高考数学难点突破__函数中的综合问题

难点11 函数中的综合问题

函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力.

●难点磁场

(★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4.

(1)求证：f (x )为奇函数；

(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值. ●案例探究

［例1］设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意

x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0.

(1)求f (21)、f (4

1

);

(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (n +

n

21

),求).(ln lim n n a ∞→

命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极

限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力.

知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口.

错解分析：不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形. 技巧与方法：由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为

)2

()2()2()22()(x

f x f x f x x f x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键.

(1)解：因为对x 1,x 2∈［0,2

1

］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以

f (x )=)2

()22(x

f x x f =+≥0,

x ∈［0,1］

又因为f (1)=f (2

1

+21)=f (21)·f (21)=［f (2

1

)］2

f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （4

1）］2 又f (1)=a >0

∴f (21)=a 2

1

,f (4

1)=a 41

(2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即

f (x )=f (2－x ),x ∈R .

又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R .

将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个 周期.

(3)解：由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］

∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n

21) =…… =f (

n 21)·f (n 21)·……·f (n

21) =［f (n 21

)］n =a 21

∴f (n

21

)=a n 21

.

又∵f (x )的一个周期是2

∴f (2n +n 21)=f (n

21

),因此a n =a n 21

∴.0)ln 21

(

lim )(ln lim ==∞

→∞

→a n

a n n n ［例2］甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为

b ,固定部分为a 元.

(1)把全程运输成本y (元)表示为v (km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力.

知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法. 错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件.

技巧与方法：四步法：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)评价.

解法一：(1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v

S

,全程运输成本为y =a ·

v S +bv 2·v S =S (v

a

+bv ) ∴所求函数及其定义域为y =S (v

a

+bv ),v ∈(0,c ].

(2)依题意知，S 、a 、b 、v 均为正数 ∴S (

v

a

+bv )≥2S ab ① 当且仅当

v

a

=bv ,即v =b a 时，①式中等号成立.若b a ≤c 则当v =b a 时，有

y min ；

若

b a >

c ,则当v ∈(0,c ]时，有S (v a +bv )－S (c

a

+bc ) =S ［(

v a －c a )+(bv －bc )］=vc

S

(c －v )(a －bcv ) ∵c －v ≥0,且c >bc 2,∴a －bcv ≥a －bc 2>0

∴S (

v a +bv )≥S (c

a

+bc ),当且仅当v =c 时等号成立，也即当v =c 时，有y min ； 综上可知，为使全程运输成本y 最小，当b ab ≤c 时，行驶速度应为v =b

ab

,

当b

ab >c 时行驶速度应为v =c .

解法二：(1)同解法一. (2)∵函数y =x +

x

k

(k >0),x ∈(0,+∞),当x ∈(0,k )时，y 单调减小，当x ∈(k ,+∞)时y 单调增加，当x =k 时y 取得最小值，而全程运输成本函数为

y =Sb (v +v

b a

),v ∈(0,c ].

∴当

b a ≤

c 时，则当v =b a 时，y 最小，若b

a >c 时，则当v =c 时，y 最小.结论同上.

●锦囊妙计

在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)函数y =x +a 与y =log a x 的图象可能是( )

2.(★★★★★)定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0,给出下列不等式：

①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )