电子科技大学随机过程第一章讲解
电子科技大学随机过程覃思义sjgc课件

06
随机过程在通信中的 应用
信号检测与估计
信号检测
在通信系统中,信号检测是接收端对发送端发送的信号进行识别和判断的过程。随机过 程理论在信号检测中发挥了重要作用,通过对信号的统计特性进行分析,实现信号的有
效检测。
VS
常见的多用户检测算法包括匹配滤波 器、最小均方误差、最大似然等,这 些算法在理论上均可以利用随机过程 理论进行推导和优化。
无线通信中的信号处理
无线通信环境复杂多变,信号处理技术对于保证通信系统的 稳定性和可靠性至关重要。利用随机过程理论,可以对无线 信道中的噪声、干扰等影响因素进行分析和控制,提高信号 传输的质量和可靠性。
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性 和可交换性等性质,这些性质在 计算和推导中具有重要应用。
数学期望的运算
数学期望的运算包括求和、乘法 、极限等运算,这些运算在计算 随机变量的数学期望时是必要的 。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值, 用于描述随机变量取值分散的程度。
在数字信号处理、控制系统分析和离 散时间系统模拟等领域中广泛应用, 通过Z变换可以将离散时间序列转换 为复平面上的函数,从而更好地分析 系统的频率响应和稳定性。
05
随机过程优化
最优估计理论
最小方差无偏估计
在所有无偏估计中,具有最小方差的估计被称为最小方差无偏估 计。
一致性估计
随着样本量的增加,估计值会逐渐接近真实值,这种估计被称为一 致性估计。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量,其 值可以为正、负或零。
电子科技大学随机过程第一章概要

上的二 T Ω
1)当固定 t T , X t (ω ) 在(Ω, F, P)上的随机变量;
结果), 数.
是一个定义
Ω 2) 定义1.1.2 当固定 ω0 (对于特定的试验
是一个定义在 T 上的普通函数(自变 x t (ω 0 ) 的一个样本函 { X t ( ), t T } 量为t).称为随机过程
当T={(x, y):a<x<b, c<y<d),}
时间序列 随机过程
{ X t (ω), t T }
平面随机场
随机过程是n 维随机变量,随机变量序列的 一般化,是随机变量X t , t 的集合 . T 用E表示随机过程 X t , t 的值域 T ,称为过程的状 态空间.
电子科技大学
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -40
此例中样本 函数是什么? 粒子运动轨迹
电子科技大学
80 100 120
-20
0
20
40
60
样本函数的几个例子
18.11.7
Ex.1.1.2 Xt(ω) = αcos(βt+Θ), Θ~U(0, 2π)
θ 1 =5.4938 θ 2 = 1.9164 θ 3 = 2.6099
18.11.7
称事件“X t x ”为在时刻 t 时随机过程 X t 处于状态x 按状态空间和参数集的不同情况, 可将随机 过程分为四类, 列入下表 随机过程
状态空 间E
参数集 T
离 散 连 续
离 散
非离 散
(离散参数)链 (连续参数)链
随机序列
电子科技大学
随机过程
18.11.7
Ex.1.1.1 质点布朗运动 设质点在直线上 随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左 或向右移动.
西安电子科技大学讲义-随机过程

第一章随机过程 1
第一章随机过程
本章主要内容:
随机过程的基本概念
●随机过程的数字特征
●随机过程的微分和积分计算
●随机过程的平稳性和遍历性
●随机过程的相关函数及其性质
●复随机过程
●正态分布的随机过程
第一章我们介绍了随机变量,随机变量是一个与时间无关的量,随机变量的某个结果,是一个确定的数值。
例如,骰子的6面,点数总是1~6,假设A面点数为1,那么无论你何时投掷成A面,它的点数都是1,不会出现其它的结果,即结果具有同一性。
但生活中,许多参量是随时间变化的,如测量接收机的电压,它是一个随时间变化的曲线;又如频率源的输出频率,它随温度变化,所以有个频率稳定度的范围的概念(即偏离标称频率的最大范围)。
这些随时间变化的
随机变量就称为随机过程。
显然,随机过程是由随机变量构成,又与时间相关。
随机过程讲义 第一章

第一章 随机过程及其分类在概率论中,我们研究了随机变量,n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量,但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广,即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量,这就是随机过程。
1. 随机过程的概念定义:设),,(P ∑Ω是一概率空间,对每一个参数T t ∈,),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量,则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集,称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法: 用映射表示T X ,R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数,固定T t ∈,),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数,即为一随机变量;对于固定的Ω∈ω,),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数,通常称为样本函数,或称随机过程的一次实现,所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有:(1)},2,1,0{0 ==N T ;(2)},2,1,0{ ±±=T ;(3)],[b a T =,其中a 可以取0或∞-,b 可以取∞+。
当参数取可列集时,一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间,记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中,随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1:抛掷一枚硬币,样本空间为},{T H =Ω,借此定义:⎩⎨⎧=时当出现,时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ,则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
随机过程第一章课件

5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例二】参数连续离散型随机过程:脉冲数字通信系统。 该系统传送的信 号是脉宽为 T0 的脉冲信号,每隔 T0 送出一个脉冲。脉冲幅度X t 是一个随机变量,它可能取四个值 2,1,1,2 ,且取这四个值的 概率是相等的,即
PX t 2 PX t 1 PX t 1 PX t 2 1 / 4
【分析】设 V 0,1,
1 2 , 得到几个样本函数,可以画出它们的波形(略) 4 3
5.2 随机过程分类和举例
【二】举例:
【例三分析续】正弦波随机过程:
X (2)当 t 0 时, 0 V ,故 X 0 的概率密度就是 V 的概率密度,即
otherwise 时, 1 当 t1 X t1 X 1 V cos V ,故 4 4 2 1 2 0 x f X1 x 2 0 otherwise 3 3 1 V ,故 当 t2 时,X t2 X 2 V cos 4 4 2 1 2 x 0 f X 2 x 2 0 otherwise
P X i 1 p, P X i 1 1 p 设质点在 t n 时偏离原点的距离为 Yn ,Yn 也是一随机变量,
于是
Yn X i ,
i 1
n
Y0 0
又设质点每次游动与该质点所处的位置无关,当 i k 时 X i 与 X k 是相互统计独立的随机变量。
则称
X t, , t T ,
为随机过程,简记为
X t , t T 。
一个随机过程 X t , t T 实际上是两个变量的二元函 数,其中 一个变量为样本空间 中 的 ,另一个为参 T 数集 t 中的 。
电子科大随机过程与排队论01

