图论及其应用13章习题答案电子科大

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习题一

1. (题14):证明图1-28中的两图是同构的

证明 将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图

作映射f : f(v i )→u i (1≤ i ≤ 10)

容易证明,对∀v i v j ∈E((a)),有f(v i v j )=u i u j ∈E((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知,图1-27的两个图是同构的。

2. (题6)设G 是具有m 条边的n 阶简单图。证明:m =⎪⎪⎭⎫

⎝⎛2n 当且仅当G 是

完全图。

证明 必要性 若G 为非完全图,则∃ v ∈V(G),有d(v)< n-1 ⇒ ∑ d(v) < n(n-1) ⇒ 2m

⇒ m < n(n-1)/2=⎪⎪⎭

⎝⎛2n , 与已知矛盾!

充分性 若G 为完全图,则 2m=∑ d(v) =n(n-1) ⇒ m= ⎪⎪⎭

⎝⎛2n 。

3. (题9)证明:若k 正则偶图具有二分类V = V 1∪V 2,则 | V 1| = |V 2|。

图1-28 (a)

v 2 v 3

u 4

u (b)

证明 由于G 为k 正则偶图,所以,k | V 1 | =m = k | V 2 | ⇒ ∣V 1∣= ∣V 2 ∣。

4. (题12)证明:若δ≥2,则G 包含圈。

证明 只就连通图证明即可。设V(G)={v 1,v 2,…,v n },对于G 中的路v 1v 2…v k ,若v k 与v 1邻接,则构成一个圈。若v i1v i2…v in 是一条路,由于δ≥ 2,因此,对v in ,存在点v ik 与之邻接,则v ik ⋯v in v ik 构成一个圈 。

5. (题17)证明:若G 不连通,则G 连通。

证明 对)(,_

G V v u ∈∀,若u 与v 属于G 的不同连通分支,显然u 与v 在_

G 中连通;若u 与v 属于g 的同一连通分支,设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点,则u 与w ,v 与w 分别在_

G 中连通,因此,u 与v 在_

G 中连通。

习题二

2、证明:每棵恰有两个1度顶点的树均是路。

证明:设树T 为任意一个恰有两个1度顶点的树,则T 是连通的,且无圈,令V 1

、V 2 为度为1的顶点,由于其他的顶点度数均为0或者2,且T 中无圈,则从V 1到V 2 有且只有一条连通路。所以,每棵恰有两个1度顶点的树均是路。得证。 5、证明:正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树的度序列当且仅当

)1(21

-=∑=n d

n

i i

证明:设正整数序列),...,,(21n d d d 是一棵树T 的度序列,则满足

E d

n

i i

21

=∑=,E 为T

的边数,又有边数和顶点的关系1+=E n ,所以)1(21

-=⇒

∑=n d

n

i i

14、证明:若e 是n K 的边,则3

)2()(--=-n n n n e K τ。

若e 为Kn 的一条边,由Kn 中的边的对称性以及每棵生成树的边数为n-1,Kn 的所有生成树的总边数为:2

)1(--n n

n ,所以,每条边所对应的生成树的棵数为:

32

2)1(2

1

)1(--=--n n n n n n n ,所以,K n - e 对应的生成树的棵数为:

332)2(2)(----=-=-n n n n n n n n e K τ

16、Kruskal 算法能否用来求:

(1)赋权连通图中的最大权值的树?

(2)赋权图中的最小权的最大森林?如果可以,怎样实现?

解:(1)不能,Kruskal 算法得到的任何生成树一定是最小生成树。 (2)可以,步骤如下:

步骤一:选择边e1,是的)(1e ω尽可能小;

步骤二:若已选定边i e e e ,...,,21,则从},...,{\21i e e e E 选取1+i e ,使 a 、}],...,[{121+i e e e G 为无圈图 b 、)(1+i e ω是满足a 的尽可能小的权; 步骤三:当步骤二不能继续执行时停止;

习题三

3.设G 是阶大于2的连通图,证明下列命题等价:

(1)G 是块

(2)G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上; (3)G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 证明:(1)→(2):

G 是块,任取G 的一点u ,一边e ,在e 边插入一点v ,使得e 成为两条边,由此得到

新图1G ,显然1G 的是阶数大于3的块,由定理,G 中的u,v 位于同一个圈上,于是1G 中u 与边e 都位于同一个圈上。 (2)→(3):

无环,

且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上,任取的点u ,边e ,若在上,则三个不同点位于同一个闭路,即位于同一条路,如不在上,由定理,的两点在同一个闭路上,在边插入一个点v ,由此得到新图,显然

的是阶数大于3的块,则两条边的

三个不同点在同一条路上。

(3)→(1):

连通,若不是块,则中存在着割点,划分为不同的子集块

,

,

,

无环,

12,x v y v ∈∈,点在每一条

的路上,则与已知矛盾,是块。

13、设H 是连通图G 的子图,举例说明:有可能k(H)> k(G). 解:通常

.

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