弯曲内力实例分析
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第四章弯曲内力精品文档
(Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l.
a
求距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , FRAx 0
A l
Fa M A 0 , FRB l
上的剪力和弯矩.
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
a c
解：（1）求支座反力
2019/10/F 26R A F R B F 6k 0N
27
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC
看左侧
F S C F 1 6k 0N M C F 1 b 6 . 0 k m N
解得 FSEFRA MFc 2019/10/26 E R A
FRA
FSE
ME
A
E
c
20
(Internal forces in beams)
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
Fy 0 F S E F R B F 1 F 2 0
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD
看左侧
F S D F R A F 1 6 6 0 0 0
M D F R A ( c a ) F 1 c F 1 . 8 k a 3 m
弯曲内力工程实例、基本概念
3、外伸梁： (c)
（六）、静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
工程力学
工程力学
工程实例、基本概念
一、实例 火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念： 受力特点—作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线（含力偶）。
变形特点—杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：
q
F
M
轴线
FR1
FR2
(a)
q
F
M
FR1
(b)
FR2
受力特点—作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内。
变形特点—杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
五、梁、荷载及支座的简化
（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。 （二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化： 1、集中力—荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力—荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 3、集中力偶（分布力偶）—作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：
1、固定端—有三个约束反力。
FAX
MA
FAY
2、固定铰支座——有二个约束反力。 3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：
1、悬臂梁： (a)
2、简支梁： (b)
（六）、静定梁与超静定梁 静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
工程力学
工程力学
工程实例、基本概念
一、实例 火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
二、弯曲的概念： 受力特点—作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线（含力偶）。
变形特点—杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：
q
F
M
轴线
FR1
FR2
(a)
q
F
M
FR1
(b)
FR2
受力特点—作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内。
变形特点—杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
五、梁、荷载及支座的简化
（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。 （二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化： 1、集中力—荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力—荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 3、集中力偶（分布力偶）—作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：
1、固定端—有三个约束反力。
FAX
MA
FAY
2、固定铰支座——有二个约束反力。 3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：
1、悬臂梁： (a)
2、简支梁： (b)
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
工程力学第10章弯曲内力
例2、一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M 0 8KN.m
P=2KN
q=2KN/m
A D B
FBy
1m 2m 1m 1m
C
FAy
解：
1m
1、根据平衡条件求支座反力
M M
A
0 0
FBy 7 KN
FAy 3KN
B
2、求B、D截面上的内力?
求D左、D右、B左、B右截面上的内力。
NB
对称弯曲
F1
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都 在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中 心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条 平面曲线。
