基于模糊理论的机械多目标优化设计

收稿日期：2008-09-09
基金项目：陕西省自然科学基金资助项目（6）；西安理工大学科学研究基金资助项目（）作者简介：魏锋涛（6），男，陕西合阳人，讲师，博士研究生，主要研究方向为结构优化设计。

工程中常常遇到期望一个设计方案的多项设计指标均达到最优的问题。

例如，设计一种机械传动装置，希望它的重量最轻、承载能力最高，同时它的性能又最可靠；设计一种高速凸轮机构，不仅要求体积最小，而且还要求其柔性误差最小，动力学性能最好等。

使多于一个设计指标达到最优的问题，就是多目标优化问题。

在多目
标优化问题中，各分目标之间常常是互相矛盾的，一个分目标值的最优往往会导致另一个或几个分目标值的最劣。

要使几个分目标同时达到最优，一般来说是非常困难的，有时甚至是不可能的。

因此，用常规的方法求解多目标优化问题，得到的是问题的若干个有效解。

如何从这些有效解中选择出最有效解作为最优设计方案，是实际
2010年工程图学学报
2010第2期
J OURNAL OF ENG INEERING GRAPHICS
No.2
基于模糊理论的机械多目标优化设计
魏锋涛，宋
俐，李
言，石
坤，赵建峰
（西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西西安710048）
摘要：多目标优化设计各分目标间的矛盾性和不可公度性增加了解决问题的难
度，常规求解多目标优化设计方法一般只能求出问题的有效解，而得不到设计的最优结果。

该文以蜗杆传动多目标优化设计为例，采用改进的遗传算法求得若干有效解后，根据模糊理论中的相似优先比法从中确定出最有效解，即最优解，并可排出它们的优劣顺序。

关
键
词：机械设计；多目标优化设计；模糊理论；相似优先比法
中图分类号：TH 122文献标识码：A
文章编号：1003-0158(2010)02-0009-04
Mechanical Multi-Object Optimization Design Based on Fuzzy Theory
WEI Feng-tao,
SONG Li,
LI Yan,
SHI Kun,
ZHAO Jian-feng
(School of Mechanical and Instrumental Engineering ，Xi ’an University of Technology ,Xi ’an Shaanxi 710048，China )
Abstr act:It is difficult to solve multi-objective optimization for inconsistency and incomparability among each single object.Multi-objective mathematical model of worm transmission is established.Effective solutions are obtained by general optimal arithmetic,such as improved genetic algorithm.The optimal solution is chosen from these available effective solutions and then ranked by the similarity priority ratio method of fuzzy theory .
K ey words:machine design;multi-objective optimization design;fuzzy theory;similarity priority ratio method
200E 108102-210710197-
应用必须解决的问题[1]。

文中采用改进遗传算法求得机械多目标优化问题的理想解和若干有效解，然后根据模糊数学中的相似优先比法确定最有效解，即问题的最优设计方案，并可同时排列出有效解的优劣次序。

1模糊相似优先比法
应用模糊数学中的相似优先比法[2]确定多目
标最优解的基本思想是：首先求出各单目标的最优解，以此构成多目标的理想解；再根据相似优先比法找出各种有效解与理想解的相似（或接近）的程度；与理想解相似（或接近）的程度最高的有效解即为多目标优化的最优解。

1.1建立相似优先矩阵
（1）由公式*(1,2;1,2,3)d f f x j r jr j
j r
===（）计算海
明距离，其中*
j f 为理想解*F 的第j 个目标值，
j r f x （）
为有效解r F 的第j 个目标值。

（2）由下式计算相似优先比*
*
*
(1,2;1,2,3)
j j t jt
jst js jt j j s
j j t
f f x d r d d f f x f f x j s t =
=
++==（）
（）（）、（1）
显然有01jst r ≤≤。

若0.51jst r <≤，则j s f x （）比j t f x （）优先；若00.5jst r <≤，则j t f x （）比j s f x （）优先；若0.5jst r =,则无法确定。

1j st jts r r +=，同时假定1jss jtt r r ==。

因为，在同一样品中比较优先，而又必须选择其一，故只能选择jss 自己和
jst 自己。

（3）建立每一个目标的相似优先矩阵j R 以相似优先比jst r 为元素组成的矩阵j R 叫相似优先矩阵，其中
11
121212221
2[](1,2,,;1,2,,)
j j j q j j j q j jst q q
jq jq j qq
r r r r r r r r r r j m s t q ×
=
==="
"
###"
""、R （2）
1.2
作j (=1,2)R j 的λ截矩阵，确定优先序号和最优解
（1）作λ截矩阵，满足
max max (1,2;1,2,3)jst r j s t λ==≤、。

