完整版2019年全国中考数学真题180套分类汇编解直角三角形含解析
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. （2019•广东省广州市•3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，∴tan∠BAC＝，解得，AC＝75，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•广西北部湾经济区•3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】C【解析】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，∵tan65°=，∴OF=xtan65°，∴BD=3+x，∵tan35°=，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选：C．过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF=x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．二.填空题1. （2019•江苏宿迁•3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是＜BC ＜．【分析】当点C在射线AN上运动，△ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的BC的值．【解答】解：如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2在Rt△ABC1中，AB＝2，∠A＝60°∴∠ABC1＝30°∴AC1＝AB＝1，由勾股定理得：BC1＝，在Rt△ABC2中，AB＝2，∠A＝60°∴∠AC2B＝30°∴AC2＝4，由勾股定理得：BC2＝2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时＜BC＜2．故答案为：＜BC＜2．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考察直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．2. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在△ABC 中，BC ＝26+，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为________.【答案】2【解析】过A 作AD ⊥BC 于D 点，设AC =x 2，则AB =x 2，因为∠C =45°，所以AD =AC =x ，则由勾股定理得BD =x AD AB 322=-，因为AB =26+，所以AB =263+=+x x ,则x =2.则AC =2.3. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y .4. （2019•浙江湖州•4分）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6．）【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可．【解答】解：过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ，∴∠BOE ＝∠BOD ＝×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．三.解答题1. （2019•江苏宿迁•10分）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【分析】（1）作EM⊥CD于点M，由EM＝ECsin∠BCM＝75sin46°可得答案；（2）作E′H⊥CD于点H，先根据E′C＝求得E′C的长度，再根据EE′＝CE﹣CE′可得答案【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝ECsin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C＝＝≈71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．2. （2019•江西•8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B-A-O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO=6.8cm，CD=8cm，AB=30cm，BC=35cm.（结果精确到0.1）（1）如图2，∠ABC=70°，BC∥OE。
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解直角三角形一、选择题1. （2018•湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（ ） A．26米B．28米C．30米D．46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．2. （2018•丽水，第5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ） A．9m B．6m C．m D．m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：解：在Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018•四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P 的距离为（ ） A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，故CP=AP=40（海里），则PB==40（海里）．故选：A．点评：此题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关键． 4．二、填空题1. （2018•黑龙江龙东,第8题3分）△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC的面积为 2+或2﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分） ．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S△ABC=AC•BD=×（2+）×2=2+；当∠C为钝角时，如图2，过点B 作BD⊥AC，交AC 延长线于点D ，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S △ABC =AC•BD=×（2﹣）×2=2﹣．点评：本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．2. （2018•浙江绍兴,第14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a ，AC=b ，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是 sin35°=或b≥a ．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形分析：首先画BC=a ，再以B 为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C 为圆心b 为半径交AB 于点A ，然后连接AC 即可，①当AC⊥BC 时，②当b≥a 时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC⊥BC 时，即sin35°=②当b≥a 时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．3．（2018•江西，第13题3分）如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形。
2019年全国各地中考数学分类汇编：解直角三角形(含解析)
数学精品复习资料解直角三角形一.选择题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．2. （2016·重庆市A卷·4分）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF 中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE 中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AEtan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．3. （2016·浙江省绍兴市·4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．4. （2016·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．二.填空题1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在正方形ABC D外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CD=CE= a，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD=a，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EF=CE=a，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD=CE=a，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD=a，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BEF中，tan∠EBF===，即∠EBC=．故答案为．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．2. （2016·湖北荆州·3分）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为58米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′===4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）．故答案为：58．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．三.解答题1. （2016·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．2. （2016·吉林·7分）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=43°，求飞机A与指挥台B的距离（结果取整数）（参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】先利用平行线的性质得到∠B=α=43°，然后利用∠B的正弦计算AB的长．【解答】解：如图，∠B=α=43°，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AB=≈1765（m）．答：飞机A与指挥台B的距离为1765m．3. （2016·江西·8分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据题意作辅助线OC⊥AB于点C，根据OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，可以求得∠BOC的度数，从而可以求得AB的长；（2）由题意可知，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，则AE=AB，然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以求得BE的长，本题得以解决．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图2所示，由题意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=18°，∴∠BOC=9°∴AB=2BC=2OB•sin9°≈2×10×0.1564≈3.13cm，即所作圆的半径约为3.13cm；（2）作AD⊥OB于点D，作AE=AB，如下图3所示，∵保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE，∵∠AOB=18°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=81°，∠OAD=72°，∴∠BAD=9°，∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．4. （2016·辽宁丹东·10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，求建筑物的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC﹣BD 可得关于AB 的方程，解方程可得．【解答】解：根据题意，得∠ADB=64°，∠ACB=48°在Rt△ADB中，tan64°=，则BD=≈AB，在Rt△ACB中，tan48°=，则CB=≈AB，∴CD=BC﹣BD即6=AB﹣AB解得：AB=≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米．5.（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB （结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x 表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．6.（2016·湖北黄石·8分）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（ 1.414，CF结果精确到米）【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF的长；（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABF中，∵sin∠BAH=，∴BH=800•sin30°=400，∴EF=BH=400m；（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=，∴CE=200•sin45°=100≈141.4，∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度与坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i═tanα．7．（2016·湖北荆门·6分）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，∵∠A=45°，CD⊥AB，∴AD=CD=x米，∴AC=x．在Rt△BCD中，∵∠B=30°，∴BC===2x，∵小军的行走速度为米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，∴=，解得a=1米/秒．答：小明的行走速度是1米/秒．8.（2016·四川内江）(9分)如图8，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．[考点]三角函数、解决实际问题。
2019年各地中考解析版数学试卷汇编：直角三角形与勾股定理 (Word版 含解析)