随机事件体F由Ω的全体子集(共26 =64个)构成; k F上的概率定义为P(A)= ,k为随机事件A包含 6 的样本点数;
(Ω,F,P)为概率空间。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20-12
古典概率空间
1) 样本空间由有限个样本点组成, Ω={ω1,ω2,…, ωn}; 2) 每个基本事件Ai={ωi},i=1,2,…,n出现的可能性 相等。
B发生的条件概率定义为:
P( AB) P(B | A) P( A)
给定概率空间(Ω,F,P),AF,且P(A)>0,对 任 意 BF 有 P(B|A) 对 应 , 则 条 件 概 率 P(B|A) 是 (Ω,F)上的概率,记P(B|A)=PA ,则(Ω,F,PA)也是 一个概率空间,称为条件概率空间。
设(Ω,F)是可测空间,如果定义随机事件体F上的实 值集函数P(A),AF满足: 1) 0≤P(A)≤1,AF; (非负性) 2) P(Ω)=1; (规范性) 3) AiF(i=1,2,…,),AiAj=Φ(i≠j),则等式
P( A i ) P( A i )成立 。
i 1 i 1
下一讲内容预告
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
常见的随机变量及其分布
n维随机变量 随机变量函数的分布
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20-22
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20-8
二、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果,称 为样本点,记为。全体样本点构成的集合,称 为样本空间,记为Ω。 样本空间Ω的子集组成的集类F,如果满足: 1. ΩF; 2. 若AF,则 A F; 3. 若AiF(i=1,2,…,),则 A i F ;
随机过程-第一章解析

2. 对于每个固定t0∈T,对应的X(t0,ω) 是 一个随机过程,是基本事件ω(或记e)的函数, 工程上有时把X(t0, ω)称作随机过程X(t) 在t= t0时的状态。 称X(t0)所能取的一切值的集合为状态空间 (或值域)记为I或E 如:例1中 I=[0,1,2,…]
例4中 I=[-1,1]
3. {X(t,e),t∈T,e∈Ω}看作t,e的二元 函数,简记为{X(t),t∈T } 对每个t∈T,对应的样本函数记为x(t) 若t0与e0都固定,X(t0,e0)是样本函数在 t0处的数值,叫状态空间中的一个状态。
例5:设随机过程X(t)
,
其中ω是常数,V服从在[0,1]上的均匀分布。
(1)写出X(t)的参数空间T ,状态空间I。
2、对任意两个固定t1,t2∈T,随机过程是二 个时刻的状态,是二个随机变量X(t1),X(t2), 称{F(X(t1)≤x1,X(t2) ≤x2)}=F(x1,x2;t1,t2) 称为随机过程X(t)的二维分布函数。
第一章 随机过程的基本概念 §1.随机过程及其概率分布
一、随机过程的概念
(一)引例与定义
例1:电话总机在[0,t]时间内收到的呼唤次数问题。当t0(>0) 固定时,总机在[0,t0]内收到的呼唤次数是个随机变量,记 为X(t0,ω)或X(ω)简写X,它的所有可能取值是0,1, 2,……,n ,……。这是相对时间t不变的“静止”的随机变 量,是概率论研究的问题。
2、对某个t0∈T,对应值是x1(t0),x2(t0),… xn(t0) … 是随机变量取值,记此随机变量为X(t0)。 对所有的t∈T对应X(t)是一族(无限多个) 随机变量,此结果是t的函数。
故我们要研究t从0→+∞。在[0,t]内收到的呼唤次数, 要用一族(无穷多个)随机变量来描述, 记成 {X(t,ω),t∈[0,+∞),ω∈Ω} 或 {X (t),t∈(0,+∞)}。这是一个随机过程,
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.4

m 1 n 1
若存在实数 I, 使对任意的ε> 0, 存在δ> 0, 只要
λ max {( xi 1 xi ), ( y j 1 y j )} δ
0 i n 1 0 j m 1
( 时, 对任意分点及 xi *,y j *) 的任意取法, 不等式
a f ( x )d [ g ( x )] a
电子科技大学
b b
3) 设α,β是任意常数,则
f ( x ) d [ g ( x )].
随机变量的数字特征
以上三个等式成立的意义是: 当等号右边存 在时, 左边也存在并相等. 4) 若a < c <b, 则有
a f ( x )dg ( x ) c b a f ( x ) dg ( x ) c f ( x ) dg ( x )
dF ( x ) F ( x ) p ( x ) 0 , dx
若R-S积分存在则
f ( x )dF ( x ) f ( x ) p ( x )dx
电子科技大学
随机变量的数字特征
二、二元R-S积分简介
假定二元函数 F ( x , y ) 满足下述条件: 1) 对于平面上任意矩形 a1 x b1 , a2 y b2 ,有
均成立.
则记
a xb c yd
f ( x , y )dF ( x , y ) lim σ
λ 0
lim f ( x i* , y * ) F ( xi , x i 1 ; y j , y j 1 ) I j
λ 0 j 0 i 0
m 1 n 1
称 积 分 I 为 f ( x, y ) 关 于 F ( x, y ) 在 矩 形 {( x, y ) : a x b, c y d } 上的 R-S 积分.
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (1)

