全等三角形证明经典题(含答案)上课讲义
全等三角形的证明(讲义及答案)
全等三角形的证明➢知识点睛1.判定三角形全等的方法有_____，_____，_____，_____．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2.要证线段相等或角相等，考虑把线段或角放在对应的三角形中证明_________．➢精讲精练1.已知：如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．求证：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．NMC FEB ANMCFEB A1/ 62.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．求证：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．G AB CEDF GAB CEDF2/ 63 / 63. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，E 是线段AD 延长线上一点． 求证：△ABE ≌△ACE ．EDCBA4. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO =BO ，CO =DO ，过点O 作EF 交AC 于点E ，交BD 于点F ． 求证：△BOF ≌△AOE ．F CBOE D A4 / 65. 已知：如图，∠A =∠D =90°，AC ，BD 相交于点E ，BE =CE ． 求证：△ABC ≌△DCB ．EDA6. 已知：如图，在△PBC 中，D 为PB 上一点，PD =PC ，延长PC 到点A ，使得PA =PB ，连接AD ，交BC 于点O ，连接PO ． 求证：OD =OC ．OBDPCA5 / 67. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．NFCBM EDA【参考答案】1.证明略2.证明略3.先证明△ABD≌△ACD（SSS），由全等三角形的性质得∠BAE=∠CAE，进而证明△ABE≌△ACE（SAS）．4.先证明△AOC≌△BOD（SAS），由全等三角形的性质得∠B=∠A，进而证明△BOF≌△AOE（ASA）．5.先证明△ABE≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得AB=DC，∠ABE=∠DCE，进而证明∠ABC=∠DCB，得△ABC≌△DCB（SAS）．6.先证明△PAD≌△PBC（SAS），由全等三角形的性质得∠A=∠B，进而证明△ACO≌△BDO（AAS），得OD=OC．7.先证明△ABE≌△ACF（AAS），由全等三角形的性质得AE=AF，进而证明△AME≌△ANF（ASA），得AM=AN．6/ 6。
人教版八年级数学上册《第12章全等三角形证明》经典题(含答案)
∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM （AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB
15.（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE CE平分∠BCD CE=CE
∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
8.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C
∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE
12.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC
∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE∴AG=BD=5∴AGF∽CDF
∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
7.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形的性质及判定讲义及答案
E全等三角形的性质及判定（讲义）➢ 课前预习1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形；③学生用的含有 30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图．➢ 知识点睛1. 由 的三条线段所 组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“ ”表示．2.的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“”表示．全等三角形的 相等，相等．3. 全等三角形的判定定理：． ➢ 精讲精练1.如图，△ABC ≌△DEF ，对应边 AB =DE ， ，，对应角∠B =∠DEF ， ，．ADB ECF第 1 题图 第 2 题图2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边 AC =BC ， ，，对应角∠1=∠2， ， ． 3.如图，△ABC ≌△DEC ，对应边 ， ， ，对应角 ，， ．A DB COCE 1A2 4.如图，△ABC ≌△CDA ，对应边 ， ，，对应角 ，，．AC ADB CBD第 4 题图 第 5 题图5. 如图，AD ，BC 相交于点 O ，若 AO =DO ，BO =CO ，则 ≌ ，理由是 ．6.如图，若 AD =CB ，AB =CD ，则 ≌ ， 理由是 ；若∠B =∠D ，∠BCA =∠DAC ，则 ≌ ，理由是 ．ADBC第 6 题图 第 7 题图7.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成 3 块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．①②③都带去 8.如图，AO =BO ，若加上一个条件 ，则△AOC ≌△BOC ，理由是 ．ABOB C 第 8 题图第 9 题图 9.如图，∠1=∠2，若加上一个条件 ，则△ABE ≌△ACE ，理由是．③②①O1 2DE10. 如图，AD ，BC 相交于点O ，∠A =∠C ， A C若加上一个条件 ，则△AOB ≌△COD ，理由是．B D11. 如图，AB =AD ，∠1=∠2，如果要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是 ，理由是 ； 这个条件也可以是，理由是．ABC第 11 题图 第 12 题图12. 如图，点 B ，E ，C ，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ， 若 ∠ =∠ ， 则 △ABC ≌△DEF ， 所以 BC = ，因此 BE = ．13. 如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌ ，理由是 ，因此 DF = ．A DCBFEDE14. 已知：如图，BC =DE ，∠B =∠D ，∠BAC =∠DAE ．求证：△ABC ≌△ADE ． AECBD15. 已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．AB C16.已知：如图，AB=CD，AB∥CD．求证：△ABD≌△CDB．?? ? ?【参考答案】➢ 课前预习 1. ①能 ②能③不能；大小不相等 ④不能；大小不相等 ➢ 知识点睛1. 不在同一直线上，首尾顺次相接，△2. 能够完全重合，≌，对应边，对应角3. SAS ，SSS ，ASA ，AAS ➢ 精讲精练1. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠ACB =∠F2. AO =BO ，CO =CO ，∠A =∠B ，∠ACO =∠BCO3. AB =DE ，AC =DC ，BC =EC∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠ACB =∠DCE 4. AB =CD ，AC =CA ，BC =DA∠B =∠D ，∠BAC =∠DCA ，∠BCA =∠DAC 5. △AOB ，△DOC ，SAS6. △ABC ，△CDA ，SSS ；△ABC ，△CDA ，AAS7. C8. AC =BC ，SSS （答案不唯一） 9. BE =CE ，SAS （答案不唯一） 10. AB =CD ，AAS （答案不唯一）11. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS 12. A ，D ，EF ，CF 13. △BCE ，SAS ，CE 14. 证明：如图，在△ABC 和△ADE 中 ??BAC = ?DAE （已知） ??B = ?D （已知） ?BC = DE （已知） ∴△ABC ≌△ADE （AAS ） 15. 证明：如图，在△ADC 和△AEB 中??A = ?A （公共角） ?AC = AB （已知） ??C = ?B （已知） ∴△ADC ≌△AEB （ASA ）21??16. 解：如图，ADB C ∵AB ∥CD ∴∠1=∠2在△ABD 和△CDB 中 ? AB = CD （已知） ??1 = ?2 （已证） ?BD = DB （公共边） ∴△ABD ≌△CDB （SAS ）。