直角三角形与勾股定理一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．22．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．23．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣86．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC 的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．210．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0 11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．512．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°二．填空题（共12小题）13．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm．16．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．17．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．18．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为m．19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是．21．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝．22．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有cm．23．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．三．解答题（共9小题）25．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．26．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．27．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．28．某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB ＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）31．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B （8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．33．已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，分别交AM、BN于D、C两点．（1）如图1，求证：AB2＝4AD•BC；（2）如图2，连接OE并延长交AM于点F，连接CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．2．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2【分析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解答】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选：C．3．如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．4．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．5．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．6．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE ＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．7．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC 的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S 关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C ＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10 B．8 C．4D．2【分析】设CD＝5x，BD＝7x，则BC＝2x，由AC＝12即可求x，进而求出BC；【解答】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC＝，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．10．满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．AB：BC：AC＝3：4：5C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、∵，∴△ABC是直角三角形，错误；B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，∴△ABC不是直角三角形，正确；D、∵|cos A﹣|+（tan B﹣）2＝0，∴，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；故选：C．11．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．5【分析】先根据正方形的性质得出∠B＝90°，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理得出BC2，即可得出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．12．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°【分析】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF＝AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B＝50°，∴∠BCD+∠BDC＝130°，∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，∴∠DCE+∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°，∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，故选：C．二．填空题（共12小题）13．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为60°或10 度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60°或10；14．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是 4 ．【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4故答案是：415．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（10﹣2）cm．【分析】过点A作AG⊥DE于点G，由旋转的性质推出∠AED＝∠ADG＝45°，∠AFD＝60°，利用锐角三角函数分别求出AG，GF，AF的长，即可求出CF＝AC﹣AF＝10﹣2．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°，∴∠AED＝∠ADG＝45°，在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°，在Rt△ADG中，AG＝DG＝＝3，在Rt△AFG中，GF＝＝，AF＝2FG＝2，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣2，故答案为：10﹣2．16．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，推出四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．17．把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝﹣．【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．18．如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4 m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．19．如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为21°．【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF ＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD ﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．20．问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF （SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO 值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠PAE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴PA+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，21．如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝24+16．【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′＝BP＝8＝PP'，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，∴△BPP′为等边三角形，∴BP′＝BP＝8＝PP'；由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'B+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16故答案为：24+1622．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm．【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．故答案为：5．23．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC 的中点，若EF＝1，则AB＝ 4 ．【分析】根据三角形中位线定理求出CM，根据直角三角形的性质求出AB．【解答】解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，故答案为：4．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【分析】在Rt△ABC中，求出AB＝2a，AC＝a，在Rt△FEC中用a表示出FE长，并证明∠FEC＝30°，从而EM转化到MA上，根据△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB可求周长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC＝a．∵DE是中位线，∴CE＝a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案为．三．解答题（共9小题）25．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；②利用等面积法证得勾股定理．【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．26．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，得出AE＝DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠EBA＝∠FAD，得出∠GAE+∠AEG＝90°，因此∠AGE＝90°，由勾股定理得出BE＝＝5，在Rt△ABE中，由三角形面积即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝．27．在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝，BD＝AC＝BD''＝，AD'＝BC＝AD''＝；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．28．某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果．【解答】解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，∵AB⊥AM，DE⊥AM，∴AB∥CG∥DE，∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°，∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°；（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，在Rt△CPD中，DP＝CD×cos70°≈0.51（米），在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，在Rt△CKD中，DK＝CD×sin50°≈1.16（米），所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），所以，DH﹣DE＝0.8（米），所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．29．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．（1）求△ABC三边的长；（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．【分析】（1）根据勾股定理即可求得；（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴＝S△ABC ﹣S扇形AEF即可求得．【解答】解：（1）AB＝＝2，AC＝＝2，BC＝＝4；（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，连接AD，AD＝＝2，∴S阴＝S△ABC﹣S扇形AEF＝AB•AC﹣π•AD2＝20﹣5π．30．已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB ＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出PA+PF ＝PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴PA+PF的最小值为．31．如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．【分析】（1）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝α，即可求解；（2）由旋转的性质可得AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°，可证△CDE是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝EF＝，即可求解；（3）分点G在AB的上方和AB的下方两种情况讨论，利用勾股定理可求解．【解答】解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α∴CD＝CE∴∠CDE＝故答案为：（2）AE＝BE+CF理由如下：如图，∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE∴△ACD≌△BCE∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE∴DF＝EF＝∵AE＝AD+DF+EF∴AE＝BE+CF（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10∵∠ACB＝90°＝∠AGB∴点C，点G，点B，点A四点共圆∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG∴∠AGC＝∠ECG＝45°∴CE＝GE∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°∴AG＝＝8∵AC2＝AE2+CE2，∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，同理可得：CF＝7∴点C到AG的距离为1或7．32．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B （8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A 运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）；（2）当PQ＝3时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．【分析】（1）过点P作PE⊥BC于点E，由点P，Q的出发点、速度及方向可找出当运动时间为t秒时点P，Q的坐标，进而可得出PE，EQ的长，再利用勾股定理即可求出y关于t 的函数解析式（由时间＝路程÷速度可得出t的取值范围）；（2）将PQ＝3代入（1）的结论中可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；（3）连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，利用勾股定理可求出OB的长，由BQ∥OP可得出△BDQ∽△ODP，利用相似三角形的性质结合OB＝10可求出OD＝6，由CB ∥OA可得出∠DOF＝∠OBC，在Rt△OBC中可求出sin∠OBC及cos∠OBC的值，由OF＝OD •cos∠OBC，DF＝OD•sin∠OBC可求出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解．【解答】解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．。
2019年各地中考解析版数学试卷汇编：直角三角形与勾股定理(Word版含解析)