5.4 齐次马氏链的状态为揭示齐次马氏链的基本结构,需对其状态按概率特性进行分类,状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础.EX.1设系统有三种可能状态E={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.电子科技大学电子科技大学以X (n )表示系统在n 时刻的状态, 并设{X (n ),n ≥0}是一马氏链. 在没有维修及更换的条件下, 其自然转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P 由矩阵P 可见,从“1”或“2”出发经有限次转移后总能到达“3”状态,而一旦到达“3”状态则永远停留在“3”.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.状态“1”, “2”与状态“3”有不同的概率特性.一、刻画状态特性的几个特征量二、状态类型分类三、状态类型判别条件四、状态间的关系五、状态空间的分解电子科技大学一、刻画状态特性的几个特征量定义5.4.4,记及对1,≥∈∀n E j i },)0(11,)(,)({ˆ)(i X n k j k X j n X P f n ij =−≤≤≠==称为(n 步)首达概率.系统从状态“i ”出发经过n 步转移后首次到达状态“j ”的概率特别地称)(n ii f 为首返概率;5.4 齐次马氏链的状态电子科技大学∑∞==1)(n n ijf称为最终概率.定义5.4.5 自状态i 出发迟早(最终)到达j 的概率为})0()(,1{i X j n X n P f ij ==≥=使存在定理5.4.1(首达概率表示式)有,及对1,≥∈∀n E j i ;10)1)(≤≤n ij f 2) 首达概率可以用一步转移概率表示为为状态i 的最终返回概率.ii f ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠=电子科技大学j i i i j i ji i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 证1)显然ii 1i 2j2)分析示意图如下})0(1,,2,1,)(,)({)(i X n k j k X j n X P f n ij =−=≠== .)0(1,,2,1,})({,)(⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−====∈≠i X n k i k X j n X P E i j i k k k ∪第1步第2步第n 步()01;n ij f ≤≤电子科技大学⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧===−==−≠≠≠−i X j n X i n X i X P n j i j i j i n )0(})(,)1(,,)1({11112 ∪∪∪()(),{()},1,2,,1(0).k n ij k i j f P X n j X k i k n X i ≠⎧⎫⎪⎪====−=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∪∑∑∑≠≠≠−=j i ji j i n 112 })0()(,)1(,,)1({11i X j n X i n X i X P n ===−=− ji i i j i j i ii j i n n p p p 1211112−−∑∑∑≠≠≠=定义5.4.2 对j ∈E , 称})0(,)(,1:min{i X j n X n n T ij ==≥=为从i 到达j 的首达时间.注:若右边是空集, 则令T ij =∞.随机变量EX.2在股票交易过程中令状态空间为E ={-1, 0, 1}各状态分别代表“下跌”,“持平”,“上升”.若X (0)=0, 有使<<<<k n n n 21电子科技大学 ,1)(,,1)(,1)(21===k n X n X n X }0)0(,1)(:min{01===X n X n t k 则121},,,,min{n n n n k == 注1T ij 表示从i 出发首次到达j 的时间.T ii 表示从i 出发首次回到i 的时间.注2 T ij 与首达概率之间有关系式:,2,1,,,},)0({)1)(∞=∈===n E j i i X n T P f ij n ij.,},)0({)2E j i i X T P f ij ij ∈=∞<=若X (0)=0, 有使 <<<<k n n n 21续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3}, “1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P T 13(1)1313{1(0)1}f P T X ====131,20p =ji i i j i j i i i j i n ij n n p p p f 1211112)(−−∑∑∑≠≠≠= 系统的工作寿命,有电子科技大学(2)1313{2(0)1}f P T X ===13{(0)1}P T n X ≥=研究首达概率和首达时间有实际工程意义.……13{(0)1}P T n X ≥=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10010110902012022017333231232221131211p p p p p p p p p P [0,],n 是系统在内运行的可靠性有1113122321,400p p p p =+=13{(0)1}k nP T k X ∞====∑()13n k nf∞==∑电子科技大学定理5.4.2概率与首达概率有关系式,任意步转移及对1,≥∈∀n E j i ∪∞==⊂==1}{})(,)0({m ij m T j n X i X 因证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X })(,)0({j n X i X ==故.)(1)()(m n jjnm m ijn ijpfp−=∑=电子科技大学})0()({)(i X j n X P P n ij===⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====i X j n X m T P nm ij )0(})(,{1∪},)0()({})0({1m T i X j n X P i X m T P ij nm ij ======∑=⎭⎬⎫⎩⎨⎧====∞=∪∩1}{})(,)0({m ij m T j n X i X ∪nm ij m T j n X i X 1},)(,)0({=====})(,)0({j n X i X ==故电子科技大学马氏性})()({})0(,11,)(,)({1j m X j n X P i X m k j k X j m X P nm ==⋅=−≤≤≠==∑=})()({1)(j m X j n X P f nm m ij ===∑=()1{(0)}{()(0),}nn ijij ij m P P T m X i P X n j X i T m =======∑.)(1)(m n jjnm m ijpf−=∑=定义5.4.1使,若存在对1,,≥∈∀n E j i ,0)(>n ijp称自状态i 可达状态j ,记为.j i →定理5.4.3的充分必要条件是0>ij f .j i →证:必要性因01)(>=∑∞=m m ijij ff 至少存在一个n 使,有)(>n ijf ()()()1nn m n m ijijjjm pfp−==∑()(0)0n ijjj fP ≥>定义5.4.3称若,,0}{E j T P ij ∈=∞=∑∞===1)(][n n ijij ij nfT E μ为从状态i 出发, 到达状态j 的平均时间(平均步数).充分性因j i →使,存在1≥n 01)()()(>=∑=−nm m n jjm ijn ijpfp则在中至少有一个大于零,故)()1(,,n ijijff 01)(>=∑∞=m m ijij ff 特别当i=j 称jj μ为状态j 的平均返回时间.电子科技大学二、状态类型分类状态分类是研究n 步转移概率的极限状态的基础, 能有效地揭示其深刻的统计规律.续EX.1设系统有三种可能状态E ={1, 2 ,3},“1”表示系统运行良好, “2”表示系统运行正常,“3”表示系统失效.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∞→100100100lim )(n n P该系统的状态“3”是吸收态, 经有限步均会被吸收, 直观分析可得有必要分析各种状态的类型.电子科技大学定义5.4.6对状态i ∈E , 最终返回概率为f ii ,若f ii <1,称状态i 是非常返的(或瞬时的).若f ii =1,称状态i 是常返的;若马氏链的每个状态都是常返的, 则称为常返马氏链.f ii =1表示系统从状态i 出发几乎必定会返回状态i .定义5.4.7对常返状态i ∈E , 平均返回时间为μii ,若μii <+∞, 称状态i 是正常返的;进一步, 根据常返状态的平均返回步数再划分为两类.注若μii = +∞, 称状态i 为零常返的。
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.3