（2）确定一个目标各有效解的绝对优先序号(1,2;1,2,3)j r N j r ==。

序号越小的行越接近理想解。

根据各行序号，便知一个目标中的各有效解接近理想解的绝对优先程度。

（3）确定所有目标的绝对优先序号，得出最优解。

对所有(1,2)j j =R 作完jr N 后，按每行所得的序号(1,2;1,2,3)jr N j r ==，按行求和，便得所有目标的绝对优先序号(1,2,3)r N r =，序号和最小的一个（即min r N ）所对应的有效解便是多目标的最优解。

2
机械多目标优化设计实例及计算过程
2.1
蜗杆传动多目标优化设计数学模型[3-4]2.1.1
选择设计变量
选择蜗杆头数1z 、模数m 和蜗杆特性系数
q 为蜗杆传动的设计变量，即
{}{}
T
T
1
2
31X x x x z m q ==2.1.2建立目标函数
根据蜗杆传动的工作特点、结构要求和生产成本，将蜗轮齿冠体积最小、传动效率最高、中心距最小作为该优化设计的目标函数。

（1）蜗轮齿冠体积最小
为了降低生产成本，节省较贵重的有色金属材料，以蜗轮有色合金齿冠体积最小为优化设计的目标函数之一，即
3
1221113
2
223111min ()(2)46[(2)( 6.4)]24
6(2)[(2)( 6.4)]
2
f X V m q iz iz z x x ix ix x π==+×
π
++=
++×++
+（3）
式中
i 为传动比；m 为模数；q 为蜗杆特性系
数；当蜗杆头数11z =或12z =时，0.75=；
当蜗杆头数13z =或14z =时，
0.67=。

（2）蜗杆传动效率最高
分析蜗杆传动的工作情况可知，其总效率主要取决于啮合摩擦损耗效率1
η，而啮合面间的相10工程图学学报2010年
对滑动速度s v 则对1η影响很大，成反比关系。

为了提高蜗杆传动效率，就应减小相对滑动速度s v ，即22221212131
min ()1910019100
s mn x n f X v q z x x ==+=+（4）式中
1n 为蜗杆转速。

（3）中心距最小
为了使蜗杆传动结构更凑紧，在满足使用要求的前提下，应使中心距趋于最小，即
31231min ()0.5()0.5()f X a m q iz x x ix ==+=+（5）2.1.3确定约束条件
蜗杆传动的优化设计应满足下列限制条件：
（1）蜗杆头数1z 的限制
对于动力传动，一般取12~4z =，即
11()40g X x =≥（6）21
()20
g X x =≥（7）
（2）蜗轮齿数2z 的限制
常取2130~80z iz ==，即
31()800
g X ix =≥（8）41()300g X ix ==≥（9）（3）模数m 的限制常取218m ≤≤，即
52()180g X x =≥（10）62()20g X x =≥（11）
（4）蜗杆特性系数q 的限制常取816q ≤≤，即
73()160g X x =≥（12）83
()80
g X x =≥（13）（5）蜗轮齿面接触强度的限制
由32
22520(
)[]H m q KT z σ≥得3
2
923
21
520()()0
[]H g X x x KT i x σ=≥（14）式中K 为载荷系数。

（6）蜗轮齿根弯曲强度的限制
由322
22[]cos F F KT Y m q z σλ≥可知，其中，21z iz =和
2
22
1
1cos 1tg q
z q λλ
==++，将这些关系
代入上式得3221023
22
1
2
211()0[]
F F KT Y g X x x
i x
x
σ=+
≥（15）
式中
2F Y 为齿形系数；K 为载荷系数。

（7）蜗杆刚度的限制
蜗杆工作时最大挠度不应大于50m ，即
2
2
11
34850
t r F F m y L EJ
+′=
≤
（16）
其中，跨度210.90.9L d miz ′
==，惯性矩44
410.050.05(2
.4)f J d m q = ，12
1122t T T F d imq η
==，0
2212
122tg20tg20r T T F d iz m
=
=
，将这些关系代入上
式整理得
1542
20121123
23()10987( 2.4)2[()tg 20]0x g X x x T x η
=+≥（17）
2.1.4
数学模型
综上所述，蜗杆传动多目标优化设计的数学模型表示为
T
123min (){(),(),()}F X f X f X f X =3
X R （18）
s.t.
()0(1,2,,11)
i g X i ="≥2.2
设计实例
某减速器中的蜗杆传动，输入功率10kW P =，蜗杆转速11460r min n =，两班工作，载荷平稳，传动比20i =，蜗轮齿冠材料为ZCuSn 10P1。

