你要学会接受而不是怀念。 3、其实每个人都很清楚自己想要什么，但并不是谁都有勇气表达出来。渐渐才知道，心口如一，是一种何等的强大! 4、有些路看起来很近，可是走下去却很远的，缺少耐心的人永远走不到头。人生，一半是现实，一半是梦想。 5、没什么好抱怨的，今天的每一步，都是在为之前的每一次选择买单。每做一件事，都要想一想，日后打脸的时候疼不疼。 6、过去的事情就让它过去，一定要放下。学会狠心，学会独立，学会微笑，学会丢弃不值得的感情。 7、成功不是让周围的人都羡慕你，称赞你，而是让周围的人都需要你，离不开你。 8、生活本来很不易，不必事事渴求别人的理解和认同，静静的过自己的生活。心若不动，风又奈何。你若不伤，岁月无恙。 9、与其等着别人来爱你，不如自己努力爱自己，对自己好点，因为一辈子不长，对身边的人好点，因为下辈子不一定能够遇见。 10、你迷茫的原因往往只有一个，那就是在本该拼命去努力的年纪，想得太多，做得太少。 11、有一些人的出现，就是来给我们开眼的。所以，你一定要禁得起假话，受得住敷衍，忍得住欺骗，忘得了承诺，放得下一切。 12、不要像个落难者，告诉别人你的不幸。逢人只说三分话，不可全抛一片心。 13、人生的路，靠的是自己一步步去走，真正能保护你的，是你自己的选择。而真正能伤害你的，也是一样，自己的选择。 14、不要那么敏感，也不要那么心软，太敏感和太心软的人，肯定过得不快乐，别人随便的一句话，你都要胡思乱想一整天。 15、不要轻易去依赖一个人，它会成为你的习惯，当分别来临，你失去的不是某个人，而是你精神的支柱;无论何时何地，都要学会独立行走 ，它会让你走得更坦然些。
1.2 30°,45°,60°角的三角函数
锐角三角函数的定义：
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°
a sin A c
b cos A c a tan A
b
sin B
b c a cos B c tan B b
B
c a A b ┌ C
a
思考：sinA和cosB,有什么关系? sinA=cosB sinB和cosA,有什么关系? sinB=cosA 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的余弦。 tanA和tanB，有什么关系？
求∠A、∠B的度数．
7 , AC 21
B
7
解： 由勾股定理 A C
AB AC BC
2 2
21 7
2
21
2
28 2 7
sin A
BC 7 1 AB 2 7 2
∴ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60°
注意事项
若没有特别说明，用特殊角的三角函数值 进行计算时，一般不取近似值。
33 2 2 3 6
随
练一练
计算 : (1) sin 45 cos60 tan60 (2) sin 30 2 sin 60 tan45 tan60 cos 30
2 2
知识运用 知识运用
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度 为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600, 且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时 与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到 0.01m).
a 1 sin 30 2a 2
3a 3 cos 30 2a 2
3a 3 sin 60 2a 2
数学下册第一章直角三角形的边角关系1.230°45°60°角的三角函数值作业课件(新版)北师大版
15．(12分)(陕西中考)一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如 图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°， 由于B，D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B， C之间的距离约为16 m．已知B，C，D三点共线，AD⊥BD，求钢索AB的长度．
C．4 3 m
D．8 m
8．(3分)如图，为测量学校A与河对岸的工厂B之间的距离，小明在学校附近选 一点C，并测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km，则可求得学校A与工厂B之间的 距离为__4__ km.
9．(8分)如图所示的是一直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到 如下数据：AM＝4 m，AB＝8 m，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则该警示牌的 高CD为多少米？
2 β＝__1_0__5_°__．
知识点三 特殊角的三角函数值的实际应用
7．(3 分)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯的示意图，其中 AB，CD 分
别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长是 8 m，则乘电梯从点 B
到点 C 上升的高度 h 是( B )
A．833 m
B．4 m
解：(1)过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，则 BH2＋AH2＝AB2，sin A＝BH ，cos A＝ AB
AH AB
，∴sin 2A ＋cos2A ＝BAHB 22
＋AAHB 22
＝BH 2＋AH 2 AB2
＝A A
B B
2 2
＝1
(2)∵cos2A＝1－sin2A＝1－(3 )2＝16 ，∴cosA＝4
三、解答题(共 36 分)
14．(10 分)已知∠α是锐角，且 sin (α＋15°)＝ 3 ，求 8 －4cos α－(π－3.14)0 2
1.2：30°、45°、60°角的三角函数值
tanA·tan（90°-A)= 1 1>cosA>0
4.坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高 度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于 坡角的正切.
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新知探究
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度? 2 300
2 450 1
450
1
3
600 ┌ 1
┌
(2) sin2600+cos2600-tan450
2 3 1 1 2 2 2
老师提示: Sin2600表示(sin600)2, cos2600表示(cos600)2, 其余类推.