y1=g1(x1,…,xn) ,…, yk=gk(x1,…,xn)
则 Yi=gi(X1,…,Xn), ( i=1,2,…,k)是随机变量. (Y1,Y2,…,Yk)的联合分布函数为:
F ( y1 , y2 , , yk ) P{Y1 y1 , Y2 y2 , , Yk yk }
P{ g1 ( X 1 , , X n ) y1 , , g k ( X 1 , , X n ) yk }
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随机变量的函数
2)关于一个(或几个)随机变量的函数
3)二维随机变量的变换
定理1.3.1 设(X1, X2)的联合密度为f(x1, x2),若 函数 y1 g1 ( x1 , x 2 ); y2 g 2 ( x1 , x 2 ). 满足下述条件:
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随机变量的函数
f [ x1 ( y1 , y 2 ), x 2 ( y1 , y 2 )] J
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随机变量的函数
证 Y1, Y2是随机变量,其联合分布函数为
F ( y1 , y2 ) f ( x1 , x2 )dx1dx 2
D
其中 D {( x1 , x2 ) : g1 ( x1 , x2 ) y1 , g2 ( x1 , , y2 ), x 2 x 2 ( y1 , y2 ).
x1 y1 J x 2 y1 x1 y 2 0 x 2 y 2
② 有连续的一阶偏导数; ③Jacobi行列式
则Y1=g1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度为
做积分变换
x1 x1 ( u1 , u2 ); x2 x2 ( u1 , u2 ).
y1
电子科技大学研究生随机过程思考题

电子科技大学研究生随机过程思考题随机过程思考题总结一、第零章(附录):1.如何准确理解“维”的含义?2.如何理解“定义在同一概率空间”?3.定义连续性随机变量的条件分布会遇到什么问题?二、第一章:1.随机过程可以描述哪些工程技术中的随机现象,试举例?来电次数、误码率是泊松过程,机器维修次数等。
天气预报。
2.为什么可以用有限维分布函数族描述随机过程的统计特性?柯尔莫哥洛夫定理可以证明,在一定条件下,随机过程和n维分布函数族是一一对应的,因此可以用有限维分布函数族描述随机过程的统计特性。
3.为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?均值函数表征了随机过程在各时间点上的平均特征。
方差函数描述了随机过程在各时点处的波动程度。
刻画两个不同时点随机过程状态之间的线性关联程度,转化为自相关函数的收敛问题。
关于随机过程的均方极限的存在性,均方连续性,可积性和可导性都可转化为自相关函数的性质讨论问题。
4.白噪声过程是否一定是独立过程?不一定。
标准高斯白噪声与[0,1]均匀分布的乘积得到的白噪声过程不独立不相关。
5.独立过程是否是独立增量过程?反之?独立过程是独立增量过程,反之不一定。
三、第二章:1.能否保证Y= CX 服从非退化正态分布?C的行列式不等于0,即C可逆。
2.随机振幅电信号是否是正态过程?可否写出任意n维概率密度?是,知道他的均值函数和协方差函数就可以写出他的任意n维概率密度。
={X(t), t∈T}是正态随机过程?利用正交矩阵变换验3.怎样验证随机过程XT证并写出算法依据?还有其他方法吗?特征函数四、第三章:1.在二阶矩随机变量空间除定义均方极限外,还可以定义其他极限吗?距离定义2.均方极限与普通函数极限有什么相似之处?都用了范数来衡量随机变量或者函数之间的距离,这个距离函数是非随机的普通函数,故二阶矩过程的均方极限实质上是普通函数的极限问题。
3.若,是否有?有施瓦兹不等式及三角不等式可知成立。
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (2)

第一章随机过程的基本概念§1.1 随机过程的定义及分布§1.2随机过程的数字特征§1.3 随机过程的基本类型§1.1 随机过程的定义及分布1.1.1 随机过程的直观背景观察研究随机现象随时间推移的演变过程.Ex.1从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T}中,研究是否存在某种确定或随机信号S(t )?过程检测Ex.2监听器上收到某人的话音记录{Z(t),α<t<β}试问他是否确实是追踪对象?过程识别Ex.3 人们记录下地球50年的气温数据探究:1. 气温有什么样的周期变化?2. 在气温周期变化规律下, 随时间的推移是否有变暖的趋势?Ex.4 雷达信号干扰,0t t τt X A S N t −=⋅+≥其中N t 是随时间变化的各种随机干扰的效应.A 反映信号经发射后的能量损失,τ则反映了雷达站与障碍物间距离. 由于各种随机干扰的存在, 雷达实际接收到的信号是某雷达站在t 时刻发出信号S t , 遇到障碍物后又反射回来, 接受到的发射信号为A·S t -τ, 其中抗干扰的重点是对反映干扰的这一随机过程N t 特性的研究.特点:关注对象是一族随时间或地点变化的随机变量.“一族”可指可列无限个,或不可列无限个.任务:将有限维随机向量的概念向“无限”推广.1.1.2 概率空间与随机向量(已介绍)电子科技大学1.1.3 随机过程定义,},)ω,({T t t X ∈定义1.1.8设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T , 有定义在(Ω,F , P )上的随机变量与之对应. 称依赖于t 的随机变量族X t 为随机过程(随机函数).Ω∈ωωX t ),(记为},)ω({T t X t ∈,},{T t X t ∈.},)({T t t X ∈注指标集T 又称参数集或参数空间.电子科技大学当T =(1,2, …,n ),),,,(},)ω,({21n X X X T t t X "=∈随机向量当T =(1,2, …, n,…),),,(},)ω,({21"X X T t t X =∈时间序列当T ={(x , y ):a <x <b , c <y <d },},)ω,({T t t X ∈平面随机场,或多维指标集随机过程随机过程是n 维随机变量,随机变量序列的一般化,是随机变量X (t ), 的集合.T t ∈电子科技大学为随机过程的状态空间(或值域).随机过程可视为质点M 随时间推移所作的随机运动变化过程.},{T t X t ∈随机事件表示随机过程在时刻t时处于状态x.}{x X t =称集合},)(:{T t x X x E t ∈==ωEx.5质点布朗运动设质点在直线上随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左或向右移动.若经无穷多次碰撞ωω()1()2{}{} {}{}t t t t ==记第次向左,第次向右,定义随机变量序列)1,2,(.ωω1,;ωω,1)ω()(2)(1"=⎪⎩⎪⎨⎧==−=t X t t t 则描述了直线上随机质点的运动.{}"1,2,:)ω(=t X t 其参数集T ={1,2,…}, 状态空间E ={-1, 1}.电子科技大学随机过程的理解}Ωω,:)ω,{(Ω∈∈=×T t t T 定义指标集和样本空间的积集随机过程是定义在积集上的二元函数:}),ω({T t X t ∈Ω×T )(,Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω1) 对固定的是一个定义在概率空间(Ω, F , P ) 上的随机变量;,T t ∈Ω∈ω,)ω(t X 2)当固定作为时间变量的函数,是一个定义在T 上的普通函数.Ωω0∈T t ∈)ω,(0t x )(,Ω∈∈=ω,),()ω(T t t X X t ω即对于特定的试验条件随机过程是定义在积集上的二元函数:}),ω({T t X t ∈Ω×TX(t1,ω)X(t2,ω)X(t n,ω)x(t,ω1)x(t,ω2)x(t,ω3) t1t2t n当t 变化时, 构成一族随机变量.对不同的ω得到不同的确定性函数.电子科技大学电子科技大学ω2= 1.9164ω3= 2.6099ω1=5.4938对不同的ω得到不同的确定性函数.Ex.6 随机相位正弦波X t (ω) = αcos(βt +Θ), Θ~U(0, 2π)电子科技大学定义1.1.9对每一固定ω∈Ω, 称x t (ω)是随机过程相应于ω的样本函数。
随机过程第一章