17直角三角形与勾股定理•选择题（共12小题） 1 •如图，四边形 ABCD 内接于O O, AEL CB 交CB 的延长线于点 E,若BA 平分/ DBE AD= 5,CE =&J”一了，则 AE=（ ）B. 3 二2.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽如图1,长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后， 水面恰好触到容器口边缘， 图2是此时的示意图， 则式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（D. 23.4. B-C T.■-D勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图 1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图 2的方A. 3A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和 5.如图，平面直角坐标系中，A (- 8, 0) ,B (- 8, 4) ,C (0, 4),反比例函数 y =上的图象分别与线段 AB BC 交于点D, E ,连接DE 若点B 关于DE 的对称点恰好在 OA 上, 则 k =()6.如图，正方形 ABCC 中，点E F 分别在边 CD AD 上, BE 与CF 交于点G 若BC= 4, DE=AF = 1，贝U GF 的长为(停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF ^A ABC 的重叠部分面积为 S.则SA.- 20B.- 16C.- 12D.- 8A.-B •一5 519 T7.如图，在直角三角形 ABC 中，/ C = 90°, AC= BC E 是 AB 的中点，过点 E 作 AC 和 BC的垂线，垂足分别为点 D 和点F ,四边形CDEF 沿着 CA 方向匀速运动, 点C 与点A 重合时A F D&如图，在 Rt △ ABC 中，/ BAC= 90°,/ B = 36°, AD 是斜边 BC 上的中线，将△ ACD 沿AD 对折，使点C 落在点F 处，线段DF 与AB 相交于点E,则/ BED 等于（ ）cos / BD = ，贝y BC 的长是（ ）710.满足下列条件时，△ ABC 不是直角三角形的为（11.如图，点E 在正方形 ABC 啲边AB 上,若EB= 1, EC = 2,那么正方形 ABCD 勺面积为（B. 8C.A. AB= ■：： , BC= 4,AC= 5 B. C./ A / B ：/ C = 3: 4: 5D. AB BC AC=3 : 4: 5 |cos A —十|+ (tan B — —)2 3B.C.B. 108°C. 72°D. 36°9.如图，在△ ABC 中,/ C = 90°, AC= 12 , AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D, 连接BD 若A. 120°）A _、 B. 3 C. ：D. 512•如图，在△ ABC中，/ B= 50°, CDLAB于点D, / BCD和/ BDC勺角平分线相交于点E,F 为边AC的中点，CD= CF 则/ ACD/ CED=( )A.125°B. 145°C. 175 °D. 190 °二.填空题（共12小题）13.在△ ABC中，/ A= 50°,/ B= 30°，点D在AB边上，连接CD若厶ACD为直角三角形，则/ BCD的度数为_______ 度.14•公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”•如图，设勾a= 6，弦c= 10,则小正方形ABCD勺面积是 __________ .15•如图，在△ ABC中,/ BAC= 90°, AB= AC= 10cm 点。
完整word版2019年全国中考数学真题180套分类汇编正多边形与圆含解析
正多边形与圆一、选择题，则的正六边形内有两个三角形（数据如图）3分）如图，边长为a1. （2018?河北，第15=（）题6． D C． 5 A． 3B． 4正多边形和圆考点：先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可．分析：解：如图，解答：，∵三角形的斜边长为a，，a∴两条直角边长为aSa==aa?空白∵AB=a，2，∴，∴OC=a×∴Sa，正六边形2a?a==6222，﹣∴S=SSa ﹣a=a=空白阴影正六边形，∴==5 ．故选C本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算．点评：o900 】题3分）若一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为【 （2、2018衡阳，第48576C ．．A ． B ． D.【考点】多边形内角和定理【解析】利用公式（n － 2）×180°(n 大于等于3)，求出n 【答案】C【点评】本题是多边形内角和定理的应用，是基础题，可以直接应用，直接带入求值，是本题的方法.3．（2018?莱芜，第10题3分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若S ：S=1：△CDE △BDE4，则S ：S ） （=△ACD △BDE ．24 ： 1：20 D ． 118 A ． 1：16 B ． 1：C ．.相似三角形的判定与性质．考点：分析：，设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出然后表示根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC然后求出△DBE和△ABC相似，的面积，出△ACD的面积，再求出比值即可．解：∵S：S=1：4，解答：△CDE△BDE的面积为a，则△CDE的面积为4a，∴设△BDE 和△CDE的点D到BC的距离相等，∵△BDE=∴，∴=，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，，=1：25∴S：S△ABC△DBE﹣4a=20a，a∴S=25a﹣△ACD：20．∴S：S=a：20a=1△ACD△BDE C．故选本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的点评：的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．比等于相似比的平方用△BDE二、填空题，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5分）如图，（1. 2018?海南,第17题4AD是△ABC的高，5，则⊙O的直径．AE= AD=4. 相似三角形的判定与性质；圆周角定理．考点：计算即AE的比例式，分析：首先根据两个对应角相等可以证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得出关于可．解：由圆周角定理可知，∠E=∠C，解答：∵∠ABE=∠ADC=90°，∠B=∠C，∴△ABE∽△ACD．，∴AB：AD=AE：ACAC=5，AD=4，∵AB=4，：5，∴4：4=AE∴AE=5，5．故答案为：本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ADC∽△ABE．点评：中每一个点都是等可能的，用3分）一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D题?湖北黄石2．（2018,第15．如图，现在等边△ABCA中”这个事件，那么事件发生的概率P=M表示“实验结果落在AD中的某个小区域A．π内切圆中的概率是内射入一个点，则该点落在△ABC．第1题图考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率．分析：利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，DC的长，进而得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公式求出即可．解答：解：连接CO，DO，由题意可得：OD⊥BC，∠OCD=30°，设BC=2x，，故=tan30°，CD=x 则，∴DO=DCtan30°=2=π（）=∴S，O圆的高为：2x?sin60°= △ABCx，×2x×，∴S=x=△ABC2 x=．∴则该点落在△ABC 内切圆中的概率是：故答案为：π．点评：此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．3．三、解答题1. (2019年广西南宁，第25题10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上，∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．（1）试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；（2）求证：∠ACF=90°；，∠CEF=15°，求的长．，若EC=4 三点作圆，如图、）连接3AF，过AE、F2（.圆的综合题．考点：，BE=FH求证ABE≌△EHF）利用1（分析：（2）由BE=FH，AB=EH，推出CH=FH，得到∠HCF=45°，由四边形ABCD是正方形，所以∠ACB=45°，得出∠ACF=90°，，利用公式求出的长．EF CP⊥EF于P，利用相似三角形△CPE∽△FHE，求出（3）作．（1）BE=FH 解答：解：证明：∵∠AEF=90°，∠ABC=90°，∴∠HEF+∠AEB=90°，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE，中，在△ABE和△EHF，）∴△ABE≌△EHF（AAS ∴BE=FH．，AB=EH，2（）由（1）得BE=FH ∵BC=AB，∴BE=CH，∴CH=FH，∴∠HCF=45°， ABCD是正方形，∵四边形∴∠ACB=45°，∴∠ACF=180°﹣∠HCF﹣∠ACB=90°．．）由（2FH）知∠HCF=45°，∴CF=（3 ∠CFE=∠HCF﹣∠CEF=45°﹣15°=30°．CF=FH作CP⊥EF于P，则．CP=C如图2，过点∵∠CEP=∠FEH，∠CPE=∠FHE=90°，∴△CPE∽△FHE．，即，∴∴EF=4．∵△AEF为等腰直角三角形，∴AF=8．取AF中点O，连接OE，则OE=OA=4，∠AOE=90°，的弧长为：=2π．∴点评：本题主要考查圆的综合题，解题的关键是直角三角形中三角函数的灵活运用．。
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________【答案】843【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x1,DM＝MB1,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5， 过点B 作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC , ∴222AB BC AC =+， ∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论:①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝134,④231DH HC.则其中正确的结论有( )A.①②③B.①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝13412,③正确;④tan ∠HBC ＝2－,∴HC ＝2－,DH ＝1－HC ＝－1,∴3+1DH HC,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.6.（2019·重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 与点E ，AE =1.连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF ，连接DF .过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( ) B. C. D.【答案】D【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD.∵BE ⊥AC ，AD ⊥BD ， ∴∠DAC =∠DBH ，4212题图F∴△D BH ≌△DAC （ASA ）. ∵DG ⊥DE ， ∴∠BDG =∠ADE ，∴△DBG ≌△DAE （ASA ）， ∴BG=AE ，DG=DE ，∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC =45°.在Rt △ABE 中，BE ， ∴GE =，∴DE =.∵D ，F 关于AE 对称， ∴∠FEC =∠DEC =45°，∴EF=DE=DG =，DF=GE =，∴四边形DFEG 的周长为2（+2-）=.故选D ． 二、填空题221221222221127．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图①）（图②）（第15题）【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰×10=5cm，设正方形阴影部分三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12x=sin45°，解得x.的边长为x cm，则5第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD ＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，cm，则图中阴影部分的面积三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为为 cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：，所以△ABC与△DEF 有公共内心O ，连接AD 、BE 、FC 并延长相交于点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，交DE 于H .则GH =，S △ABC =12OG ×（AB +AC +BC ）=12AB ×AC ，∴OG =8AB AC AB AC BC ⨯==-+-OH =8-∵DE ∥AB ，∴△ODE ∽△OAB ，∴OH DEOGAB=8DE=，解得DE =6-S阴影= S △ABC -S △DEF =(2211861022⨯--=+10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为 .【答案】（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）【解析】设点P 的坐标为（x ，0），（1）当点D 在线段AB 上时，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224-，22）. ∴222)224()]224(4[-+--=CD 22)22(2416)22(+-+=2417-=， 222)22()]224([+--=x PD 222)22()224()224(2+-+--=x x 2417)28(2-+--=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2-+--x x 3282+-+x x 2417-=， 即032)216(22=+--x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯---=2322-＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点P 不存在. （2）当点D 在线段BA 的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224+，22-）. ∴222)]22(4[)]224(4[--++-=CD 22)224()22(++-=2417+=， 222)22()]224([-++-=x PD 222)22()224()224(2++++-=x x 2417)28(2+++-=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+， ∴2417)28(2+++-x x 3282+-+x x 2417+=， 即032)216(22=++-x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯-+-=2322+＞0， ∴222322216⨯+±+=x 42322216+±+=， ∴点P 的坐标为（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝MC＝112. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'因为PP'＝8,P'C＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△＝S△BPP'+S△PP'C＝ABP+S△BPC.三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.。