3 1 1 4 4
0.
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例题欣赏
例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两 边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高 位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
0
B
C A
D
∴AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m). ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
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随堂练习
(1)sin600-cos450; (2)cos600+tan600; (3)tan450-sin300; (4)cos600+sin450-tan300;
1.计算:
3 2 2
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新知探究 三角函数 锐角α 300 450 600
特殊角的三角函数值表
正弦 sinα 余弦 cosα 正切 tanα
根据上面的计算结果，把 答案填在课本11页上面的 表格中！
300
0 2 45 1
北师大版九年级数学下册第一章 《30度,45度,60度角的三角函数值 》优课件
450 ┌
300
600 ┌
w请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
知识在于积累
w(5)sin450,sin600等于多少? w(6)cos450,cos600等于多少?
学.科.网
w(7)tan450,tan600等于多少?
驶向胜利 的彼岸
300 450
450 ┌ 600 ┌
做一做P11 4
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
zxxkw
第二节 30°45°60°角的三角函数
学.科.网
回顾与思考1
锐角三角函数定义
驶向胜利 的彼岸
w直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
w在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
w例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度
为2.5m,当秋zxxkw千向两边摆动时,摆角恰好为600,
且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与
其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到
0.01m). w解:如图,根据题意可知,
∠AOD 1600 300, OD=2.5m,
O
2
cos300
OC,
O C OcO D o D 30 s0 2.532.16 (m )5.
c
c
B
sin B b , cosB a ,
c
c
c a
┌
sinA和cosB,有什么关系?
A
b
C
sinA=cosB,
想一想P10 2
本领大不大
悟心来当家
驶向胜利 的彼岸
30°,45°,60°角的三角函数值
解:如图,根据题意可知, ∠AOD 1 600 300,
2
OD=2.5m,
cos 300 OC , OD
OC OD cos 300 2.5 3 2.165(m). 2
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
O B CD
A
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
例4 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，
DE
FC
45°
A
B
DE
FC
45°
A
B
解: 如图,由题意可知,BF⊥CD,AE⊥CD.
∴ BF=AE=0.8m.
由AB∥CD可知∠C=45°,则FC=FB=0.8m.
∴ CD=DE+EF+FC=0.8×2+1.2=2.8m. ∴ S梯形ABCD=(2.8+1.2)×0.8÷2=1.6m2.
∴ V=1.6×1500=2400m3.
﹤
1 2
，锐角α取值范围（
A
）
A 60°﹤α ﹤ 90 ° B 0°﹤α ﹤ 60 °
C 30°﹤α﹤ 90 ° D 0°﹤α﹤ 30 °
4.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60°
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数学电子备课工作安排 课题30°、45°、60°角的三角函数值课型新授课课标与教材本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.教学重点：能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小教学难点：三角函数值的应用学情三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.教学目标知识与能力：1．历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义。
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算3．能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小过程与方法：经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。
情感态度价值观：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力教学方法与媒体自主探索法多媒体教具准备一副三角尺多媒体演示师生活动过程复备修改及设计意图复习回顾：直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数的定义.Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt△CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2.CD ＝a.33 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=，则CD=atan30°，岂不简单.aCDAD CD = 你能求出30°角的三个三角函数值吗?Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.[生]sin30°＝. 21sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝.212=a a [师]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝.2323=a atan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=,2323=a a cos60°=,212=a a tan60°＝.33=aa[生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=cos60°=sin(90°-2360°)=sin30°=.21[师生共析]我们一同来求45°角的三角函数值.含45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边 a.由此可求得2 sin45°=,22212==a a cos45°＝,22212==a a tan45°=1=a a[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sinαcoαtanα30°21233345°2222160°23213这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小. 为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为，1，，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.23 [师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为，，，余弦值随角度的增大而减小.321 [师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=,2212221+=+ (2)sin 260°+cos 260°-tan45°=()2+()2-12321 =+ -14341 ＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意(如图)可知，∠BOD=60°，OB=OA ＝OD=2.5 m ，∠AOD＝×60°＝30°，21∴OC=OD·cos30°=2.5×≈2.165(m).23∴AC＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；(3)sin45°+sin60°-2cos45°.22解：(1)原式＝-1=；23223- (2)原式=+=2123213+=(3)原式=×+×；22222322=22231-+ 2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为=14(m)，21730sin 7=︒ 所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；212223 cos30°＝，cos45°＝ ，cos60°＝；232221tan30°=，tan45°33＝1，tan60°=.3 (2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题拓展提升：计算：板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形.2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：三角函数角角αsinαcoαtanα30°21233345°2222160°23213二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.三、实际应用()21sin 30tan 45cos30tan 30︒︒︒-︒++-教后随笔。