b
b
a
x dF ( x)
E[g(X1 , X 2 , E[X1X 2
X n )]
n
g ( x1 , x2 ,
xn ) dF ( x1 , x2 ,
xn )
X n ] E[X i ]
i 1
1.5.3 矩与联合矩 假设随机变量X 的概率密度函数为 f ( x),则定 义 1)绝对原点矩和联合绝对原点矩
(1) (2) (3) (4)
g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) g ( x)dF ( x) [m g ( x) ng ( x)]dF ( x) m g ( x)dF ( x) n g ( x)dF ( x) g ( x)d[mF ( x) n F (x)] m g ( x)dF ( x) n g( x)dF ( x) F(x)为X 连续随机变量的PDF g ( x) dF ( x)= g ( x)f ( x) dx
E [ XY ] E [ X ]E [ Y ]
2 2 2
2 2
1.6 特征函数和概率母函数
1.6.1 特征函数 随机变量X的特征函数定义为
( ) E[exp(j X )] exp( j x) f ( x)dx , 连续RV , R exp( j X i ) P(X X i ) , 离散RV i
4)事件域( F ) 样本空间的若干子集构成的集合
事件域性质
(1) F, F
(2) A,B F ,则A B F ,A-B F
(3) A n F , n 1,2,
(4) A F ,则A F
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (3)