10.2
静定梁的分类（三种基本形式）
q(x) — 分布力
1、悬臂梁： L 2、简支梁： L 3、外伸梁： q — 均布力 F — 集中力 M — 集中力偶
P=2KN
A D
1m 1m 2m
B
C
1m 1m
FBy
FAy
D右截面： FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8 5KN m
左
B左截面： FQB Fy (左侧) FAy q 3 3KN
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5KN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。
0.8kN 1
A 1.5m 1.5m RA
2
1.2kN/m 例3、梁1-1、2-2截面处的内力。 解：（1）确定支座反力 B Fy 0, RA RB 0.8 1.2 3 0
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
弯曲内力—弯曲变形概述(材料力学)
弯曲内力
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B
《工程力学》教学课件第十一章弯曲内力
引发裂缝扩展
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
弯曲内力还可能导致结构中的裂缝扩展，进一步降低结构强度。
优化措施降低弯曲内力影响
合理布置荷载
通过合理布置荷载，降低结构 受到的弯曲内力，提高结构稳 定性。
采用预应力技术
对结构施加预应力，使结构在受到荷 载作用前产生一定的反弯曲内力，从 而抵消部分外荷载产生的弯曲内力。
加强结构刚度
增加结构刚度，提高结构抵抗 弯曲内力的能力，保证结构整 体性能。
机械工程
分析机械零件在受力时的弯曲变形和应力分布，提高零件的强度和刚 度，延长使用寿命。
案例分析中问题探讨
载荷与边界条件的确定
在实际工程中，如何准确确定结构所受的载荷和边界条件是进行 内力分析的关键问题。
内力与变形的计算精度
由于实际结构的复杂性和计算方法的局限性，如何保证内力和变形 计算的精度是另一个需要探讨的问题。
优化截面形状和尺寸
通过优化截面形状和尺寸，使 得截面在受力时能够更好地抵 抗弯曲内力，提高结构强度。
06 实验验证与工程应用案例
实验验证方法介绍
1 2
载荷实验
通过对实际结构或模型施加静态或动态载荷，观 察和分析结构的变形和内力分布情况。
应变测量
利用应变片、应变计等测量工具，定量测量结构 在载荷作用下的应变值，进而推算出内力大小。
性能。
弯曲内力与材料性质关系
弹性模量
材料的弹性模量越大，梁 的抗弯刚度越大，承受弯
曲内力的能力越强。
屈服强度
材料的屈服强度越高， 梁在承受弯曲内力时越 不容易发生塑性变形。
韧性
材料的韧性越好，梁在 承受弯曲内力时越不容
易发生脆性断裂。
疲劳强度
对于承受交变弯曲内力的 梁，材料的疲劳强度也是 一个重要的考虑因素。
第10章 弯曲内力
6.04
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
－
左图中 FS=0 的截面上，弯矩 有极值，其他的例子中也总 结了一些规律，这都说明载 荷、剪力、弯矩之间存在着 一定的关系； 找到这些关系，对我们方便 快速地画出剪力弯矩图具有 很大的益处。
x
6
0 M
4
+
7
x
一、基本原理
如图所示简支梁受到载荷的作用： 建立坐标系
y
F1
F2
x
取其中一微段d x q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
FS
x
q(x) dx
M
M+dM
FS+dFS
将该微段取出，加以受力分析
q
dx FS M C M+dM Fs+dFS q
若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上 该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐 变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。
ql2/8
例10-6 建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯 矩图（已知均布载荷q=3kN/m, 集中力偶M=3kNm）
q C A 2m
M
M
M
M
FS
FS F S FS为正 FS为负
FS
M为正 M为负
上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以 下方法预先设臵剪力和弯矩为正。
m m l1 F
M
l
M
B
FS
剪力和弯矩均按图示设为正。
取截面左右两侧的部分构件计算， 所得到的内力大小相等，方向相 剪力和弯矩均按图示设为正。 反，但符号是一样的。
[2]取CA段中任意截面的左侧 部分加以分析:
q C
q
材料力学——4梁的弯曲内力
1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3.对称弯曲：作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内时， 弯曲变形后的轴线也将是位于这个对称面内的一 条曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线（挠曲线）
纵向对称面
工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
应点处的载荷集度q。
F=qa
q
C
A
B
a
2a
dFS (x) q(x) dx
3
FS
qa
2
(+)
(-)
-qa
M
FS 图
(-)
由此式知：剪力图曲
x 线上一点处的斜率等于
E
1 qa2
(-)
1 qa 2
梁上相应点处的载荷集
8
度q。
(+)
x
qa2
M (x)
FS (x) dFS
FS (x)
M (x) dM
7KN
1m
P=2KN
F D
1m
B左 截面：
FSB左 Fy (左侧) FAy q 3 3KN
MB左
MB (左侧)
FAy
4
M0
q3
3 2
5KN.m
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
3KN FAy
B右截面：
2m
FBy
7KN
1m
1m
与 B左截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有：
工程力学 第五章 弯曲内力(FS)
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