全国各地2019年中考数学真题分类解析汇编 23直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2018•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）4 ．（第2题图）PA=3. （2018•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）、底边上的高是，可知是顶角若MN=2，则OM=（）（第4题图）60°==MD=ND=分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第5题图）B﹣2，∠BC=BC=2CM==2﹣）﹣EC=2=ME==中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A．B．C． 4 D． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．7. （ 2018•广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．8.（2018•滨州，第7题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（），9．（2019年山东泰安，第8题3分）如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4．然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8．解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=AB=3．又CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFD的中位线，∴BF=2ED=8．故选：C．点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线．根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点．10．（2019年山东泰安，第12题3分）如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C 落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为（）A．cm B．2cm C．2cm D．3cm分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=30°，∠ADE=∠A′DE，然后求出∠BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可．解：∵△ABC是直角三角形，∠A=30°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∵沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C′处，∴∠BDC=∠BDC′，∠CBD=∠ABD=∠ABC=30°，∵沿DE折叠点A落在DC′的延长线上的点A′处，∴∠ADE=∠A′DE，∴∠BDE=∠ABD+∠A′DE=×180°=90°，在Rt△BCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在Rt△ADE中，DE=BD•tan30°=×=cm．故选A．点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键．二.填空题1. （ 2018•福建泉州，第14题4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD 的长为 5 cm．CD=CD=×10=52. （ 2018•广东，第14题4分）如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为3 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：作OC⊥AB于C，连结OA，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，然后在Rt△AOC中利用勾股定理计算OC即可．解答：解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt△AOC中，OA=5，∴OC===3，即圆心O到AB的距离为3．故答案为：3．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．3．（2018•新疆，第14题5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB=3，BC=4，则AD的长为．AC==5OA=，∠=，即=，解得．故答案为：．4.（2018•邵阳，第17题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ．∠A=30°，AB=8，则DE 的长度是 2 ．AD=25.（2018·云南昆明，第10题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD= cm.第10题图DCBA三.解答题1. （2018•湘潭，第19题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（≈1.414，精确到1米）≈566（米）2. （2018•益阳，第20题，10分）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．（第2题图），解得，AN=，即正方形的边长为．3. （2018•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第3题图）≠且≠，得出△，再分两种情况讨论：①当MN=（x x x+（x+）x）x=2AD=CE=2，在DPA==，≠且≠，此时△•（•BH=BN=（xxMGN=xx x+，（x+）﹣）也成立，+x x x++x=取得最小值为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．5. （2018•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．，，在CAE==；，BC===，CE=EF==；6. （2018•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第6题图）AB=．AC=AB=，××的面积为==PD=PM=DM=AM==．AM=BM=．AC=CM==的长度为（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．（第7题图）DG=×6=3，BH=DH=BE=，DE=BE=2DG=68.（2018•泰州，第25题，12分）如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（第8题图）（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．﹣xb b（（﹣（﹣（FM=b b b﹣有两个交点xx+5（）9. （2018•扬州，第28题，12分）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．（第9题图）（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．DC=AB====．DP=DP== PE=EQ=．QF=EF=EQ+QF=PQ+QB=PB==4EF=．．10．（ 2018•安徽省,第19题10分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：由OE⊥AB得到∠OEF=90°，再根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，则可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，然后利用相似比可计算出⊙O的半径OC=9；接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可计算出C=3，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以CD=2CF=6．解答：解：∵OE⊥AB，∴∠OEF=90°，∵OC为小圆的直径，∴∠OFC=90°，而∠EOF=∠FOC，∴Rt△OEF∽Rt△OFC，∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：OC，∴⊙O的半径OC=9；在Rt△OCF中，OF=6，OC=9，∴CF==3，∵OF⊥CD，∴CF=DF，∴CD=2CF=6．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．11. （ 2018•珠海，第18题7分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，线段AB为半圆O的直径，将Rt△ABC沿射线AB方向平移，使斜边与半圆O相切于点G，得△DEF，DF与BC交于点H．（1）求BE的长；（2）求Rt△ABC与△DEF重叠（阴影）部分的面积．，所以；BC==，即=，﹣；﹣．，即BD××2=，12．（2018•温州，第22题8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣A．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+aB．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．ab+abab++ab+b ab=ab+a。
2019-2020年中考数学试卷分类汇编 解直角三角形
2019-2020年中考数学试卷分类汇编解直角三角形一．选择题ABBC：，的坡比为堤高1＝6米，迎水坡1．（2013·聊城，9，3分）河堤横断面如图所示，AB）的长为（则6米． 5米．12B． D4米 C．A考点：解直角三角形的应用－坡度坡角问题．ACAB的长度，然后根据1，即可求得：分析：根据迎水坡，可得的坡比为1＝：AB勾股定理求得的长度．BCABCRt1米，解答：解：△：中，，＝6＝ABACBC＝＝6，∴12．∴则＝＝＝×点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．2（2013山西，10，2分）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平面上），为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为（）1003332m ． B． A．100m 50m C50m D．3A【答案】．100AC3 100＝，BC，选A100【解析】依题得：AC＝，∠ABC＝30°，tan30°＝。
BC33轴正半轴与x）是第一象限内的点，其坐标是（3，m，且OP3.如图，在直角坐标系中，P4??，则】的值是【的夹角的正切值是sin35534． C． DB． A．3554A点经过旗分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从4.（2013四川绵阳，9，3DCA o，点的俯角βα为60o，又从为点测得杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角30点，且俯角CDGBC A 为的中点，则矮建筑物的高）为（若旗杆底点 D．米米．A．20米 B 米． C65153103o∠ACB=30×cot60AB=2GE=30，BC=2GC，GE=15米，米，AF=BC=AB?cot解析［］GE//AB//CD3 =10米，×tan30DF=AF?o =103 3 =10米，3米。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18mC【分析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE V 中，tan30AE DE =o18m AE ∴== 18 1.519.5m AB ∴=+=故选CC A2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（ ） A ．2 B ． C． D ．DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。
2019年全国各地中考数学真题汇编：三角形(四川专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学真题汇编（四川专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ACD中，CD＝CA•cos C＝1，∴AD＝＝；在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2，∴sin B＝＝．故选：D．2．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB ＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选：C．3．（2019•遂宁）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（）A．28B．24C．21D．14解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形的周长为28，∴AB+AD＝14∵OE⊥BD，∴OE是线段BD的中垂线，∴BE＝ED，∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，故选：D．4．（2019•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC∴＝＝＝解得x＝∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝故选：A．5．（2019•巴中）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC 于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．6．（2019•宜宾）如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC 的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是（）A．B．C．D．解：连接OB、OC，过点O作ON⊥BC，垂足为N，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O为△ABC的内心∴∠OBC＝∠OBA＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．∴∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝30°．∴OB＝OC．∠BOC＝120°，∵ON⊥BC，BC＝2，∴BN＝NC＝1，∴ON＝tan∠OBC•BN＝×1＝，∴S△OBC＝BC•ON＝．∵∠EOF＝∠AOB＝120°，∴∠EOF﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB＝∠FOC．在△EOB和△FOC中，，∴△EOB≌△FOC（ASA）．∴S阴影＝S△OBC＝故选：C．二．填空题（共10小题）7．（2019•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D＝∠ABE，∴∠D＝∠CBE，∴CD＝BC＝6，∴△AEB∽△CED，∴，∴CE＝AC＝×8＝3，BE＝，DE＝BE＝×＝，故答案为．8．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四边形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值为，故答案为：．9．（2019•广元）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是8+4．解：如图，连接AD，设AC与BD交于点O，解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60°∴△ACD为等边三角形，∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝CD＝2，∵AB＝BC，CD＝AD，∴BD垂直平分AC，∴BO＝AC＝，OD＝CD•sin60°＝，∴BD＝+∴BD2＝（+）2＝8+4，故答案为8+410．（2019•乐山）如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos C＝．则AB边的长为．解：如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，COSC＝，∴＝，∴CH＝，∴AH＝＝＝，在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝，故答案为．11．（2019•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为．解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，∴CD＝8．在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．故答案为．12．（2019•广安）等腰三角形的两边长分别为6cm，13cm，其周长为32cm．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为6cm时，三角形三边长为6，6，13，6+6＜13，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长＝2×13+6＝32cm．故答案为32．13．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝．解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，故答案为：．14．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O 的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为：2．15．（2019•达州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，∴O为BD中点，∵点E是AB的中点，∴AB＝2BE，BC＝2OE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∴CD＝2BE．∵△BEO的周长为8，∴OB+OE+BE＝8，∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，∴△BCD的周长是16，故答案为16．16．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C 重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4．解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．故答案为4．三．解答题（共18小题）17．（2019•攀枝花）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE．求证：（1）点D在BE的垂直平分线上；（2）∠BEC＝3∠ABE．