剪切和扭转应力

×
d D
例6 已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm， d=20mm，求最大、最小切应力。
解： max
T Wt
16
T D3 (1
d4 D4
)
max
min
161000
43[1
(
1 2
)4
]
T
84.9MPa
min
max
d D
84.9
1 2
42.45MPa
×
例7 图示圆杆BC 段为空心，已知 D =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力 和自由端的扭转角。
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是 表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三 个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
G E
2(1 )
×
四、等直圆杆扭转横截面上的切应力
o1
o2
o1 o2
AB
D C B’
C’
dx
a b
A dB
bc’ d c’
B’
DC
dx C’
⒈ 变形的几何条件
剪切和扭转应力计算
§8–1 剪切概念与实例
工程上的剪切件
1）受力特点 杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 2）变形特点 两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。 构件在这两个平行面间的任一横截面只有剪力作用，产生剪切 变形。
F
F
×
§8–2 连接接头的强度计算
1、 剪切实用计算
32
GD 4
[T1a
T2b
16 15
(T2b
T4a)]
0.0126rad 0.72
×
§8–6 圆轴扭转时强度和刚度条件
一.强度条件：
max
T Wt
[ ]
其中容许切应力[]是由扭转时材料的极限切应力除以安全系
数得到。
×
二、刚度条件
d
dx
T GIp
max
T GIp
(rad/m) (rad/m)
CB
2
1
T2l2 GI P 2
T1l1 GI P1
32
G
(Td22l42
T1l1 d14
)
CB
32
80 109
(
800 70 4
0.4
600 0.2 40 4
)
1 10 12
180
0.245
×
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
Tm a x Wt
16 mc
d3
○ 1kN.m
2kN.m
⊕
d
3
16mC
3
16 2000
60106
103
55.4mm
×
mC
mA mB
max 1 1.71 / m
C
l2 A l1 B
0.6kN.m
⊕
○
0.8kN.m
此轴不满足刚度条件。
令：Wt
IP ,
max
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
max
T Wt
Wt
16
D3
16
D3 (1
d4 D4
)
实心圆截面
空心圆截面
×
五、扭转时的变形
d T
dx GI p
l
T
dx
0 GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl
GI P
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
(D4
d
4)
O
D
极惯性矩的单位：m4
d D
×
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应
力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。
T
T
max
max
实心圆截面切应力分布图 空心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
×
⒌ 最大切应力
max
T IP
max
×
2、 挤压实用计算
计算挤压面
实际挤压面
F
Fbs=F
×
挤压应力
bs
Fbs Abs
计算挤压面
Fbs为挤压力，Abs为计算挤压 面的面积。
实际挤压面 F
挤压强度条件
bs
Fbs Abs
bs
[bs]为容许挤压应力，由 极限挤压应力除以安全系数。
×
3、 连接板强度计算
拉压应力
FN
Aj
F
FN为轴力，Aj为截面面积。
此杆安全。
×
圆轴扭转时应力与变形
×
一、实验： 1.实验前：①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。
2.实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成螺旋线。 3.结果：
①圆筒表面各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕 轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明 横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
×
剪切虎克定律： 单元体ab 的倾角 称为切应变，
´
a
b
切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 dy 切应变成正比，即
´
c
d
G
t
z
dx
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
0.5kN.m 12
0.3kN.m 0.8kN.m 解：本题应分4段考虑。
34
I P1
IP2
D4
32
D d
A 1 2B 3 a bb
4a C
IP3
IP4
(D4
32
d4)
D3
Wt1 Wt2 16
Wt 3
Wt 4
D3
16
(1
d4 D4
)
×
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 12 3 4
×
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 12 3 4
D d
A 1 2B 3 a bb
4a C
○－
○－
○－ 0.5kN.m
1kN.m
0.8kN.m
T1a T2b T3b T4a
GIP1 GIP2 GIP3 GIP4 32T1a 32T2b 32T2b 32T4a
GD4 GD4 GD4 (1 4 ) GD4 (1 4 )
D d
A 1 2B 3 4 C a bb a
1
T1 WP1
16T1
D3
161000
53
○－
○－
○－ 0.5kN.m
1kN.m
0.8kN.m
40.74MPa
4
T4 WP 4
16T4
D3 (1 4 )
16 800 53 (1 0.54 )
34.76MPa
max 1 40.74MPa
t
33
FN 3 A3
P (b d)t
100103 84 10
119MPa
max 33
板也满足拉压强度条件，铆接件安全。
×
[例2]已知图示圆梯形杆D=32mm，d=20mm，h=12mm，材
料的[]=100MPa，[bs]=200MPa。受拉力F =50kN 作用，试
校核此杆的强度 。
A
极惯性矩。
T
GI p
×
于是得横截面上任一点的切应力为
T
Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离；
Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意 义。
×
⒋ 极惯性矩
d
I p A 2dA
D
2 2 2 d 0
D 4
32
环形截面：
IP
32
Fbs Abs
F/4 dt
100 103 4 1610
156MPa [ bs ]
铆钉满足强度条件，安全。
×
123
2—2截面
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
1
2
3F/4
3
F
F⊕/4 ⊕
⊕
3—3截面
22
FN 2 A2
3P / 4 (b 2d)t
75 103 68 10
110MPa
[ ]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 / m，
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例8 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
铆接件
F
F
F
F
n
n
F
F
×
剪切面
F n
FS
n
n
n F
F
Fx 0; Fs F 0, Fs F
Fs为剪切面的内力，称为剪力。
×
FS F
F
设剪切面的剪力沿截面是均匀分布的，则有
Fs
As
为剪切面的剪应力，As为剪切面的面积。剪切强度条件为
Fs
As
[]为容许切应力，由材料破坏时的极限剪应力除以安全系数。
×
t P
d
tP
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
3F/4
F
F⊕/4 ⊕
⊕
铆钉受力图
F/4 F/4
×
百度文库
铆钉剪应力
F/4 F/4
Fs F / 4 100103 124MPa [ ] As d 2 / 4 162
铆钉挤压应力
bs
×
例1 图示铆接件，P=100kN，铆钉的直径d=16mm，容许剪 应力[]=140MPa，容许挤压应力[bs]=200MPa；板的厚度 t=10mm ，b=100mm，容许正应力[]=170MPa，试校核铆 接件的强度。
t P
d
tP
P
P
铆钉（或螺栓）连接件要安全工作，铆钉即要满足剪切 强度条件，又要满足挤压强度条件，同时板还要满足拉压强 度条件。
横截面上b 点的切应变： bb' d
dx dx 其中 d 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
dx
×
⒉ 物理条件
横截面上b 点的切应力： G G
⒊ 静力条件
T A dA A G 2 dA G A 2dA G IP
dA b dA
O2 T
其中 IP
2dA 称为截面对圆心的
D
剪切面
d
挤压面
F F
×
解：Fs Fjy F
剪切面
剪切面面积：As dh
挤压面面积：Abs
4
(D2
d2)
Fs P
挤压面
d
As dh
50103 66.3MPa
2012
F
bs
Pbs Abs
4P
(D2 d 2)
4 50103
(322 202 )
102MPa bs