全等三角形证明经典题含答案
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴得：AE=BD，
∵AF=CD,EF=BC，
∴三角形AEF全等于三角形DBC，
∴∠F=∠C。
9.：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C
证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，〔当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点〕。那么：
在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC
20.〔12分〕如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
∵AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE
△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD
∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量〕
∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.
10.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB
在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP
∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜〔AC－AE〕＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC
∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC〔SAS〕
∴AD＝AF
全等三角形证明经典40题含答案(供参考)
1.已知：AB=4, AC=2, D是BC中点，AD是整数，求AD的长.解：延长AD到E使AD=DEYD是BC中点ABD=DC^EAACD和厶BDE中AD=DEZBDE=ZADCBD=DCAAACD^ABDEAAC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BE<AE<AB+BEVAB=4即4・2V2ADV4+21<AD<3AAD=22.已知：BC=ED, ZB二ZE, ZC=ZD, F 是CD 中点，求证：Z1 = Z2证明：连接BF和EF••• BC=ED.CF=DE ZBCF=ZEDF・•.三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)••• BF=EEZCBF=ZDEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF••• ZEBF=ZBEFo••• ZABC=ZAEDc••• ZABE=ZAEBo/. AB=AEo在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE.BF=EEZABF=ZABE+ZEBF=ZAEB+ZBEF=ZAEF ・•.三角形ABF和三角形AEF全等。
••• ZBAF=ZEAF(Zl=Z2)o3.已知：Z1=Z2, CD=DE, EF//AB,求证：EF=AC过C作CG〃EF交AD的延长线于点GCG/7EF,可得，ZEFD=CGDDE=DCZFDE=ZGDC (对顶角)•••△ EFD^ACGDEF=CGZCGD=ZEFD又，EF〃AB•••, ZEFD=Z1Z1=Z2AZCGD=Z2・•・△ AGC为等腰三角形，AC=CG又EF=CG・・・EF=AC4.已知：AD 平分ZBAC, AC=AB+BD,求证：ZB=2ZC证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DE TAD 平分ZBAC •••ZEAD=ZCADVAE=AC, AD=ADAAAED^AACD (SAS)AZE=ZCVAC=AB+BDAAE = AB+BDVAE = AB+BE•••BD = BEAZBDE=ZEAZABC=2ZEAZABC=2ZC5.已知：AC 平分ZBAD, CE丄AB, ZB+ZD=180° ,求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF=EB,连接CFICE丄ABAZCEB = ZCEF=90°VEB=EF, CE=CE,AACEB^ACEF(SAS)AZB = ZCFEVZB4-ZD=180° , ZCFE+ZCFA=180°AZD=ZCFAVAC 平分ZBADAZDAC=ZFACVAC=ACAAADC^AAFC (SAS)•••AD = AF•••AE=AF+FE=AD+BE6.如图，四边形ABCD中，AB〃DC, BE、CE分别平分ZABC、ZBCD,且点E在AD 上。
《全等三角形》讲义(完整版)
全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。
补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。
（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB DCFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一： 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。
(完整版)全等三角形证明经典50题(含答案)
证明：连接 BF 和 EF T BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 ADD • BF=EF, / CBF= / DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF • / EBF= / BEF 。
： / ABC= / AED 。
二 / ABE= / AEB 。
• AB=AE 。
在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF, / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF • 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。
•/ BAF= / EAF （ /仁/ 2）4.已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB ，求证：EF=AC解：延长 AD 到E,使AD=DE •/ D 是BC 中点二BD=DC 在厶 ACD 和^ BDE 中 AD=DE / BDE= / ADCBD=DC /•△ ACD ◎△ BDE ••• AC=BE=2 •••在△ ABE 中 AB-BE V AE V AB+BE •/ AB=4 即 4-2 V 2AD V 4+21 V AD V 3 • AD=21 2.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证：CD —AB 2A CG// EF ,可得，/• △ EFD ^A CGD•，/ EFD =Z 1过C 作CG // EF 交AD 的延长线于点GEFD = CGDDE = DC / FDE =Z GDC （对顶角） EF = CG / CGD =Z EFD 又，EF // AB / 1= / 2 •/ CGD =Z 2 • △ AGC 为等腰三角形， AC = CG 又 EF = CG 「. EF = AC 延长CD 与P ,使D 为CP 中点。
连接 AP,BP •/ DP=DC,DA=DB • ACBP 为平行四边形又/ ACB=90 •平行四边形 ACBP 为矩形 • AB=CP=1/2AB 3.已知：BC=DE ，/ B= / E ,Z C=Z D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2 5.已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ，求证：/ B=2 / C证明：延长 AB 取点E ,使AE = AC ,连接DE •/ AD 平分/ BAC• / EAD =Z CAD•/ AE = AC , AD = AD • △ AED 也厶 ACD （ SAS ）•••/ E = Z C•/ AC = AB+BD •AE = AB+BD•/ AE = AB+BE •BD = BE •••/ BDE =Z E •••/ ABC =Z E+ / BDE •••/ ABC = 2 / E •••/ ABC = 2 / C ••• AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形ABCD中，AB 在AD上。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