最优地设计该蜗杆传动，使蜗杆传动在满足承载能力及强度要求条件下，蜗轮齿冠体积最小、传动效率最高和中心距最小。

2.2.1
优化设计问题的理想解和有效解文中采用改进遗传算法求解得到该优化问题的理想解和有效解。

该算法在标准遗传算法的基础上进行了实数编码策略、联赛选择机制及动态调整交叉概率和变异概率引入自适应算子等方面的改进，参数设置为：群体规模80N =，10.9c p =，20.6c p =，10.1m p =，20.001m p =,采用终止代数为200代与连续10代平均目标函数值不大于最小目标函数值的0.001相结合的方法来判断是否结束程序运行[5-7]。

（1）理想解
用改进遗传算法分别求出该问题中各单目
标函数的最优解，即理想解及相应的函数值为
第2期魏锋涛等：基于模糊理论的机械多目标优化设计11
{
}
{}
T
T
(1)*(1)*(1)*(1)*123
*1 3.6 5.312.51524378X x x x f ==={
}{}
T T
(2)*
(2)*(2)*
(2)*1
2
3
*2 3.5
5.710.14.67
X
x
x
x
f ==={
}{}
T
T
(3)*(3)*
(3)*
(3)*1
2
3
*3 2.11
7.1114.1200
X x x x f ===（2）有效解
用改进遗传算法分别根据理想点法、线性加权法和平方加权法三种多目标优化问题的处理方法进行求解得到三组有效解
{
}{}
{}
T
T
**
**11
23
T
1 3.5
4.91
5.71431808
6.02210X x x x F ==={
}{}
{}
T T
****2
1
2
3
T
2 3.8
5.79.11565800 4.31248X x
x
x
F ==={
}{}
{}
T
T
***
*31
23
T
3 3.01
6.59.71915505 5.05227X x x x F ===2.2.2用模糊相似优先比法求最有效解
（1）建立相似优先矩阵该优化问题有3个目标和3个有效解，即可得到3个相似优先矩阵11
0.310.810.6910.90
0.190.101
=R 21
0.210.220.79
10.51
0.780.49
1
=R 31
0.830.73
0.17
10.360.27
0.64
1
=R （2）作λ截矩阵，确定优先序号和最优解各有效解的优先序号(1,2;jr N j =1,2,3)r =和序号(1,2,3)r N r =如表1所示。

表1有效解的行序号和绝对优先序号
有效解f 1f 2f 3序号和F 12316F 21135F 3
3
2
2
7
由表1知，序号和最小的有效解是2F 。

因此，
2F 是该多目标优化问题的最有效解，即
**
**T T 123[][3.8
5.79.1]X x x x ==，其次为1F 、3F 。

与常规设计方案（12,9,10Z m q ===）比较，蜗轮齿冠体积减少了33.8%，传动效率提高
了26.1%、传动中心距减少了6.7%。

可见，采
用多目标优化设计方法进行设计，得到了比传统设计更为合理的结构设计方案，使蜗轮和蜗杆传动在满足承载能力及强度要求的条件下，蜗轮齿冠体积最小、传动效率最高、中心距最小，从而使整体设计结构更为紧凑。

与蜗杆传动的单目标设计相比，运用多目标优化方法使蜗杆传动设计得到了整体最优的设计方案，结果合理、符合工程实际。

3结论
本文利用改进遗传算法对机械多目标优化
设计问题的理想解和有效解进行了求解，并根据模糊数学中的相似优先比法，从若干个有效解中选择出最有效解并排列出它们的优劣次序。

整个求解过程表明，这种方法大大降低了人为因素对解决此类优化问题的影响，使最终得到的优化结果更科学、更符合实际情况。

由于这种多目标优化问题的处理方法不受目标函数个数的限制，因此随着目标函数个数的增加且有效解的个数增多时，更能显出该方法的优越性。

参考文献
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李
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12工程
图学学报2010年。