微分方程与数学建模

如果自变量为x，未知函数为y，则n阶微分 方程的一般形式为
F (x, y, y,L , y(n) ) 0
任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解.
如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方 程的通解.
不含任意常数的解称为微分方程的特解.
用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程 的初始条件.
依次类推，连续积分 n 次，就得到方程的通解， 其中含有 n 个任意的常数.
(2) y f (x, y) 型的微分方程
特点：方程的右端中不显含未知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数 y.
解法 令 y p ，则 y p ，代入原方程得 p f (x, p)
这是一一阶微分方程，设其的通解为 p (x,C1) 由
y p 得到一阶微分方程
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) y(n) f (x) 型的微分方程 特点：方程的右端仅含有自变量 x 的函数. 解法：只要把 y(n1) 作为新的函数，该方程就变为新 未知函数的一阶微分方程，两边积分，得
同理
y(n1) f (x)dxC1
y(n2) [ f (x)dxC1]dxC2
u y du u u 2 1 dy
y du 1 u 2 dy
分离变量后积分
du 1 u2
dy y
即 ln(u 1 u2 ) ln y ln C 或写成 u 1 u2 y
C
整理得
y
2
2 yu
1
C C
将u
x y
代入得
y2
2C(x
C) 2
，这是以
x
为轴，焦点在
原点得一族抛物线。
三、一阶线性微分方程及可降阶 的高阶微分方程
积分得
u(x) Q(x)e P(x)dxdx C,
变易常数应 满足的条件
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.一阶线性非齐次方程
dy dx
P(x)y
Q(x)
的解法
对应齐次方程
dy P(x) y 0.
dx
解法：常数变易法
先求出对应齐次方程 dy P(x) y 0 的通解： dx
再令C=u(x)，即
为原方程的解，
将y和y代入原方程得
u '(x)eP(x)dx Q(x),
整理得 ln(1 y2 ) ln c(1 x2 ) ，
所以，方程的通解为： (1 y2 ) c(1 x2 ) . 由初始条件 y(0) 1，得 (11) c(1 02 ) ， c 2 ，
所以，所求特解： (1 y2 ) 2(1 x2 ) 或 2x2 y2 1 0 .
2. 齐次方程
第六章 微分方程与数学建模
第一节 微分方程 第二节 微分方程在数学建模中的应用
第一节 微分方程
一、微分方程的基本概念 二、一阶微分方程 三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶 微分方程 四、二阶常系数线性微分方程
一、微分方程的基本概念
1. 引例
例 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M ( x, y)处的切线的斜率为2 x,求这曲线的方程.
解 设所求曲线为 y y( x)
dy 2x dx
其中 x 1时, y 2
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
2. 微分方程的基本概念
凡是表示未知函数、未知函数的导数（或微 分）与自变量之间关系的方程 称为微分方程.
微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方 程的“阶”，未知函数是一元函数的微分方程称 为常微分方程
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值 问题.
二、一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
1. 可分离变量的微分方程
形如
dy f (x)g( y) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的.
1.一阶线性齐次方程 dy P( x) y 0.的解法 dx
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
化成显式解
dy x(1 y2 ) 例 求 微 分 方 程 dx y(1 x2 ) 满 足 初 始 条 件
y( 0 ) 的1 特解.
解
分离变量：
y 1 y2
dy
x 1 x2
dx
，
y
x
两边取积分： 1 y2 dy 1 x2 dx ，
积分得
1 2
ln(1
y2
)
1 2
ln(1
x2 )
1 2
ln
c
，
dy dx
(x,C1)
因此原方程的通解为
y (x,C1)dxC2 ，其中 C1,C2 为任意常数.
(3) y f ( y, y) 型的微分方程
特点: 方程的右端不显含 x.
x
ln
C
ln
x C
即
x
Ce
du (u )u
，
再将 u
y x
代入上式得原方程的通解.
例
求方程
dy dx
x
y
，
x2 y2
y 0 的通解.
解 这是齐次方程，可以化成如下形式
dx x dy
x2 y2 x
y
y
x y
2
1
令
x y
u
则
x
yu ，
dx dy
u
y
du dy
代入上述方程得： 整理得
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
定义 解法
形如 dy ( y )的微分方程称为齐次方程.
dx x
作变量代换
u y , x
即 y xu,
dy u x du ,
dx
dx
代入原式
u x du (u),
dx
即 x du (u) u.
dx
变量可分离的微分方程
分离变量得
du dx
(u) u x
两边积分得
du
(u)
u
ln