BPAa专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA%③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .，【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形 已知：如图，线段a ，b ，c.'求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形 已知：如图，线段m ，n, ∠ .求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.…【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.@随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角#C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半%C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
(完整)全等三角形经典例题(含答案),推荐文档
全等三角形证明题精选一．解答题（共30小题）1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是： ；（2）证明： ．20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设： ；结论： ．（均填写序号）证明：24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 （均填序号）；（2）证明你写出的命题．27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．全等三角形证明题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BE=DF，∴BE﹣EF=DF﹣EF，即BF=DE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，在Rt△ADE与Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF；（2）如图，连接AC交BD于O，∵Rt△ADE≌Rt△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．（2016•曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE=∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC=EF，∴CB﹣EC=EF﹣EC，∴EB=CF，∵BF=13，EC=5，∴EB==4，∴CB=4+5=9．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．3．（2016•孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∴∠ADB=∠AEC=90°，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（ASA）∴AB=AC，又∵AD=AE，∴BE=CD．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2016•湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．（1）求证：△AOD≌△BOC；（2）求证：AD∥BC．【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，∴AO=BO，CO=DO．在△AOD和△BOC中，有，∴△AOD≌△BOC（SAS）．（2）∵△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．5．（2016•云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．【解答】证明：∵点C是AE的中点，∴AC=CE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠B=∠D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．6．（2016•宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAC．在△ADE和△BAC中，，∴△ADE≌△BAC（ASA），∴AE=BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．7．（2016•十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠FED，在△ABF和△DEF中，，∴△ABF≌△DEF，∴AF=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．8．（2016•武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，∴AB∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．9．（2016•昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB求证：AE=CE．【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．10．（2016•衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，∴AC+CD=BD+CD，∴AD=BC，在△AED和△BFC中，，∴△AED≌△BFC（ASA），∴DE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．11．（2016•重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵CE∥DF，∴∠ACE=∠D，在△ACE和△FDB中，，∴△ACE≌△FDB（SAS），∴AE=FB．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．12．（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABN中，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．13．（2016•恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°．∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．14．（2016•重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC 和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（SAS），∴∠B=∠E．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．15．（2016•湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在RT△DEB和RT△DFC中，，∴△DEB≌△DFC，∴∠B=∠C，∴AB=AC．（2）∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，∵AC2=AD2+CD2，∴4a2=a2+（2）2，∵a＞0，∴a=2，∴AC=2a=4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．16．（2016•吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∴BC=BF，BD=BA，∴CD=AF，在△DGC和△AGF中，，∴△DGC≌△AGF，∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，∴∠CBG=∠FBG，∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．17．（2016•武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90，在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴△ACB≌△BDA（HL）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．18．