2003电子科技大学博士研究生入学考试初试随机过程试题全解全析

dt
RC
dY (t) Y (t) X (t) dt
两边同时进行傅里叶变换
jwY (w) Y (w) X (w)
此时可以得到
H (w) jw
此时系统的脉冲响应函数可以得到，为：
h(t
)
F
1[
H
(w)]
et
0
t 0 t0
mY (t) mX h(t)dt 0 0
（3）中先求一部分 输出过程的功率谱密度函数为：
w
)
）。
（6）马氏链{X (n), n 0,1, 2...} 的转移概率为 Pij (m, k) ，称{X (n), n 0,1, 2...} 为齐次马
氏链，即（ Pij (m, k) pij (k) (k 1, 2...) ）。
二（14 分）
齐次马氏链的状态空间 E {0,1, 2...} 状态转移矩阵为：
（
sin(bu) bu
）。
（3）随机正弦波 X (t) cos(wt )( t ) ，其中 , 为常数， 是在[0, 2 ]
上的均匀分布。则 X (t) 的均值函数 m(t) （0），协方差函数 C(s,t) （ a2 cos (t s) ）。 2
（4）平均过程
X
(t)
的相关函数
RX
13
13
五（14 分）
叙述平稳过程 {X (t), t } 具有均方遍历性（各态历经性）定义。讨论随机过程 X (t) Y ( t ) 的均方遍历性。（其中，Y 是随机变量，且 D(Y ) 0 ，D(Y ) ） 解：平稳过程{X (t), t }满足 P{X (t) mX } 1且 P{X (t)X (t ) RX ( )} 1 称{X (t), t }具有均方遍历性 又对于随机过程 X (t) Y ( t ) 而言
RX
( )
2e
,
0,
1 RC
,
试求：
（1）输出过程{Y (t), t }的均值 mY (t)
（2）自相关函数 RY ( )
（3）自谱密度函数 SY (w) 以及互谱密度函数 SXY (w)
解：此题解答顺序不一定按照提问的顺序 由电路性质，可知其 （1）由电路知识分析可知
RC dY (t) Y (t) X (t),令 1
E[ X (t)] E[Y ] 常数 ， E[X (t)X (t )] E[Y 2] DY (EY )2 R( )
故{X (t), t }为平稳过程
但是 X (t) lim
1
T
Ydt Y , X (t)X (t ) lim
1
T
Y YdY Y 2
T 2T T
T 2T T
由于 D(Y ) 0 ， P{Y EY} 1, P{E(Y 2 ) Y 2} 1，所以不成立
故{X (t), t }不具有均方遍历性
六（14 分）
（与 2002 年第六题重复）给定一 R-C 电路系统，具体如图（图参照 2002 年第六题给出）：
如果输入平稳过程{X (t), t }，均值 mX (t) 0 ，自相关函数
A
0
t
e uv dudv
0
2A
min(s,
t
)
A 2
[e s
et
e ts
1]
四（14 分）
一修理工人负责修理 2 台同类设备，设备从开始正常工作到出故障需要维修的时间服从平均
率为 1（台/周）的指数分布，维修时间服从参数为 4 （台/周）的指数分布，二者
相互独立，求系统运行指标。 解：此系统为 M/M/1 顾客为有限源等待制系统：
2003 电子科技大学博士研究生入学考试初 试随机过程试题全解全析
一、填空题（30 分，每小题 5 分）
（1）已知随机向量
(X

0
y
x
1上均匀分布，则
E[Y
|
X
]
（
X 2
0
X 0 ）， X 0
E[ X
|
Y
]
（
Y
1 2
Y 0 ）。
0 Y 0
（2）服从均匀分布的随机变量，
X
~ U (b,b) 的特征函数X (u)
m 2, 1, 4
（1）
0
系统空闲概率：
2
{
k 0
m! ( (m k)!
k
) }1
8 13
2
1 13
（2） （3） （4）
顾客在系统逗留平均数
Ls
6 13
，顾客在系统等待平均数
Lq
1 13
顾客在系统逗留的平均时间为Ws
3 10
，顾客在系统平均等待时间Wq
1 20
设备处于正常运行状态的台数为 K 20 ，设备利用率 10
A 与 为常数）
解：先求解均值函数
t
mY (t) X (s)ds 0,t 0 0
所得自相关函数为：
s
t
RY (s,t) E[Y (s)Y (t)] E[ X (u)du X (v)dv]
0
0
s 0
t 0
E[ X (u) X (v)]dudv
s
0
t 0
R(u, v)dudv
s
1 2n
，
f00
n1
f00 (n) 1
0
n f00 (n)
n1
n1 2n
n1
2 , p00 (1)
p00
1 0 2
故状态
0
为非周期、正常返、遍历状态。又因
p00
1 2
，i
E
{0,1, 2...} 与状态
0
互通。
故状态 i 与状态 0 有相同的状态性质，都是非周期、正常返、遍历状态。该马氏链为不可约
1
2
1 2
0
0
0
...
1 2
0
1 2
0
0
...
P
1
0
0
1
0
...
2
2
1
0
0
0
1
...
2
2
... ... ... ... ... ...
（1）画出状态转移图 （2）讨论状态性质并分类 解：（1）状态转移图如下：
（2）状态
0：
f00 (1)
1， 2
f00 (2)
1 22
，以此类推，
f00 (n)
遍历的齐次马氏链。
三（14 分）
设 随 机 过 程 {X (t ) ,t 0的} 均 值 mX (t ) 0， 自 相 关 函 数 RX (s ,t ) Ae ts ， 若
t
Y (t) X (s)ds,t 0 ，求随机过程{Y (t),t 0} 的均值 mY (t) 与自相关函数 RY (s,t)（其中 0
SY (w)
H (w) 2 SX (w)
(
)
e 2
，则其导过程 Y
(t)
dX (t) dt
和Y (t)
d
2 X (t) dt 2
的互相关函数 Ryy ( ) （ 4 (2 3)e 2 ）。
（5）设{X (t),t T} 是随机电报信号，其相关函数 R( ) 1 e2 , ( t ) ，则谱密 4
度函数
S (w)
（
2 42
w2
(