解：（1）连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE＝CE，∴DE＝CE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠A＝∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A+∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE．18．（2019•成都）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝AB＝20，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，答：起点拱门CD的高度约为6米．19．（2019•广元）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∵点E，F分别是边BC，AC的中点，∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，∴FE＝AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠EFC，∵AD＝AB，∴AD＝FE，在△ADF和△FEC中，，∴△ADF≌△FEC（SAS），∴DF＝EC，∴DF＝BE．20．（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．证明：（1）∵C是的中点，∴，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴，∴，∴CD＝BF，在△BFG和△CDG中，∵，∴△BFG≌△CDG（AAS）；（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，∵，∴，∴BD＝CF，∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，解得：r＝1（舍）或3，∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，∴BF＝2；解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，∵，∴∠HAC＝∠BAC，∵CE⊥AB，∴CH＝CE，∵AC＝AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），∴AE＝AH，∵CH＝CE，CD＝CB，∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），∴DH＝BE＝2，∴AE＝AH＝2+2＝4，∴AB＝4+2＝6，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BEC＝90°，∵∠EBC＝∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴，∴BC2＝AB•BE＝6×2＝12，∴BF＝BC＝2．解法三：如图，连接OC，交BD于H，∵C是的中点，∴OC⊥BD，∴DH＝BH，∵OA＝OB，∴OH＝AD＝1，∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，∴△COE≌△BOH（AAS），∴OH＝OE＝1，∴CE＝EF＝＝2，∴BF＝＝＝2．21．（2019•泸州）如图，海中有两个小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛位于东北方向上，且相距20nmile，该渔船自西向东航行一段时间到达点B处，此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上，且相距50nmile，又测得点B与小岛D相距20nmile．（1）求sin∠ABD的值；（2）求小岛C，D之间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．解：（1）过D作DE⊥AB于E，在Rt△AED中，AD＝20，∠DAE＝45°，∴DE＝20×sin45°＝20，在Rt△BED中，BD＝20，∴sin∠ABD＝＝＝；（2）过D作DF⊥BC于F，在Rt△BED中，DE＝20，BD＝20，∴BE＝＝40，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝EB＝40，BF＝DE＝20，∴CF＝BC﹣BF＝30，在Rt△CDF中，CD＝＝50，∴小岛C，D之间的距离为50nmile．22．（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD 于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．23．（2019•广元）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方同．（以下结果保留根号）（1）求B，C两处之间的距离；（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．解：（1）作CE⊥AB于E，如图1所示：则∠CEA＝90°，由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，∴CE＝AE，∠BCE＝30°，∴CE＝BE，BC＝2BE，设BE＝x，则CE＝x，AE＝BE+AB＝x+90，∴x＝x+90，解得：x＝45+45，∴BC＝2x＝90+90；答：B，C两处之间的距离为（90+90）海里；（2）作DF⊥AB于F，如图2所示：则DF＝CE＝x＝135+45，∠DBF＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2DF＝270+90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为＝3+（小时）；答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3+）小时．24．（2019•遂宁）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．25．（2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．26．（2019•眉山）如图，在岷江的右岸边有一高楼AB，左岸边有一坡度i＝1：2的山坡CF，点C与点B在同一水平面上，CF与AB在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了20米到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为30°，求楼AB的高度．解：在Rt△DEC中，∵i＝＝，DE2+EC2＝CD2，CD＝20，∴DE2+（2DE）2＝（20）2，解得：DE＝20（m），∴EC＝40m，过点D作DG⊥AB于G，过点C作CH⊥DG于H，如图所示：则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形，∵∠ACB＝45°，AB⊥BC，∴AB＝BC，设AB＝BC＝xm，则AG＝（x﹣20）m，DG＝（x+40）m，在Rt△ADG中，∵＝tan∠ADG，∴＝，解得：x＝50+30．答：楼AB的高度为（50+30）米．27．（2019•达州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作BC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，求DE的长．解：（1）如图，DE为所作；（2）∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝45°，∵DE⊥BC，∴△CDE为等腰直角三角形，∴DE＝CE，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，即＝，∴DE＝．28．（2019•宜宾）如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1米的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）解：设AM＝x米，在Rt△AFM中，∠AFM＝45°，∴FM＝AM＝x，在Rt△AEM中，tan∠AEM＝，则EM＝＝x，由题意得，FM﹣EM＝EF，即x﹣x＝40，解得，x＝60+20，∴AB＝AM+MB＝61+20，答：该建筑物的高度AB为（61+20）米．29．（2019•巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE ⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．①求证：EC＝BD；②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．①证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°．∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD．在△AEC与△BCD中，∴△CAE≌△BCD（AAS）．∴EC＝BD；②解：由①知：BD＝CE＝aCD＝AE＝b∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2．又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC＝ab+ab+c2＝ab+c2．∴a2+ab+b2＝ab+c2．整理，得a2+b2＝c2．30．（2019•广安）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角∠HFE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GED为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：＝1.4，＝1.7）解：（1）在Rt△EFH中，∠HEF＝90°，∠HFE＝45°，∴HE＝EF＝10，∴BH＝BE+HE＝1.5+10＝11.5，∴古树的高为11.5米；（2）在Rt△EDG中，∠GED＝60°，∴DG＝DE tan60°＝DE，设DE＝x米，则DG＝x米，在Rt△GFD中，∠GDF＝90°，∠GFD＝45°，∴GD＝DF＝EF+DE，∴x＝10+x，解得：x＝5+5，∴CG＝DG+DC＝x+1.5＝（5+5）+1.5＝16.5+5≈25，答：教学楼CG的高约为25米．31．（2019•达州）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.≈1.41，≈1.73）解：作BF⊥CE于F，在Rt△BFC中，BF＝BC•sin∠BCF≈3.20，CF＝BC•cos∠BCF≈3.85，在Rt△ADE中，DE＝＝＝≈1.73，∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58，由勾股定理得，AB＝≈0.6（m），答：AB的长约为0.6m．32．（2019•巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D 位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∵tan∠DAE＝，∴DF＝CF＝414﹣x，又BE＝CF，即：300﹣＝414﹣x，解得：x＝214，故：点D到AB的距离是214m．33．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．34．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题28 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一.选择题1. （2019•江苏苏州•3分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为183m 的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30o ，则教学楼的高度是（）A ．55.5mB ．54mC ．19.5mD ．18m30°C D【分析】考察30o 角的三角函数值，中等偏易题目【解答】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，在Rt ADE V 中，tan30AE DE =o 318318m AE ∴=⨯= 18 1.519.5m AB ∴=+=故选C30°C DAE2．（2019•浙江嘉兴•3分）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．183DE BC ==【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×＝，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．3．（2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．4 （2019•江苏泰州•10分）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C.D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【分析】（1）根据坡度的概念计算；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，根据正切的定义求出EN，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFB C.MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5. （2019•湖南长沙•3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B 处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【解答】解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．6. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10.二.填空题1. （2019•浙江金华•4分）图2.图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME，EF，FN是门轴的滑动轨道，∠E=∠F=90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在滑动轨道上．两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合）；两门同时开启，A，D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B，C滑动；B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启。
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题1．(2019 ·广元 ) 如图 , △ ABC中, ∠ABC＝90°,BA＝BC＝2, 将△ ABC绕点 C 逆时针旋转 60°获得2△DEC,连结 BD,则 BD的值是 ________【答案】8 4 3【分析】连结 AD,过点 D 作 DM⊥BC于点 M,DN⊥AC于点 N,易得△ ACD是等边三角形 , 四边形 BNDM是正方形 , 设 CM＝x, 则 DM＝MB＝x+2, ∵BC＝2, ∴CD＝AC＝2 2 , ∴在 Rt△MCD中, 由勾股定理可求得 ,x ＝ 3 1,DM＝MB＝2 2 23 1 ,∴在Rt△BDM中,BD ＝MD+MB＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，搁置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进步行旋转倾斜后，水面恰巧触到容器口边沿，图 2 是此时的表示图，则图 2 中水面高度为( )A. 24B. 32C. 12 34D. 20 3417 17 5 5【答案】 A【分析】如下图：设 DM＝x，则 CM＝8﹣x，依据题意得：（8﹣x+8）× 3×3＝3×3×5，解得： x＝4，∴ DM＝6，∵∠ D＝90°，由勾股定理得： BM＝B D 2DM 24232＝5，过点 B 作 BH⊥AH，∵∠ HBA+∠ABM＝∠ ABM+∠ABM＝90°，∴∠ HBA+＝∠ ABM，因此 Rt△ABH∽△ MBD，∴BH BD，即BH 3，解得BH＝24，即水面高度为24．AB BM855 53．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A 为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连结AC、BC，则△ ABC必定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】 B【分析】如下图，∵A M=MN=2，NB＝1，∴A B=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，∴ AB2 52 25， AC2 42 16 ， BC2 32 9 ,∴AC2 BC2 AB2，∴△ ABC是直角三角形 .4．(2019 ·广元 ) 如图 , 在正方形 ABCD的对角线 AC上取一点 E. 使得∠ CDE＝15°, 连接 BE并延伸BE到 F, 使 CF＝CB,BF与 CD订交于点 H,若 AB＝1, 有以下结论 : ①BE＝DE;②CE+DE ＝EF;③S ＝ 1 3 , ④DH2 3 1.