（2016•济宁二模）已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】求出BC=FE，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出全等即可．【解答】证明：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=FE，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．（2016•诏安县校级模拟）已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．（1）你添加的条件是： ∠MAB=∠NCD ；（2）证明： 在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）． ．【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠MAB=∠NCD，或BM=DN或∠ABM=∠CDN．【解答】解：（1）你添加的条件是：①∠MAB=∠NCD；（2）证明：在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA），故答案为：∠MAB=∠NCD；在△ABM和△CDN中∵∠M=∠N，AM=CM，∠MAB=∠NCD∴△ABM≌△CDN（ASA）．【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．20．（2016•屏东县校级模拟）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【分析】要证∠B=∠C，可利用判定两个三角形全等的方法“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”证△ABE≌△ACD，然后由全等三角形对应边相等得出．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．【点评】本题主要考查了两个三角形全等的其中一种判定方法，即“边角边”判定方法．观察出公共角∠A是解决本题的关键．21．（2016•沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．【分析】易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．22．（2016•福州）一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．【分析】在△ABC和△ADC中，由三组对边分别相等可通过全等三角形的判定定理（SSS）证得△ABC≌△ADC，再由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ADC中，有，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出△ABC≌△ADC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等是关键．23．（2012•漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设： 可以为①②③ ；结论： ④ ．（均填写序号）证明：【分析】此题可以分成三种情况：情况一：题设：①②③；结论：④，可以利用SAS 定理证明△ABC≌△DEF；情况二：题设：①③④；结论：②，可以利用AAS证明△ABC≌△DEF；情况三：题设：②③④；结论：①，可以利用ASA证明△ABC≌△DEF，再根据全等三角形的性质可推出结论．【解答】情况一：题设：①②③；结论：④．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠1=∠2；情况二：题设：①③④；结论：②．证明：在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC=EF，∴BC﹣FC=EF﹣FC，即BF=EC；情况三：题设：②③④；结论：①．证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，此题为开放性题目，需要同学们有较强的综合能力，熟练应用全等三角形的全等判定才能正确解答．24．（2009•大连）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）【分析】因为BE=CF，利用等量加等量和相等，可证出BC=EF，再证明△ABC≌△DEF，从而得出AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC（等量加等量和相等）．即BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠1，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．【点评】解决本题要熟练运用三角形的判定和性质．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．（2006•平凉）如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．【分析】探究思路：因为△ABO与△DCO有一对对顶角，要证∠1=∠2，只要证明∠A=∠D，把问题转化为证明△ABC≌△DCB，再围绕全等找条件．【解答】证明：在△ABC和△DCB中∵，∴△ABC≌△DCB．∴∠A=∠D．又∵∠AOB=∠DOC，∴∠1=∠2．【点评】本题是全等三角形的判定，性质的综合运用，可以由探究题目的结论出发，找全等三角形，再寻找判定全等的条件．26．（2006•佛山）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O 点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 ① 和 ③ ，命题的结论是 ② 和 ④ （均填序号）；（2）证明你写出的命题．【分析】本题实际是考查全等三角形的判定，根据条件可看出主要是围绕三角形ABE和ACD全等来求解的．已经有了一个公共角∠A，只要再知道一组对应角和一组对应边相等即可得出三角形全等的结论．可根据这个思路来进行选择和证明．【解答】解：（1）命题的条件是①和③，命题的结论是②和④．（2）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AB=AC，∠ABE=∠ACD．求证：OB=OC，BE=CD．证明如下：∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，∠BAC=∠CAB，∴△ABE≌△ACD．∴BE=CD．又∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=∠ABC﹣∠ABE=∠CBE，∴△BOC是等腰三角形．∴OB=OC．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，要注意的是AAA和SSA是不能判定三角形全等的．27．（2005•安徽）如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．做题时从已知结合全等的判定方法开始思考，做到由易到难，不重不漏．【解答】解：此图中有三对全等三角形．分别是：△ABF≌△DEC、△ABC≌△DEF、△BCF≌△EFC．证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D．又∵AB=DE、AF=DC，∴△ABF≌△DEC．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．28．（2004•昆明）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．【分析】利用已知条件易证△AEB≌△DEC，从而得出AE=DE．【解答】证明：∵AD∥BC，∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，在△AEB与△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS），∴AE=DE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．29．（2004•淮安）如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．【分析】可以有三个真命题：（1）②③⇒①，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以DE=EC；（2）①③⇒②，可由SAS证得△ADE≌△BCE，所以∠1=∠2；（3）①②⇒⑧，可由ASA证得△ADE≌△BCE，所以AE=BF，∠3=∠4．【解答】解：②③⇒①证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB．在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴DE=EC．①③⇒②证明如下：∵∠3=∠4，∴EA=EB，在△ADE和△BCE中，，∴△ADE≌△BCE，∴∠1=∠2．①②⇒⑧证明如下：在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE．∴AE=BE，∠3=∠4．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；题目是一道开放型的问题，选择有多种，可以采用多次尝试法，证明时要选择较为简单的进行证明．30．（2011•通州区一模）已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，求证∠BCF+∠B=90°，可得∠ACF=∠B，再利用（AAS）求证△BCF≌△CAE即可．【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD∴∠AEC=∠BFC=90°∴∠BCF+∠B=90°∵∠ACB=90°，∴∠BCF+∠ACF=90°∴∠ACF=∠B在△BCF和△CAE中∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CE=BF．【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，解答此题的关键是利用（AAS）求证△BCF≌△CAE，要求学生应熟练掌握．。