(Internal Forces in Beams) 二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P M
q
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 RA 三、平面弯曲的概念：
NB
(Internal Forces in Beams) F1 q
A
a m l m x
F
B
F
x
0,
XA 0
Fa M A 0 , RB l F (l a ) Fy 0 , YA l
XA A
YA
F
B
RB
(Internal Forces in Beams) 求内力——截面法 F (l a ) Fy 0 , FS YA l m XA=0A F (l a ) M C 0 , M YA x l x m YA 1、 剪力(Shear force) FS x 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FS 2、弯矩(Bending moment )M M C 构件受弯时，横截面上其作用面垂直 YA 于截面的内力偶矩. M 剪力 C 弯曲构件内力 Fs 弯矩
m （受拉）
m
按变形：当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下 半部受压）时，横截面m-m 上的弯矩为负 注：横截面上的弯矩：
-
m
“左顺右逆”为正；反之为负 按受力：“上压下拉”为正，反之为负
（受压）
(Internal Forces in Beams) 例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩. RA F2 RB F1 a 解: (1)求支反力 R 和 R
材料力学 第四章 弯曲内力
M 2 10kN.m
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第十章弯曲内力课件
第十章 弯曲内力
h
1
§10-1 弯曲的概念和实例
起重机大梁
h
2
1
镗刀杆
h
3
车削工件
h
4
火车轮轴
h
5
6 h
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
h
7
Me
F2
F1
q
F3
F5
F4 F6
轴线
1、弯曲受力特点——外力垂直于杆件的轴线或杆受 到位于杆轴平面内的外力偶作用。 2、弯曲变形特点——杆的轴线由直线变为曲线。
一侧所有外力的代数和。
FSE
FAy
2F
外力正负：左上右下为正， 左下右上为负。
FSE
FSE
5F 3
2F F 3
h
28
简便法求截面上的剪力和弯矩
FAy
5F 3
FBy
F 3
FAy
FBy 截面上的弯矩等于截面任
一侧所有外力对截面形心力矩
的代数和。
ME
外力矩正负：左顺右逆为正，
FAy
2F
左逆右顺为负。
ME
ME
5F 3a 32
2F
a 2
3 Fa 2
h
29
例 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 B 左 截面和 B 右 上
的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
F
E
C
B
D
F By
F Ay 1m
1m
2m
1m 1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA0
FBy 7KN
MB 0
FAx
ql 2 / 2 最大剪力和弯矩分别为
h
1
§10-1 弯曲的概念和实例
起重机大梁
h
2
1
镗刀杆
h
3
车削工件
h
4
火车轮轴
h
5
6 h
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
h
7
Me
F2
F1
q
F3
F5
F4 F6
轴线
1、弯曲受力特点——外力垂直于杆件的轴线或杆受 到位于杆轴平面内的外力偶作用。 2、弯曲变形特点——杆的轴线由直线变为曲线。
一侧所有外力的代数和。
FSE
FAy
2F
外力正负：左上右下为正， 左下右上为负。
FSE
FSE
5F 3
2F F 3
h
28
简便法求截面上的剪力和弯矩
FAy
5F 3
FBy
F 3
FAy
FBy 截面上的弯矩等于截面任
一侧所有外力对截面形心力矩
的代数和。
ME
外力矩正负：左顺右逆为正，
FAy
2F
左逆右顺为负。
ME
ME
5F 3a 32
2F
a 2
3 Fa 2
h
29
例 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、 B 左 截面和 B 右 上
的内力。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
F
E
C
B
D
F By
F Ay 1m
1m
2m
1m 1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA0
FBy 7KN
MB 0
FAx
ql 2 / 2 最大剪力和弯矩分别为
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F
5F
FBy 3 FAy 3
Fy 0
5F 2F FSE 3
FSE
F 3
ME
ME 0
2F
a 2
ME
5F 3
3a 2
ME
3Fa 2
目录
19
§5-3 剪力和弯矩及其方程
FSE O
FHale Waihona Puke yMEOFSE
ME FBy
FBy
F 3
FAy
5F 3
分析右段得到： FBy
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
x
FS
M x
剪力和弯矩 方程
FS x＝qx
0 x l
FS x
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
x
ql2 / 2 由剪力图、弯矩图可见。最
M
4
ql 2 / 8
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
Fy 0 FSE FBy 0
F FSE FBy 3
Mo 0
ME
FBy
3a 2
Fa
ME
3Fa 2
目录
20
§5-3 剪力和弯矩及其方程
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
FSE
FSE
5F 3
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FAy qa / 2
目录
M A qa2 / 2
39