则此中正确的结论有( )△DEC4 12 HCA. ①②③B. ①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】 A【分析】①利用正方形的性质, 易得△ BEC≌△ DEC,∴BE＝DE,①正确 ; ②在 EF上取一点 G,使 CG＝CE,∵∠ CEG＝∠ CBE+∠BCE＝60° , ∴△ CEG为等边三角形 , 易得△ DEC≌△ FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF, ②正确 ; ③过点 D 作 DM⊥AC 于点 M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝1 3, ③正确 ; ④ tan ∠ HBC＝ 2 －3,∴HC＝2－ 3 ,DH＝1－HC＝ 3 －1,∴4 12DH3+1 ,④错误.应选A.HC5.(2019 ·宁波 ) 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一 , 在我国古算书《周髀算经》中早有记录 . 如图 1, 以直角三角形的各边分别向外作正方形 , 再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式搁置在最大正方形内 . 若知道图中暗影部分的面积 , 则必定能求出A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【答案】 C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大挨次为:a,b,c, 则 S 暗影＝ c2－ a2－b2+b(a+b－c),由勾股定理可知,c 2＝a2－b2,∴S暗影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠, 即S阴影＝S 重叠 , 应选 C.6.（2019·重庆 B 卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点 E，AE=1.连结 DE，将△ AED沿直线 AE翻折至△ ABC所在的平面，得△AEF，连结 DF.过点 D作 DG⊥DE交 BE于点 G.则四边形 DFEG的周长为()B. 4 2C. 2 2 4D. 3 2 2AEG FBD C12题图【答案】 D【分析】∵∠ ABC=45°， AD⊥BC，∴△ ABC是等腰直角三角形，∴A D=BD.∵B E⊥AC， AD⊥BD，∴∠ DAC=∠ DBH，∴△ D BH≌△DAC（ASA）.∵D G⊥DE，∴∠ BDG=∠ ADE，∴△ DBG≌△ DAE（ASA），∴B G=AE，DG=DE，∴△ DGE是等腰直角三角形，∴∠ DEC=45°.在 Rt△ABE中，BE= 3212 2 2，∴GE=2 2 1，2∴DE=22 .∵D，F 对于AE对称，∴∠ FEC=∠ DEC=45°，2∴EF=DE=DG22 ，DF=GE2 2 1，∴四边形的周长为 2（2 2 1 +2-2）=3 2+2.应选D．DFEG2 二、填空题7．（2019·苏州） “七巧板”是我们先人的一项优秀创建．能够拼出很多风趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7 块图形之一的正方形边长为cm （结果保存根号） .（图①）（图②）（第 15 题）【答案】5 22【分析】 此题考察了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰三角形①与等腰三角形②全等， 且它们的斜边长都为 1×10=5cm ，设正方形暗影部分2的边长为 x cm ，则 x =sin45 °= 2 ，解得 x = 5 2 ，故答案为 5 2 .5 22 2第 15 题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD，连结 AC，BD.若∠ ACB＝90°， AC＝BC, AB＝BD, 则∠ADC＝°【答案】 105°【分析】过点 D作 DE⊥ AB于点 E，过点 C作 CF⊥ AB垂足为 F，由∠ ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得 CF为中线，进而推出2CF＝AB，由 AB∥ CD得 DE＝CF，由 AB＝BD得 BD＝2DE，在 Rt△DEB中利用三角函数可得∠ ABD＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有 45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中暗影部分的面积为cm ：（结果保存根号）．（第 18 题）【答案】 10+12 2第 18 题答图分析：如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2 cm ，因此△ ABC与△ DEF 有公共心里 O ，连结 AD 、BE 、FC 并延伸订交于点 O ，过 O 作 OG ⊥AB 于G ，交 DE 于 H .则 GH =2 ， S= 1 OG × （ AB +AC +BC ） = 1△ABC22AB AC 8 8 2 ，∴ OH =8 5 2，∵AB AC BC8 8 8 48 2AB × AC ， ∴ OG =∵DE ∥AB ，∴△ ODE ∽△ OAB ，∴OHDE ∴ 8-5 2 DE ，解得 DE =6- 2 2 ，OGAB 8-4 2 8S 暗影 = S △ABC - S △DEF = 1821 212 2.622102210．（2019·江西） 在平面直角坐标系中， A ， B ，C 三点的坐标分别为 (4 ，0) 、(4 ，4) ，(0 ，4) ，点 P 在 x 轴上，点 D 在直线 AB 上，若 DA ＝1，CP ⊥DP 于点 P ，则点 P的坐标为.【答案】（16 22 32 2 ，0）或（ 16 22 32 2，0）44【分析】设点P 的坐标为（ x，0），（ 1）当点 D 在线段 AB上时，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 ( 4 2 )2 ( 2 )2 1642( 2 )2 1742，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2(4 2)x (4 2 )2 ( 2 )2 x2 (8 2) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2 ) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (162)]2 4 2 32 =232 2 ＜0，∴原方程无解，即切合要求的点P不存在 .（ 2）当点 D 在线段 BA的延伸线上，如下图：∵DA=1，∴点 D的坐标为（4 2 ，2）.2 2∴ CD2 [4 (4 2)]2 [ 4 ( 2)]2 ( 2 )2 (4 2 )2 17 42，2 2 2 2PD 2 [ x (4 2)]2 ( 2 )2 x2 2( 4 2) x (4 2 )2 ( 2)2 x2 (8 2 ) x 17 4 2 ，2 2 2 2 2 PC 2(x 4)242x28x32 .∵CP⊥DP于点 P，∴PC2PD 2CD 2，∴ x2 (8 2) x 17 4 2 x2 8x 32 17 4 2，即 2x2(162) x 320 ，∵△ =[ (16 2)]2 4232= 2 322＞，∴ x 16 2 2 322 16 2 2322，2 2 4∴点 P 的坐标为（16 22 32 2 ，0）或（ 16 2 2 32 2 ，0）.4 411.(2019 ·枣庄 ) 把两个相同大小含 45°的三角尺按如下图的方式搁置 , 此中一个三角尺的锐角极点与另一个三角尺的直角极点重合于点A, 且此外三个锐角极点B,C,D 在同向来线上 , 若 AB＝2, 则 CD＝________.【答案】6－ 2【分析】在等腰直角△ ABC中, ∵AB＝2, ∴BC＝2 2 , 过点 A 作 AM⊥BD于点 M,则 AM ＝MC＝1 BC＝2 , 在 Rt△AMD中,AD＝BC＝2 2 ,AM＝2 , ∴MD＝6 , ∴CD＝MD－MC＝6－22 .12. (2019 ·巴中 ) 如图 , 等边三角形 ABC内有一点 P, 分别连结 AP,BP,CP,若 AP＝6,BP＝8,CP＝10, 则 S△ABP+S△BPC＝________.【答案】 16 3 +24【分析】将△ ABP绕点 B 顺时针旋转 60°到△ CBP', 连结 PP', 因此 BP＝BP', ∠PBP' ＝60°, 因此△ BPP'是等边三角形 , 其边长 BP为 8, 因此 S△BPP'＝16 3 , 由于 PP' ＝8,P'C2 2 2 ＝24, 因此 S＝PA＝6,PC＝10, 因此 PP' +P'C ＝PC, 因此△ PP'C 是直角三角形 ,S△PP'C △ABP+S△ BPC＝S△ BPP'+S△PP'C＝16 3 +24..三、解答题13.(2019 ·巴中 ) 如图 , 等腰直角三角板如图搁置, 直角极点 C在直线 m上, 分别过点A,B 作 AE⊥直线 m于点 E,BD⊥直线 m与点 D.（1）求证 :EC＝BD;（2）若设△ AEC三边分别为 a,b,c, 利用此图证明勾股定理 .证明：（1）∵△ ABC是等腰直角三角形 ,∴∠ ACB＝ 90°,AC＝BC, ∴∠ ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠ EAC+∠ACE＝90°, ∴∠ BCD＝∠ CAE,∵B D⊥CD, ∴∠ AEC＝∠ CDB＝ 90°,∴△ AEC≌△ CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△ AEC≌△ CDB,△ AEC三边分别为 a，b，c, ，∴BD＝EC＝ a,CD＝AE＝b,BC＝ AC＝c,1 (AE+BD)ED＝1 (a+b)(a+b),∴S梯形＝2 2S 梯形＝1 ab+ 1 c2+1 ab，22 2∴ 1 (a+b)(a+b) ＝ 1 ab+1 c2+ 1 ab,2 2 2 2整理可得 a2 +b2＝c2, 故勾股定理得证 .。
2019年全国各地中考数学真题汇编：三角形(湖南专版)(解析卷)
2019年全国各地中考数学真题汇编（湖南专版）三角形参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019•长沙）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．2．（2019•益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解：如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选：B．3．（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A 的距离是（）A．30nmile B．60nmileC．120nmile D．（30+30）nmile解：过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝30，∴AB＝AD+BD＝30+30．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．故选：D．4．（2019•益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．a sinα+a sinβB．a cosα+a cosβC．a tanα+a tanβD．+解：在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝，∴BC＝a tanα，BD＝a tanβ，∴CD＝BC+BD＝a tanα+a tanβ；故选：C．5．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．二．填空题（共6小题）6．（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是100m．解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝2×50＝100米．故答案为：100．7．（2019•邵阳）如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是AB ＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD．（不添加任何字母和辅助线）解：∵∠A＝∠A，AD＝AE，∴可以添加AB＝AC，此时满足SAS；添加条件∠ADC＝∠AEB，此时满足ASA；添加条件∠ABE＝∠ACD，此时满足AAS，故答案为AB＝AC或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD；8．（2019•株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝4．解：∵E、F分别为MB、BC的中点，∴CM＝2EF＝2，∵∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，∴AB＝2CM＝4，故答案为：4．9．（2019•衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．10．（2019•邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．解：∵勾a＝6，弦c＝10，∴股＝＝8，∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，∴小正方形的面积＝22＝4故答案是：411．（2019•常德）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是22.5°．解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°∴∠ABD＝22.5°故答案为：22.5°三．解答题（共15小题）12．（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．13．（2019•长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE＝AF；（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF，∴AE＝DF，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠F AD，∴∠GAE+∠AEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，∴BE＝＝＝5，在Rt△ABE中，AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝．14．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．15．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）解：设OE＝OB＝2x，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9，∴OB＝2x＝18．16．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．17．（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CD，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．18．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．19．（2019•益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°又∵∠D＝110°∴∠ACB＝∠D∵AB∥DE∴∠CAB＝∠E∴在△ABC和△EAD中∴△ABC≌△EAD（AAS）．20．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．21．（2019•郴州）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F AE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△F AE≌△CDE（ASA），∴CD＝F A，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．22．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴BC＝CD﹣BD＝15﹣5≈15×1.414﹣5×2.449≈8.97（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为8.97km．23．（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．24．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．25．（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．解：（1）在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积＝×4×1＝2．所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．26．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F的对应点），求障碍物的高度．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．。
2019年全国中考数学真题180套分类汇编：解直角三角形【含解析】
一、
选择题
1. （ 2018?湖南衡阳 , 第 10 题 3 分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形
AB 的坡度 i=1 ： 1.5 ，则坝底 AD的长度为（
）
ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡
A． 26 米
B． 28 米
C． 30 米
D． 46 米
考点：
解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题． .
