高考数学圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

圆锥曲线与方程解题技巧方法总结

学习目标：熟悉并掌握常见的圆锥曲线的解题方法：定义法、参数法、待定系数法、点差法等

重点难点：数形结合、函数与方程、转化与划归等解题思想的应用

题型一 圆锥曲线定义的应用

规律与方法：

1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

例1 若点M (2,1)，点C 是椭圆x 216＋y 2

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＝1的右焦点，点A 是椭圆的动点，则|AM |＋|AC |的最小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x 29＋y 2

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＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，求|PA |＋|PF 1|的最大值．

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

规律与方法

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

例2 已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 2

3n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

( ) A ．x ＝±152y B ．y ＝±

152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 跟踪训练2 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2

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＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

规律与方法：

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

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，求△AOB 面积的最大值．

跟踪训练3已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)．

(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围

题型四与圆锥曲线有关的轨迹问题

规律与方法：

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程；

(2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程；

(3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程．例4 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A、B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．

跟踪训练4

若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．

课堂练习：

1．已知F 1、F 2为双曲线x 25－y 24

＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为

( ) A.37＋4

B.37－4

C.37－2 5

D.37＋25 2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29

＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_____________．

3．一动圆与圆(x ＋3)2＋y 2＝1外切，又与圆(x －3)2＋y 2＝9内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________

4．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22

的最小值是________

课堂小结

在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题．