§5-7 平面刚架和曲杆的内力
平面刚架：
某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆 在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节 点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为 平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。
x 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在
M－x中。
目录
36
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
A
FAy
9qa/4
q
D 解法2：1．确定约束力
B
4a
a qa FBy
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
Fs （+）
（-） qa
7qa/4
2．确定控制面，即A 、B、D两侧截面。
3．从A截面左测开始画
dFs (x) dx
q(x)
5
目录
27
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
31
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
目录
25
§5-4 剪力图和弯矩图的绘制 例题5-5
y
q
简支梁受均布载荷作用
A xC
B
x
试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
FAY
l
FBY 解：1．确定约束力
FS ql / 2
M A＝0， MB＝0
FAy＝ FBy＝ ql/2
x 2．写出剪力和弯矩方程
ql / 2
ql 2 / 8
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
Fs（ kN）
0.89 M（ kN.m）
1.11
（+）
（-）
0.330
（-） （-）
从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右 从D右到B左
1.330
1.665
从B左到B右
目录
34
§5-5
A
FAy
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
例 题 5-7 试 画 出 梁 剪 力 图 和
建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上
的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间 的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图 与弯矩图。
目录
29
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各 点处的数值。
dFS q dx
dFS qdx
剪力图。
目录
37
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
A
FAy
9qa/4
B
4a
a
FBy
Fs （+）
9a / 4
（-） qa
7qa/4
81qa2/32
qa2
M
（+）
4．求出剪力为零的点 D 到A的距离。 qa 5．从A截面左测开始画弯
矩图
AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为
1/2×9qa/4×9a/4
C D 弯矩图。
B
解：1．确定约束力
4a
a qa
FBy
根据梁的整体平衡，由 M A＝0， M B＝0
求得A、B 二处的约束力
FAy＝
9 4
qa
,
FBy＝
3 4
qa
2．确定控制面
由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa
左侧的截面，也都是控制面。
左上右下为正；反之为负
使得梁呈凹形为正； 反之为负。
+
_
左顺右逆为正；反之为负
目录
18
§5-3 剪力和弯矩及其方程 例题5-1
FAy 2. 用截面法研究内力
FSE
FAy
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAy FBy 2F
MA 0
FBy FBy 3a Fa 2F a
FAY
Fs（ kN） 0.89
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
1.11
（+）
FAy＝0.89 kN FFy＝1.11 kN
（-）
2．确定控制面为A、C 、D、B两侧截面。
3．从A截面左测开始画
剪力图。
目录
33
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
4．从A截面左测开始画
A
C D B 弯矩图。
目录
30
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A CD EF B
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
例题5-6 简支梁受力的大 小和方向如图示。
试画出其剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力 根据力矩平衡方程
M A＝0， M B＝0
求得A、B 二处的约束力 FAy＝0.89 kN , FBy＝1.11 kN
目录
14
§5-2 梁的载荷与支座
非均匀分布载荷
目录
15
§5-2 梁的载荷与支座
静定梁的基本形式
FAx
FAy FAx
FAx MA
FAy FAy
简支梁
FBy
外伸梁
FBy
悬臂梁
目录
16
§5-3 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
Fx 0 Fy 0
FN 0 FS FAy F1
目录
35
§5-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 q
C
D
A
B
9 4
qa
FAy
FS
9qa / 4
4a
（+）
O 9a / 4
M
81qa2 / 32
a qa
FBy＝ 3 qa 4
（-）
qa
7qa / 4
（+）
qa 2
O
3．建立坐标系
建立FS－x和M－x
坐标系
x 4．确定控制面上的 剪力值，并将其标
在FS－x中。
2F
F 3
目录
21
§5-3 剪力和弯矩及其方程
FBy