§1.2 随机过程的数字特征在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族.过程的数字特征能反映其局部统计性质,在许多实际问题和理论问题中都能很好地满足研究目的.在某些特定情况下, 随机过程的数字特征可以完全确定其有限维分布.需确定各类数字特征随时间的变化规律.12∫+∞∞−∈==T t x xdF X E t m t t ,)()(ˆ)(为此过程的均值函数.定义1.2.1设和是两个实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω}),({T t Y t ∈ω1,),()()(−=∈+=j T t jY X Z t t t ωωω为复随机过程.定义1.2.2给定实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω1.2.1均值函数与方差函数3复随机过程的均值函数定义为Tt Y jE X E t m t t Z ∈+=,)()(ˆ)(定义1.2.3给定随机过程, 称{}T t X t ∈,2)}({)(ˆ)(t m X E X D t D t t −==为过程的方差函数.称为过程的均方差函数.)(t D 复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=4)]([)]([)(Z t m Y j t m X t m Z Y t X t t −+−=−因).()(})]({[})]({[)(22t D t D t m Y E t m X E t D Y X Y t X t Z +=−+−=故一般而言, 均值函数和方差函数是时间的函数.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征?复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=5方差函数描述了随机过程在各时点处的波动程度.仅描述了各个孤立时点过程的状态特征. 均值函数表征了随机过程在各时间点上的平均特征.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征?描述不同时刻过程状态的关联关系?6需要研究在两个不同时点随机过程状态间的关联关系.回顾两个随机变量的相关系数)()()()()()()(),(Y D X D Y E X E XY E Y D X D Y X Cov XY −==ρ刻画了随机变量X 与Y 的线性相关程度. 1.2.2 协方差函数与相关函数(相关系数)7以下引入的数字特征都是刻画两个不同时点随机过程状态之间的线性关联程度.定义1.2.4给定随机过程,s , t ∈T ,称}),({T t X t ∈ω)(σ)(σ),(ˆ),(t s X X Cov t s t s =ρ为过程的自相关系数函数. 称{})]()][([),(ˆ),(t m X s m X E X X Cov t s C t s t s −−==为过程的协方差函数.8称)(ˆ),(t s X X E t s R =为过程的自相关函数.重点研究内容2)]([),()(t m X E t t C t D t −==有(,)(,)()()C s t R s t m s m t =−特别当时0)(≡t m 零均值随机过程),(),(t s R t s C =对于复随机过程tt t jY X Z +=9自相关函数为)(ˆ),(t s Z Z Z E t s R =协方差函数为]})()][({[),(ˆ),(t m Z s m Z E Z Z Cov t s C Z t Z s t s −−==Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1),构成随机过程,≥+=t Vt U X t 计算过程的均值函数、方差函数及相关函数,并给出过程的一维和二维分布.对于复随机过程tt t jY X Z +=10解因,0)()(==V E U E 1)()(==V D U D 故均值函数为0,0)()(][)(≥=⋅+==t t V E U E X E t m t 方差函数为222)()(][)(Vt U E t m X E t D t +=−=0,1)()(2)(2222≥+=++=t t V E t UV tE U E U , V 相互独立Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1),构成随机过程,≥+=t Vt U X t11)(),(),(t s X X E t s R t s C ==)])([(Vt U Vs U E ++=0,,1)()()()(22≥+=+++=t s st V stE UV E t s U E 因)1,0(~2t N Vt U X t ++=故过程的一维概率密度为,,)1(21)()1(2222≥∈+=+−t R x et x f t xt π二维概率密度参见教材P17.协方差函数为12Ex.2(教材P9例1.1.1) 随机开关系统过程..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面;出现正面求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数.X (t )cos πt 2tp1/2 1/2解因对任意实数t ∈R, 有;cos 21)()(X t t X E t m t +==π;2cos 21)(222t t X E t +=ππ2221()()()(cos );2X tX D t E X m t t t =−=−注意到X s 与X t 不相互独立, 联合分布律为..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面;出现正面14s t s t X X E t s R t s X 2221cos cos 21)(),(××+==ππ.2cos cos 21ts s t +ππ=协方差函数为)()(),(),(t m s m t s R t s C −=)cos 21)(cos 21(]2cos cos 21[t t s s ts s t ++−+=ππππts t ss t s t +−−=ππππcos 2cos 2cos cos 41(X (t ),X (s ))(cos πt, cos πs ) (2t, 2s )p 1/2 1/215Ex.3随机振幅周期矩形波5.0}1{}1{===−=X P X P 设是振幅为常数C , 周期为L 的矩形波信号. 另有随机变量X , 其分布律为}0),({≥t t x 对任意t ≥0, 令, 过程称为随机振幅周期矩形波, 试求其均值函数, 方差函数以及自相关函数.)(t x X X t ⋅=}0,{≥t X t16]5.0)1(5.0)[())(()()(=⋅−+===t x t Xx E X E t m t ),(),(t s R t s C =)]()([)(t Xx s Xx E X X E t s ⋅==)()()(2X E t x s x =)()(t x s x =解周期矩形波{x (t )}2222()()[()]()()()t D t D X E Xx t x t E X x t ====)(t x X X t ⋅=5.0}1{}1{===−=X P X P17Ex.4设复随机过程,1∑==nk tj k t k eA Z ω其中为相互独立服从正态N (0,σk 2)的实随机变量,ωk 为常数, 试求m Z (t ), R Z (t 1,t 2).n k A k ,2,1, =解∑∑==+==nk k k k nk tj k t t j t A eA Z k 11)sin (cos ωωω∵∑∑==+=nk n k k k k k tA j t A 11sin cos ωω18]sin []cos [))((11=+=∴∑∑==n k nk k k k k t A E j t A E t Z E ωω22)(,,,2,1,kk k A E n k A σ==且相互独立因 ωω12121211(,)()[()()]k k nnj t j t Z t t k k k k R t t E Z Z E A eA e====∑∑ωω11cos sin nnt k k k k k k Z A t j A t===+∑∑∑∑==−=n k nl t t j k l k eA E 11)(][21ωω∑=−=nk t t j k k eA E 1)(221)(ω∑=−=nkttjk keAE1)(221)(ω∑=−=nkttjk ke1)(221ωσ∑=−+−=nkkkkttjtt121212)(sin)((cosωωσ思考题:为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?19201.2.3 多维随机过程及互相关函数类似于多维随机向量的概念,实际问题中常需要研究多维随机过程.Ex.5随机传输系统输入随机过程X t ,在系统L 的作用下,其输出为随机过程Y t .研究输入与输出过程间的相互关系,分析其整体统计特性.21Ex.6 n 台计算机通过一个有带宽限制的路由器获取网络数据,第i 台计算机获取数据的速度是随机过程:ni t X i t ,,2,1},0,{)( =≥需研究各台计算机的速度之间的关联关系.22定义1.2.5设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T, 有定义在(Ω,F , P )上的随机向量,ω∈Ω与之对应. 称)ω,,ω,ω)()()(()()2()1(n t t t X X X },)()()({()()2()1(T t X X X n t t t ∈)ω,,ω,ω 为n 维随机过程.可定义多个随机过程的联合分布函数.参见教材P21.23工程实践中常需要研究多维随机过程的不同过程在相同或不同时点处的关联关系.},0,{≥t X t },0,{≥t Y t st引进两个随机过程的互相关函数.s X tX s Y24定义1.2.7 给定两个复随机过程},{)1(T t Z t ∈称和},,{)2(T t Z t ∈),(Cov ),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z t s C =})]([)]({[)2()1()2()1(s m Z s m Z E Z t Z s −−=为两个随机过程的互协方差函数.][),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z E t s R =为两个随机过程的称画指标.25当时间s 和t 变动, 两个过程的互协方差函数和互相关函数反映了它们之间的整体相关程度.对实随机过程和},{T t X t ∈},{T t Y t ∈)()(),(),(Cov ),(T m s m Y X E Y X t s C Y X t s t s XY −==若对任意s , t ∈T),(=t s C XY )()()()()(t s Y X t s Y E X E T m s m Y X E ==或称两个过程互不相关.26若对任意s , t ∈T)(),(==t s XY Y X E t s R 称两个过程正交.Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程,即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈27解)()()()()()(t m t m N E X E Y E t m N X t t t Y +=+==)})({(),(t t s s Y N X N X E t s R ++=),(),(),(),(t s R t s R t s R t s R N NX XN X +++=特别当与相互正交,则},{T t X t ∈},{T t N t ∈),(),(),(t s R t s R t s R N X Y +=Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程,即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈28Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).解])[(),(t s a s YY Y X X E t s R −=+),(),(t s R t a s R XY XY −+=)]([)(),(t a t s t s XY X X X E Y X E t s R −==+),(),(t s R a t s R −+=代入),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=29),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=特别取s=t ,则)(])[(),(2t t a t YY Y D X X E t t R =−=+),(),(),(),(t t R a t t R t a t R a t a t R ++−+−++=Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).。
自编随机过程课件——1