完整版)全等三角形经典例题(含答案)
完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。
证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。
2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。
证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。
3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。
证明：BE=CD。
4.点O是线段AB和线段CD的中点。
证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。
5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。
证明：∠B=∠D。
6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。
证明：AE=BC。
7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。
证明：AF=DF。
8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。
证明：AB∥DE。
9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
证明：AE=CE。
10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。
证明：DE=CF。
11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。
证明：AE=FB。
12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。
13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。
证明：AB=AC。
14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。
证明：∠B=∠E。
15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。
16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。
全等三角形证明50题(含答案)
全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=2ADBC2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF ∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）BA CDF2 1 EEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DEADB C∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=28. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=29.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF。
(完整版)全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13—2就是全等图形图13-1图13—2(2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形,则称为全等多边形。
例如：图13—3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形,经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.（4）全等多边形的表示例如：图13—5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13—5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置.（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
（6)全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别 (1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
(2)根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.相似三角形的识别法中有一个与(SSS ）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时,就成为全等三角形。
(3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS ）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等.A BDC E B'A’ C ’D ’E’（5)根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别(1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)
BPAa【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E求证：DE BD CE =-NEDCBA【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，求证：DE AD BE =+.EDCBA专题 三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型：① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a，b，c.求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m，n, ∠α.求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c .求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.随堂练习1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析一、利用三角形全等测距离目的：变不可测距离为可测距离。
全等三角形的证明题及答案（推荐4篇）
全等三角形的证明题及答案（推荐4篇）本站小编为你整理了多篇相关的《全等三角形的证明题及答案(推荐4篇)》，但愿对你工作学习有帮助，当然你在本站还可以找到更多《全等三角形的证明题及答案(推荐4篇)》。
第一篇：证明三角形全等全等三角形问题中常见的辅助线的作法一、倍长中线（线段）造全等例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD 平分∠BAE.A二、截长补短1、如图，∆ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：CD⊥ACEFBDC2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD求证;AB ＝AC+BDA3、如图，已知在ςABC内，∠BAC=60，∠C=400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。
