电子科技大学随机信号分析期末考试题

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷
课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。

一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，
[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0
2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e
3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关
性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。

4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。

5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相
位是___互相独立___的随机变量。

6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。

7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函
数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

二、计算题（共80分）
1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。

求：
1) a ;
2) X 特征函数；
3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。

解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分）
11
00
1
1
1(,)124
XY f x y dxdy Axydxdy
A xdx ydy A
∞∞
-∞-∞=
===⎰⎰
⎰⎰⎰⎰（分）
所以4A = （1分）
X 的边缘概率密度函数：
1
()4201X f x xydy x x ==≤≤⎰ （2分）
所以特征函数
1
1
02
()2()2122
12j X
X j x X j x j x j x j j E e f x e dx
xe dx
e xe j j e j e ωωωωωωω
φωωωωω∞
-∞⎡⎤=⎣⎦
==⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=
--⎣⎦⎰
⎰（分）
（分）（分）
容易得1
()4201Y f y xydx y y ==≤≤⎰
则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = （2分） 因此X 和Y 是统计独立。

（2分）
2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞，其中x 在(]0,2π均匀分布，求： 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+；
2) 判断是否广义平稳； 解：
[]
()20
220
()()(2)1(1)211(2)
22X xt t
xt m t E X t e dx e e t
t
ππ
ππ
ππ---==-=
=
-⎰
分分分
[]
2()0
2(2)2(2)0(,)()()(2)1(1)211(2)
2(2)(2)2X xt x t t x t R t t E X t X t e e dx e e t t πτπ
τπτττπ
πττπ
--+-+-++=+=-==-++⎰
分分分
因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化，所以不是广义平稳；
(2)分
3. (12分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：()()t t T
Y t X u du -=⎰
其中T 为积分时间常数，如
输入随机过程()X t 是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为()X S ω，求()Y t 的功率谱和自相关函数
解：很显然，()Y t 是平稳随机过程，故有：
[]
()
()()()()()()(1)()(1)1()(1)21()(12Y t t t T t T t
t X t T t T t
t j v u x t T
t T t
t j v u x t T
t T
R E Y t Y t E X u du X v dv R v u dvdu
e
S d dvdu
S e dvdud τ
ττ
ττ
ωττ
ωτττωωπ
ωω
π+-+-+-+-∞
+--+--∞∞
+--+--∞=+⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
=-==⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰
分分分分2
)12(1(cos ))
()
(2)
2j x T e
S d ωτ
ωωω
π
ω∞
-∞
-=⎰分
2
()22()()(1)
12(1cos )
()
(1)22(1cos )1
()(1)22(1cos )
()
()(1)2(1cos(()
j Y Y j j x j x x
x S e R d T e
S e d d T S e d d T S
d S ωτωτ
βτωβτωττ
βββτ
π
β
ββτβ
πβββδωβββω∞
--∞∞
∞
--∞-∞
∞
∞
---∞
-∞∞
-∞
=-=-=-=
--=⎰⎰⎰
⎰
⎰
⎰分分分分2
22
))
(2)
sin (2)
4()
x T T S ωωωωω=分或者
4. (16分)已知零均值的窄带高斯随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，其中0100ωπ=，且已知()X t 的功率谱如图所示，求： 1) 自相关函数()a R τ和()b R τ； 2) ()a t 和()b t 的一维联合概率密度； 解：
因为()X t 是零均值的高斯随机过程，因此有： (2分)
00()()10()()0
x x a b S S S S ωωωωωπ
ωω⎧-++≤⎪
==⎨
⎪⎩其它
(2分)
所以3
10()()0
a b S S ωπ
ωω⎧≤⎪=⎨
⎪⎩＝其它
(2分)
因此sin(10)
()()3
a b R R πτττπτ
== (2分)
因为()a t 和()b t 都为零均值的高斯随机过程，且在同一时刻是独立的，所以只要求出其方差，即可得到其一维联合概率密度： (3分)
显然有和22
30a
b σσ== (2分) 所以：
22
60
(,;,)(;)(;)60a b ab a b e
f a b t t f a t f b t π
+-==
(3分)
5. (12分)一数学期望为零的平稳高斯白噪声()N t ，功率谱密度为
0/2N ，经过如图所示的系统，输出为()Y t ，求输出过程的相
关函数。

解：令1/RC α=，得RC 积分电路的功率传输函数为：
2
2
2
2
()H αωαω=+ (2分) 则()X t 的功率谱密度为：
20
2
2()2X N S αωαω=+ (2分) 得()X t 的自相关函数为：
()4
X N R e
ατ
αω-=
（2分）
最后得：
[]
[][]222
222222222222200(,)()()1)()()1)
()()2()()()())
(0)2())
48
Y X X R t t E Y t Y t a E X t X t a E X t E X t a E X t X t E X t X t a R a R a N a N e
ατττττττταα-+=+⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++
⎣⎦⎣⎦++=+=+（分（分（2分（2分
6. (12分)证明平稳随机过程()X t 希尔伯特变换^
()X t 的自相关函数^
()()X X R R ττ=。

证明：平稳随机过程进行希尔伯特变换后仍为平稳随机过程，因此有：
[]^
^^
^
()()()()()()()()
1
()
()
X X X X R E X t X t X t X t E d d E X t X t d d R d d R d R ττητληλπηπλητληλπηπλ
ητλλη
πηπλητη
πηητ∞∞-∞-∞∞∞
-∞-∞
∞
∞
-∞-∞
∞
-∞
⎡⎤
=+⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤-+-=⎢⎥
⎣⎦
-+-=+-=+=
=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
证毕。