做一次试验,可得到 一条表示t 时刻前接收到 的呼唤次数的非降阶梯 曲线(样本函数)。各 次试验所得的曲线是随 机的。所有这些样本函 数组成一随机过程。
0 x2(t)
t
0 xn(t)
t
0
t
例4 热噪声电压。对接收机的噪声电压做多次观测试验, 可得到如图所示的波形。每次试验后得到一条随时间变化的 电压曲线(确定性函数,样本函数) ,这样变化的波形在试 验前是不确定的,即任意一时刻的取值是不确定的;不同次 试验得到的结果是不同的,每一次试验所得到的波形是随机 的;所有这些可能的波形的集合,就构成了一个随机过程。 当t=t1时,各次试验取 值是不确定的,固定t时, 热噪声电压是一个随机变 量;t 变化时是一族随机 变量,表示一个随机过程。
注 : m t 表示X t 的所有样本函数在时刻t的平均值;
2、均方值函数 : 对固定的t , 随机变量X t 的
2 2 二阶原点矩 : X X t E t ;
3、方差函数 :
2 X
t DX t E ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ X t m t
数字特征计算举例:
例1 设A, B是两个相互独立的随机变量,且A ~ N 0,1 , B ~ U 0, 2 , 试求随机过程X t At B, t T , 的均值函数和自相关函数.
对每一固定的时刻t , X (t ) cos(t )是随机变量的 函数,从而也是随机变量;它的状态空间是[- , ].
在(0, 2 )内随机取一数 , 相应的就得到一个样本函数 x(t ) cos(t ), 这族样本函数的差异在于它们相位的不同,故这一过 程称为随机相位正弦波。
电子科技大学 随机过程 覃思义 第一章1sjgc1.0

令 t 0 得微分方程 dx ( t ) x( t ) dt
解得实值连续函数
x ( t ) x0 e , t 0.
2)随机性方法 设时刻t 细菌数为随机变量X(t),设(t, t+Δt)内 增加的细菌数与Δt 有关而与t 无关, 在X(t)=x条件下,X(t+Δt)变为x+1个的概率为
教学特点: 1. 立足于数学基本理论的介绍; 2. 力图帮助同学掌握随机分析的基本思 想和基本方法; 3. 尽量阐述清楚基本概念及相应的工程背景; 4. 尝试将各类随机 油
令t 0,得
d P X ( t ) x xPX ( t ) x x 1PX ( t ) x 1 dt 初始条件为
1, P X (0) x 0,
x x0; x x0 .
解得 x x0 x0 t t x x 0 PX ( t ) x C x 1 e (1 e ) , x x0
冰川运动
冰川消融
据四川台网测定:截止2008年7月8日8 时,汶川8.0级地震余震区共发生16 299次 余震,其中4.0~4.9级198次,5.0~5.9级28 次,6.0~6.9级5次,最大震级为6.4级。 汶川余震序列 汶川余震序列图1 汶川余震地点图 汶川余震序列图2
现象特点:关注一族随时间或地点变 化的随机变量,有自身的统计规律,而 且变量间有着内在的关联关系.
随机过程论:研究和描述随机现象演
变的概率统计规律.
随机过程理论是近代数学的重要组成 部分, 应用非常广泛,实际工程背景强. 二、研究方法
Ex. 设某种细菌群体的个数在时段(t, t+Δt)内 只能增加,增加的数量与t 时刻的细菌数成正比, 且x0=x(0)>0. 1) 确定性方法 设t 时刻的细菌数为x(t),有
随机过程第一章1.1