CABDECB应用：1、（09崇文二模）以∆ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt∆ABD和等腰Rt∆ACE，∠BAD=∠CAE=90︒,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及求证：BQ+AQ=AB+BP数量关系．（1）如图① 当∆ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt∆ABD绕点A沿逆时针方向旋转θ(0︒C4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180C5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PCA四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平应用：分线AD,CE相交于点O，求证：OE=ODBBC2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.A（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE 的长.BGCFD三、平移变换例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.应用：1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
全等三角形证明经典40题(含答案)
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长.解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22.已知：BC=ED，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADB C3. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG∥EF 交AD 的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE ＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG又 EF ＝CG∴EF ＝AC4. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE∵AD 平分∠BAC∴∠EAD ＝∠CAD∵AE ＝AC ，AD ＝AD∴△AED ≌△ACD （SAS ）∴∠E ＝∠C∵AC ＝AB+BD∴AE ＝AB+BD∵AE ＝AB+BE∴BD ＝BE∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC ＝∠E+∠BDEBACDF21 EA∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF(SAS)∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
全等三角形证明经典题(含答案)
全等三角形证明经典题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长. 解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点, ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中∵AD=DE,∠BDE=∠ADC,BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△AB 中,AB-BE ＜AE ＜AB+BE又∵AB=4,即4-2＜2AD ＜4+2,则 1＜AD ＜3∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：AB=2CD. 证明：延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2. 证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF. ∵ ∠ABC=∠AED ， ∴ ∠ABE=∠AEB ， ∴ AB=AE.在三角形ABF 和三角形AEF 中∵ AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等， ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2).4、已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC.证明：过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G ，可得，∠EFD ＝CGD∵DE ＝DC ，∠FDE ＝∠GDC ∴△EFD ≌△CGD∴EF ＝CG ，∠CGD ＝∠EFD∵EF ∥AB ，∴∠EFD ＝∠1∵∠1=∠2，∴∠CGD ＝∠2 ∴△AGC 为等腰三角形，即AC ＝CG又 EF ＝CG ∴EF ＝AC.A D BCB A CD F2 1 E5、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C.证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD ∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD，∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE，∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB ，∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD ，∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC ，∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF ，∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE.6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
八年级全等三角形简单证明题及解答(5道)
汇报人：XX
目 录
• 题目一：基本的全等三角形证明 • 题目二：利用角平分线性质证明 • 题目三：通过边边边条件证明 • 题目四：结合中线性质进行证明 • 题目五：综合应用多种性质证明 • 总结与拓展
01
题目一：基本的全等三角形证明
题目描述
• 已知三角形$ABC$和三角形$DEF$，其中$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle BAC = \angle EDF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。
由第二步可知，△BDE∽△CFD。
详细解答
4. 第四步，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以BD/CF=DE/DF。
5. 第五步，因为BD=AD（已知），所以AD/CF=DE/DF。又因为AE/EC=DE/EF（已知）， 所以AD/CF=AE/EC。
6. 第六步，交叉相乘得AD*EC=AE*CF，即AE/AD=EC/CF。又因为∠A=∠ACF（对顶角相 等），所以△ADE∽△ACF。
第三步，根据相似三 角形的性质，有 AB/AC = BD/DC。
综上，我们证明了 AB/AC = BD/DC。
03
题目三：通过边边边条件证明
题目描述
已知
△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF。
求证
△ABC ≌ △DEF。
题目描述
【分析】
本题主要考察全等三角形的判定方法——边边边条件。根据已知条件，我们可以 直接应用边边边定理来证明两个三角形全等。
题目描述
01
【解答】
02
证明
03
04
∵ 在△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，AC = DF（已
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全等三角形证明经典题(含答案)全等三角形证明经典题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4 即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。
连接AP,BP∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90 ∴平行四边形ACBP 为矩形∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 AD BC4.5. 证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。
∵ ∠ABC=∠AED 。
∴ ∠ABE=∠AEB 。