BD和 CD的长
（ 2）在 Rt△ACD中，利用 sin ∠ACD= ，代入数值求出 AC的长度．
解答： 解：（1）过点 A 作 AD⊥BE 于 D， 设山 AD的高度为 xm，
在 Rt △ABD中， ∵∠ ADB=90°， tan31 °＝ ，
∴BD=
≈=x，
在 Rt△ACD中， ∵∠ ADC=9°0 ， tan39 °＝ ，
出相关线段的长度．
4．（ 2018?山西，第 21 题 7 分）如图，点 A、 B、C 表示某旅游景区三个缆站的钢缆，已知 A、 B、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度
AA′， BB′， CC′分别为 110 米、 310 米、
710 米，钢缆 AB的坡度 i 1=1：2，钢缆 BC的坡度 i 2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C直线架设一条钢
﹣ （答对 1 个给 2 分，多答或含有错误答案不得分）
．
考点： 解直角三角形． .
专题： 分类讨论． 分析： 分两种情况：过点 B 或 C作 AC或 AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．
解答： 解：当∠Ｂ 为钝角时，如图 1， 过点 B 作 BD⊥AC，
∵∠ BAC=30°， ∴BD=AB，
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解直角三角形一、选择题1. （2018?湖南衡阳,第10题3分）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A． 26米 B． 28米 C． 30米 D． 46米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．解答：解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选D．点评：此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水5题3分）如图，河坝横断面迎水坡AB?丽水，第2. （2018平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（）DC．． B 9m ． 6m A．m m考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．解答：：；米，tanA=1 解：在Rt△ABC中，BC=5∴AC=BC÷tanA=3米，∴AB==6米．故选B．点评：此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．3．（2018?四川绵阳,第8题3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（）．D海里 C．．B ． A 80 海里4040 海里40 海里直角三角形的应用考点：解 -方向角问题．分析：根据题意画出图形，进而得出PA，PC的长，即可得出答案．解答：解 C，作PC⊥AB于点：过点P AP=80海里，由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，（海里），故CP=AP=40=40（海里）则．PB= 故选：A．题主要考查了方向角问题以及锐角三角函数关系等知识，得出各角度数是解题关点评：此键． 4．二、填空题+或 AB=4?黑龙江龙东1. （2018,第8题3分）△ABC中，，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC22的面积为﹣（答对1个给2分，多答或含有错误答案不得分）．考点：解直角三角形．.专题：分类讨论．分析：分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．解答：解：当∠B为钝角时，如图1，过点B作BD⊥AC，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∴AD=2，∵BC=3，∴CD=，∴S=AC?BD=×（2+）×2=2+；△ABC当∠C为钝角时，如图2，过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，∵∠BAC=30°，∴BD=AB，∵AB=4，∴BD=2，∵BC=3，∴CD=，∴AD=2，∴AC=2﹣，∴S=AC?BD=×（2﹣）×2=2﹣．△ABC度的锐角所对的直30 本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，点评：角边等于斜边的一半．，∠B=35°，若这样的三角形只能作，AC=b第?浙江绍兴,14题5分）用直尺和圆规作△ABC，使BC=a2. （2018．sin35°=或a，bb≥a 间满足的关系式是一个，则图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形考点：作于b为半径交ABBC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心先画分析：首时，②当b≥a时三角形只能作一个．点A，然后连接AC即可，①当AC⊥BC 解：如图所示：解答：时，即b间满足的关系式是：①当AC⊥BC若这样的三角形只能作一个，则a， b≥a时．sin35°=②当故答案为：sin35°=或b≥a．题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．点评：此°°，270为中心按顺时针方向分别旋转O90°，13题3分）180如图，是将菱形ABCD以点3．（2018?江西，第o60??BAD______.，则图中阴影部分的面积为后形成的图形。
若，AB=23.124【答案】【考点】菱形的性质，勾股定理，旋转的性质【分析连ABABAB交于，求出菱形对角A长，根据旋转的性质可AC。
在223)AC(2Rt△AOC中，根据勾股定理求出AO=CO=，从而求出Rt△AOC的面积，再减去△ACD的面积得阴6??22影部分AOCD面积，一共有四个这样的面积，乘以4即得解。
【解答】解：连接BD、AC，相交于点E，连接AO、CO。
∵因为四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD，AB＝AD＝2。
°，60＝BAD∵∠．∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝2，111∠BAD＝30°，AE＝∴∠BAE＝AC，BE=DE=BD=1，22222221??BE?AB?23，在Rt△ABE中，AE ＝3。
2 ∴AC＝∵菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向旋转90°，180°，270°，1×360°＝90°，即AO＝⊥CO，AO＝CO AOC∴∠422AC(23)。
中，AO=CO= 在Rt△AOC6??2211116633,＝×1·DE＝×AO·CO=××2=3，∵S=S=AC ADC△AOC△222233 4123－－）＝S∴S阴影＝S －=4×（ADC △△AOC3。
4 －所以图中阴影部分的面积为124．三、解答题1. （2018?海南,第22题9分）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）.仰角俯角问题．解直角三角形的应用-考点：，进而利用正切函，则BE=x，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设E，依题意，AB=1000CD=x分析：首先作CE⊥AB于 x即可．数的定义求出 E，解：作CE⊥AB于解答：，∠EAC=30°，∠CBE=45°，依题意，AB=1464 ，CE=x，则BE=x设，==Rt△ACE中，tan30°=整理得出：3x=1464+x，解得：x=732（）≈2000米，∴C点深度=x+600=2600米．答：海底C点处距离海面DF的深度约为2600点评：此题主要考查了俯角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解俯角的定义，然后利用三角函数和已知条件构造方程解决问题．2. （2018?莱芜，第20题9分）如图，一堤坝的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=50°，则此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DC﹣BE即可求解．解答：解：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，∠ABE=62°．∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米，BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DC﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．点评：考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．3．（2018?青岛，第20题8分）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．，sin39°≈）（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈.-解直角三角形的应用仰角俯角问题．考点：的长CD中分别表示出BD和xmAD的高度为，在Rt△ABD和Rt△ACDDA 分析：（1）过点作AD⊥BE于，设山的值；，列出方程，求出x度，然后根据BD﹣CD=80m的长度．sin∠ACD=AC，代入数值求出）在（2Rt△ACD中，利用，于作）过点（解答：解：1AAD⊥BED ，xm的高度为AD设山．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=，x=，∴CD= ≈∵BC=BD﹣CD，∴x﹣x=80，解得：x=180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，sin39°=，=≈282.9（m∴AC=）．答：索道AC长约为282.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．4．（2018?山西，第21题7分）如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i=1：2，钢缆BC的坡度i=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢21缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．.专题：应用题．分析：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，分别求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．解答：解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形，∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200，CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400，∵i=1：2，i=1：1，21∴AF=2BF=400，BD=CD=400，又∵EF=BD=400，DE=BF=200，∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，．（米）=1000=AC=中，Rt△AEC∴在．答：钢缆AC的长度是1000米．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度坡角的定义，点评：及勾股定理的表达式，难度一般．，垂足为点ABAD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥5. （2018?乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD中，，的长．AB=2，求CEE．若AD=1.直角梯形；矩形的判定与性质；解直角三角形．考点：的长．的长，即可得出CE 利用锐角三角函数关系得出BH的长，进而得出BC分析：，，则AD=HC=1⊥BC于H解答：解：过点A作AHAB=2在△ABH中，∠B=30°，，，∴cos30°=BH=ABcos30°=2即×=3，∴BC=BH+BC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识，得出BH的长是解题关键．6. （2018?丽水，第22题10分）如图，已知等边△ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．.切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形．