⎧1 f X0 ( x) = ⎨ ⎩0
0 ≤ x ≤1
28
⎧fV ( h( x )) h ′( x ) f X 3π ( x ) = ⎨ 0 4ω ⎩
⎧ 2 =⎨ ⎩0 ⎧ 2 =⎨ ⎩0
0 ≤ h( x ) ≤ 1 其它
0 ≤ − 2x ≤ 1 其它
2 − ≤x≤0 2 其它
随机过程应用广泛 随机过程在自然科学、社会科学以及工程 技术的各领域均有应用. ——在我校的一些专业:雷达、通信、无线电 技术、自动控制、生物工程、经济管理等领 域有着极为广泛的应用.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 3
引言
教材与参考教材
1.《随机过程——计算与应用》
冯海林 薄立军 西安电子科技大学出版社 2012
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
t
19
例2 的样本曲线与状态
X(t)
X(t) = A cos(ωt + Φ )
样本曲线x1(t)
状态X(t0)
t0
状态X(t0)
t 样本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 20
例3 的样本曲线与状态
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 15
随机过程定义的进一步解释: 1. X(ω t) 的两个特点:随机性与函数性. 因此, X(ω,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2. 对每一个固定的t, Xt 为一随机变量.随机变Xt(t∈T) 所有可能取值的集合,称为随机过程X(ω,t) 的状态 空间,记为S. S中的元素称为状态. 3. 对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为随机过程的一个样本函数. 或样本轨道. 样本函数的图形称为样本曲线.
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解 1) 已求得A=a时,X t 的条件概率密度为
f
Xt
A
(
x
a)
π 0,
1 ,
a2 x2
x a;
其它. 怎样求f Xt ( x)?
电子科技大学
19.6.2
f Xt ( x) f Xt ,A( x, a)da
f Xt A( x a) f A(a)da
的随机过程 Xt (), t,以T该 函数族 为其有限维分
布函数族.
电子科技大学
19.6.2
如何确定随机过程的分布?
Ex.1.1.5 设随机过程
Xt acos(t ), t R,
其中a, ω是正常数, 随机变量Θ~U(-π, π), 试求过程的一维概率密度.
解 : 利用特征函数法
电子科技大学
19.6.2
(布朗运动) 漂浮在液面的微小粒子,不断进行
杂乱无章的运动. 这种运动是由于大量随机的、
相互独立的分子碰撞的结果. 用(Xt, Yt)表示t 时 刻粒子的位置, 由于运动的无规则性, 当时间 t 改
变时Xt 和Yt 都是随机变量, 二维随机过程{(Xt, Yt), t ≥0}描述了粒子的运动过程.
若经无穷多次碰撞
记
{ω1(n) } {第n次碰撞后向左},
{ω(2n) } {第n次碰撞后向右},
随机变量序列
电子科技大学
19.6.2
X
n
(ω)
1, 1,
ω ω1(n);
ω
ω(n) 2
.
(n 1,2,)
则 Xnω: n 1,2, 描述了质点的随机运动.
其参数集T ={1,2,…}, 状态空间E={-1, 1}.
随机过程的理解
称 T Ω {(t,ω) : t T ,ω Ω}
为集合T 与Ω的积集.
电子科技大学
19.6.2
随机过程 Xt可(ω看) 成定义在积集 上T的Ω二
元函数:
1)当固定t T , Xt (ω) 是一个定义
在(Ω, F, P)上的随机变量;
{Xt (ω), t T } ( X1, X2 ,, Xn )
电子科技大学
随机向量
当T=(1,2, … , n,…),
{Xt (ω), t T } ( X1, X2 ,)
当T=[0,+∞),
{Xt (ω), t T }={Xt (ω), t [0,)}
当T={(x, y):a<x<b, c<y<d),}
电子科技大学
19.6.2
Ex.1.1.3 独立重复抛一个均匀硬币,定义
一个随机过程如下
1, 第n次出现正面;
Xn
1,
第n次出现反面.
本题中T, E , Ω,样本函数分别是什么?
解 将抛第n 次硬币的试验记为En , 过程试验 为无穷维积集
记
E1 E2 En
{ω1(n) } {第n次 出 现电正子面科},技{ω大(2学n) } {第n次 出 现 反 面},
2 y或
2 y
2且 2 x;
1,
2 x, 2 y;
问题 随机变量X0电和子X科π/技4是大否学 相互独立?
19.6.2
Ex. 1.1.7 (脉冲位置调制信号) 一个通信系统传输的信号 Yt (ω) 称为脉冲位置 调制信号,它的一个样本函数如图所示,
xt (1)
19.6.2
1
2
3
4
t
随机开关系统
输出xt (ω1) =cosπt
输入
子系统1
输出xt (ω2) =2t 子系统2
电子科技大学
19.6.2
二.随机过程的分布
要了解随机过程的演变规律,需描述过程 对应的这族随机变量的统计特性.
1、分布函数
定义1.1.3 随机过程 { Xt (ω), t T } , 对任意 t∈T, 随机变量Xt(ω)的分布函数为
1
0 f Xt A( x a)da
1
|x|
π
1 da,
a2 x2
x 1;
0
其它 .
1
ln(
1
1 x2 ),
π
x
x 1;
0, 电子科其技它大. 学
19.6.2
Ex.1.1.6 设随机过程 Xt (), t R只有两条样
本函数
xt (1) 2cos t, xt (2 ) 2cos t, t R
一维随机变量X
(X (),Y()),
二维随机变量(X,Y)
( X1(), X 2 (), ( X1(), X 2 (),
X n ()), n维随机变量(X1,X2,...Xn) ), 随机序列X1, X2, ...
(X (,t) t (, )), 随机过程{Xt , t∈R}
-2 电子科技大学
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二维随机变量(X0, Xπ/4)的联合分布律为
(X0, Xπ/4)
(2, 2) (2, 2)
p
1/3
2/3
其联合分布函数为
F π(x, 0,
y)
P{ X 0
x,
Xπ
y}
4
4
0,
x 2, y 2;
1 3
,
2 x 2且
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§1.1 随机过程定义及分布
一.随机过程定义
随机过程 概率论的“动力学”部分,即 它的研究对象是随时间演变的随机现象,它是 从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的 推广。
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给定一随机试验E,其样本空间为Ω,将
样本空间中的每一元 ω 作如下对应:
X (),
需研究随机过程与有限维分布函数的关系.
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2. 随机过程存在定理 随机过程的有限维分布函数族除具有联
合分布函数的三条性质外, 还具有以下性质:
1) 对称性:对1, 2, …, n的任一排列j1 , j2 , … , jn ,均有
Ft j1 ,,t jn ( x j1 ,, x jn ) Ft1,t2 ,,tn ( x1 , x2 ,, xn )
注 因事件乘积满足交换律.
2) 相容性:对任意固定的自然数m<n,均有
Ft1 ,t2 ,,tm ( x1 , x2 ,, xm ) 电子科技大学
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Ft1 ,t2 ,,tm ,,tn ( x1 , x2 ,, xm , )
lim
xm1 ,, xn
Ft1
,t
2
,,tn
2) 定义1.1.2 当固定 ω0 (对Ω 于特定的试验
结果), x是t (一ω0个) 定义在T 上的普通函数(自变
量为t).称为随机过程
{Xt (的), t一T个} 样本函
数. 也称轨道,路
电子科技大学径,现实
19.6.2
注: 一个样本函数可看成是对随机过程的 一次具体观察结果.
Xt1(ω)
0, x 2;
FX 0
(
x)
1 3
,
2 x 2;
1, 2 x;
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X
4
p
2 2
0, x 2;
1/3
2/3
FXπ
4
(
x)
1
3
,
2 x
2;
2) 分析
1,
2 x;
2
2
xt(ω1)=2cost
2 xt(ω2)=-2cost
(
x1
,,
xm ,xn )
注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数.
定理1.1.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果分布函数族
{Ft1,t2,,tn ( x1, x2,, xn ), t1, t2,, tn T,( x1, x2,, xn ) Rn, n 1}
满足相容性和对称性,则存在一个概率空间上
90
80
此例中样本
70 60
函数是什么?
50
40
30
粒子运动轨迹
20
10
0
-10
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-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
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样本函数的几个例子 Ex.1.1.2 Xt(ω) = αcos(βt+Θ), Θ~U(0, 2π)
θ 1 =5.4938 θ 2 = 1.9164
θ 3 = 2.6099
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时间序列 随机过程
{Xt (ω), t T }
平面随机场
随机过程是n 维随机变量,随机变量序列的
一般化,是随机变量X t , t 的T集合.
用E表示随机过程 Xt , t的T值域,称为过程的状
态空间.
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称事件“X t x ”为在时刻 t 时随机过程 X t 处于状态x
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则第n次试验对应的样本空间是
n {ω1(n) , ω(2n) }, (n 1,2,)
则该随机过程的样本空间为无穷维乘积空间
1 2 n
{ (ω(1) , ω(2) ,ω(n) ) : ω(n) n , n 1,2,} 该过程有无穷条样本函数. 如图