∴ AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGDDE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGDEF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又 EF ＝CG ∴EF ＝ACB ACDF21E7.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE ＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C8.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE ∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC ∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE9.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180º∵∠BFE+∠CFE=180º∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCE CE 平分∠BCD CE=CE∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CAB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，∵∠EAB=∠BDE ，∴∠AED=∠ABD ，∴四边形ABDE 是平行四边形。
∴得：AE=BD ，∵AF=CD,EF=BC ，∴三角形AEF 全等于三角形DBC ，∴∠F=∠C 。
11. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠CA B CDD C B A FE证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：△AED是等腰三角形。
∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE (等量加等量，或等量减等量）∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.12.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E，使AE＝AB。
∵AE＝AB AP＝AP ∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。
PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。
13.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD∴AC – AB =AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，P DACB∴AE 垂直BD ∵BE ⊥AE ∴点E 一定在直线BD 上，在等腰三角形ABD 中，AB=AD ，AE 垂直BD ∴点E 也是BD 的中点∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE14. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC∵作AG ∥BD 交DE 延长线于G ∴AGE 全等BDE ∴AG=BD=5∴AGF ∽CDF AF=AG=5∴DC=CF=215. 如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．16. 解：延长AD 至BC 于点E,17. ∵BD=DC ∴△BDC 是等腰三角形18. ∴∠DBC=∠DCB 又∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠219. 即∠ABC=∠ACB ∴△ABC 是等腰三角形 ∴AB=AC在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC∴△ABD 和△ACD 是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是△ABC 的中垂线∴AE ⊥BC ∴AD ⊥BC20. 如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA证明：∵OM 平分∠POQ ∴∠POM ＝∠QOM ∵MA ⊥OP ，MB ⊥OQ∴∠MAO ＝∠MBO ＝90FA E DC B∵OM ＝OM ∴△AOM ≌△BOM （AAS ）∴OA ＝OB ∵ON ＝ON∴△AON ≌△BON （SAS ）∴∠OAB=∠OBA ，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB ＝180∴∠ONA ＝∠ONB ＝90∴OM ⊥AB21. （5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC22.如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。
求证：△AED ≌△BFC 。
F E D CB A证明：∵DF=CE ，∴DF -EF=CE-EF ，即DE=CF ，在△AED 和△BFC 中，∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC （SAS ）PED C BA23.如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC的中线。
M FE C BA证明：∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线.24.（10分）如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。
求证：BD ⊥AC 。
DC B A∵△ABD 和△BCD 的三条边都相等∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD ⊥AC25.（10分）AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CFF DCB A在△ABD 与△ACD 中AB=AC BD=DC AD=AD △ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC在△BDF 与△FDC 中BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF=FC26.（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：AF=DE。
FEDCBA∵AB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE∴AF=DE27.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠C BM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE 28.已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS）29. 已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
连接BD ；∵AB=AD BC=D ∴∠ADB=∠ABD ∠CDB=∠A BD;两角相加，∠ADC=∠ABC ；∵BC=DC E\F 是中点∴DE=BF ；∵AB=AD DE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF 。
30. 如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．C A证明：在△ADC ，△ABC 中∵AC=AC ，∠BAC=∠DAC ，∠BCA=∠DCA∴△ADC ≌△ABC （两角加一边）∵AB=AD ，BC=CD在△DEC 与△BEC 中∠BCA=∠DCA ，CE=CE ，BC=CD∴△DEC ≌△BEC （两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC31. 已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又∵BC//EF ∴∠F=∠BCA∴△ABC≌△DEF （ASA ）32. 已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．证明：∵BD ⊥AC ∴∠BDC=90°∵CE ⊥AB ∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt △BDC ≌Rt △BEC （AAS)∴BE=CD33. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。