考点：，所以∠ODB=60°=∠C，于是可OD=OC）连结1OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而分析：（是⊙O的切线；OD⊥DF，根据切线的判定定理可得判断OD∥AC，又DF⊥AC，则DF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据△CDFRt．在BD=CD=6的中位线，得到为△ABCOD）先证明2（．含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC﹣CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB﹣AG∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，﹣DH=BH=，=，则tan∠FGD于是根据正切函数的定义得到可求．tan∠GDH=OD）证明：连结，如图，解答：（1 ∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°， OD=OB，而∴△ODB是等边三角形，∠ODB=60°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，的切线；∴DF是⊙O为（2）解：∵OD∥AC，点OAB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD=CD=6．在Rt△CDF 中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，，CF=12﹣3=9∴AF=AC﹣中，∵∠A=60°，在Rt△AFG；=∴FG=AF×sinA=9×（3）解：过D作DH⊥AB于H．∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，BH=3．∴BH=BD=3，DH=在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，=，= ∴tan∠GDH=．∴tan∠FGD=tan∠GDH=点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．7．（2018?黑龙江哈尔滨,第24题6分）如图，AB、CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°，测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°．（1）求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；（2）求建筑物CD的高度（结果保留根号）．题图第1考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）根据题意得：BD∥AE，从而得到∠BAD=∠ADB=45°，利用BD=AB=60，求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，根据AF=BD=DF=60，在Rt△AFC 中利用∠FAC=30°求得CF，然后即可求得CD的长．解答：解：（1）根据题意得：BD∥AE，∴∠ADB=∠EAD=45°，∵∠ABD=90°，∴∠BAD=∠ADB=45°，∴BD=AB=60，∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米；（2）延长AE、DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF=BD=DF=60，在Rt△AFC中，∠FAC=30°，=20，∴CF=AF?tan∠FAC=60×又∵FD=60，20，∴CD=60﹣20）米． 60∴建筑物CD的高度为（﹣点评：考查解直角三角形的应用；得到以AF为公共边的2个直角三角形是解决本题的突破点．8 （2018?湖北黄冈,第23题7分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C（+1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方两船相距、的求救信号．已知AB100 5°方向上．7的南偏东D正好在观测点C，测得船D上有一观测点MN向上，（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．[:中&%国*教育#出版@]（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁≈1.41，≈1.73）危险？（参考数据：第2题图考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（+1），求得海里．根据xAB=AE+BE=x+x=100）作（1CE⊥AB，设AE=x海里，则的值BE=CE=x 后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，同理求出AD的长；（2）作DF⊥AC于点F，根据AD的长和∠DAF的度数求线段DF的长后与100比较即可得到答案．解答：解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，中，CE=AE?tan60°=x；在Rt△AECBE=CE=xRt△BCE在中，．+1x=100）（，∴AE+BE=x+解得：x=100．AC=2x=200．在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，DF=CF=y，设AF=y，则∴AC=y+y=200，（y=100解得：）﹣1，∴AD=2y=200（．﹣1）（为200与AD之间的距离AD为与答：AC之间的距离AC200 1﹣）海里．海里，）≈1271DF=﹣×100（AF=）可知，）由（（21 ∵127＞100，航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．AC沿直线A所以巡逻船．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解答．9. （2018?湖北荆门,第20题10分）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）3题图第-方向角问题．考点：解直角三角形的应用中，和Rt△ACD的长为a海里，分别在作CD⊥AB 于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD分析：，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案和BCRt△BCD在中，用a表示出AC ，于点D解答：解：如图，作CD⊥AB 由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°， a海里，设CD的长为中，∵在Rt△ACD=cos∠ACD，=∴AC=≈1.92a；中， Rt△BCD∵在=cos∠BCD，=≈1.39a；∴BC=∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a，∵a＞0，∴0.096a＞0.077a，∴乙先到达．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运算更加方便，难度中等．的仰角为处测得树的顶端A16题6分）如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C10．（2018?四川成都,第 AB．37°，BC=20m，求树的高度（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）-仰角俯角问题考点：解直角三角形的应用 AB的长度．通过解直角△ABC可以求得分析：BC=20m，解：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，解答：∴tanC=，．AB=BC?tanC=20×tan37°≈20×0.75=15（则m）．答：树的高度AB为15m题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关点评：本要通过作系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，11023题8分）为邓小平诞辰11．（2018?四川广安,第处挖去部分斜坡，修建一个D⊥AC，现计划在斜坡中点60米，坡角（即∠BAC）为45°，BC已知斜坡AB长．和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）平行于水平线CA的休闲平台DE，求休闲平台DE的长是多少米？1）若修建的斜坡BE的坡比为：1（点）为30°．点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM米远GH距离A点33（即AG=33米），小亮在D2（）一座建筑物 GH 高为多少米？在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物、G，H在同一个平面内，点C、A、GB、C、A考点直角三角形的应坡度坡角问题分析）由三角函数的定义，即可求DB的长，又由坡度的定义，即可求E长，继而求得平D的长）首先GH=米，RDM中由三角函数的定义，即可求G的长解答）FC∴BDF∠BAC=45°∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，∴BD=30米，∴DF=BD?cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，1，∵斜坡BE的坡比为：，=∴解得：EF=10（米），∴DE=DF﹣EF=30﹣10（米）；答：休闲平台DE的长是（30﹣10）米；，（米）DM=AG+AP=33+30=63，（米）30﹣GM=x﹣MH=GH米，则GH=x）设2（．在Rt△DMH中，tan30°=，即=，解得：x=30+21，答：建筑物GH的高为（）米． 30+21点评：此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义．此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．12．（2018?浙江绍兴,第21题10分）九（1）班同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．（1）如图1，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB=38°，求护墙与地面的倾斜角α的度数．（2）如图2，第二小组用皮尺量的EF为16米（E为护墙上的端点），EF的中点离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点离地面FB的高度．（3）如图3，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达Q点，测得A的仰角为60°，求旗杆AE的高度（精确到0.1米）．备用数据：tan60°=1.732，tan30°=0.577，=1.732，=1.414．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析：（ 1）根据∠α=2∠CDB即可得出答案；（2）设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，根据EH=2MN 即可求出E点离地面FB的高度；（3）延长AE，交PB于点C，设AE=x，则AC=x+3.8，CQ=x﹣0.2，根据，得= ，求出x即可．出x+3.8x﹣0.2=3 1）∵BD=BC，解答：解：（∴∠CDB=∠DCB，∴∠α=2∠CDB=2×38°=76°．，M作MN⊥BF，垂足为点N）设（2EF的中点为M，过，作EH⊥BF，垂足为点H过点E ∵MN ∥AH，MN=1.9，∴EH=2MN=3.8（米）， 3.8米．∴E点离地面FB的高度是CPB于点，AE（3）延长，交AC=x+3.8，AE=x设，则∵∠APB=45°，∴PC=AC=x+3.8，∵PQ=4，，0.2﹣4=x﹣8∴CQ=x+3.=tan60°=∵tan∠AQC=，=，∴≈5.7，x= ．∴AE≈5.7（米）米．答；旗杆AE的高度是5.7能作出辅助线借助仰用到的知识点是仰角的定义，点评：此题考查了解直角三角形的应用，角构造直角三角形是本题的关键．sinC BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求第20题7分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若．13（2018?重庆A, 的值．解直角三角形．考点：，然后利用正弦的定义求解．中由勾股定理得根据tan∠BAD=，求得BD的长，在直角△ACDAC分析：解答：解：∵在直角△ABD=中，tan∠BAD=，∴BD=AD?tan∠BAD=12×=9，﹣9=5，∴CD=BC ﹣BD=14=13∴AC=，=∴sinC=．= 点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成，每相邻8分）图1（14．2018?江西，第21题度。